第十一章 无穷级数(习题及解答)
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第十一章 无穷级数
§11.1 级数的概念、性质
一、单项选择题
1. 若级数
1
n n a
q ∞
=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)
1q <； (D)
1q >． 答(D)．
2. 下列结论正确的是( )．
(A)若lim 0n n u →∞=，则1
n n u ∞
=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1
n n u ∞
=∑收敛；
(C)若1
n n u ∞
=∑收敛，则lim 0n n u →∞
=；(D)若1
n n u ∞
=∑发散，则lim 0n n u →∞
≠. 答(C)．
3. 若级数1
n n u ∞=∑与1
n n v ∞
=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．
(A)121
()n
n n u v S S ∞
=±=±∑； (B)11n
n ku kS ∞
==∑；
(C)
21n
n kv
kS ∞
==∑； (D)
1
12
n
n n
u S v
S ∞
==
∑． 答(D). 4. 若级数1
n n u ∞
=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是
( )．
(A)1()n n u S ∞=-∑收敛； (B)
11
n n
u ∞
=∑收敛； (C)
1
1
n n u
∞
+=∑收敛； (D)
n ∞
=收敛. 答(C).
5. 若级数1
n n a ∞
=∑收敛，其和0S ≠，则级数121
()n n n n a a a ∞
++=+-∑收敛于( )．
(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).
6. 若级数
∑∞
=1n n
a
发散，
∑∞
=1
n n
b
收敛则 ( )．
(A)
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散；
(B)
∑∞
=+1
)(n n n
b a
可能发散，也可能收敛；
(C)
∑∞
=1
n n
n b
a 发散； (D)
∑∞
=+1
22)(n n n b a
发散. 答(A).
二、填空题
1. 设1a <，则
().n n a ∞
=-
=
∑
答：
11a +. 2. 级数0
(ln 3)2n
n
n ∞
=∑的和为．
答：
2
1ln 3
-.
3. 级数0
n ∞=∑，其和是 ． 答： 14.数项级数
∑∞
=+-1)
12)(12(1
n n n 的和为.答：
1
2
. 5*. 级数0
21
2n
n n ∞
=-∑的和为. 答： 3.
三、简答题
1． 判定下列级数的敛散性
(1)23238888(1)99
99n
n -
+-++-+
答： 收敛.
解： (2) 1111369
3n
++++
+ 答： 发散.
解：
(3)11
33
n
+
+ 答： 发散.
解：
(4) 23
2333332222
n n +++
++ 答： 发散.
解：
(5) 22331111111123232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++
+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
答： 收敛.
解：
§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数
一、单项选择题
1. 级数1n n u ∞
=∑与1
n n v ∞
=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=，则( )．
(A)若1n n v ∞
=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞
=∑收敛； (C)若1
n n u ∞=∑收敛,则1
n n v ∞=∑发散；(D)若1
n n u ∞=∑发散，则1
n n v ∞
=∑发散. 答(D).
2. 若10,(1,2,
)n a n n
≤<=，则下列级数中肯定收敛的是( )．
(A)1n
n a ∞
=∑； (B)1
1()n n n a a ∞
+=+∑；
(C)
21n n a
∞
=∑； (D)
n ∞
=． 答(C).
3. 设级数 (1)
12!n
n n n n ∞
=∑
与 (2) 1
3!
n
n n n n ∞
=∑，则( )． (A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛． 答(C).
4. 设级数(1) n ∞
=与 (2) 110!n
n n ∞
=
∑, 则( ).
(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；
(C)级数(1)收敛,级数(2)发散； (D) 级数(1)发散,级数(2)收敛． 答(D).
5. 下列级数中收敛的是( )．
(A)1
n ∞= (B)1
1sin n n ∞
=∑； (C)1(1)31n
n n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞
=-∑． 答(A).