第一讲 不等式和绝对值不等式(1)
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
（3）
a
2
b
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
高二数学PPT之4-5(人教A版)：第一讲1
3 2ab2c.当且仅当a2x＝bcx2，即 x＝ 3 a2bc时，等号成立．
2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个 正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、 三相等”的条件，缺一不可．
[变式训练] 求函数 y＝136x2＋3x(x＞0)的最小值． 解：因为 x＞0， 所以 y＝136x2＋3x ＝136x2＋23x＋23x≥3 3 136x2·23x·23x＝94.
答案：B
1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．
(1)“一正”．不论是三个数的或者 n 个数的算术—
几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，
3
如 a＋b＋c≥3 abc，取 a＝b＝－2，c＝2 时 a＋b＋c＝－
3
2，而 3 abc＝6，显然－2≥6 不成立．
(2)“二定”．包含两类求最值问题：一是已知 n 个 正数的和为定值(即 a1＋a2＋…＋an 为定值)，求其积 a1·a2·…·an 的最大值；二是已知积 a1·a2·…·an 为 定值，求其和 a1＋a2＋…＋an 的最小值．
类型 3 利用定理 3 解应用题
[典例 3] 如图所示，把一块边长为 a 的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起做 成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时，盒子 的体积最大？
解：设切去的正方形的边长为 x，无盖盒子的容积为
V，
则
V
＝
(a
－
2x)2x
＝
1 4
(a
－
2x)(a
高二数学PPT之4-5（人教A版）课件：第一讲三个正数旳算术—几何平均不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
= x +2+
2
1 x2 + 2
1 时是减函数. 又∵ x + 2 ≥ 2 ,又∵函数 y = t + 在 t ∈ [1, +∞ ] 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x = 0 时,函数 y = x + 2 + 取得最小值 . 2 2 x +2
x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 + 1 1 2 = = x +2+ 解 : ⑶∵ y = ≥2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 3 ∴函数 y = 的最小值为 2. x2 + 2 上面解法错在哪? 上面解法错在哪?
AM=y米 解:设AM= 米
200 - x 2 因而 4 xy + x 2 = 200 y = 4x
D A
Q
P C B
于是S = 4200 x 2 + 210 × 4 xy + 80 × 2 y 2 0 < x < 10 2
M
N
E
F
课堂练习: 课堂练习: 练习 1.判断下列命题是否正确 判断下列命题是否正确: 判断下列命题是否正确 (1) a > b, c > b a > c ( ×) (2) a > b c a < c + b ( ) √ (3) a > b ac 2 > bc 2 ( × (4) a > b, c > d ac > bd × ) ) ( a b √ (5) 2 > 2 a > b ( ) (6) a 2 > b 2 a > b × ) ( c c √ (7) a > b a 2 > b 2 × ) ( (8) a > b a 2 > b 2 ( )
第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].
![第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/65359cec81c758f5f61f67e2.png)
1、不等式的基本性质：
a a b, b c ①、对称性： b b a 传递性：_________ a c
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
a＞b，
c 0 ，那么ac＜bc
a b
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面 积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长 最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p， p 那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果 和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 1 2 s 4
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b&l-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5， 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c 的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
F
补充例题 已知a,b (0,+)，且a+b=1，求证： 1 （1）a b ; 2 1 1 （2） 2 2 8； a b 1 2 1 2 25 （3）（a+ ) (b ) ； a b 2 1 1 25 （4）（a+ )(b ) . a b 4
2 2
课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题
例4
5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2
x2 2 1 x2 2
x 2
的最小值.
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和 定积大),但特别要注意条件的满足： 一正、 二定、 三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 ≥ abc ， 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.
推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,an， 它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值， a1 a2 a3 an ≥ n a1 a2 a3 an 即 n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解 一些简单的不等式和证明一些不等式， 如 1.求解下列不等式： x2 2 ① x 3 x 10 0 ② >0 x5 3 2 2.设 n 1 ,且 n 1, 求证: n 1 > n n .
第一讲不等式和绝对值不等式小结课件人教新课标
二 分类讨论的思想方法 【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f(0)＝f(1)，当 x1、x2 ∈[0,1]，x1≠x2 时都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|<12.
