集合的有关概念及运算

第一章集合与简易逻辑

学习札记第一单元集合的有关概念及运算

【背景材料】

康托儿与集合论的产生

现代数学中将研究集合的理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，在数学

中占据着极其独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的所有领域．如果把现代数

学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说，集合论正是构成这座大厦的基石．集合

论的创始人是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托儿（德国数学家，集合论

的创始者．1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷），他也以其

集合论的成就被誉为二十世纪数学发展影响最深的学者之一．

17世纪数学中出现了一门新的分支：微积分，并且在以后的一二百年中这一崭

新学科获得了飞速发展并结出了丰硕的成果．由于微积分的快速发展使人们来不及

检查和巩固它的基础理论，在19世纪初，许多迫切问题得到解决后，就出现了一场

重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托儿开始了集合论的研究，1874年，

康托儿给出了“集合”的定义：把若干确定的有区别的事物（无论是具体的或抽象

的）合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．这

和我们今天的集合的概念基本一致，我们会感觉很自然和简单，但是康托儿的研究

道路却布满荆棘，并使他承受了强烈的外界压力和刺激，导致他患上了精神分裂症

并最终因此病逝．

数学与无穷的关系可谓紧密，但如何看待无穷却是数学家们很头疼的问题，他

们始终持怀疑和回避的态度，形象地将“无限”解释为：无限可看作是永远延伸着

的，一种变化着成长着的东西．按照这种解释，无限永远处在构造中，永远完成不

了，是潜在的而不是实在的．这种观念称为潜无限思想．18世纪数学王子高斯（德

国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、

牛顿并列，同享盛名．高斯1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于

格丁根）就持此观点：“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许

的．所谓无穷，只是一种说话方式……”．而康托儿首先把全体自然数看作了一个

集合，称为自然数集，用字母N表示．事实上就是把一个无限的整体作为了一个构

造完成了的东西，进而就肯定了作为一个整体的无穷是可以完成的，这种观念称为

实无限思想．由于潜无限思想已经在微积分的基础重建中取得了全面胜利，康托儿

的实无限思想遭到了一些数学家的强烈批评和攻击，但他没有就此止步，而是继续

正面探讨无穷，在实无限思想观念的基础上，进一步得出一系列的结论，创立了令

人振奋的、意义十分深远的理论．这些理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特

的无限世界．

最能显示他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究．他在研究过程中关注

了这样一个问题：像自然数集那样的无穷集合与像实数集那样的无穷集合之间存在

着怎样的关系？1873年11月29日，康托儿在给戴德金的信中将上述问题以更明确

的形式提了出来：全体正整数集合N与全体实数集合R能否建立一一对应？这个问

题看起来似乎不成问题，因为N是离散的，R是连续的．但康托儿认为问题也许并

不那么简单，不能过分相信直觉．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，

用“等势”表示．由于一个无穷集可以与它的真子集等势（很容易建立一一对应，比如自然数集与正偶数集之间就存在着一一对应），这与传统的观念“全体大于部分”

相矛盾．而康托儿认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，因而正偶数集是可数集，接着他又证明了有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．他的证明如下：

考虑正有理数按以下方式排成的阵列：

12341111

12342222

12343333

12344444

→→→↓↓

在其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数；……．显然，每个正有理数都出现在这个阵列中．如果我们按箭头所示依次重新排序，略去已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列1234{r r r r ，，，，}，于是序列112233{0r r r r r r ，-，，-，，-，，}就是包括所有有理数的集合，这就证明了有理数集合的可数性．

而且康托儿还证明了：全体实代数数的集合也是可数的．而直觉上实代数数似乎比有理数要多得多．（注：整系数一元n 次方程的根称为代数数，实数中不是代数数的数称为超越数．显然所有有理数是代数数，大量无理数也是代数数，

等就是代数数，π是超越数）．

此时似乎可以说“无穷集都是可数集”，但出乎意料的是，1873年12月他证明出了“自然数集合N 与实数集合R 之间不可能建立一一对应”（1890年，他再次用反证法证明了这个结论）．从而说明了“实数集的势大于自然数集的势”，这意味着“无理数的个数远远多于有理数”， “庞大的代数数与超越数相比也只是沧海一粟”．当时人们发现的超越数只有几个而已，这是何等令人震惊的结果啊．康托儿意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次，于是“所有的无穷集之间存在着无穷多个层次”得到了他进一步的成功证明．并证明了著名的康托儿定理：一个集合的幂集的基数较原集合的基数大．由此他又建立了新的“超限数理论”，作为对传统观念的一次大革新，康托儿又开创了一片全新的领域．

康托儿历经20余年的研究，于20世纪初，他的集合论得到了数学家的赞同和世界的公认，这就是康托儿的“朴素集合论”．至此，数学家们乐观地认为：一切的数学成果都可以建立在集合论的基础之上，这是多么令人陶醉的成果啊．在1900年第二届国际数学大会上，著名数学家庞加莱（庞加莱是十九世纪后期的领袖数学

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