三角函数及平面向量知识点总结
三角函数与平面向量
第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。
2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。
㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=± 2sin2cos 1θθ=-， 2cos2cos 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。
三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系
三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系三角函数是数学中重要的一部分，它描述了一个角度与其对应的三角比例之间的关系。
在平面向量的应用中，我们也经常需要判断向量之间的共线与垂直关系。
本文将从三角函数的基本关系和计算平面向量的共线与垂直关系两个方面进行探讨。
一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正弦值为对边与斜边的比值，记为sinθ。
2. 余弦函数（cosine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其余弦值为邻边与斜边的比值，记为cosθ。
3. 正切函数（tangent）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正切值为对边与邻边的比值，记为tanθ。
这三个函数之间存在基本的关系，可以通过定义和几何关系来推导，具体推导如下：1. tanθ = sinθ / cosθ；2. sin^2θ + cos^2θ = 1，两边同时除以cos^2θ，得到tan^2θ + 1 =sec^2θ，其中secθ为secant函数的值；3. cos^2θ + sin^2θ = 1，两边同时除以sin^2θ，得到1 + cot^2θ =csc^2θ，其中cscθ为cosecant函数的值。
这些基本关系在解三角方程和求解三角函数的值时非常有用。
二、计算平面向量的共线与垂直关系平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以通过坐标或者位移来表示。
当我们需要判断向量之间的共线与垂直关系时，可以利用向量的内积和外积来进行计算。
1. 共线关系若两个向量a和b共线，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。
这可以通过向量的坐标表示进行计算。
假设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，则它们的数量积为x1 * x2 + y1 * y2。
若两个向量的数量积等于零，则它们是共线的。
2. 垂直关系若两个向量a和b垂直，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。
平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。
根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。
3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。
单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。
二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。
具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。
三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .第三讲 平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a ·b 运算结果不仅与a ，b 的长度有关而且与a 与b 的夹角有关，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．。
高中数学平面向量,三角函数,一元二次不等式知识点
高中数学知识点一、平面向量1.1 平面向量的定义和表示平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量的表示方法有两种：坐标表示和数量与方向表示。
•坐标表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A(A1,A1)，终点为A(A2,A2)，则向量$\\vec{AB}$的坐标表示为$\\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。
•数量与方向表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A，终点为A，则向量$\\vec{AB}$的数量表示为$|\\vec{AB}|=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，方向表示是线段AA的方向。
1.2 平面向量的运算平面向量的运算有加法、减法和数量乘法。
•加法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的和为$\\vec{A}+\\vec{B}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$。
•减法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的差为$\\vec{A}-\\vec{B}=(x_1-x_2, y_1-y_2)$。
•数量乘法：设有平面向量$\\vec{A}$和实数A，则$k\\vec{A}=(kx, ky)$。
1.3 平面向量的性质平面向量的性质主要包括以下几点：•相等性：两个向量相等的充分必要条件是它们的坐标或起点和终点相同。
•共线性：若两个向量的方向相同或相反，它们为共线向量。
•共面性：若三个向量共面，则它们必定落在同一个平面上。
•数量乘法：向量的数量乘法可以改变向量的大小和方向。
二、三角函数2.1 弧度制和角度制在三角函数中，角度可以用弧度制或角度制来表示。
•弧度制：弧度制是以圆的半径为单位来度量角的大小。
一个圆的周长为$2\\pi$，一周所对应的角为$2\\pi$弧度。
常见的角度制与弧度制的换算关系是$180^\\circ=\\pi$弧度。
•角度制：角度制是以度为单位来度量角的大小。
高二数学知识点总结归纳
高二数学知识点总结归纳高二数学最新知识点总结归纳第一章：三角函数。
考试必考题。
诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的`变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。
第二章：平面向量。
个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。
向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。
向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。
向量的共线定理、基本定理、数量积公式。
难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。
向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。
有同样情况的同学建议多看有关题的图形。
第三章：三角恒等变换。
这一章公式特别多。
和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。
由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。
而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。
除此之外，就是多练习。
要从多练习中找到变换的规律，比如一般都要化等等。
这一章也是考试必考，所以一定要重点掌握。
