等腰三角形三线合一课件.doc
三线合一等腰三角形ppt课件
情景引入：
小学时，我们学习过等腰三角形的初步知识，现在 我们进一步研究有关等腰三角形的知识。
探究新知：
请同学们把一张长方形纸对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
拓展提高:
. 1 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为____度．
2 如图(2) 在△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则下列判断正确的是 A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD
3 如图(3), 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE
你从以上的证明中还能得出什么结论？
性质：
1 等腰三角形两个底角相等（简写为“等边对等角”）
2 等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （简称“等腰三角形三线合一”）
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
在△ABC中，∠A=36 ° ∠ABC=∠C=72 °
巩固训练 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个角 的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两 个角的度数是多少呢？
A A
D
B 图(2)
B C
D 图(3)
等腰三角形三线合一的应用——原创两线合一补等腰
3
2
E
AC=AB=9
6 Ｂ
Ｆ D3
C
过关条件
两线合一三角形的应用
两线合一补等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
A
B
D
C
等腰三角形
底边的高 顶角的角平分线 底边的中线
三线合一 二线
底边的高
1
3
底边的中线
2
顶角的角平分线
1
已知：AD⊥BC，D为BC的中点 求证：ΔABC为等腰三角形
A
中垂线定理： 中垂线上的点，到线段两端点的距离相等
CD——中线 两线合一 CD——垂线 翻折ΔADC
ＡＣ＝ＣＢ
C E
EB——中线 两线合一
O
EB——垂线
ＡＢ＝ＣＢ
A
D
B
ＡＣ＝ＡＢ
练2
两线合一现等腰 翻折含两线合一的三角形补等腰
如图，在△AEC中，∠1=∠2，AD⊥CD，F为 CE中点，DF=AE=3，则AC的长为多少？
A
二线合一的线——ＡＤ
翻折ΔADC补全等腰
C
D
底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
底边的高与底边的中线重合————现等腰 底边的高与顶角的角平分线重合——现等腰 底边的中线与顶角的角平分线重合——现等腰
两线合一现等腰
过关条件
两线合一补 等腰
两线合一现等腰的内容 巧补等腰三角形的应用
例1
两线合一现等腰
如图， ΔABC中，AD平分∠BAC，AD⊥CD， D为垂足，AB>AC，求证∠2=∠1+∠B
B
C
D
底边的高与底边的中线重合——现等腰
专题突破：等腰三角形性质-三线合一
◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
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◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
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◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
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◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
Hale Waihona Puke ◎类型一 ◎类型二 ◎类型三◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
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◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
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◎类型一 ◎类型二 ◎类型三
三线合一证明等腰三角形
三线合一证明等腰三角形
腰三角形是数学中一种常见的形状，它由三条不同的直线组成。
腰三角形的特征是它有两组平行的边，第三条边它们之间的距离是相等的。
比如一个等腰三角形，它的三条边都是相等的长度。
腰三角形有许多有趣的特性，一个特别重要的特性是关于它的角度和边长的推定。
例如，一个等腰三角形的内角和边长之间有一个确定的关系，那就是一个等腰三角形的内角总是相等的，因为它有两组平行的边，所以它的角度也相等，具体来说，三个内角的角度都是60°。
腰三角形的特性对于多种应用都非常有用。
比如，建筑物的构造通常会使用到等腰三角形，因为它可以创建出许多稳定的结构，从而使建筑物更稳定和结实。
另外，腰三角形也被用于科学和数学中，可以帮助求解许多未知数字，其中包括三边长度之积和其余两个内角之和，以及互相平分另一条边的几何。
定义等腰三角形并不复杂，其基本原理是，三条边都是相等的长度。
所以，当需要证明一个三角形是等腰三角形时，只需要证明三条边都是相等的长度就可以了。
具体来说，要做的是将三线看作一条，然后从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
总之，腰三角形是非常常见的几何形状，它有着广泛的应用，也有简单易懂的特性，在证明等腰三角形时，可以将三条边看作一条，从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
等腰三角形“三线合一”
巧用等腰三角形の“三线合一”连州市慧光学校辛星林八年级《北师大版.上册》学习了等腰三角形の重要性质，其中等腰三角形顶角の角平分线、底边上の中线，底边上の高互相重合，我们把等腰三角形の这一性质简称为“三线合一”，这是等腰三角形の重要性质，灵活运用此定理在解决某些几何问题时,能起到化繁为简,化难为易の绝妙效果,笔者就例说这一性质在解题中の灵活运用。
一．利用“三线合一”求线段最值例1 如图1，在⊿ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BPの最小值是_________.解：过点A作AD⊥BC于点D，因为AB=AC=5，BC=6，根据等腰三角形の三线合一の性质，可得BC=3.再根据勾股定理可知AD=4，因为垂线段最短，所以当BP ⊥AC时，BP有最小值.利用等面积法，可得AD·BC=BP·AC,即4×6=5BP，则BP=25/4在处理线段问题时，如果既能运用全等三角形の知识，又能运用等腰三角形の知识，则应尽可能地运用“三线合一”の性质。
这样，还能帮助同学们熟练掌握“三线合一”性质の转化。
点评本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一の性质、等面积法，题中还考查了学生为了解决等腰三角形问题添加辅助线の方法。
二、利用“三线合一”证明直线垂直在证明两直线垂直の问题时，如具备以下两个条件：可用“三线合一”来证明:（1）两线段中一条是这个三角形顶角の平分线或底边上の中线; （2）三角形是等腰三角形。
例2 如图2所示，已知AB=AE，∠B=∠E,BC=ED,F是CDの中点。
分析由已知，F是CDの中点，要证AF⊥CD，若连结AC与AD，则只要证得AC=AD，则由等腰三角形三线合一可证AF⊥CD。
证明连结AC与AD∵在ABC和AED中，AB=AE，∠B=∠E, BC=ED,∴⊿ABC≌⊿AED，则AC=AD，∵AF是等腰三角形⊿ACDの底边上の中线，∴AF⊥CD.点评本题考查了等腰三角形三线合一の性质，全等三角形の性质以及线段の垂直平分线の性质の应用。
人教版 八年级数学 等腰三角形“三线合一”的性质讲义 (含解析)
第6讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°∵∠B+∠C+∠A=180°∴∠C=55°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？【答案】【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又∵AB=AC可知，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠A是顶角，∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B【答案】D【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．故A、B、C正确，D错误．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．AD是△ABC的中线D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），故A、B、C都成立，只有D不一定成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD= cm．【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=×6=3cm．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ．【答案】2【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2．故答案为：2讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．求证：∠1=∠2．【答案】∠1=∠2【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．证明：连接AD．∵点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE⊥AB，DF⊥AC．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠1=∠2（等边对等角）．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：（1）∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC．【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．