第十六讲 完美的正方形(含答案)-
八年级第24讲 完美正方形
第24讲完美的正方形典例剖析类型一正方形的性质例1 如图，正方形ABCD的对角线BD长为l满足：①点D到直线l的距离为A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为（）A.1B.2C.3D.4【变式题组】1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A.2.52第1题图第2题图第3题图2．如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为CD边上一点，∠DAE=30 ，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P,Q.若PQ=AE，则AP等于___________cm3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5 ，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）4-4类型二正方形的判定例2 已知四边形ABCD是平行是变形，再从①AB=BC；②∠ABC=90 ；③AC=BC；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．①② B.②③ C.①③ D.②④【变式题组】4．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90 ，先把△ABC绕点B顺时针旋转90 至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H（1）判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由.（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形5．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形（2）当△ABC满足什么条件是，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.类型三正方形的综合题例3 如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5,3）在边AB上，以点C为中心，把△CDB旋转90 ，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A.(2,10)B.(-2,0)C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)【变式题组】6．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，则下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④EGC AFE S S ∆∆=；⑤∠AGB+∠AED=145 . 其中正确的个数是 （ ）A.2B.3C.4D.57.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺市政旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依次操作下去……（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为______，此时AE 与BF 的数量关系是______；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围；类型四正方形中探究题例4 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，是B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上,连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论.拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【变式题组】8.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4,4）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P到达点O是，点Q也停止运动.连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE,设点P运动的时间为t（s）（1）∠PBD的度数为__________，点D的坐标为__________________（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．研讨乐园例5 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是BC延长线上一点，AE⊥EP交∠DCF 的平分线于点P.求证：AE=EP培优训练1.已知正方形ABCD的对角线ABCD的周长为___________________2.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180 后，C点的坐标是（）A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)第2题图第3题图3.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有（）A.4个B.6个C.8个D.10个4.如图，正方形ABCD的边长为2，点H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为（）第4题图第5题图5.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为___________________6.如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.（1）求证：BF=DF（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）。
【小学数学】北师大版六年级下册第16课时 图形的认识(练习题)
北师大版六年级下册第16课时图形的认识
(2)(2812)
1.摆一摆，从正面、右面和上面看一看，连一连。
解答：从（）面看这个立体图形，可以看到3个正方形横着连成一排；从（）面看，可以看到2个正方形左右相连；从（）面看这个立体图形，可以看到4个正方形排成两排，上面一排是1个正方形，下面一排是3个正方形。
在原题中连一连。
2.下列各图中，分别是从哪个方向看到的图形？
3.将下图中的硬纸片沿虚线折成一个正方体，这个正方体的1号面的对面是（）号面，2号面的对面是（）号面。
4.沿虚线转动后会形成什么样的图形？连一连。
参考答案1.【答案】:正右上
2.【答案】:上；正；右
3.【答案】:4；5
4.【答案】:。
六年级数学完美的图形试题答案及解析
六年级数学完美的图形试题答案及解析1.半圆的周长就是它所在圆的周长的一半。
（）【答案】×【解析】思路分析：半圆的周长和他所在圆的周长的一半是不同的。
名师详解：假如半圆半径是r，半圆周长等于πr＋2r，所在圆周长的一半是πr，所以不相等。
易错提示：出错的原因就是，学生们没有真正理解半圆的周长和周长的一半的含义。
2. .①画一个周长是6.28厘米的圆。
②计算这个圆的面积。
【答案】3.14平方厘米【解析】思路分析：根据题意周长为6.28厘米，先计算出圆的半径，然后利用圆规画圆。
再计算面积。
名师解析：半径=6.28÷2÷3.14=1（厘米）S=3.14×1×1=3.14(平方厘米)易错提示：不能正确使用圆规。
3.如图:一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（ )A．平方厘米B．9平方厘米C．4.5平方厘米D．3平方厘米【答案】C【解析】思路分析：这道题一定要仔细看图，可以发现阴影部分的圆心角的和正好是180度，而且圆的半径相等，所以阴影部分的面积正好等于半圆的面积。
名师详解：仔细观察发现阴影部分的面积正好等于半圆的面积，阴影面积是：π×3×3÷2=4.5π。
易错提示：求图形面积的题目做题前要仔细观察，学生审题不清会出错。
4.圆的半径扩大3倍，直径就扩大（）倍，周长就扩大（）倍，面积就扩大（）倍。
