第3章 机械可靠性设计原理

f(
S s
)d (
S s
)
1


f ( )d ( )
1
的两边取对数，得
lg lg S lg s
s S和s服从对数正态分布，则lgS和lgs服从正态分布，其差 值lgξ服从正态分布，即：
lg lg S lg s
lg S 为 lg S 的标准差；
lg s 为 lg s 的标准差
工作寿 命/lgn
均值 /MPa
标准差 / MPa
4.3
4.4 4.5
685
681 638
14.9
13.1 12.6
Z1
S s

2 S

2 s
4.6
617
596 578 562 546 530 514
13.3
13 12.3 13 13.8 14.4 14.8

546 379 13 . 8 24 . 1
两类可靠性问题： ①已知Z，求R=Φ(Z) ②已知R，求Z=Φ-1(R)
可靠性估计 可靠性设计
例1 已知某零件的应力分布和强度分布都为正态 分布，其分布参数分别如下，试计算其可靠度。
s 379 MPa , s 41 . 4 MPa , S 517 MPa , S 24 . 1 MPa
• 应力——强度干涉模型法 • 功能密度函数积分法 • 蒙特卡洛模拟法
应力——强度干涉模型求可靠度
可靠度：强度大于应力的整个概率。
R (t ) P ( S s ) P ( S s 0 ) P (
S s
1)
1 当t=0时，两个分布 之间有一定的安全裕度， 不会失效 2 当t>0时，由于各种 因素的影响，导致在事 件t1时应力分布与强度 分布发生干涉，将产生 失效。
f
x
f s
g( r g(S)
s
r
s S r
应力－强度干涉模型揭示了概率设计的本质。由干涉模型 可以看到，就统计学的观点而言，任何一个设计都存在着 失效的可能，即可靠度总是小于1，而我们所能够做到的就 是将失效率限制在一个可以接受的限度内。
可靠度的计算方法
• 数值积分法： 已知应力和强度的概率密度函数f(s)和f(S)时， 进行数值积分，求出可靠度R(t) Simpson法则 计算机软件
广义应力─导致失效（故障）的因素，如温度、电流、 载荷等； 广义强度─阻止失效（故障）的因素，如极限应力、额定 电流等；
几点说明：
①干涉模型是可靠性分析的基本模型，无论什么问题均适用；
②干涉区的面积越大，可靠度越低，但不等于失效概率；
③关于S的计算公式仅为干涉模型的公式化表示，实际应用 意义很小。
解： Z 1
S s
S s
2

517 379 41 . 4 24 . 1
2 2
2 . 88
2
R (t )


2 . 88
( Z ) dZ 0 . 99801
国外 S ( 0 . 04 ~ 0 . 08 ) S ，我国更高。
应力分布的标准差 s 根据工作环境条件和经验确 定。
Z1
若Z值能知，则可按正态分布面积表查得可靠度的值。
, Z2 0, Z 1


0





S s
s
2
(1)
2
R (t )


( Z ) dZ
Z1
式（1）为应力、强度和可靠度的联结方程，Z为联结系数 （可靠性系数或安全指数）
f(s)
随机变量
应力
分布规律
强度
1 2 n
s= f, s s s
s= f, s s s
1 2
n
sn
• 可靠性设计方法
可 靠 性 设 计：结构可靠性和机构可靠性 机械可靠性设计：定性可靠性设计和定量可靠性设计
不同点 设计变量 处理方法
传统的安全部系 数设计法 应力、强度、安 全系数、载荷、 几何尺寸等均为 单值变量 代数运算，单值 变量，如s=F/A
P ( s1
ds 2
s1 s1
ds 2
) f ( s1 ) ds A1
P ( S s1 )


s1
f ( S )dS A 2
当两个事件A1，A2同时发生时，表示可靠，可求可靠度
dR A1 A 2 f ( s1 ) ds



f ( S )dS
s1
第3章 机械可靠性设计原理与 可靠度计算
3.1 安全系数设计法与可靠性设计方法
• 安全系统设计法
产品的设计主要满足产品使用要求和保证机械性能要求。
基本思想：机械结构在承受外在载荷后，计算得到的应力小 于该结构材料的许用应力： σ计算≤σ许用 或 σ计算= σ极限/n
n为安全系数， σ极限为极限应力
例2 钢轴受弯矩作用，其最大应力幅呈正态分布， s 379 MPa , s 41 . 4 MPa 轴的强度也呈正态分布，其数 据如表所列。要求钢轴运转105次，试计算此轴的可靠度。 解：当n1=105次，lgn1=lg105=5时， 轴的强度分布参数为
S 546 MPa , S 13 . 8 MPa
s1



f ( s )[ 1
s1

f ( ) d ]ds

f ( s )[1 Q 2 ( )] ds 1



f ( s ) ds



f ( s ) Q 2 ( ) ds



f ( s ) Q 2 ( )ds ( x ) Q1 ( x )
令 lg ，则有 R (t ) Z


f ( )d ( )
1


f ( )d
0

Z2
( Z ) dZ
Z1

lg lg
lg
lg 1 lg
当 ＝1时， Z 1
lg

lg
lg
零件的可靠度为S大于所有可能的s的整个概率
R (t )


dR


f ( s )[ f ( S )dS ] ds
s1

可得到可靠度的一般表达式
R (t )

b
a
f ( s )[ f ( S )dS ] ds
s
c
a,b 分别为应力在其概率密度函数中可以设想的最小值 和最大值， c 为强度在其概率密度函数中可以设想的最大值。
方法5
解：设连杆的截面积为A(mm2)
则应力

