中考试题中的数学文化第六章 圆
深圳中考数学复习 第6章 第1讲 圆的有关概念与性质
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第六章
圆
方法总结：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
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第六章
圆
2．(2015·深圳，9 题，3 分)如图，AB 为⊙O 的直径，已知∠DCB
＝20°，则∠DBA 的度数为( D )
A．50° B．20° C．60° D．70°
(C)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
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第六章
圆
思路分析：如图，连接 OA， ∵⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB⊥CD， ∴OA＝5 cm，AM＝BM， ∴AM＝ OA2－OM2＝ 52－32＝4(cm)， ∴AB＝2AM＝8 cm. 答案：C．
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第六章
圆
一些油后，当油面宽变为 8 分米，油面 AB 上升( D )
A．1 分米 C．3 分米
B．4 分米 D．1 分米或 7 分米
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第六章
圆
7．(2020·兴文县模拟)如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，
利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找
到圆心，最少使用次数为( B )
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第六章
圆
正确解答：平行四边形的对边相等，所以 A 选项正确； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以 B 选 项错误；去分母得 1＝x－1－2(x－2)，解得 x＝2，经检验原方程 无解，所以 C 选项错误；三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，所以 D 选项错误．故选 A．
中考
第9题
第9题
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第六章
圆
1．(2020·深圳)以下说法正确的是( A )
2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节 圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节 圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节 圆的基本性质
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论 一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、 弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°， 则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB， 在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.
安徽省2023中考数学第6章圆课件
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑪
.
常见 图形
结论
∠ACB=⑫
1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角⑬
,相等的
圆
周角所对的弧也相等.
推论
2.半圆或直径所对的圆周角是⑭
;90°的圆周角所对的弦
考点4 圆周角定理及其推论
方法指导
根据圆周角定理的推论,涉及直径时,可构造直径所对的圆周角是直角来 进行证明或计算.
考点5 圆内接四边形的概念和定理
一个四边形的四个顶点都在同
一个圆上,这个四边形叫做圆 概念
的内接四边形,这个圆叫做这
个四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角⑯
∠A+∠BCD=⑱
,
定理 ,且任何一个外角都等于它的 ∠B+∠D=⑲
,
⑰
.
∠DCE=⑳
方法帮
命题角度1 圆周角定理及其推论
例1 [2021 湖北宜昌]如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点.若∠ABC=25°,则
2.圆的有关概念
同心圆 圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆.
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.
圆的任意一条① 半圆 圆.
的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示.大于半圆
弧 的弧叫做②
,如 ;小于半圆的弧叫做③
,如 .
考点1 与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
例1 如图,在▱ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,
将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN,连接PC,则PC长度的最小值是
中考数学总复习 第六章 圆 第29课 圆的基本性质课件
圆重合．
(3)垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__这__条__弦__ ，并且_平__分__弦__所__对__的__弧___ ．
推 论 ： ① 平 分 弦 ( 不 是 直 径 ) 的 直 径 ____垂__直__于__弦
，并且
__平__分__弦__所__对__的__两__条__弧 ；②弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且平分弦所
对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
的另一条弧．
(4)在同圆或等圆中，如果__两__个__圆__心__角_ 、__两__条__弧_ 、 两条弦 、 ___两__条__弦__的__弦__心__距__ 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等．
(5)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的_圆__心__角__ 的一半．
第六章 圆
第 29 课 圆的基本性质
知识梳理
知识回顾 1．主要概念 (1)圆：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一 个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做___圆_ ．固定的端点叫___圆__心 ，线段 OA 叫做__半__径_ ． (2)弧和弦：圆上任意两点之间的部分叫做__圆_弧__ ，连结圆上任意两点 的线段叫做___弦_ ，经过圆心的弦叫做__直__径_ ，直径是最长的 弦 ． (3)圆心角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫___圆__心__角 ． (4)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做___圆__周__角 ．