高二年级数学知识点讲解大全1、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程一定两解(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2练习题：2.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点，则()A.a2-b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0解析选B.因为圆过原点，所以(0，0)满足方程，即(0-a)2+(0-b)2=r2，所以a2+b2=r2.高二数学知识点梳理等腰直角三角形面积公式：S=a2/2，S=ch/2=c2/4(其中a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高)。
三角函数平面向量知识与公式总结
三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。
一、三角函数2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。
其定义域为实数集R。
常用的余弦函数记作cos(x)。
余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。
其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。
常用的正切函数记作tan(x)。
正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。
4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。
其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。
常用的余切函数记作cot(x)。
余切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。
5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。
其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。
常用的正割函数记作sec(x)。
正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。
6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。
其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。
常用的余割函数记作csc(x)。
余割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。
三角函数之间有一些重要的关系：1.三角函数的互逆关系：sin(x) = 1/csc(x)cos(x) = 1/sec(x)tan(x) = 1/cot(x)cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)2.三角函数的和差化积公式：sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))4.三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))二、平面向量1.平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。
本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。
一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。
假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。
其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。
二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。
设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。
其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。
另外，向量还可以用角度来表示。
假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。
其中，arctan表示反正切函数。
三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。
设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相加。
向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相减。
四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。
根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。
其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。
2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。
初中三角函数知识点总结
初中三角函数知识点总结初中三角函数主要包括三角比，解三角形，三角方程，向量与三角函数，定理与推论，和三角函数的应用等知识点。
以下是对这些知识点的详细总结：一、三角比1.正弦、余弦、正切-正弦：在直角三角形中，对于一个锐角，其正弦等于对边与斜边的比值。
-余弦：在直角三角形中，对于一个锐角，其余弦等于邻边与斜边的比值。
-正切：在直角三角形中，对于一个锐角，其正切等于对边与邻边的比值。
2.相互之间的关系- 正弦定理：对于任意三角形ABC，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
- 余弦定理：对于任意三角形ABC，有c²=a²+b²-2ab*cosC。
- 正切定理：对于任意三角形ABC，有tanA=(b*sinC)/(a-b*cosC)。
二、解三角形1.根据已知条件求解未知量-已知两边及夹角，可以使用余弦定理求解第三边。
-已知两角及一边，可以使用正弦定理求解其它两边。
-已知两角及两边，可以使用正切定理求解第三边。
三、三角方程1.基本概念-三角方程是含有未知数角的方程，其中角的取值范围在给定区间内。
- 常见的三角方程有sinx=a, cosx=a, tanx=a等形式。
2.解三角方程的一般步骤-利用特殊角的正弦、余弦和正切值，化简方程。
-观察方程的周期性，求解其一个基本解，并利用周期性解得所有解。
4.解三角方程的方法-单调区间法：首先确定方程在一个周期内的单调增区间，然后根据函数图象和方程的特点逐步缩小解的范围。
-观察法：利用特殊角的正弦、余弦和正切值，观察方程在给定区间内的解。
四、向量与三角函数1.向量-平面向量：由大小和方向确定的量，用有向线段表示。
-向量的模长：向量AB的长度。
-向量的方向角：向量与坐标轴正方向的夹角。
2.向量的坐标与分解-向量的坐标：用有序数对表示向量的坐标。
-向量的分解：将一个向量分解为两个方向平行的向量的和。
3.向量的数量积-数量积的定义：向量的数量积等于它们的模长乘积与夹角的余弦值。
三角函数与平面向量专题知识整合