【答案】3，3，9【解析】圆的直径与半径成正比；圆的周长与半径成正比；面积与周长的平方成正比。
5.从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）【答案】19.625平方分米。
【解析】略6.用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（）厘米，画出这个圆的面积是（）平方厘米。
【答案】8，200.96【解析】略7.圆内最长的线段是（）A、半径B、直径C、周长【答案】B【解析】圆内最长的线段是直径8.求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【答案】36.48平方厘米【解析】图中阴影部分的面积：用四个半圆即两个圆的面积减去正方形的面积即可．解：两个圆的面积：3.14×（8÷2）2×2=100.48（平方厘米），正方形的面积：82=64（平方厘米），阴影部分的面积：100.48﹣64=36.48（平方厘米）．答：阴影部分的面积是36.48平方厘米．9.从圆心到圆上任意一点的线段叫。
华师大版数学八年级下册_知识拓展：完美正方形
完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。
这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。
第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。
这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。
此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。
于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。
利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。
1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正
方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。
更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。
杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
(苏教版)四年级上册数学讲义-第十六讲含有中括号的整数混合计算(含答案)
四年级上册整数四则混合运算辅导讲义学员姓名：年级：四年级辅导科目：小学数学学科教师：上课时间授课主题整数四则混合运算含有小括号的混合运算的运算顺序：先算小括号里面的，再算小括号外面的．典型例题（1）计算，说一说运算的顺序．（2）在的基础上加上小括号，变成，运算顺序怎样？（3）在的基础上加上中括号“[ ]”，变成另一个算式，运算顺序怎样？名师学堂（1）“”中既含乘、除法，又含加法，要先算乘、除法，再算加法．正确解答，．（2）“（）”叫小括号，它的作用是改变运算顺序，算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的．即括号正确解答，加上小括号后，运算顺序发生改变，要先算小括号里面的，再算小括号外面的．（3）“[ ]”叫中括号，它与小括号的作用相同，都是改变运算顺序．混合运算中，如果加了小括号仍需改变运算顺序，就用中括号，中括号一般在小括号的外面．一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的．正确解答，先算加法，再算乘法，最后算除法．重点：通过比较，理解并掌握含有小括号或中括号的混合运算的顺序，正确计算三步算式．能正确进行整数四则混合运算．难点：例1.1.1 填空．在一个没有括号的算式里，既有加减法，又有乘除法，要先算（），再算（）．【答案】乘除法加减法【解析】乘除法加减法例1.1.2 填空．在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要按（）的顺序进行计算．【答案】从左往右【解析】从左往右例1.1.3 口算。
4×6÷3＝56÷8×4＝25×2－30＝36÷9×5＝45＋（35－18）＝56－8×4＝（16－7）×0＝36－0÷23＝12÷3＋21÷3＝2800÷70＝【答案】8 28 20 20 62 24 0 36 11 40【解析】8 28 20 20 62 24 0 36 11 40例1.1.4 计算．240÷8－14×2 16×8＋48÷4【答案】240÷8－14×2 16×8＋48÷4＝30－28 ＝128＋12＝2 ＝140【解析】240÷8－14×2 16×8＋48÷4＝30－28 ＝128＋12＝2 ＝140例1.1.5 填空．42与6的积减去它们的商，差是（），列式为（）．【答案】245 42×6－42÷6＝245【解析】245 42×6－42÷6＝245例1.1.6 王老师领回一些练习本．如果每人发12本，可以发给18人．如果每人发8本，可以发给多少人？【答案】（人）⨯÷=1218827【解析】（人）⨯÷=1218827例1.1.7 在学校举办的读书比赛中，四（1）班的同学取得了优异的成绩（获奖人数见下表）。
新人教版数学八年级下《18.2.3正方形》课时练习含答案解析
新人教版数学八年级下册18.2.3正方形课时练习一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12 B．13 C．26 D．30答案：C知识点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C．分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．2．如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD∵CE＝DF∴DE＝AF∴△ADE≌△BAF∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA∴④S△AOB＝S四边形DEOF∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°∴∠AFB＋∠EAF＝90°∴②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO ＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案：D知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH＋∠LAF＝90°，∴∠LHC＋∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF．（2）∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠GHF．∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA＝GF．∵BD＝2OA，∴BD＝2FG．（4）延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，同理，可得：AL＝HE，∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；（2）由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．4．一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜223＜3，且小方格的对角线长2＜1.5．故该卡片可以按照如图所示放置：图示为n取最大值的时候，n＝12．故选D．分析：要n 取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n 为最大值，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与AC 相交于点M ，则∠AMD 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．54°D ．