三角函数及平面向量知识点总结

三角函数

1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。

2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。

3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{}360,k k ββα=•+∈

。

4. 终边落在直线上的角用180k α•+表示。

5. 1,,2

L S LR R α===弧长弧度数即面积半径

（经常联系起来考察）。

6. 180()rad π=。

7. 对任意角α

：(()

sin cos tan 0y

r r x

r y

x x

ααα=

==

=≠正弦：余弦：正切： 8.

＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －

sin α cos α tan /cot αα

9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα

+== “知其一就可以求其二”。

10.

()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数

偶函数奇函数

诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322

ππ±±或需换函数名称）

11. 周期函数：()()f

x T f x +=。

不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ωϕ=+及()cos y A x ωϕ=+()

,,A ωϕ其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ωϕ=+的周期T πω

=。

13. 函数图象：

y ＝tanx y ＝cotx

14. 函数性质： （注：表中k 均为整数）

15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3

y x π=+为例

sin y x =向左平移3π

个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

横坐标变为原来的

13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

sin y x =横坐标变为原来的1

3

倍（纵坐标不变）()sin 3y x =

向左平移

9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪

⎝

⎭

注意：在变换中改变的始终是X 。

注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。

平 面 向 量

1. 向量：既有大小又有方向的量。

零向量：长度为0的向量；与任何向量都平行，方向是任意的！ 单位向量：长度为1的向量。

2. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

3. 相等向量：大小相等方向相同。

4.

B

C

O A 三角形法则:OA AB OB += 平行四边形法则: OA OB OC += 5. 向量共线定理：()

0a b a b a λ≠⇔=

6. 平面内任何向量都可以用两个不共线的向量表示，即：1122a e e λλ=+

7. 向量的坐标表示：

()()22

,,,,a x y xi y j a x y a x y λλλ==+==

+

()()()())()()1122121212121212

1122

1221

12121122,,,,,,,00,,a x y b x y a b x x y y a b x x y y a b x x y y b a a b x y x y x y x y a b x x y y x y x y λ==+=++-=--•=+⎛⎫⎧=⎪ ⎪⇔⎨ ⎪-=⎪⎩⎝⎭

⎛⎫

⎪

⊥⇔+= ⎪⎝⎭

设：

()()()(11222121,,,A x y B x y AB x x y y AB x ===--=

设：则，

8. 一个向量的坐标表示等于该向量终点的坐标减去起点坐标（如上）

9.

[]()

()1212211cos ,01800180900cos a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b x x y y x x y y a b a b

x y θθθθθθθ•=∈︒︒⎧=︒•=⎪⎨

=︒•=-⎪⎩

⊥=︒•=+=+•=

=

+为与的夹角，同向，反向，即：，有 10. cos b θ是b

在

a

方向上的投影，它是数量。

11. 起点()111,P x y 终点()222

,P x y 分点(),P x y 满足：()1

2

1PP PP λλ=≠- （起点到分点，分点到终点），则分点(),P x y 满足：12

1211x x x y y y λλλλ

+⎧=⎪⎪

+⎨

+⎪=⎪+⎩

三角恒等变换

1. 两角和、差公式：

()()()()()()()[]cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan ,1tan 45αβ

αβαβαβα

βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ

αβαβαβ+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩+=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩±±=±=±=︒注意几种变形例如：等

2. 二倍角公式：

222

2

2sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 1cos 2cos 1sin 2tan tan 21tan αααααα

ααααα

αα

==-=-⇒==-⇒==

-半角公式:

3. 辅助角公式：

()sin cos tan a a x b x x b ϕϕ⎛

⎫+=+= ⎪⎝

⎭其中

4. 注意几种角的变形：

()()()()ααββααββααβαβ=+-=-+=++-，，2 还要注意互余、互补、特殊角间的灵活变形。