3．半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是( C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
4．如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论一定错误的是( B )
2024年中考数学复习(全国版)第六章 圆(测试)(解析版)
在 Rt △ 푂� 中，∵ ∠푂 � = 90°，
∴ 푂�2 = � 2 + 푂 2，
∴ �2 = 122 + (� − 8)2，
∴ � = 13，
即⊙ 푂的半径푂�为 13cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙ 푂的半径푂�为�cm，列出关于�的方程是解题的关
键． 5．【创新题】如图，� 是⊙ 푂的直径，弦 则下列结论一定成立的是（ ）
��，
故选 A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
7．【创新题】如图，△ � 的内切圆⊙ �与 ， �，� 分别相切于点 D，E，F，若⊙ �的半径为 r，∠� = �，
在�푡훥 푂中，푂 = ，∠�푂 = ∠�
D．�△ 푂 =
∴tan�= 푂
∴푂 = tan� = 2tan�，故选项 A 错误，不符合题意；
又 sin� = 푂
∴ = 푂 ·sin�
∴ = 2 = 2 ·sin�，故选项 B 正确，符合题意；
又
cos�
=
푂 푂
∴푂 = 푂 ·cos� = ·cos�
径定理和锐角三角函数的定义．
6．已知△ � 的周长为�，其内切圆的面积为��2，则△ � 的面积为（ ）
A．12 ��
B．12 ���
C．��
D．���
【答案】A
【分析】由题意可得�△�푂
=
1 2
�
×푂
=
1 2
�
× �，�△ 푂
=
1 2
× �，�△�푂
=
1 2
�
× �，由面
积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆푂与△ � 相切于点 ，点 ，点�，连接푂�，푂 ，푂 ，푂 ，푂�，푂 ，
河南省中考数学总复习 第六章 圆作业帮-人教版初中九年级全册数学试题
第一节圆的基本性质考点1 圆周角定理及其推论1.[2018某某聊城]如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°(第1题) (第2题)2.[2018某某]如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为( )A.15°B.35°C.25°D.45°3.[2017某某某某]如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD4.(9分)[2018某某某某中考改编]如图,在△ABC中,AB=AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E.延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求cos∠BAD的值.考点2 圆内接四边形的性质5.[2018某某某某]如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°(第5题) (第6题)6.[2017某某某某]如图,已知☉O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则☉O的半径长为( )A. B.C. D.7.[2018某某某某]如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.(第7题) (第8题)8.[2017某某永州]如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=°.9.(9分)[2018某某某某]如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.1.[2018某某一模]如图,已知AB是☉O的直径,BC是弦,∠ABC=40°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB为( )A.20°B.25°C.30°D.35°2.[2018某某地区模拟]如图,在☉O中,∠AOB的度数为160°,C是优弧AB上一点,D,E是上不同的两点(不与点A,B重合),则∠D+∠E的度数为( )A.160°B.140°C.100°D.80°(第2题) (第3题)3.[2017某某地区模拟]如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°4.[2018某某某某一模]如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,把半圆沿弦AC折叠,恰好经过点O,则与的关系是( )A.=B.=C.=(第4题) (第5题)5.[2018某某三模]如图,以△ABC的边BC为直径的☉O交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若∠DOE=40°,则∠A的度数为.6.(9分)[2018某某瑶海区一模]如图,在半径为4的☉O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交☉O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.(1)求证:AM·MB=EM·MC;(2)求EM的长.7.(9分)[2017某某一模]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC,BC于点D,E.连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)填空:①若AB=6,CD=4,则BC=;②连接OD,当∠A=°时,四边形ODEB是菱形.8.(9分)[2018某某二模改编]如图,在△ABC中,AB=10,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC 边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O,☉O交边AB,AC于点E,F,连接OE,OF,DE,DF,EF.(1)求的值;(2)当∠BAD=°时,四边形OEDF正好是菱形,请说明理由;(3)点D运动过程中,线段EF的最小值为(直接写出结果).第二节与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系1.[2017某某枣庄]如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),若以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值X围为( )<r< B.<r<3C.<r<5D.5<r<2.[2018某某某某]如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( )A.3B.4(第2题) (第3题)3.[2016某某中考改编]如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.考点2 直线与圆的位置关系4.[2018某某湘西州中考改编]已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为6 cm,则直线l与☉O的位置关系为( )5.