【证明】 不妨设 0≤x1<x2≤1，以下分两种情形讨论． ①若 x2－x1≤12，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤12， ∴|f(x2)－f(x1)|<12. ②若 x2－x1>12，∵f(0)＝f(1)， ∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|
规律技巧 利用几个代数式的范围来确定某个代数式的范围 是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向(异向)不等 式的两边可以相加(相减)”这种转化往往不是等价变形，在一个解 题过程中多次使用这种转化时，有可能扩大代数式的取值范围，尤 其当不等式中含有多个“≤(或≥)”时，其中的“＝”不一定同时 取得．解这类问题可利用待定系数法先建立待求范围的代数式与已 知范围的代数式的等量关系，最后通过一次线性不等关系的运算， 求得待求的范围；或转化为线性规划问题，用线性规划的方法求解.
【解】 (1)∵a＝1，∴lg(|x＋5|＋|x－5|)<1＝lg10.∴|x＋5|＋|x －5|<10.
由实数绝对值的几何意义知，不等式的解就是数轴上表示到－ 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合．如图所示．
设 x 对应点为 C，当 C 在线段 AB 上时，|AC|＋|BC|＝10，当点 C 在线段 AB 的外端时|AC|＋|BC|>10，因此，适合题意的点 C 不存 在，即当 a＝1 时，不等式无解，故原不等式无解．
(3)各种类型绝对值不等式的解法． ①|x|<a(a>0)⇔－a<x<a. ②|x|>a(a>0)⇔x>a 或 x<－a. ③|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ④|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. ⑤|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 有三种方法选择：
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
3绝对值不等式
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m ,下列不等式中一定成立的是( B )
①分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
②换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
绝对值不等式的解法
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如： |a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与 |a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
第一讲 不等式和绝对值不等式
∵A
B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2.
即a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3.选D. 答案:D
第11页 共 42 页
3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是(
)
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|&4页 共 42 页
类型一形如
|x-ai|的最小值问题
第15页 共 42 页
解题准备:当x取何值时 题可以利用以下三种解法: (1)去掉绝对值号,转化为分段函数求最值; (2)利用|x-ai|+|x-ak|的几何意义;
有最小值问
(3)利用绝对值不等式|x-a|+|b-x|≥|a-b|,其中取等号的条件是 (x-a)与(b-x)不异号.
第19页 共 42 页
[反思感悟] 对于
(数列{ai}单
调)的最小值问题,有两种情况:若n=2k+1,k∈Z,则x=ak+1时 ,f(x)取最小值;若n=2k,k∈Z,则ak≤x≤ak+1时,f(x)取最小值.
第20页 共 42 页
类型二
含绝对值不等式的解法
解题准备:解含绝对值的不等式的基本方法是依据绝对值的 定义与性质,通过变换转化成不含绝对值的不等式.转化的
d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|. ∵|y-1|+|y-6|≥5,当且仅当1≤y≤6时等号成立; |y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立, |y-3|+|y-4|≥1,当且仅当3≤y≤4时等号成立.
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不
第二讲
等
证明不等式的基本方法
式
选 讲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB gg ab b>a
基本不等式
B
A
g
g
b
a
a>b
a>ba-b>0
a<ba-b<0
b=a b-a=0
= 200 y =
200 - x2 4x
D A
C B
于是S = 4200x2 + 210×4xy + 80×2y2 M
N
0 < x < 10 2
EF
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确:
(1) a b,c b a c (× )
(3) a b ac2 bc2 (×)
(5)
a c2
b c2
ab
(√)
(7) a b a2 b2 (×)
(2) a b c a c b (√) (4) a b, c d ac bd (× ) (6) a2 b2 a b (×) (8) a b a2 b2 (√)
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
定理：设 x, y, z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值2 s. ⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy 有最大值 p2 .
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
4
注：一正、二定、三等。
例 3求证:
(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造
型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座
（（12））若若ca>>ab>, b1a>0，b1则，c则aaa>0，cbb<0b。（（真真命 命题 题） ）
二: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
几何解释
b
a b
a
b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中
阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米21平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系
式;
HG
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.
解:设AM=y米
Q
P
从而
4xy + x2
一: 不等式的性质
①、对称性：a b b a 传递性：a___b_,b___c__ a c ②、a b,c R ，a+c＞b+c （可加性）
③、a＞b，c 0 ， 那么ac＞bc；（可乘性） a＞b，c 0 ，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件n N, n （2乘方）性） ⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b （条件n N, n 2）
3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x 1
x 1 有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
4、求函数y x 1 的值域. x
=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1)2 2
1 2
0
∴A>B
3.若a、b、x、y∈R，则 成立的（C ）
x y a (x a)( y
b b)
是 0
x
y
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
注:是比较两个数大小的依据
例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
（开方性）
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
b c
证明: c d 0, cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
c
cc