67.5° 答案：B知识点：正方形的性质；线段垂直平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD ，∵∠BCE ＝∠BCD ＋∠DCE ＝90°＋60°＝150°，BC ＝EC ，∴∠EBC ＝∠BEC ＝21（180°－∠BCE ）＝15° ∵∠BCM ＝21∠BCD ＝45°， ∴∠BMC ＝180°－（∠BCM ＋∠EBC ）＝120°，∴∠AMB ＝180°－∠BMC ＝60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上，∴∠AMD ＝∠AMB ＝60°故选B ．分析：连接BD ，根据BD ，AC 为正方形的两条对角线可知AC 为BD 的垂直平分线，所以∠AMD ＝AMB ，要求∠AMD ，求∠AMB 即可．本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD ＝∠AMB ，确定AC 和BD 垂直平分是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A．13 B．21 C．17 D．25答案：D知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．故选D．分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．7．在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A．4条B．8条C．12条D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直线的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条直线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于（ ）A ．82B ．102C ．122D ．162 答案：D知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：连接DP ，S △BDP ＝S △BDC －S △DPC －S △BPC ＝21－21×1×21－21×1×41 ＝81， ∵F 为BP 的中点，∴P 到BD 的距离为F 到BD 的距离的2倍．∴S △BDP ＝2S △BDF ，∴S △BDF ＝161， 设F 到BD 的距离为h ， 根据三角形面积计算公式，S △BDF ＝21×BD ×h ＝161， 计算得：h ＝22161＝162． 故选D ．分析：图中，F 为BP 的中点，所以S △BDP ＝2S △BDF ，所以要求F 到BD 的距离，求出P 到BD 的距离即可．本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F 到BD 的距离．9．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）A ．96cm 2B ．48cm 2C ．24cm 2D ．以上都不对 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD 的中点E ，找到AD 的中点F ，连接CF ，AE ，则CM ∥EA ，AN ∥FC ，△BOM ∽△BKA ， ∴BK BO ＝BABM ＝21， 同理可证：DO DK ＝DA DF ＝21， 故DK ＝KO ＝OB ， ∴△BOC 和△BOA 的面积和为31正方形ABCD 的面积， ∵CN ＝NB ＝AM ＝BM ，∴△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和，∴△OCN 的面积为12576＝48cm 2， 故选B ．分析：先证明BO 为正方形ABCD 的对角线BD 的31，再求证△CNO ，△NBO ，△AMO ，△BMO 的面积相等，即△CON 的面积为正方形面积的121．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO ＝31BD ，△OCN 的面积为41△BOC 和△BOA 的面积和． 10．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，在BD 上截取BE ＝BC ，连接CE ，点P 是CE 上任意一点，PM ⊥BD 于M ，PN ⊥BC 于N ，若正方形ABCD 的边长为1，则PM ＋PN ＝（ ）A ．1B ．2C ．22D ．1＋2答案：C知识点：正方形的性质，三角形的面积解析：解答：解：连接BP ，作EH ⊥BC ，则PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，S △BCE ＝1－－S △CDE ，∵DE ＝BD －BE ＝，△CDE 中CD 边上的高为22（2－1）， ∵S △CDE ＝CD ×22（2－1）＝－42； S △BCE ＝1－21－S △CDE ＝42； 又∵S △BCE ＝S △BPE ＋S △BPC ＝•BC•（PM ＋PN ）∴PM ＋PN ＝＝．故选C ．分析：连接BP ，PM ．PN 分别为△BPE 和△BCP 的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM ＋PN ．本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11．顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）A ．25B ．36C ．49D ．30 答案：B知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA ，过A ．D 两点的直线方程是69664-6----x y ＝，即y ＝－x 310＋16，解得它与x 轴的交点E 的横坐标是x ＝7.8，同理求得过A ．B 两点的直线方程是y ＝－x 103＋4.2，解得它与y 轴的交点E 的纵坐标是y ＝4.2，∴S △AOE ＝21×7.8×6＝23.4，S △AFO ＝21×4.2×6＝12.6， ∴S △AOE ＋S △AFO ＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A （6，6），B （－4，3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是36．分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD 的方程，由方程式知AD 与x 轴的交点E 的坐标，同理求得AB 与y 轴的交点F 的坐标，连接OA ，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E ．F 在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为（ ）A ．41B ．413－C ．81D ．8132－ 答案：B知识点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质解析：解答：解：△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积因此本题求解△BCP ．△CDP 面积和△BCD 的面积即可，S △BCP ＝4323121＝⨯⨯， S △CDP ＝4121121＝⨯⨯，S △BCD ＝×1×1＝，∴S △BPD ＝413214143－＝－＋． 故选B ． 分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD 的面积等于△BCP 和△CDP 面积和减去△BCD 的面积的等量关系．13．如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．4B ．23C ．26D ．2答案：A知识点：轴对称－最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，∴C ．A 关于BD 对称，即C 关于BD 的对称点是A ，连接AE 交BD 于P ，则此时EP ＋CP 的值最小，∵C ．A 关于BD 对称，∴CP ＝AP ，∴EP ＋CP ＝AE ，∵等边三角形ABE，∴EP＋CP＝AE＝AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝4，∴EP＋CP＝4，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对称，推出CP＝AP，推出EP＋CP＝AE，根据等边三角形性质推出AE＝AB＝EP＋CP，根据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质，轴对称－最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP＋CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．