[2018某某某某]已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),则m的取值X围为.6.(9分)[2018某某仙桃]如图,在☉O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO 于点D,交AC于点E,交☉O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.(1)判断CM与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.考点3 切线的性质7.[2018某某某某]如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )A.3B.3(第7题) (第8题)8.[2017某某某某]如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )A.20°B.35°C.40°D.55°9.[2018某某某某]如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=.(第9题) (第10题)10.[2018某某某某]如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM的长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为. 11.(9分)[2018]如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC.若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.12.(9分)[2018某某随州]如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,为☉O的切线,连接AC,BC,过点O作OM⊥AB,分别交AC,于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.考点4 切线的判定13.(9分)[2018某某某某]如图,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=2,∠BCD=120°,A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.14.(9分)[2018某某]如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心、OC的长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的长.考点5 三角形的内切圆和外接圆15.[2017某某某某]如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )16.[2017某某某某]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( )A.B. C.17.[2018某某]如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将∠ACB平移,使其顶点与点I 重合,则图中阴影部分的周长为( )A.4.518.[2018某某某某]如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.(第18题) (第19题)19.[2017某某某某]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为.20.(9分)[2018某某某某]如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.21.(9分)[2018某某某某]结果如此巧合!下框中是小颖对一道题目的解答.题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得x2+7x=12,所以S△ABC=AC·BC=(x+3)(x+4)=(x2+7x+12)=×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.考点6 正多边形和圆22.[2017某某达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A.B.C.D.23.[2018某某株洲]如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM=.24.[2018某某某某]X徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设☉O的半径为1,若用☉O 的外切正六边形的面积S来近似估计☉O的面积,则S=.(结果保留根号)1.[2018某某外国语模拟改编]如图,☉O是△ABC的外接圆,弦AC的长为2,sin B=,则☉O 的直径为( )A.4B.3(第1题) (第2题)2.[2018某某地区模拟]如图,☉O的半径为2,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为( )B.3 D.3.[2018某某某某姜堰区二模改编]如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,点P是优弧AE上一点,则∠APE=°.4.(9分)[2018某某二模]如图,AB为☉O的直径,CD切☉O于点D,AC⊥CD于点C,交☉O于点E,连接AD,BD,ED.(1)求证:BD=ED;(2)若CE=3,CD=4,求AB的长.5.(9分)[2018某某二模]如图,AB是☉O的直径,且AB=6,点M为☉O外一点,且MA,MC分别切☉O于点A,C.点D是直线BC与AM延长线的交点.(1)求证:DM=AM;(2)填空:①当CM=时,四边形AOCM是正方形;②当CM=时,△CDM为等边三角形.6.(9分)[2018某某二模]如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP的中点,连接AM并延长,交PC于点C,连接OC,BC,AP.(1)求证:四边形OBCP是平行四边形;(2)填空:①当∠BOP=°时,四边形AOCP是菱形;②连接BP,当∠ABP=°时,PC是☉O的切线.第三节与圆有关的计算考点1 弧长的计算1.[2017某某某某]如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为( )A.πB.(第1题) (第2题)2.[2017某某某某]如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则的长为( )A.πB.πC.πD.π3.[2018某某某某A]如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是.(结果保留π)(第3题) (第4题)4.[2018某某潍坊]如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线,交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心、OB1的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线,交直线l于点B2,以原点O为圆心、OB2的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A3……按此作法进行下去,则的长是.5.(9分)[2018某某荆州]问题:已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,求α+β的度数. 