【答案】8，8，5或6，6，9【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，∴有两种情况：1、当3x=12，且x+y=9，解得x=4，y=5，∴三边长分别为8，8，5；2、当x+y=12且3x=9时，解得x=3，y=9，此时腰为6，三边长分别为6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，∴AB=a﹣2b，∵AB=AC，∴CD=a﹣3b，∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．【答案】DE=DF【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．证明：如图，连接AD．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．【答案】DE∥BC【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．解：DE∥BC．理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵DE=BE，∴∠1=∠3，∴DE∥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【答案】2.5【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC 于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：△BCE与△AFE全等，理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC=2BD，AD⊥BC，∴AF=BC，∵BE⊥AC于E，∴∠AEF=∠BEC=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠CBE，在△BCE与△AFE中，，∴△BCE≌△AFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．【答案】108°【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．解：∵BD=BC，∠B=36°，∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∵AD=DC，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】下列说法中正确的是（）A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．等腰三角形三条高都在三角形内D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．解：A正确，可以通过证明验证．如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线求证：AF∥BC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AF是∠EAC的角平分线∴∠EAF=∠FAC∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC∴AF∥BC∴选项A正确；其它选项无法证明是正确的．故选：A．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
八级数学上册2.3等腰三角形的“三线合一”性质课件(新版)浙教版
知2－练
2 如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形 ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作 法，保留作图痕迹)
（来自《点拨》）
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底 边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角． 2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等 、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试 作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
（来自《点拨》）
解： 如图所示，△ABC就是所求作的三角形．
知2－讲
总结
知2－讲
利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含 条件：有两条边相等；两个角相等.
知2－练
1 已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.
（来自《教材》）
结论
知1－讲
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线 互相重合，简称等腰三角形三线合一 .
知1－讲
【例1】已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC. 求证：AD丄BC.
（来自《教材》）
证明： 如图，延长AD，交于点E.
知1－讲
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的 “三线合一”性质
等腰三角形的“三线合一”
1 课堂讲解 用尺规作等腰三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
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∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=3°6，
因此，BD平分∠ABC；
（2）由①和∠2="36°"∠C="72°"，
∵∠BDC=18°0-36°-72°=72°，
可以得出DF=BE；
(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求
出方程的解即可.
试题解析：（1）∵AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F
∴CE=CF,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∵CE=CF BC=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．
（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=X
由Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
可知AF=AE即：AD+DF=AB-BE
∵AB=17，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=17-x解得，x=4
∴AE=AB-BE=17-4=1
点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的
对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
分别为E，F．
⑴试说明：BE=CF；
⑵若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．
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4、如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线
AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD
求证：(1)△BEF为等腰直角三角形；（2)∠ADC＝∠BDG.
1、如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC="Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ."
（1）求证：△BCE≌△DCF
（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.
2、如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,
求证：（1）BD平分∠ABC；
（2）△BCD为等腰三角形.
3、已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足
2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得△ABD是等腰
三角形，即可求得∠ABD的度数，然后根据等边对等角，求得∠DBC的度数，从而得
证；
（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得∠BDC=∠C，再根据等角对等边得证.
试题解析：（1）∵MN为AB的中垂线，
∴AD=BD，
则∠A=∠ABD=36°，
2、（1）证明见解析（2）证明见解析
3、(1)证明详见解析；(2)10．
4、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EF＋BF，理由见解析
6、（1）略（2）①∠DHF="60°"②略
【解析】
1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE,"在证明就
∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝
CF，连接DG交BE于H.
①求∠DHF的度数；
②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.
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参考答案
1、（1）证明见解析（2）1
5、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，
BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
（1）试说明AH＝BH
（2）求证：BD＝CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系
6、（本题14分）如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分