14.如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．15.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案：C知识点：正方形的性质；菱形的性质解析：解答：解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝4，∴正方形ACEF 的周长是AC ＋CE ＋EF ＋FA ＝4×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小题）1．如图所示，将五个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，其中点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点、如果有n 个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是___cm 2．答案：41-n 知识点：正方形的性质；探索图形规律解析：解答：解：∵点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点 ∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的， 即41×1×1＝41， 当有三个三角形时，其面积为41＋41＝42 当有四个时，其面积为41＋41＋41＝43 所以当n 个三角形时，其面积为41-n ． 故答案为41-n ． 分析：求面积问题，因为点A 、B 、C 、D 分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的41，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．2．如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA 沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P 点坐标为．答案：（0，4）或（0，0）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，∵点E是AB的中点，∴BE＝1，∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，∴PC＝BF＝2，∴P点坐标为（0，4）或（0，0），即图中的点P和点P′．故答案为：（0，4），（0，0）分析：连接EF，CF＝BE＝1，若EF＝FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．3．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：ab 41 ）＋（22221b a 知识点：正方形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做O 1H ∥AE ，使O 2H ⊥O 1H ，交BG 于P ，K 点，（1）BP ＝，又∵O 2H ⊥HO 1，∴KP ∥HO 2，∴△PKO 1∽△HO 2O 1， ∴ba a HO PO HO KP +＝＝112， KP ＝）（＝b a a ab a b b a a +--⨯+222， 阴影部分的面积＝21×BK ×（2b a +）＝21×[2a ＋）（b a a ab +-22]×2b a + ＝82ab ＝4ab ； （2）HO 1＝2b a +，HO 2＝2a b -， 根据勾股定理O 1O 2＝2221HO HO + ＝222b a + ＝）（22221b a +． 故答案为：ab 41；）＋（22221b a ．分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O 1O 2的长根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．4．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和．（只写一组）答案：（1，0）和（1，1）知识点：正方形的性质；坐标与图形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．故答案为：（1，0），（1，1）．分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．5．如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形的面积解析：解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．分析：要使得△ABC 的面积为2，即S ＝ah ，则使得a ＝2、h ＝2或者a ＝4、b ＝1即可，在图示方格纸中找出C 点即可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C 点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小题）1．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F ．（1）求证：AC OF AB 21=-； （2）点A 1、点C 1分别同时从A 、C 两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E ⊥A 1C 1，垂足为E ，请猜想EF 1，AB 与1121C A 三者之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，当A 1E 1＝6，C 1E 1＝4时，则BD 的长为 ．答案：（1）见解析 （2）AB －EF1＝A 1C 1 （3）27知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1）过F 作FG ⊥AB 于G ，∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，∴OF＝FG，∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG，直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，∴FG＝BG＝OF，∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，∴AB－OF＝AC．（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝A1C1．（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，如果设CC1＝A1A＝x，A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，∴x＝1，在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB＝7，∴BD＝7．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解，过F作FG⊥AB于G，那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出OF＝FG，通过全等三角形AOF和AGF可得出AO＝AG，那么AB＝AO＋OF，而AC＝2OA，由此可得证；（2）本题作辅助线的方法与（1）类似，过F1作F1G1⊥AB，F1H1⊥BC，那么可证得四边形F1G1BH1是正方形，EF1＝F1G1＝F1H1，那么可得出F1就是三角形A1BC1的内心，根据直角三角形的内心公式可得出EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2，然后根据用AB分别表示出A1B，BC1，最后经过化简即可得出AB－EF1＝A1C1；（3）求BD的长，首先要求出AB的长，本题可借助（2）中，F1是三角形A1BC1的内心来解，那么我们不难看出E，G1，H1都应该是切点，根据切线长定理不难得出A1E＋A1G1＝A1C1＋A1B－C1E－BG1，由于C1E＝C1H1，BG1＝BH1，A1E＝A1G1因此式子可写成2A1E＝A1C1＋A1B－BC1，而（A1B－BC1）正好等于2A1A，由此可求出A1A的长，那么可根据勾股定理用AB表示出两条直角边，求出AB的长，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质，三角形的内接圆与内心等知识点，要注意的是后两问中，结合圆的知识来解会使问题更简单．