探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数.延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求的长度.考点2 扇形面积的计算6.[2018某某某某]一个扇形的圆心角为135°,弧长为3π cm,则此扇形的面积是cm2.7.[2017某某日照]如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心、BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则图中扇形的面积是.考点3 阴影部分面积的计算8.[2018某某]如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( )9.[2017某某莱芜]如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过部分的面积为( )A. B.(2-)πC.10.[2017某某某某]如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为.(第10题) (第11题)11.[2017某某某某]已知:如图,△ABC内接于☉O,且半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,且∠A=∠BCD=30°,AC=2,则阴影部分的面积为.12.[2018某某某某]如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC 绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',使得点O'的坐标是(1,),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为.1.[2018某某一模]如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形OCED的顶点C,D分别在半径OA,OB上,顶点E在上,以点O为圆心、OC的长为半径作.若OA=2,则阴影部分的面积为( )A.πB.C.(第1题) (第2题)2.[2018某某二模]如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)的面积为( ) A.-C.-D.3.[2017某某二模改编]如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合,则圆心O运动路径的长度等于.4.[2017某某二模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为.(第4题) (第5题)5.[2017某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,半径OA=3,OC=AC,OD=BD,F是弧AB 的中点.将△OCD沿CD折叠,点O落在点E处,则图中阴影部分的面积为.6.[2017潍坊二模改编]如图所示的图形是由若干条圆心相同的圆弧组成,其圆心角为90°,最小的扇形半径为1.若每两个相邻圆弧的半径之差为1,由里往外的阴影部分的面积依次记为S1,S2,S3,…,S20,则S1+S2+S3+…+S20=.(第6题) (第7题)7.[2018某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D 是OA的中点,则图中阴影部分的面积为cm2.8.[2018某某宛城区二模]如图,AC是半圆O的一条弦,将弧AC沿AC折叠后恰好过圆心O,☉O 的半径为2,则图中阴影部分的面积为.(第8题) (第9题)9.[2018某某三模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D为边AB的中点.以点B为圆心、BD的长为半径作弧,交BC于点E;以点C为圆心、CD的长为半径作弧,交AC于点F,则图中阴影部分的面积为.10.[2018某某二模]运用图形变化的方法研究下列问题:如图,EF是☉O的直径,CD,AB是☉O 的弦,且AB∥CD∥EF,EF=20,CD=16,AB=12.则图中阴影部分的面积是.(第10题) (第11题)11.[2017某某地区模拟]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,连接AD,则图中阴影部分面积是.参考答案第一节圆的基本性质AC,∴∠ABC=∠BCA=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°,∴∠BDC=∠BAC=50°.∵CD∥AB,∴∠ABD=∠BDC=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故选A.3.D ∵2OB=AB≠AD,故选项A错误;由垂径定理可知,点E是CD的中点,由圆周角定理及其推论可知,∠COB=2∠BAD=40°,∴∠OCE=50°,∴CE≠EO,故选项B,C错误,选项D正确.∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴CE=BE.又∵EF=AE,∴四边形ABFC是菱形.(3分)(2)设CD=x,则AB=AC=7+x.连接BD,∵AB为半圆的直径,∴∠ADB=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,即(7+x)2-72=42-x2,解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)∴AB=7+x=7+1=8,∴cos∠BAD==.(9分)5.B∵∠BOC=40°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-40°)=70°,∴∠D=180°-∠OBC=110°.故选B.6.D 如图,作直径BM,连接DM,BD,则∠BDM=90°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°,∴∠M=60°.又AB=AD=2,∴BD=2 .在Rt△BDM中,sin M===,∴BM=,∴OB=BM=,故☉O的半径长为.故选D.如图,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD.∵∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=2∠ADB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.8.100 连接AE.∵点D是的中点,∴∠AED=∠CED=40°,∴∠AEC=80°.∵四边形ADCE是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.9.如图,连接BD,分别延长AD,BC交于点E.(1分)∵∠A=90°,∴BD是☉O的直径,∴∠ECD=∠BCD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=∠ABC,(3分)∴cos∠EDC=cos∠ABC=,∴=,即=,解得ED=.(4分)在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC==.(6分)易得△ECD∽△EAB,∴=,即=,解得EA=,∴AD=EA-ED=-=6.(9分)模拟提升练设OD交BC于点E.∵OD⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠ABC=40°,∴∠BOD=50°,∴∠DCB=∠BOD=25°.故选B. 如图,连接OC.