数学爱好者专高考文科数学爱好者业精心策划Ｓ专题辅导题知识整合三角函数是高中数学的重要内容之一，也是历年高考的重点．跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数、不等式、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用的工具．在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能方面考查的重要内容．三角函数这一章的主要知识点是：角的概念的推广、弧度制、任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函数、余弦函数的图象和性质，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角．由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系数和形的有力纽带，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究．在解题过程中，善于利用化归思想处理共线、平行、垂直问题，向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．题型例析河南陈长松热点题型一三角函数的求值、化简、证明等基本问题例１已知ｃｏｓ（π４＋ｘ）＝３５，１７π１２＜ｘ＜７π４，求ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ１－ｔａｎｘ的值．分析先把所求式化简，再利用已知条件求值．解由题设得ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２!５，ｓｉｎ２ｘ＝７２５，又５π３＜ｘ＋π４＜２π，所以原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ・１＋ｔａｎｘ１－ｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘｔａｎ（π４＋ｘ）＝－２８７５．评注在处理条件求值问题时，一要处理好角的终边位置和三角函数的符号；二应转化题设条件与待求式，以创造条件寻求时机代入求值．踪练习追ｚｈｕｉｚｏｎｇｌｉａｎｘｉｔａｎ１０°－３!ｃｓｃ４０°的值为．后反思练ｌｉａｎｈｏｕｆａｎｓｉ原式＝ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°－３!ｃｓｃ４０°＝ｓｉｎ１０°－３!ｃｏｓ１０°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝２１２ｓｉｎ１０°－３!２ｃｏｓ１０"#°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝－２ｃｏｓ４０°・ｓｉｎ４０°ｃｏｓ１０°＝－ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°＝－１．热点题型二三角函数的最值问题例２求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值和最小值．分析求函数的最值可用多种方法求解，最常用的有两种方法：几何法、有界性法．几何法运用数形结合思想，要掌握转化的方法．与专三角函数平面向量"#。
高一数学下学期知识点总结
高一数学下学期知识点总结一、三角函数1、任意角和弧度制角可以分为正角、负角和零角。
弧度制是另一种度量角的方式，弧长等于半径的弧所对的圆心角为 1 弧度。
我们要掌握角度与弧度的换算公式，例如 180°＝π 弧度。
2、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r，则正弦函数sinα ＝ y ／ r，余弦函数cosα ＝ x ／ r，正切函数tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）。
要牢记三角函数在各个象限的符号规律。
3、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1；商数关系：tanα ＝sinα ／cosα。
利用这些关系可以进行三角函数的化简和求值。
4、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如，sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
5、三角函数的图象和性质正弦函数 y ＝ sin x 的图象是一条波浪线，其定义域为 R，值域为-1, 1，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
余弦函数 y ＝ cos x 的图象与正弦函数类似，只是相位不同。
正切函数 y ＝ tan x 的定义域为{x ｜x ≠ kπ ＋π/2, k∈Z}，值域为 R，周期为π，其图象是不连续的，在每个区间(kπ π/2, kπ ＋π/2) （k∈Z）上单调递增。
二、平面向量1、平面向量的实际背景及基本概念向量既有大小又有方向，与起点的位置无关。
零向量的长度为 0，方向任意。
单位向量是长度为 1 的向量。
平行向量（共线向量）方向相同或相反。
2、平面向量的线性运算向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
向量的减法可以转化为加法。
数乘向量λa ，当λ ＞ 0 时，λa 与 a 同向；当λ ＜ 0 时，λa与 a 反向；当λ ＝ 0 时，λa ＝ 0 。
三角函数与平面向量
现向量的旋转。
向量角度与三角函数： 向量的夹角可以通过 三角函数进行计算。
向量投影与三角函数： 向量的投影长度和方 向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量 运算中的应用， 如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数 中的应用，如利 用向量表示三角 函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质 及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的 综合运用
总结三角函数与平面向量之间的 关系及其对数学发展的影响
发展趋势：随着数学理论和 应用的不断发展，三角函数 和平面向量理论将进一步完 善，其在物理、工程等领域 的应用将更加广泛。
未来研究方向：深入研究三角函 数和平面向量的性质和关系，探 索其在解决实际问题中的应用， 同时寻求与其他数学领域的交叉 融合，以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义：以角 为变量，单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性：单位 圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表 示：通过单位圆上点 的坐标计算三角函数
值
三角函数性质：在单 位圆上表示的三角函 数的性质，如正弦、
余弦、正切等
向量的模：表示 向量的大小，计 算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数：通过 将一个三角函数 作为另一个函数 的自变量，可以 形成复合函数。
向量加法：满足平行四边形法则和三角形法则 向量数乘：标量与向量的乘积，结果仍为向量 向量点乘：两个向量的点乘结果为标量，满足分配律和交换律 向量叉乘：两个向量的叉乘结果仍为向量，垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量 点乘的性质
向量垂直：当两个 向量的夹角为90 度时，它们被称为 垂直向量。
三角函数与平面向量
汇报人：张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数（sine） • 定义：对于任意角x，正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值，即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质：正弦函数的值域为[-1,1]，周期为2π。
辑思维，提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中，学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题，如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解，学生可以进一步探索这些相 关主题，以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用（如位移、速度、加速度的计算）