F A

(120， ) 10 12 A
2
3
(MPa )
-1
因要求R 90%，则查表可得Z Φ (0.9) 1.258
因此有： S s

2 S

2 s
238 12 10 ／A
4
19.04 (12 10 ／A)
2 3
1.258
从可靠性角度考虑，影响产品故障的因素概括为应力和 强度两类。 即：应力大于强度时失效。
• 应力：外力在微元面积上产生内力与微元面积比值的极 限，还包括环境因素，例如温度、湿度、腐蚀、粒子辐 射等。 • 强度：机械结构承受应力的能力，因此，凡是能阻止结 构或零部件故障的因素，均为强度，如材料力学性能、 加工精度、表面粗糙度等。

lg S lg s
lg S lg s
2 2
当 ＝ 时， Z 2 R (t )
lg lg
lg



(Z )d Z
z1
3） 应力和强度分布都为指数分布时的可靠度计算
可靠性设计方法 应力、强度、安全系数、载荷、几 何尺寸等均为随机变量，且呈一定 分布规律 随机变量的组合运算，为多值变量，
S ( s , s ) F ( F , F ) / A( A , A )
设计变量 运算方法
设计准则 含义
安全准则：σ<[σ]， 安全准则: R (t ) P ( S s ) [ R ] n>[n]
2
整理可得：A 1019.17 A 252692 0
593.16
2
从中可解的A 593.13mm
2
因此有：r

13.74mm
可取r 14mm。
2） 应力和强度分布都为对数正态分布时可靠度的计算
令 S s R ( t ) P ( 1) 对 S ，则有
2 2
3 . 83
4.7 4.8 4.9 5.0 5.1
R (t )


3 . 83
( Z ) dZ 0 . 999935
如果强度分布是时间（或工作循环次数） 5.2 5.3 的函数，则可靠度也是时间的函数
499
15
例4 某连杆机构中，工作时连杆受拉力F~N(120，12)kN，连杆材料 为Q275钢，强度极限σ B~N(238，0.08×238)MPa，连杆的截面 为圆形，要求具有90%的可靠度，试确定该连杆的半径r。
如图：两分布发生干涉的阴影部分表示零件的失效概率，即 不可靠度。
f
x
f s
g( r
s
r
s r
两个分布的重叠面积不能用来作为失效概率的定量表示。 即使两个分布曲线完全重合，失效概率和可靠度均为50％。
S 强度 s 应力
应力值s1存在于区间
[ s1
ds 2
, s1
ds 2
]
内的概率等于面积A1

Q (x)
假设应力Baidu Nhomakorabea强度分布函数分别为Q1(s)和Q2(δ)，由

x

f ( x ) dx

x

x



f ( sx )dx f 1)d ] ds ( )[ (
s1

F 1 R (t ) 1 1 1



f ( s )[ f ( )d ] ds
3.2 应力强度干涉理论及可靠度计算
• 应力强度分布干涉理论（模型）
可靠性设计理论的基本任务：在故障物理学研究的基础 上，结合可靠性试验以及故障数据的统计分析，提出可 供实际计算的物理数学模型及方法。
f
x
f s
g( r
s
r
s r
产品要可靠，需满足： z=S-s ≥0
若应力s和强度S均为随机变量，则z=S-s也为随机变量。 即产品可靠度为：R=P( z≥0)= P(S-s ≥0) 认识应力─强度干涉模型很重要，这里应特注意应力、 强度均为广义的应力和强度。



Q 2 ( ) dQ 1 ( s ) 1 2 [ Q 2 ( x i 1 ) Q 2 ( x i )][ Q 1 ( x i 1 ) Q 1 ( x i )]
Q
i 1
m
2

m 1
i 1
F

14
1 2
[ Q 2 ( x i 1 ) Q 2 ( x i )][ Q 1 ( x i 1 ) Q 1 ( x i )]

2 S
2 s
所以有 R ( t ) P ( 0 )


f ( ) d
1
0

2



( ) 2
2
2
e
d
0
令Z

1
，有
Z
2
(Z ) R (t )

0
2
e
2
，则有
Z2

f ( )d

( Z ) dZ
1） 应力和强度分布都为正态分布时可靠度的计算
应力和强度概率密度函数为
f (s) 1
(ss ) 2
2 s 2
s
2
e
f (S )
令 S s ，则有 f ( ) 1

1

(S S ) 2
2 S
2
S
2
2
e
( ) 2
2

2
e
，另 S s ，
i 1
F=0.19223
R=1-F
=0.80777
功能密度函数积分法求解可靠度
功能函数
Z S s f ( z 1 , z 2 ,..., z n )
则可靠度：
R P (Z 0)


f ( Z )dZ
0
已知强度和应力的概率密度函数f(S)和f(s)，由于强度 和应力相互独立，则功能密度函数f(Z)可由应力和强度 二维独立随机变量求得，即可求得可靠度。
例：某零件的强度呈正态分布，其均值 100 MPa
标准差 10 MPa
，
，而其工作应力呈指数分布，均值 ，用数值积分法求该零件的可靠度。
为 s
1
s
60 MPa
下表
正态分布的分布函数
R ( t ) f ( x ) dx dR
知，失效概率F为

σ极限选取原则：计算塑性材料静强度： σ极限= σs; 计算脆性材料静强度： σ极限= 强度极限： 计算疲劳强度时： σ极限= 疲劳极限
• 传统设计通常有两种结果 • 保守：会导致结构尺寸过大、重量过重、费用增 加，在使用空间和重量受到限制的地方，难于接 受。 • 危险：可能使产品故障频繁，甚至出现“机毁人 亡”事故，绝对不容许。