∵∠AOB=160°,∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=200°.∵∠D=∠AOC,∠E=∠BOC,∴∠D+∠E=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=100°.故选C.3.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.∵=,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故选B.4.A 如图,连接OC,BC,过O作OE⊥AC于点D,交半圆O于点E.由折叠可知OD=OE.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴OD∥BC.∵OA=OB,∴OD=BC,∴BC=OE=OB=OC,∴∠COB=60°,∴∠AOC=12 0°,∴=.故选A.5.70°连接BE.∵∠DOE=40°,∴∠ABE=∠DOE=20°.∵BC为☉O的直径,∴∠BEA=∠BEC=90°,∴∠A=90°-∠ABE=90°-20°=70°.6.(1)证明:连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.又∵∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB,∴=,即AM·MB=EM·MC.(4分)(2)∵DC为☉O的直径,且DC=4×2=8,∴∠DEC=90°,EC===7.∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.设EM=x,则CM=7-x.由(1)知AM·MB=EM·MC,得6×2=x(7-x). 解得x1=3,x2=4.∵EM>MC,∴EM=4.(9分)7.(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(3分)(2)①4(7分)②60(9分)解法提示:①连接AE,∵AB为☉O的直径, ∴AE⊥BC,又∵AB=AC,∴BE=EC.∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴=,即=,∴BC=4.②∵四边形ODEB是菱形,∴OB=BE=OD=ED=OE,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴∠BOD=120°,∴∠A=60°.8.(1)∵∠BAC=60°,∴∠EOF=120°.过点O作OH⊥EF于点H,则EH=FH.设OE=x,则OF=x,FH=EH=x,∴EF=x,∴=.(3分)(2)30(4分)理由:∵四边形OEDF是菱形,∴OE=ED=DF=FO.又∵OE=OD=OF,∴OE=ED=DF=FO=OD,∴∠OED=∠EOD=∠DOF=∠DFO=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠DEA=∠DFA=90°,∴∠AEO=∠OFA=30°,又∵OE=OA=OF,∴∠EAO=∠OAF=30°.(7分)(3)5(9分)解法提示:由(1)可知EF=OE=AD,故当AD最短,即AD⊥BC时,EF有最小值.∵AB=10,∠B=45°,AD⊥BC,∴AD=10÷=10,∴EF的最小值为10×=5.第二节与圆有关的位置关系真题分点练1.B 给各点标上字母,如图所示,则AB==2,AC=AD==,AE==3,AF==,AG=AM=AN==5,∴当<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.2.C 连接OP.∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵点A,B关于原点O对称,∴AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则OP需取得最小值.连接OM,交☉M于点P',当点P与P'重合时,OP取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB的最小值为2OP'=6,故选C.3.2∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠A PB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上.设AB的中点为O,连接OC,交☉O于点P,此时PC最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=5,∴PC=OC-OP=5-3=2,即PC的最小值为2.4.C ∵6>5,∴直线和圆相离.故选C.5.0<m<把点(12,-5)代入直线y=kx,得-5=12k,∴k=-.直线y=-x向上平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=-x+m(m>0),设直线l与x轴,y轴分别交于点A,B,则A(m,0),B(0,m),即OA=m,OB=m.在Rt△OAB中,AB===m,过点O作OD⊥AB于点D,∵S△ABO=OD·AB=OA·OB,∴OD·m=×m2,解得OD=m.由直线l与☉O相交可知m<6,解得m<,即m的取值X围为0<m<.6.(1)CM与☉O相切.(1分)理由如下:如图,连接OC.∵OC=OA,∴∠A=∠1.∵GD⊥OA,∴∠A+∠2=∠A+∠3=∠1+∠3=90°. (2分) ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠GCE=90°.∵M是GE的中点,∴MG=ME=MC,(3分)∴∠3=∠MCE,∴∠1+∠MCE=90°,∴OC⊥MC,∴CM与☉O相切.(4分)(2)如图,∵∠GCE=90°,∴∠G+∠3=90°.又∵∠A+∠3=90°,∴∠A=∠G.(5分)∵MG=MC,∴∠4=∠G+∠MCG=2∠G.∵∠5=2∠A,∴∠4=∠5,∴∠3=∠MCE=∠EFC,△ECF∽△EMC,∴CE=CF,=.(6分)∵EM=CM=6,EC=CF=4,∴EF===,∴MF=EM-EF=6-=.(9分)7.A 连接OA,根据切线的性质可得,OA⊥AP,∵∠P=30°,∴OP=2OA.又∵OA=OB=3,∴OP=6,∴BP=OP-OB=3.故选A.8.A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ACB=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°,∠BAC=90°-∠ABC=35°.由题易得∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠AC D=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.9.44°连接OB.∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°.∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°.∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°.∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=18 0°-68°-68°=44°.∵AB=8,点M是AB的中点,∴BM=4.当☉P与CD相切于点C时,如图(1),设PM=PC=r,则BP=8-r.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BM2+BP2=PM2,即42+(8-r)2=r2,解得r=5,∴BP=8-5=3;当☉P与AD相切于点E时,如图(2),连接PE,则PE⊥AD,∴PE=CD=8,∴PM=8.