解直角三角形

第十九讲 解直角三角形

1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ，如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( A )

A ．(43＋1.6)m

B ．(123＋1.6)m

C ．(42＋1.6)m

D ．4 3 m

,(第1题图))

,(第2题图))

2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( B )

A .12

B .

55 C .1010 D .255

3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )

A ．2

B .

255 C .55 D .12

,(第3题图)) ,(第4题图))

4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C )

A ．sin

B ＝AD AB B ．sin B ＝A

C BC

C ．sin B ＝A

D AC

D ．sin B ＝CD AC

5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )

A .

1

1－sin α B .1

1＋sin α

C .

1

1－cos α D .1

1＋cos α

6．计算sin 2

45°＋cos 30°·tan 60°，其结果是( A )

A ．2

B ．1

C .5

2 D .54

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点且AE∶EB＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )

A .

33 B .233 C .533

D . 3 ,(第7题图)) ,(第8题图))

8．在寻找马航MH 370航班过程中，某搜寻飞机在空中A 处发现海面上一块疑似漂浮目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，已知飞行高度AC ＝1 500 m ，tan α＝

3

5

，则飞机距疑似目标B 的水平距离BC 为( D ) A ．2 400 5 m B ．2 400 3 m C ．2 500 5 m D ．2 500 3 m

9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3

5

，BC ＝6，则AB ＝__10__．

10．规定：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号)

①cos (－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋2

4

；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin (x －y)＝sin x ·cos y －

cos x ·sin y.

11．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cos C 的值为__4

5

__．

,(第11题图)) ,(第12题图))

12．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，连结AC ，且∠ACD＝30°，tan ∠BAC ＝23

3

，CD ＝3，则AC ＝__63__．

13．计算：(1)tan 45°＋2sin 45°－2cos 60°； 解：原式＝1＋2×22－2×12

＝1＋2－1 ＝2；

(2)sin 2

1°＋sin 2

2°＋sin 2

3°＋…＋sin 2

89°.

解：设S ＝sin 2

1°＋sin 2

2°＋sin 2

3°＋…＋sin 2

89°①， ∴S ＝cos 2

89°＋cos 2

88°＋cos 2

87°＋…＋cos 2

2°＋cos 2

1° ∴S ＝cos 2

1°＋cos 2

2°＋cos 2

3°＋…＋cos 2

88°＋cos 2

89°②， ①＋②得2S ＝89， S ＝892

.

14．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M(点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点，如果MC ＝n ，∠CMN ＝α，那么P 点与B 点的距离为__m －n·tan α

tan α

__．

15．如图，“中海海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B ，C 两地相距150海里．

(1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；

(2)若“中海海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)

解：(1)如图所示：延长BA ，过点C 作CD⊥B A 延长线与点D.由题意可得：∠CBD＝30°，BC ＝150海里，则DC ＝75海里，

∴cos 30°＝DC AC ＝75AC ＝32，

解得AC ＝50 3.

答：点A 到岛礁C 的距离为503海里；

(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC 于点N ，可得∠1＝30°，∠BA ′A ＝45°，则∠2＝∠ABA′＝15°，即A′B 平分∠CBA.

∴A ′E ＝AN.

又∵A′E ⊥BA ，A ′N ⊥BC ， 设AA′＝x ，则A′E＝A′N＝32

x ， ∴CA ′＝2A′N＝2×

3

2

x ＝3x.