热传导方程

界条件。
::::::::
第三类边界条件 考察介质放在另一种介质，不妨称为介质1中的情形：我们能测量
到的只是与所考察介质接触处的介质1的温度u1，它与所考察介质表面上的温度u往往 并不相同。在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律，即牛 顿定律：从所考察介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比，即
Ω
其中ν为介质的比热，ρ为密度。因此就成立
t2 t1
S
k
∂u ∂n
dSdt
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
(1.3)
假 设 函 数u关 于 变 量x, y, z具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 关 于t具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 利
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
dQ = γ(u − u1)dSdt,
(1.16)
这里的比例常数γ称为热交换系数，它取正值。考察流过所考察介质表面S 的热量，从 :::::::::::::
所考察介质内部来看它应由Fourier定律确定，而从介质1方面来看则应由牛顿定律所决
定，因此有
−k
∂u ∂n
dS
dt
=
γ(u
−
u1)dSdt,
即
法线方向的方向导数
∂u ∂n
成正比，即
dQ
=
−k(x,
y,
z)
∂u ∂n
dSdt,
(1.1)
其中k(x, y, z)称为介质在点(x, y, z)处的热传导系数，它取正值。(1.1)式中的负号是因
为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此，dQ应和
∂u ∂n
异号。
1
在介质D内任取一闭曲面S ，它所包围的区域记为Ω，由(1.1)式，从时刻t1到t2流进
和波动方程相比，这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来，但是数学
上的形式却完全一样。
如果所考察的介质体积很大，而所需知道的只是在较短时间和较小范围内的温度变
化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时可以把所考察的介质视为充满整个空
间，而定解问题就变成:C::a:u:c:h::y:问:::题::，此时的初始条件为
用Green公式，可以把(1.3)式写成
t2 t1
=
交换积分顺序得到
∂ Ω ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
νρ
Ω
t2 t1
∂u ∂t
dt
dxdydz,
dxdydzdt
t2 t1
Ω
νρ
∂u ∂t
−
∂ ∂x
k
∂u ∂x
−
∂ ∂y
k
∂u ∂y
−
∂ ∂z
k
∂u ∂z
dxdydzdt = 0.
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
(1.7)
相应地，此时方程(1.6)为∂u ∂t=c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
+ f (t, x, y, z),
(1.8)
其中
f (t,
x,
y,
z)
=
F
(t, x, y, νρ
z).
(1.6)称为齐:::次::热:::传:::导::方:::程::，而(1.8)称为非:::齐::次:::热:::传::导:::方::程:::。
dQ
=
−k
∂u ∂n
dSdt
可知，这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的，即
∂u ∂n
(x,y,z)∈S
= g(t, x, y, z),
(1.15)
4
其中
∂u ∂n
表示u沿边界S
上的单位外法线方向n的方向导数，而g(t,
x,
y,
z)是定义在[0,
T
]×
S 上的已知函数。这种边界条件称为热传导方程的:第::二:::类:::边:::界::条:::件::，又称:N:e::u:m::a:n::n:边::
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
dSdt
+
t2 t1
F (t, x, y, z)dxdydzdt
Ω
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
于是，相应于(1.5)的热传导方程应改为
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
+ F (t, x, y, z).
6
相同。
3
将(1.10)、(1.11)与(1.1)、(1.3)比较，发现其形式是非常类似的。在考察热传导方 程中引入的量Q、u、k分别相应于扩散过程中的量m、U 、γ，而出现在(1.3)式中的因 子νρ在扩散问题中相应于常数1。于是，扩散方程可写为
∂U ∂t
=
∂ ∂x
γ
∂U ∂x
+
∂ ∂y
γ
∂U ∂y
(1.14)
其中S 表示介质的边界，g(t, x, y, z)是定义在[0, T ] × S 上的已知函数，这里T 是一给定 的正数。这种边界条件称为热传导方程的:第::一:::类:::边::界:::条::件:::，又称:D::i:r:ic:h::l:e:t:边::界:::条::件:::。
第二类边界条件 我们再考察另一种情况：在介质的表面上知道的不是它的表面温度 而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过 的热量Q是已知的。根据Fourier定律
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
.
(1.6)
如果所考察的介质内部有热源(例如介质中通有电流，或有化学反应等)，则在热传 导方程(1.5)的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位时间内单位体积中所产生的
2
热量为F (t, x, y, z)，则此时热平衡方程为
t2 t1
S
k
∂u ∂n
本节我们将考察热传导方程的导出及其相应的定解条件。
1.1 方程的导出
一、热传导方程
考察空间某介质D的热传导问题。以函数u(t, x, y, z)表示介质D在位置(x, y, z)及时
刻t的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无
穷小面积dS
的热量dQ与介质温度沿曲面dS
γu
+
k
∂u ∂n
=
γu1.
由于γ和k都是正数，因此这种边界条件可以写成
∂u ∂n
+
σu
= g(t, x, y, z),
(x,y,z)∈S
(1.17)
这里
∂u ∂n
表示u沿边界S
上的单位外法线方向n的方向导数，而g(t,
x,
y,
z)是定义在[0,
T
]×
S 上的已知函数，σ为已知正数。这种边界条件称为热传导方程的第三类边界条件。 ::::::::::::::::::
u(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z) (−∞ < x, y, z < ∞).
(1.18)
在此我们特别指出：与波动方程的情形不同，对于热传导方程的定解问题，初始条件 只能给出一个。
5
在适当的情况下，热传导方程中描述空间坐标的变量的数目还可以减少。例如当物
体是均匀细杆时，假设它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假设温度的分
γ
∂U ∂n
dSdt
=
[U (t2, x, y, z) − U (t1, x, y, z)]dxdydz,
Ω
(1.11)
其中U 表示扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面
积dS的扩散物质的质量，式中γ(x, y, z)为扩散系数，其它符号与(1.1)、(1.3)中的含义 :::::::::::
.
(1.20)
对低维的热传导方程，我们可以类似地提出上述的Cauchy问题与初边值问题。 对扩散方程，我们有类似的讨论。这里不再重复。
习题
1. 一均匀细杆直径为L，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介 质发生热交换，并服从规律