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BP===4 .综上可知,BP=3或4.图(1) 图(2)11.(1)证明:如图,连接OC,OD.∵PC,PD为☉O的两条切线,∴PC=PD.又∵OC=OD,∴OP垂直平分CD,即OP⊥CD.(4分)(2)如图,∵OD=OA,∠DAB=50°,∴∠ADO=∠DAB=50°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠CBA=70°,∴∠ADC=180°-∠CBA=110°,∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°.∵OP⊥CD,∴∠ODC+∠DOP=90°,∴∠POD=30°.∵PD为☉O的切线,OD为半径,∴∠ODP=90°.∵OA=2,∴OD=OA=2.在Rt△ODP中,OP===.(9分)12.(1)证明:连接OC.∵为☉O的切线,∴OC⊥CM,∴∠OCA+∠ACM=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC.(3分)(2)依题意可知AB=5×2=10.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴=,即=,得OD=.(6分)设MC=MD=x,则OM=x+,在Rt△OCM中,由勾股定理得(x+)2=x2+52,解得x=,即MC=.(9分)13.(1)如图,连接DE.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°.∵B,C,D,E四点共圆,∴∠BCD+∠BED=180°,∴∠BED=60°,∴BD=BE·sin 60°=2×=3.(4分)(2)证明:如图,连接AE.∵BE为☉O的直径,∴BA⊥AE.∵点A为的中点,∴BA=AE.(6分)又∵AB=AP,∴AB=AE=AP,∴△BEP为直角三角形,∴PE⊥EB,∴直线PE是☉O的切线.(9分)14.(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,则∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.在△OEB和△OCB中,∴△OEB≌△OCB,∴OE=OC,∴AB为☉O的切线.(4分)(2)∵BC=6,tan∠ABC=,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8,∴AB===10.∵AB与BC均为☉O的切线,∴BE=BC=6,∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,在Rt△AEO中,AO2=AE2+OE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴OB===3.∵S△BOA=AB·OE=BO·AD,∴AB·OE=BO·AD,∴AD===2.(9分)15.B ∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC三条角平分线的交点.故选B.16.C 如图,BC=5,AB=7,AC=8,设内切圆的半径为R.过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,所以AD==4.由面积公式可知,S△ABC=BC·AD=(AB+BC+AC)·R,即×5×4=×(7+5+8)R,解得R=.故选C.17.B 如图,连接AI,BI.∵点I是△ABC的内心,∴∠CAI=∠IAD.根据平移的性质,可知DI∥AC,∴∠AID=∠CAI,∴∠AID=∠IAD,∴ID=AD.同理可得IE=BE,故阴影部分的周长为ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故选B.18.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是如图所示的△ABC的外接圆☉O.连接OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120°.过点O作OD⊥BC于点D,则∠BOD=∠BOC=60°.由垂径定理得BD=BC=cm,∴OB==(cm),故能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4) ∵点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),∴PA=PB==.∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,∴PC=PA=PB==,则点C的坐标为 (7,4),(6,5)或(1,4).20.(1)证明:由折叠可得△ADE≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC.∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(3分)(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H.∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB=∠ADB.又cos∠ADB=,∴cos∠ABE=,∴=,∴AC=AB=3.∵∠BAC=90°,AC=AB,∴BC=3.(9分)21.设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,由题易得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以S△ABC=AC·BC=(x+m)(x+n)=[x2+(m+n)x+mn]=(mn+mn)=mn.(3分)(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根据勾股定理的逆定理,可得∠C=90°.(6分)(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为点G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m), 所以BG=BC-CG=x+n-(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得AG2+BG2=AB2,即[(x+m)]2+[x+n-(x+m)]2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=BC·AG=(x+n)·(x+m)=[x2+(m+n)x+mn]=(3mn+mn)=mn.(9分)22.A 如图(1),∵☉O的半径OC=2,∴边心距OD=2×sin 30°=1;如图(2),∵☉O的半径OB=2,∴边心距OE=2×sin 45°=;如图(3),∵☉O的半径OA=2,∴边心距OD=2×cos 30°=,则该三角形的三边长分别为1,,.∵12+()2=()2,∴该三角形是直角三角形,其面积为×1×=.故选A.图(1) 图(2) 图(3)23.48°连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB==72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM==120°,∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.如图,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形.∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6×××1=2.