第一讲 不等式和绝对值不等式(1)

∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
一: 不等式的性质
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
注:是比较两个数大小的依据
例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c (× )
(3) a b ac2 bc2 (×)
(5)
a c2
b c2
ab
(√)
(7) a b a2 b2 (×)
(2) a b c a c b (√) (4) a b, c d ac bd (× ) (6) a2 b2 a b (×) (8) a b a2 b2 (√)
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空
角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系
式;
HG
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:设AM=y米
Q
P
从而
4xy + x2
= 200 y =
200 - x2 4x
D A
C B
于是S = 4200x2 + 210×4xy + 80×2y2 M
N
0 < x < 10 2
EF
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
（（12））若若ca>>ab>, b1a>0，b1则，c则aaa>0，cbb<0b。（（真真命 命题 题） ）
二: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
定理：设 x, y, z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值2 s. ⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy 有最大值 p2 .
（开方性）
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
b c
证明: c d 0, cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
c
cc
选修４-５ 不等式选讲
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不
第二讲
等
证明不等式的基本方法
式
选 讲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB gg ab b>a
基本不等式
B
A
g
g
b
a
a>b
a>ba-b>0
a<ba-b<0
b=a b-a=0
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
4
注：一正、二定、三等。
例 3求证:
(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
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= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1)2 2
1 2
0
∴A>B
3.若a、b、x、y∈R，则 成立的（C ）
x y a (x a)( y
b b)
是 0
x
y
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x 1
x 1 有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
4、求函数y x 1 的值域. x