第一章计数原理复习课(习题课)

练习3 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空 座的坐法有多少种？
练习4：停车场有12个停车位，现有8辆车停放，若要求 四个空车位连在一起，则_______种不同的停车方法。
四、混合问题，先“组”后“排”
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63 由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报
4 1项），共有 5 种不同的报名方法
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠
5 军获得者共有 4 种可能
二、排列和组合的区别和联系：
则有多少不同的排法？ • （8）如果3名女生不全在一起, 有多少种不同的排法? • （9）如果甲在乙左, 丙在乙右,顺序固定, 有多少种不同的
排法?
（1）变式：从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席 台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 _____种不同的摆放方法（用数字作答）。
解： A51 A64 1800
5. 先特殊后一般 6. 正难则反 7.分类 要不重不漏
常见方法: 1.优限法（一般适用于在与不在问题）
2. 捆绑法 (一般适于相邻问题) 3. 插空法 (一般适于不相邻问题) 4. 排除法 (至多、至少、不都等问题) 5. 定序 用除法
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1.有4名男生，3名女生排成一排
• （1）若男生甲既不站在排头又不站在排尾，则有多少不 同的排法？
练习1 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了 节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三
盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的
两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A）C83
种（B）A83 种
（C）C
3 9
种
（D）C131 种
解：C83
练习2 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3
枪是连中的情形有几种？
(2)前排一人，中间二人，后排六人；
点评：分排问题直排处理
二、注意区别“恰好”与“至少”
例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
解：C61 C52 C21 C21 240
练习： 从6双不同颜色的手套中任取4只， 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____种
一本, 有多少种不同的选法? (3)若从这些书中取不同科目的书两本, 有多少种
不同的选法?
例2
F
E
D
如图，某电子器件是由三个电 C
阻组成的回路,其中有6个焊接 A B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱
落，整个电路就会不通。现发现电路不通
了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系
性质
区别
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n! (n m)!
Ann n!
0! 1
• （2）若男生甲不站在排头，女生乙不站在排尾，则有多 少不同的排法？
• （3）若女生全部站在一起，则有多少不同的排法？ • （4）若3名女生互不相邻，则有多少不同的排法？ • （5）若男女相间，则有多少不同的排法？ • （6）若有且仅有两名女生相邻，则有多少不同的排法？ • （7）若甲乙两人必须排在一起，丙丁两人不能排在一起，
解： C142 C64 (C21 )4 255
三、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例： 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲乙 都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种
(A)960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种
解： A22 A44 A52 960 另解：A22 A55 A41 960
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同点 做一件事或完成一项工作的方法数
不同点 直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
例1. 书架上放有3本不同的数学书,5本不同的 语文书,6本不同的英语书, (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的选法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各
排列组合、二项式定理 复习课
一、两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
定义
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
(2)变式1.（徐州二模）从6人中选4人组成 4×100m接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑最 后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
（2）变式2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列 车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么 不同的停放方法有（ ）
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
解：A44 A31 A31 A33 78 A55 2 A44 A33 78
（9）变式：9个人排成一排，甲、乙、丙 顺序一定
N

A99 A33

A96
60480
2.9个人排成一排
(1)前排三人，中间三人，后排三人；
N A93 A63 A33 A99
C
m n
C
m n

n(n 1) (n m 1)
n! m! m!(n m)!
C
0 n
1
Anm Cnm Amm
Anm nAnm11
C
m n

C nm n
Cm n1

Cnm

C m1 n
先选后排
只选不排
解排列组合问题遵循的一般原则:
1.有序---- 排列; 无序--- 组合 2. 分类--- 加法 ; 分步--- 乘法 3. 既有分类又有分步: 先分类再分步 4. 既有排列又有组合: 先选后排