第二章 第八节 函数与方程

第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
f（1）=-2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=-0.984
f（1.375）=-0.260
f（1.437 5）=0.162
f（1.406 25）=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（保留3位有效数字）为
_________.
【思路点拨】按照用二分法求零点近似值的步骤求解.
(3)设 f（x） x 3 1 ） 2， 0是函数f（x）的零点，在同一坐标 （ x 则x
2
系下画出函数y=x3与 y 1 ）2 的图像如图所示. （ x
1 f 1 1 ( ) 1 1＜0, 2 1 f 2 8 ( )0 7＞0, 2
2
≨f(1)f(2)＜0,≨x0∈(1,2). 答案：（1，2）
【互动探究】把本例题（3）改为“方程log3x+x=3的解为x0,
若x0∈（n，n+1），n∈N，试判断其解所在的区间”. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间.令 f(x)=log3x+x-3,则 f 2 log 3 2 2 3 log 3 2 0, f(3)=log33+33
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( )
（2）函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图像是连
续曲线），则f（a）·f（b）＜0.( )
（3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在b2-4ac＜0时没有零 点.( )
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似 值.( )
【拓展提升】利用二分法求方程的近似解（函数近似零点）需 注意的问题 （1）第一步中：①区间长度尽量小；②f（a），f（b）的值 比较容易计算且f（a）·f（b）＜0. （2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与 相应方程的根是等价的. 【提醒】对于方程f（x）=g（x）的根，可以构造函数F（x） =f（x）-g（x），函数F（x）的零点即为方程f（x）=g（x） 的根.
（1）若g(x)=m有实数根，求m的取值范围.
（2）确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【思路点拨】解答（1）可用基本不等式求出最值或数形结合
法求解.（2）转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而用
数形结合法求解.
e2 【规范解答】（1）方法一：≧ g x x 2 e2 2e, 等号成 x
1.如图所示的函数图像与横轴均有交点，但不能用二分法求交 点横坐标的是( )
【解析】选A.二分法适用于函数图像在［a，b］上连续不断且
f（a）·f（b）＜0的函数，观察图像知选A.
2.用二分法求函数y=f（x）在区间（2，4）上的近似零点，验 证f（2）·f（4）＜0，给定精度ε =0.01，取区间（2，4）的 中点 x1 2 4 3, 计算得f（2）·f（x1）＜0，则此时零点x0
【变式训练】用二分法求函数f（x）=3x-x-4的一个零点，其
参考数据如下：
f（1.600 0）=0.200 f（1.587 5）=0.133 f（1.575 0）=0.067
f（1.562 5）=0.003
f（1.556 2）=-0.029
f（1.550 0）=-0.060
据此数据，可得f（x）=3x-x-4的一个零点的近似值（保留三
3=1>0,又因为函数f(x)在（0，+≦）上是连续且增加的，所以 方程log3x+x=3的解所在的区间为（2，3）.
【拓展提升】确定函数f(x)在给定区间上是否有零点的方法 （1）解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再 看求得的根是否落在给定区间上. （2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间
2
)
1 2 2
(B) 0，
(D) 2， 1
【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g（x）=bx2-ax=0 得x=0或 x a 1 .
b 2
考向 1 函数零点的求解与判断 【典例1】（1）（2012·天津高考）函数f（x）=2x+x3-2在区 间（0，1）内的零点个数是( (A)0 (B)1 (C)2 ) (D)3
)
【解析】选B.令 f（x） x cos x 0， x cos x， 则 设函数
y x 和y=cos x，它们在［0，+≦）的图像如图所示，显然
两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 f（x） x cos x 在［0，+≦）内有且仅有一个零点.
(2)函数 f（x） ln（x 2） 2 的零点所在的大致区间是(
1 1 1 4 2 2 2 1.5 0，g 0.5 4 2 2 2 1 0，故函数 4 2 1 4
g(x)的零点在区间(0.25,0.5)内，从而函数f(x)的零点在区间 (0,0.75)内.对于A，函数f(x)的零点为0.25，符合题意；对于 B，函数f(x)的零点为1，不合题意；对于C，函数f(x)的零点 为0，不合题意；对于D，函数f(x)的零点为1.5，不合题意， 故选A.
