【人教版】数列的概念优秀课件
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2
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当q≠1时, 所以q=- 1
a
1
(1 1
q q
3
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1 或1(舍去).
2
2
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
5.2009年，某内河可供船只航行的河段长
为1000 km，但由于水资源的过度使用，
Sn=
a1 (1 q n ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第 三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解， 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题，就可化繁为简.
(2)当已知a1、q(q≠１)、n时，用公式
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
等比数列 (1) 等 比 数 列 定 义 ① a n 1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 . (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± a b .
促使河水断流，从2010年起，该内河每
年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，
则到22 018年，该内河可行驶的河段长度
3
为
10k0m0×. ( 2 ) 9
3
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
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设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0=a=n1=23 010a00n0×-01(，×(23 a)1923=.)1n-010，0，
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
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4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1 }.的或前1 n项和，S3=3a3，则公
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设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aqБайду номын сангаас,且(aq+4)2=a(aq2+32),
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,- 1 0
,50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
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题型二 等比数列的判定及证明
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
新课标高中一轮总复习
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D）
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）
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(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 q n ) 或
1 q
Sn
a1 an q 1 q
.
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an-2n
(n为奇数） (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
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3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
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因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a
1
1
a
n
q
q
,得q=
1 2
,
由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
a
1
1
a
n
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.
当q≠1时, 所以q=- 1
a
1
(1 1
q q
3
)=3a1q2,解得q=-
或1.
1 或1(舍去).
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5.2009年，某内河可供船只航行的河段长
为1000 km，但由于水资源的过度使用，
Sn=
a1 (1 q n ) 1 q
求和较为方便；当已知a1、q
（q≠１）、an时，则用公式Sn=
a1 an q 1 q
求
和较为方便.
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变式 一个等比数列有三项，如果把
第二项加上4，那么所得的三项就成等 差数列，如果再把这个等差数列的第 三项加上32，那么所得的三项又成等 比数列，求原来的等比数列.
q
q
,得q=2,
由an=a1·qn-1，得n=6.
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点评 (1)对于“知三求二”问题，通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解， 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题，就可化繁为简.
(2)当已知a1、q(q≠１)、n时，用公式
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等比数列 (1) 等 比 数 列 定 义 ① a n 1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一 个 数 a列n 是 等 比 数 列 的 依 据 ， 也 可 由 an·an+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为② an=a1·qn-1 . (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 ＝ ab,G=③ ± a b .
促使河水断流，从2010年起，该内河每
年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，
则到22 018年，该内河可行驶的河段长度
3
为
10k0m0×. ( 2 ) 9
3
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设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年）， 则 所aa以1n0=a=n1=23 010a00n0×-01(，×(23 a)1923=.)1n-010，0，
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足;
由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.
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4.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中， S式n是q=数列{a-n1 }.的或前1 n项和，S3=3a3，则公
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设所求的等比数列为a,aq,aq2,
则2(aq+4)=a+aqБайду номын сангаас,且(aq+4)2=a(aq2+32),
解得a=2,q=3或a=
2 9
,q=-5.
故所求的等比数列为2,6,18或
2
,- 1 0
,50
.
9 99
点评这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差 数列、等比数列的常用方法，其优点是思
路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
题型二 等比数列的判定及证明
例2 （2010·都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
1 2
an+n
新课标高中一轮总复习
理数
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D）
A.是等比数列 B.当a≠1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1) (a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列；
当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A）
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
(4)特别要注意等比数列前n项和公式应
分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 q n ) 或
1 q
Sn
a1 an q 1 q
.
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an-2n
(n为奇数） (n为偶数).
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；
(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
A.22010
B.22011
C.32010
D.32011
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1·q2010=22010.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16” 是“a2011=4”的（B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
【人教版 】数列 的概念 优秀课 件
因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.
解方程组 a1an=128 a1+an=66,
解得 a1=64 ①或 a1=2 ②,
an=2
an=64
将①代入Sn=
a
1
1
a
n
q
q
,得q=
1 2
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由an=a1·qn-1,得n=6.
将②代入Sn=
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