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域，经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合，可以有效地描述和计算 这些物理量，为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中，三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数，确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题，比
如计算距离、角度，确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中，经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域，利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算，以实现设计和制作的准确性。
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制度量1.角度的定义与表示方法：度、分、秒2.角度的换算：度与弧度的换算3.弧度制度量的定义与表示方法4.弧度与角度之间的换算二、三角函数的定义与基本性质1.正弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）2.余弦函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）3.正切函数：定义、图像、性质（周期性、奇偶性、单调性）4.函数值的范围与周期性5.三角函数的基本关系式和恒等式6.正弦、余弦的诱导公式和和差公式7.三角函数的同角关系式三、常用角的三角函数值1.0度、30度、45度、60度和90度的三角函数值2.零点的三角函数值3.常用角的三角函数值的对称性四、图像与性质1.角度对应的弧度的图像与性质2.角度对应的三角函数图像与性质3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性4.幅度与峰值五、三角函数的性质与变换1. 函数y=A*sin(Bx+C)+D和y=A*cos(Bx+C)+D的基本性质和变换2.三角函数的峰值、最小值和最大值3.三角函数图像的平移、伸缩、翻转等变换4.三角函数的同位角恒等式与诱导公式的应用5.反三角函数的性质与定义六、三角函数的应用1.正弦定理与余弦定理：直角三角形、任意三角形的应用2.解三角形的基本步骤和技巧3.短边与短边之间的关系（余弦定理）4.弧度与扇形面积、扇形弧长的关系5.三角函数在测量、工程设计等方面的应用七、用三角函数解直角三角形1.斜边和斜边所对应的角的关系2.已知两边求角度3.已知两边求第三边4.解一般直角三角形问题的基本步骤八、平面向量与复数1.平面向量的定义、表示方法和性质2.平面向量的共线与平行3.向量在平面内的平移九、极坐标与复数1.平面极坐标系的定义与性质2.复数的定义与基本性质3.复数运算：加法、减法、乘法、除法4.复数的共轭、模和辐角5.复数的指数形式与三角形式以上为九年级数学三角函数全章的知识点整理，其中包括角度与弧度制度量、三角函数的定义与基本性质、常用角的三角函数值、图像与性质、三角函数的性质与变换、三角函数的应用、用三角函数解直角三角形、平面向量与复数、极坐标与复数等内容，共计1200字以上。
三角函数与平面向量的关系及应用
三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。
本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。
二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。
向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。
而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。
2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。
设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。
通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。
3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。
设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。
三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。
通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。
2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。
通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。
3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。
通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。
高一下册数学知识点总结大全
高一下册数学知识点总结大全高一下册数学知识点总结（人教版）一、三角函数。
1. 任意角和弧度制。
- 任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向分为正角、负角和零角。
- 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
- 弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
|α|=(l)/(r)（α是圆心角弧度数，l是弧长，r是半径）。
- 角度与弧度的换算：180^∘=π rad，1^∘=(π)/(180)rad，1rad = ((180)/(π))^∘。
2. 三角函数的定义。
- 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么sinα = y，cosα=x，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
- 三角函数在各象限的符号：sinα在一、二象限为正；cosα在一、四象限为正；tanα在一、三象限为正。
3. 同角三角函数的基本关系。
- 平方关系：sin^2α+cos^2α = 1。
- 商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
4. 诱导公式。
- 公式一：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα（k∈ Z）。
- 公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。
- 公式三：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
- 公式四：sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。
- 公式五：sin((π)/(2)-α)=cosα，cos((π)/(2)-α)=sinα。
- 公式六：sin((π)/(2)+α)=cosα，cos((π)/(2)+α)=-sinα。
5. 三角函数的图象与性质。
任意角三角函数与平面向量复习小结