模拟提升练1.B 如图,作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B,∴sin D=sin B=,在Rt△ADC中,AC=2,∴AD==3,∴☉O的直径为3.故选B.2.C ∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BAC+∠BOC=180°.∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOC=120°.如图,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,则BD=CD,∠DOC=∠BOC=60°,∴DC=OC·sin60°=2×=,∴BC=2DC=2,故选C.3.30 如图,连接AC,EC.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°,AB=BC=CD=DE,∴∠BAC=∠BCA=(1 80°-∠B)=30°,同理∠CED=30°,∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=120°-30°=90°,同理∠CEF=90°.在四边形ACEF中,∠ACE=360°-90°-90°-120°=60°,∴∠APE=∠ACE=30°.4.(1)证明:如图,连接OD,OE.∵CD切☉O于点D,∴OD⊥CD.又∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD.又∵∠EAO=∠AEO,∴∠DOB=∠EOD,∴BD=ED.(4分)(2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.又∵CE=3,CD=4,∴ED=5.∵BD=ED,∴BD=5.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ACD=∠ADB.∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠CED=∠B,∴△CDE∽△DAB,∴=,即=,解得AB=.(9分)5.(1)证明:如图,连接OM.(1分)∵MA,MC分别切☉O于点A,C,∴MA⊥OA,MC⊥OC.在Rt△MAO和Rt△MCO中,∴Rt△MAO≌Rt△MCO,∴MC=MA.(3分)∵OC=OB,∴∠2=∠B,又∵∠1+∠2=90°,∠D+∠B=90°,∴∠1=∠D,∴DM=MC,∴DM=AM. (5分)(2)①3(7分)②(9分)解法提示:①由四边形AOCM是正方形,可知CM=OA=AB=×6=3.②由△CDM为等边三角形,可知∠CMD=60°.由(1)得,Rt△MAO≌Rt△MCO,∴∠CMO=∠AMO=(180°-∠CMD)=60°,∴CM==.6.(1)证明:∵点M是OP的中点,∴OM=PM.∵PC∥AB,∴∠AOM=∠CPM.在△AOM和△CPM中,∴△AOM≌△CPM,(3分)∴PC=OA.∵OA=OB,∴PC=OB.又∵PC∥OB,∴四边形OBCP是平行四边形.(5分)(2)①120(7分)②45(9分)解法提示:①∵四边形AOCP是菱形,∴AO=AP,又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形,∴∠AOP=60°,∴∠BOP=120°.②∵PC∥OB,∴∠CPB=∠OBP,又∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠OPB=∠BPC.∵PC是☉O的切线,∴∠OPC=90°,∴∠ABP=∠OPB=∠OPC=×90°=45°.第三节与圆有关的计算真题分点练1.C ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BCD+∠A=180°.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴2∠A+∠A=180°,∴∠A=60°,∴∠BOD=120°,∴的长为=2π.故选C.2.B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×7 0°=40°,∴的长为=π.故选B.3.π∵∠C=55°,∴∠AOB=2∠C=110°, ∴劣弧AB的长为=π.4.根据题意可得OA1=2,A1B1=2,∴tan∠A1OB1=,∴∠A1OB1=60°,OB1=4,∴OA2=OB1=4=22,∴OB2=8,∴OA3=OB2=8=23.依此规律,可得OA2 019=22 019,∴的长是=.5.(1)连接MH,MA,则tan∠PHM==tan α,∴∠PHM=α.易得AM=MH=,AH=,∵AM2+MH2=AH2,∴△AMH是等腰直角三角形,∴∠AHM=45°,∴α+β=∠PHM+∠PHA=∠AHM=45°. (4分)(2)设MH交QN于点O,连接MR,RO,则点O是M,P,H三点所在圆的圆心,MH为☉O的直径,∴∠MRH=90°.∵∠AHM=45°,∴△MRH是等腰直角三角形,∴∠RMO=45°,RO⊥MH,∴的长度=×π=.(9分)6.6π设扇形的半径为r cm,则=3π,解得r=4,所以扇形的面积为×3π×4=6π(cm2).7.6π∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD.∵BE=AB=CD=6,∴AB=BE=AE,∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60°,∴S扇形ABE==6π.8.A 由圆及正方形的对称性可知,阴影部分的面积为扇形EAF的面积减去△ABD的面积,即S2-×2×4=4π-4.故选A.阴影=S扇形EAF-S△ABD=×π×49.D 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2,AB=4.由旋转可知,S△ABC=S△ADE,∠DAE=∠CAB=30°,AE=AC=2,AD=AB=4,∠CAE=∠DAB=90°,∴S阴影部分=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=S扇形BAD-S扇形CAE=-=π.故选D.10.π-2如图,连接CE.∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,由旋转可知CE=BC=4,∴CE=2CD,∴∠DEC=30°,∴∠DCE=60°,由勾股定理得DE=2,∴S阴影部分=S扇形ECB'-S△CDE=-×2×2=π-2.-π∵OC⊥AB,∠A=∠BCD=30°,∴∠O=60°,=,∴BC=AC=2,△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,∴CD=OC=2,∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2-π.12.如图,过点O'作O'M⊥OA于点M,则∠O'MA=90°,∵点O'的坐标是(1,),∴O'M=,OM=1,∵AO=2,∴AM=2-1=1,∴tan∠O'AM==,∴∠O'AM=60°,∴∠CAC'=∠OAO'=60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',∴S△OAC=S△O'AC',∴S阴影部分=S扇形OAO'+S△O'AC'-S△OAC-S扇形CAC'=S扇形OAO'-S扇形CAC'=-=.模拟提升练1.D 连接OE,由题分析可知,S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD.∵四边形OCED是正方形,∴∠BOE =45°,S扇形BOE===.在Rt△OCE中,CE=OC==,∴S△OCE=OC·CE=1.