实数的初步认识

实数初步

题型切片（三个）对应题目

题

型

目

标

平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；

立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；

实数例6；例7；演练6

定义示例剖析

平方根的概念：

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫

做a的平方根．也就是说，若2x a

=，则x

就叫做a的平方根．

()224

±=，2±就叫做4的平方根

平方根的表示：一个非负数a的平方根可

用符号表示为“a

±”．

5的平方根可表示为5

±

总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方

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模块一平方根的定义与性质

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题型切片

对新概念的理解能力

①49

64； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16.

⑵ 求下列各式的值：

①25； ②0.01±； ③169-； ④()

2

2-； ⑤()

2

6-； ⑥416a

⑶ 解关于x 的方程：

①2449x =； ②231080x -=；③()2

25136x -=

⑷ 比较下列各数大小：

①2___3 ②2___3 ③140___12

⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.

根.

算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数

x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．

4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根.

算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性： 在式子a 中，0a ≥且0a ≥.

式子1x -有意义，101x x -≥≥， 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.

()

()2

0,

a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪

===⎨⎪-<⎩

夯实基础

非负性的考查

【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）

A ．8-

B ．6-

C ．5

D ．6 （北京中考）

⑵若()2

4a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()

2

23

20070a b c -+-+-=，求()

22

c

a b -的值．

综合应用能力 【例3】 ⑴已知225x x

y -+-=

+，求x y 的值.

⑵已知

2

211604n m m m

-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.

⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.

定 义

示例剖析

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模块二 立方根的定义与性质

能力提升

对新概念的运用能力

①1-； ②8； ③3

38

； ④64； ⑤ ()25-；

⑵ 比较大小

①310 311； ②9 3

27

⑶ 求出下列各式中的a ：

①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；

④若()3

18a -=，则a = ．

⑷ 下列四种说法中，正确的是（ ）

A 、33x -没有意义

B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0

C 、一个正数有两个立方根

D 、互为相反数的立方根也互为相反数

考查综合运用能力

立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.

328=， 2就叫做8的立方根

表示：一个数a 的立方根可用符号表示3

a ，3a 读作“三次根号a ”.

5的立方根可表示为35

总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.

计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.

()

3

333

33,,a a a a a a ==-=-

夯实基础

能力提升

【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是 ，11x x -+-中的x 的取值范围是 ．

⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求x

y

的值.

对新概念的运用能力

）

①无理数都是实数 ②实数都是无理数

定 义

示例剖析

无理数：无限不循环小数叫无理数

332523-π，，，，…都叫做无

理数

实数：有理数和无理数统称实数.

5和35都是实数

实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数

轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.

分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩⎨⎪

⎪⎪

⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪

⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩

正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

夯实基础

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模块三 实数