［a,b］上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，
则函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点.
（3）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与横轴在给定
区间上是否有交点来判断.
【变式备选】(1)函数 f（x） x cos x 在［0，+∞）内( (A)没有零点 (C)有且仅有两个零点 (B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点
【解析】（1）错误.函数的零点是函数的图像与横轴交点的横 坐标. (2)错误.函数f（x）=x2-x，在（-1，2）上有两个零点，但 f（-1）·f（2）＞0. (3)正确.当b2-4ac＜0时，二次函数图像与横轴无交点，从而 二次函数没有零点. (4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法 求零点的近似值. 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
【拓展提升】已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常 用的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再 通过解不等式确定参数范围. （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加 以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系 中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
x
)
(A)（1，2） (C)（3，4）
(B)（2，3） (D)（4，5）
【解析】选C.由题意知函数f（x）的定义域为{x|x＞2}， ≨排除A. ≧ f 3 2 ＜0,f 4 ln 2 1 ＞0,
3 2
≨f(3)·f(4)＜0,又函数 f（x） ln（x 2） 2 在（2，+≦）上
e2 有两个不同的交点，作出g x x (x 0) 的大致图像. x
≧f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2， ≨f（x）的图像的对称轴为x=e,开口向 下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e, 即m>-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个 交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ≨m的取值范围是（-e2+2e+1,+≦）.
第三步:计算f(c)； ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步：判断是否达到精度ε ：即若|a-b|＜ε ,则得到零点近 似值a（或b），否则重复第二、三、四步.
1 2
【规范解答】（1）选B.因为f′(x)=2xln 2+3x2＞0,x∈(0,1), 所以函数f（x）=2x+x3-2在（0，1）上是增加的，且f（0） =1+0-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，所以有1个零点. (2)选A.函数g(x)在R上是增函数，且g(0)=-1,g(0.25)
点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
3.二分法 （1）二分法的定义 每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下
小区间 其中一个_______的方法称为二分法.
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间［a,b］,验证f(a)·f(b)＜0,给定精度ε ; 第二步：求区间（a,b）的中点c;
)
【解析】选C.显然f（x）=ex+4x-3的图像连续不断， 又 f（ ） e 1＞0，f（ ） 4 e 2＜0.
1 ≨由零点存在性定理知，f（x）在 143;b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2ax（b≠0）的零点是( (A)0，2 (C) 0， 1
位有效数字）为_______.
【解析】由题意知，函数零点在区间（1.556 2，1.562 5）内，
又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56
考向 3 函数零点的应用 【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
e2 g x x x 0 . x
【规范解答】（1）令f（x）=x3-2x-1，则
f（1）=13-2×1-1=-2＜0， f（2）=23-2×2-1=3＞0， f（1.5）=1.53-2×1.5-1=-0.625＜0， ≨f（1.5）f（2）＜0， 故下一步可断定该根所在区间为（1.5，2）. 答案：（1.5，2）
（2）根据题意知函数的零点在区间（1.406 25，1.437 5）内， 又|1.437 5-1.406 25|=0.031 25＜0.1， 故方程的一个近似根可以是1.406 25，保留3位有效数字为 1.41. 答案：1.41（答案不唯一）
2
所在的区间为( (A)（2，4） (C)（2，3）
) (B)（3，4） (D)（2.5，3）
【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).
3.在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( (A) 1 ，） （ 0
4 1 (C) 1 ， ） （ 4 2 1 2 1 (B) 0， ） （ 4 3 (D) 1 ， ） （ 2 4 1 4
x
连续, ≨函数f（x）的零点在（3，4）内.
考向 2 二分法及其应用 【典例2】（1）在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时， 现在已经将根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所 在的区间为_______. （2）若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值 如下（精度0.1）：