个 性 化 教 学 设 计 教 案授课时间：2015年01月 日备课时间：2015年01月 日 年级：高一 学科： 数学 课时：2 学生姓名： 课题名称任意角三角函数与平面向量授课教师：第一章：三角函数 §1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、r l =α；3、弧长公式：R R n l απ==180； 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设22r x y =+）sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，270°，360°等的三角函数值.α 0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32π 2π sin α cos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =.TMA OPxy§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”,使用条件角化为2k πα⨯±,Z k ∈）1、诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：正弦: sin y x = 余弦:cos y x =定义域： x R ∈ x R ∈ 值域： []1,1y ∈- []1,1y ∈-最大最小值：max min2, 122, 12x k y x k y ππππ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩时时 max min 2, 12, 1x k y x k y πππ==⎧⎨=+=-⎩时时对称轴：,2x k k Z ππ=+∈ ,x k k Z π=∈对称中心：(,0)......k k Z π∈ (,0) (2)k k Z ππ+∈奇偶性： 奇函数 偶函数 单调递减区间：32,2......22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦[]2,2.......k k k Z πππ+∈单调递增区间:2,2.......22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦[]2,2.......k k k Z πππ-∈周期性：2T π= 2T π=1-1y=cosx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=sinx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo yx3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质1、正切函数的图象：y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx；余切函数的图象：y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：正切: tan y x = ※余切:cot y x =定义域：,2x k k Z ππ≠+∈ ,x k k Z π≠∈值域：y R ∈ y R ∈ 最大最小值：无 无对称轴：无 无 对称中心：(,0)......)2k k Z π∈ (,0)......)2k k Z π∈ 奇偶性：奇函数 偶函数 单调递增区间：(,) (2)2k k k Z ππππ-++∈ 单调递减区间 (,)......k k k Z πππ+∈周期性：T π= T π=3、周期函数定义： 对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.4、图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==T f ;2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系. (1)先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()s i n y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变()s i n y A x ϕ=+ 纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()s i n y A xB ωϕ=++ （上加下减）(2)先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍平移ϕω个单位()s i n y A x ωϕ=+ （左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心(1)函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； (2)函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. (3)对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.(4)求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令2x k πωϕπ+=+与()x k k Z ωϕπ+=∈,解出x 即可;(5)余弦函数可与正切弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=,ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求. §1.6、三角函数模型的简单应用第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ， 有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =.4、 2a a =.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=两向量的夹角公式: 121222221122c o s x x y y a b a bx y x yθ+⋅==+⋅+4、点的平移公式:平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-题型讲解：一、概念及基本运算：例1、下列各命题中，假命题的是 （ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 例2、单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b -= （ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 例3、设向量(,1),(2,3)a m b ==-，若//a b ，则m =（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-课堂练习：1．2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所对应的扇形的面积是：（ ）A ．22cm B ．24cm C ．22cm π D ．28cm2．下列向量中不是单位向量的是（ ） A ．()1,0a = B ．()0,1b =- C ．()1,1c = D ．22,22d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．下图所示的是函数()φ+=wx A y sin 图象的一部分，则其函数解析式是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 4．若函数)32sin(2)(ϕπ+-=x x f 是偶函数，则ϕ的值可以是（ ）A ．65πB ．2π C ．3πD ．2π-5．已知向量)12()41()3(，，，，，===c b k a ，且c b a ⊥-)32(，则实数k =（ ）A ．29-B ．0C ．3D ．2156．函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如下图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)的值等于 （ ）(A) 2 (B) 22+(C) 222+ (D) 222--7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 （ ）A ．sin(2)10y x π=-B ．sin(2)5y x π=-C ．sin()210x y π=-D ．sin()220x y π=-二：知识点运用：例1、sin 1，sin 2，sin 3，sin 4的大小顺序是________．例2、函数2sin(4)6y x π=+的图像的两条相邻对称轴间的距离是例3、正ABC ∆的边长为2，则BC AB ⋅= .课堂练习：1．如图，在边长为2的菱形ABCD 中60BAD ∠=，E 为CD 中点，则AE BD ⋅= 、2．