又∵S扇形COD==,∴S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD=+1-=1,故选D.2.A 如图,连接BD,BD',在Rt△A'BC中,A'B=AB=,BC=1,由勾股定理得A'C=1,∴BC=A'C,∴∠A'BC=45°,∴∠ABA'=45°, ∠DBD'=45°.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=,∴S阴影=S梯形ABA'D-S扇形ABA'+S扇形DBD'-S△A'BD-S△A'BD'=(-1+)×1-+-(-1)×1-××1=--+-+=.故选A.3.5π如图,由题意可知,圆心O的运动路径为线段OO1和,即圆心O运动路径的长度为×2π×5+×2π×5=5π.由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=AC=4,∴S阴影部分=××4×4=4.5.如图,连接OF,过点C作CH⊥OF于点H.∵OA=OB=OF=3,OC=AC,OD=BD,∴OC=,OD=1.∵F是弧AB的中点,∠COH=45°,∴CH=OH=,∴S阴影=S扇形FOB+S△COF-2S△COD=+×3×-2×××1=.6.195π由题可知,S1=π·12=π;S2=π·(32-22)=π+π;S3=π·(52-42)=π+2π;…;S20=π+19π;∴S1 +S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.7.如图,连接OC,过点C作CE⊥OA于点E.∵∠AOB=90°,C为弧AB的中点,∴∠COE=45°,∴CE=OC×sin∠COE=,∴S阴影部分=S扇形AOB-S△BOD-(S扇形AOC-S△COD)=-×1×2-+×1×=.8.如图,过点O作OE⊥AC,分别交AC,半圆于点D,E,连接OC,BC,∵OD=DE=OE=OA,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=60°.∵OB=OC=2,∴△OBC是等边三角形,∴OC=BC,∴弓形OC的面积=弓形BC的面积,∴S阴影=S△OBC=×2×=.9.16 ∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,∴∠B=∠A=45°,AB=8,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD=CD=4,S△BCD=S△ABC,∴S阴影部分=S△BCD-S扇形DBE+S扇形DCF=-+=16.10.50π如图,连接AO,BO,CO,DO.∵AB∥CD∥EF,∴S△ABE=S△AOB,S△CDF=S△COD,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形COD.连接AO并延长,交☉O于点G,连接BG,则∠ABG=90°,∴BG===16,∴BG=CD,即∠COD=∠BOG,∴S扇形COD=S扇形BOG,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形BOG=S半圆=×π×()2=50π.11.8-π如图,过点D作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==.由旋转的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=,△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影部分=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π.。
江西2019版中考数学总复习第六章圆第22讲圆的相关概念及性质课件
教材同步复习
第六章 圆
第22讲 圆的相关概念及性质
知识要 点 · 归纳
知识点一 圆的有关概念及性质
• 1．圆的有关概念
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个 圆 定义 1 端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 所形成的 图形叫做圆．固定的端点 O 叫做①
圆心 半径 ________ ，线段 OA 叫做②________ 等于 定义 2 圆是到定点的距离③________ 定长的所有点组成的图形
2
弦定义 弦 直径 弧定义 劣弧 弧 优弧 等弧
线段 连接圆上任意两点的④________ 叫做弦 圆心 经过⑤________ 的弦叫做直径；直径是圆内最⑥
长 半径 ________ 的弦，直径等于⑦________ 的2倍
圆上任意两点间的部分叫做弧．弧有 优弧、半圆、劣弧之分 小于半圆的弧叫劣弧，如AC ，BC ︵ ︵ 大于半圆的弧叫优弧， 如ABC ， ACB 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 叫做等弧
• 8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 （B ） • A ．6 B ．5 • C．4 D．3
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江西5年真题 · 精 选
命题点1 圆周角定理及其推论
• 1．（2015·江西10题3分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB 110° 于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为________.
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重难点2
圆周角定理及其推论
重点
例2
（2018· 黑龙江）如图，AC 为⊙O 的直径，点 B 在圆上，OD⊥AC 交⊙O
于点 D，连接 BD，∠BDO＝15° . （1）求∠ACB 的度数；
29
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第六章圆
第一节圆的基本性质
中考试题中的数学文化
一、《九章算术》——圆材埋壁
1.(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．
第1题图
二、《农政全书》——筒车
2.(2019安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上
方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)
第2题图
参考答案
中考试题中的数学文化
1. 26 【解析】如解图，作DE ⊥AB 于点H ，连接OA ，由题意可得DH ＝1寸，AB ＝1尺＝10寸，∴
AH ＝BH ＝12
AB ＝5寸．设OH ＝x 寸，∴OD ＝OA ＝(x ＋1)寸，∴(x ＋1)2＝x 2＋52，解得x ＝12，∴OA ＝OD ＝13 寸，∴DE ＝2OD ＝26 寸，即圆材的直径为26寸．
第1题解图
2. 解：如解图，连接CO 并延长，交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，
∴D 为AB 的中点，所求运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离即为线段CD 的长．
在Rt △AOD 中，∵AD ＝12
AB ＝3，∠OAD ＝41.3°， ∴OD ＝AD ·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64，OA ＝AD cos 41.3°≈30.75
＝4， ∴CD ＝CO ＋OD ＝AO ＋OD ＝4＋2.64＝6.64(米)．
答：运行轨道的最高点C 到弦AB 所在直线的距离约为6.64米．
第2题解图。