热传导方程

dQ = γ(u − u1)dSdt,
(1.16)
这里的比例常数γ称为热交换系数，它取正值。考察流过所考察介质表面S 的热量，从 :::::::::::::
所考察介质内部来看它应由Fourier定律确定，而从介质1方面来看则应由牛顿定律所决
定，因此有
−k
∂u ∂n
dS
dt
=
γ(u
−
u1)dSdt,
即
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
界条件。
::::::::
第三类边界条件 考察介质放在另一种介质，不妨称为介质1中的情形：我们能测量
到的只是与所考察介质接触处的介质1的温度u1，它与所考察介质表面上的温度u往往 并不相同。在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律，即牛 顿定律：从所考察介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比，即
布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x和时间t有关，我们就得到:一::维:::热:::传::导::
方程
:::::
∂u ∂t
=
c2
∂ ∂
2u x2
.
(1.19)
同样，如考察薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程 :::::::::::::::::::
∂u ∂t
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
本节我们将考察热传导方程的导出及其相应的定解条件。
1.1 方程的导出
一、热传导方程
考察空间某介质D的热传导问题。以函数u(t, x, y, z)表示介质D在位置(x, y, z)及时
刻t的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无
穷小面积dS
的热量dQ与介质温度沿曲面dS
dSdt
+
t2 t1
F (t, x, y, z)dxdydzdt
Ω
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
于是，相应于(1.5)的热传导方程应改为
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
+ F (t, x, y, z).
.
(1.20)
对低维的热传导方程，我们可以类似地提出上述的Cauchy问题与初边值问题。 对扩散方程，我们有类似的讨论。这里不再重复。
习题
1. 一均匀细杆直径为L，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介 质发生热交换，并服从规律
dQ = γ(u − u1)dSdt.
又假设杆的密度为ρ，比热为ν，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
.
(1.6)
如果所考察的介质内部有热源(例如介质中通有电流，或有化学反应等)，则在热传 导方程(1.5)的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位时间内单位体积中所产生的
2
热量为F (t, x, y, z)，则此时热平衡方程为
t2 t1
S
k
∂u ∂n
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
+
∂ ∂z
γ
∂U ∂z
.
(1.12)
如果γ是常数，记γ = c2，则扩散方程(1.12)就化为与热传导方程(1.6)完全相同的形式。
1.2 定解条件 从热力学角度来看，如果知道了所考察介质在边界上的温度状况(或热量交换状 况)和介质在初始时刻的温度，就可以确定介质在以后各时刻的温度。这样热传导方 程最自然同时也最基本的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的 解。 自然地，初始条件的提法为
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
第四章 热传导方程
关于函数u = u(t, x1, x2, · · · , xn)的热传导方程具有下述形式
ut = k u
其中k是热传导系数，是一个正常数。当n = 1时，导热的绝缘导线中的温度分布满足此 方程；当n = 3时，导热介质中的温度满足上述方程。此外，在描述扩散过程时，也会 出现同类型的方程。本章我们将介绍这类最典型的抛物方程的一些基本概念、方法和 结果。在第一节中，我们以n = 3为例介绍热传导方程的导出以及相应的定解条件。在 第二节中我们介绍求解热传导方程的Cauchy 问题(也称初值问题)的Fourier变换法。在 第三节中我们介绍求解热传导方程的初边值问题的分离变量法。在第四节中我们着重 介绍热传导方程的极值原理以及定解问题解的唯一性和稳定性。在第五节中我们介绍 了热传导方程的Li-Yau Hanarck 不等式。该不等式在几何分析中具有重要作用。第六 节讨论了当时间t趋于无穷时热传导方程初边值问题及Cauchy问题解的渐近性态。
(1.14)
其中S 表示介质的边界，g(t, x, y, z)是定义在[0, T ] × S 上的已知函数，这里T 是一给定 的正数。这种边界条件称为热传导方程的:第::一:::类:::边::界:::条::件:::，又称:D::i:r:ic:h::l:e:t:边::界:::条::件:::。
第二类边界条件 我们再考察另一种情况：在介质的表面上知道的不是它的表面温度 而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过 的热量Q是已知的。根据Fourier定律
dQ
=
−k
∂u ∂n
dSdt
可知，这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的，即
∂u ∂n
(x,y,z)∈S
= g(t, x, y, z),
(1.15)
4
其中
∂u ∂n
表示u沿边界S
上的单位外法线方向n的方向导数，而g(t,
x,
y,
z)是定义在[0,
T
]×
S 上的已知函数。这种边界条件称为热传导方程的:第::二:::类:::边:::界::条:::件::，又称:N:e::u:m::a:n::n:边::
γu
+
k
∂u ∂n
=
γu1.