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．ADECB三、知识点的运用：例1、已知函数()f x =sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若将函数()f x 图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像，若],0[πα∈ ，且21)(=αg ，求α的值．例2、设向量a,b 满足a b 1==及3a 2b 7-=；(1)求a,b 夹角的大小；(2)求3a b +的值．课堂练习：1、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）sin(5)πα-；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-；2、设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,5)P x -，且2cos 4x α＝，求sin α和tan α．课后作业： 1、如图所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且NC AN 2=，AM 与BN 交于点P ，求PM AP :与PN BP :的值。
平面向量与三角函数
平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。
本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。
一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。
向量加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。
二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。
二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
通过坐标表示，我们可以进行向量的运算，并用向量表示点、线段以及其他几何对象。
三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。
平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，可以使用三角函数来计算。
四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。
对于任意一个角，可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。
而在平面向量中，向量的方向角正是角的一种度量。
六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。
单位向量是模为1的向量，通过标准化平面向量，可以得到单位向量。
七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。
数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。
八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。
例如，通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。
同时，三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。
三角函数解三角形平面向量
三角函数解三角形平面向量一、三角函数三角函数是描述角的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数常用于解决涉及角度的问题，如测量高度、距离和速度等。
以下是三角函数的定义和性质：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ = opposite / hypotenuse。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent / hypotenuse。
余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1,1]。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ = opposite / adjacent。
正切函数的定义域是所有实数，值域是整个实数集。
除了上述基本的三角函数，还有其他一些相关函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。
这些函数之间存在一些重要的关系，如互余关系、倒数关系和倒数值关系等。
二、解三角形解三角形是指根据给定的已知条件，计算出三角形的各个未知量。
通常，解三角形要求计算三边、三角形的内角和外角等。
以下是解三角形的常用方法：1. 余弦定理：当已知三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
余弦定理的公式为c² = a² + b² - 2abcosC。
2. 正弦定理：当已知三角形的一边和与之相对的两个夹角时，可以利用正弦定理计算其他两条边的长度。
正弦定理的公式为a / sinA = b / sinB = c / sinC。
3.应用三角函数：当已知三角形的一边和一个角的正弦、余弦或正切值时，可以利用三角函数计算其他未知量。
这需要结合三角函数的定义和性质进行计算。
解三角形是在实际问题中非常常见的应用，例如在航海中计算船只的位置和航向，或在测绘中计算地标的位置和高度等。
(人教版)高一数学必修一知识点总结
(人教版)高一数学必修一知识点总结
一、函数与方程
1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个元素与另一个唯一确定的元素相对应。
2. 函数的表示方式：函数可以通过图像、表格、公式等方式来表示。
3. 方程的概念：方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以确定未知数的值。
4. 一次函数：一次函数的形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
二、三角函数
1. 弧度制与角度制：弧度制是一种角度的度量单位，角度制是另一种度量单位。
2. 正弦、余弦和正切：正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
三、平面向量
1. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，如向量AB可以表示为AB = (x₁, y₁)。
2. 向量的运算：向量可以进行加法和数乘运算，如两个向量的和可以表示为R = A + B。
3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，可以通过坐标计算得到。
四、三角形与三角比
1. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角比的定义：三角比是指在特定角度下，三角函数值的比例关系，如正弦比、余弦比和正切比。
以上是(人教版)高一数学必修一的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
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三角函数
1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。
2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。
3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{}360,k k ββα=•+∈。
4. 终边落在直线上的角用180k α•+表示。
5. 1,,2
L S LR R α===弧长弧度数即面积半径
（经常联系起来考察）。
6. 180()rad π=。
7. 对任意角α
：(()
sin cos tan 0y
r r x
r y
x x
ααα=
==
=≠正弦：余弦：正切： 8.
＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －
sin α cos α tan /cot αα
9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα
+== “知其一就可以求其二”。
10.
()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数
偶函数奇函数
诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。
（π±同名函数，322
ππ±±或需换函数名称）
11. 周期函数：()()f
x T f x +=。
不是任何函数都有最小正周期。
12. 一般地，()sin y A x ωϕ=+及()cos y A x ωϕ=+()
,,A ωϕ其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ωϕ=+的周期T πω
=。
13. 函数图象：
y ＝tanx y ＝cotx
14. 函数性质： （注：表中k 均为整数）
15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3
y x π=+为例
sin y x =向左平移3π
个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
横坐标变为原来的
13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
sin y x =横坐标变为原来的1
3
倍（纵坐标不变）()sin 3y x =
向左平移
9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
注意：在变换中改变的始终是X 。
注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。
平 面 向 量
1. 向量：既有大小又有方向的量。
零向量：长度为0的向量；与任何向量都平行，方向是任意的！ 单位向量：长度为1的向量。
2. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
3. 相等向量：大小相等方向相同。
4.
B
C
O A 三角形法则:OA AB OB += 平行四边形法则: OA OB OC += 5. 向量共线定理：()
0a b a b a λ≠⇔=
6. 平面内任何向量都可以用两个不共线的向量表示，即：1122a e e λλ=+
7. 向量的坐标表示：
()()22
,,,,a x y xi y j a x y a x y λλλ==+==
+
()()()())()()1122121212121212
1122
1221
12121122,,,,,,,00,,a x y b x y a b x x y y a b x x y y a b x x y y b a a b x y x y x y x y a b x x y y x y x y λ==+=++-=--•=+⎛⎫⎧=⎪ ⎪⇔⎨ ⎪-=⎪⎩⎝⎭
⎛⎫
⎪
⊥⇔+= ⎪⎝⎭
设：
()()()(11222121,,,A x y B x y AB x x y y AB x ===--=
设：则，
8. 一个向量的坐标表示等于该向量终点的坐标减去起点坐标（如上）
9.
[]()
()1212211cos ,01800180900cos a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b x x y y x x y y a b a b
x y θθθθθθθ•=∈︒︒⎧=︒•=⎪⎨
=︒•=-⎪⎩
⊥=︒•=+=+•=
=
+为与的夹角，同向，反向，即：，有 10. cos b θ是b
在
a
方向上的投影，它是数量。
11. 起点()111,P x y 终点()222
,P x y 分点(),P x y 满足：()1
2
1PP PP λλ=≠- （起点到分点，分点到终点），则分点(),P x y 满足：12
1211x x x y y y λλλλ
+⎧=⎪⎪
+⎨
+⎪=⎪+⎩
三角恒等变换
1. 两角和、差公式：
()()()()()()()[]cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan ,1tan 45αβ
αβαβαβα
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβαβαβ+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩+=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩±±=±=±=︒注意几种变形例如：等
2. 二倍角公式：
222
2
2sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 1cos 2cos 1sin 2tan tan 21tan αααααα
ααααα
αα
==-=-⇒==-⇒==
-半角公式:
3. 辅助角公式：
()sin cos tan a a x b x x b ϕϕ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭其中
4. 注意几种角的变形：
()()()()ααββααββααβαβ=+-=-+=++-，，2 还要注意互余、互补、特殊角间的灵活变形。