由于γ和k都是正数，因此这种边界条件可以写成
∂u ∂n
+
σu
= g(t, x, y, z),
(x,y,z)∈S
(1.17)
这里
∂u ∂n
表示u沿边界S
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上的单位外法线方向n的方向导数，而g(t,
x,
y,
z)是定义在[0,
T
]×
S 上的已知函数，σ为已知正数。这种边界条件称为热传导方程的第三类边界条件。 ::::::::::::::::::
6
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
∂u ∂t
法线方向的方向导数
∂u ∂n
成正比，即
dQ
=
−k(x,
y,
z)
∂u ∂n
dSdt,
(1.1)
其中k(x, y, z)称为介质在点(x, y, z)处的热传导系数，它取正值。(1.1)式中的负号是因
为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此，dQ应和
∂u ∂n
异号。
1
在介质D内任取一闭曲面S ，它所包围的区域记为Ω，由(1.1)式，从时刻t1到t2流进
用Green公式，可以把(1.3)式写成
t2 t1
=
交换积分顺序得到
∂ Ω ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
νρ
Ω
t2 t1
∂u ∂t
dt
dxdydz,
dxdydzdt
t2 t1
Ω
νρ
∂u ∂t
−
∂ ∂x
k
∂u ∂x
−
∂ ∂y
k
∂u ∂y
−
∂ ∂z
k
∂u ∂z
dxdydzdt = 0.
(1.7)
相应地，此时方程(1.6)为
∂u ∂t
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
+ f (t, x, y, z),
(1.8)
其中
f (t,
x,
y,
z)
=
F
(t, x, y, νρ
z).
(1.6)称为齐:::次::热:::传:::导::方:::程::，而(1.8)称为非:::齐::次:::热:::传::导:::方::程:::。
相同。
3
将(1.10)、(1.11)与(1.1)、(1.3)比较，发现其形式是非常类似的。在考察热传导方 程中引入的量Q、u、k分别相应于扩散过程中的量m、U 、γ，而出现在(1.3)式中的因 子νρ在扩散问题中相应于常数1。于是，扩散方程可写为
∂U ∂t
=
∂ ∂x
γ
∂U ∂x
+
∂ ∂y
γ
∂U ∂y
u(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z) (−∞ < x, y, z < ∞).
(1.18)
在此我们特别指出：与波动方程的情形不同，对于热传导方程的定解问题，初始条件 只能给出一个。
5
在适当的情况下，热传导方程中描述空间坐标的变量的数目还可以减少。例如当物
体是均匀细杆时，假设它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假设温度的分
Ω
其中ν为介质的比热，ρ为密度。因此就成立
t2 t1
S
k
∂u ∂n
dSdt
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
(1.3)
假 设 函 数u关 于 变 量x, y, z具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 关 于t具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 利
此曲面的全部热量为
t2
Q=
t1
S
k(x,
y,
z)
∂u ∂n
dS
dt,
(1.2)
其中
∂u ∂n
表示u沿S
上单位外法线方向n的方向导数。
流入的热量使介质内部温度发生变化，在时间间隔(t1, t2)中介质温度从u(t1, x, y, z)变
化到u(t2, x, y, z)，它所应该吸收的热量是
ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz,
2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
3. 混凝土内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储
藏的水化热成正比。以Q(t)表示它在单位体积中所储的热量，Q0为初始时刻所储的热
量，则
dQ dt
=
−βQ，其中β为正常数。又假设混凝土的比热为ν，密度为ρ，热传导系数
为k，求它在浇筑后温度u满足的方程。
γ
∂U ∂n
dSdt
=
[U (t2, x, y, z) − U (t1, x, y, z)]dxdydz,
Ω
(1.11)
其中U 表示扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面
积dS的扩散物质的质量，式中γ(x, y, z)为扩散系数，其它符号与(1.1)、(1.3)中的含义 :::::::::::
u(0, x, y, z) = ϕ(x, y, z),
(1.13)
其中ϕ(x, y, z)为已知函数，表示介质在t = 0时刻的温度分布。
下面我们考察边界条件的提法。
类似于第三章第三节，我们分三种情况进行讨论：
第一类边界条件 最简单的情形为介质的表面的温度是已知的，这种条件的数学表达
式为
u(t, x, y, z)|(x,y,z)∈S = g(t, x, y, z),
和波动方程相比，这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来，但是数学
上的形式却完全一样。
如果所考察的介质体积很大，而所需知道的只是在较短时间和较小范围内的温度变
化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时可以把所考察的介质视为充满整个空
间，而定解问题就变成:C::a:u:c:h::y:问:::题::，此时的初始条件为