2．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．答案：见解析知识点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE＝BF．分析：由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE⇒DE＝BF．此题即考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．3．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．答案：45°知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠DAG＋∠BAG＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°．分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；所以可求∠EAF＝45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．4．如图，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF ＝15度．（1）求证：DF＋BE＝EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．3答案：（1）见解析（2）30°（3）3知识点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE＝∠AGE＝75°，∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，∴∠EFC＝30°（3）∵AB＝BC＝3，∠BAE＝30°，∴BE＝1，CE＝3－1，∵∠EFC＝30°，∴CF＝3－3，∴S△CEF＝CE•CF＝23－3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，S△AEF＝（S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－3．分析：（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF＋BE＝EF；（2）根据△AGE ≌△AFE 及角之间的关系从而求得∠EFC 的度数；（3）S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADF －S △AEB －S △CEF ＝S 正方形ABCD －S △AEF －S △CEF ，关键求S △CEF ． 解答本题利用正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．5．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，E ，F 分别为边DC ，BC 上的点，BF ＝1cm ，CE ＝2cm ，BE ，DF 相交于点G ，求四边形CEGF 的面积．答案：518 知识点：正方形的性质；一次函数的性质；两条直线相交或平行的问题解析：解答：解：以B 点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A （0，4），B （0，0），C （4，0），D （4，4），E （4，2），F （1，0）．设BE 所在直线的解析式是y ＝kx ，因为BE 所在直线经过E 点，因此有4k ＝2，k ＝21， 因此BE 所在直线的解析式是y ＝21x （1）， 同理可得出DF 所在直线的解析式是y ＝34（x －1）（2）， 联立（1）（2）可解得点G 的坐标为（58，54）． 故可求四边形CEGF 的面积S ＝S △BCE －S △BFG ＝21×4×2－21×1×54＝518．分析：本题的关键是求出G点的坐标，那么就要求出BE，DF所在直线的函数解析式，然后联立两个关系式求出交点坐标，再根据GECF的面积＝三角形BEC的面积－三角形BFG 的面积，求出GECF的面积．本题主要考查的是正方形的性质，一次函数等知识点的应用．根据BE，DF所在直线求出交点的坐标是解题的关键．。
人教版八年级数学第24讲完美的正方形
人教版八年级第24讲完美的正方形姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且AF=BE，BE与AF相交于点G，则下列结论中错误的是（）A．BF=CE B．∠DAF=∠BECC．AF⊥BE D．∠AFB+∠BEC=90°2 . 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形D．当时，它是正方形3 . △ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为（）A．30B．40C．50D．604 . 如图，圆P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且AB＝12，以AB为边作正方ABCD(点D、P在直线AB的两侧)，若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为（）.A．0B．36πC．D．6π5 . 一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转旋转180°，再将它按照逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．二、填空题6 . 对角线长为的正方形的周长为________，面积为________．7 . 如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=____．三、解答题8 . 综合与实践--------图形变换中的数学问题问题情境：如图1，已知矩形中，点是的中点，连接．将矩形沿剪开，得到四边形和四边形．（1）求证：四边形是矩形；操作探究：保持矩形位置不变，将矩形从图1的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，设旋转角为（）．操作中，提出了如下向题，请你解答：（2）如图2，当矩形旋转到点落在线段上时，线段恰好经过点，设与相交于点.判断四边形的形状，并说明理由；（3）请从两题中任选一题作答．A．在矩形旋转过程中，连接线段和．当时，直接写出旋转角的度数．B．已知矩形中，．在矩形旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长．9 . 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE 为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．（4）如图2，当△ECD的面积S1=时，求AE的长．10 . 已知：如图，在中，，是的边的中点，，，垂足分别是、．求证：；只添加一个条件，使四边形是正方形，并给出证明．11 . 如图1，在△ABC和△MNB中，∠ACB＝∠MBN＝90°，AC＝BC＝4，MB＝NB＝2，点N在BC边上，连接AN，CM，点E，F，D，G分别为AC，AN，MN，CM的中点，连接EF，FD，DG，EG．（1）判断四边形EFDG的形状，并证明；（2）求FD的长；（3）如图2，将图1中的△MBN绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变，猜想此时四边形EFDG的形状，并证明．12 . 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM 交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．13 . 如图所示的方角铁皮，要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、二、填空题1、2、三、解答题1、2、3、4、5、6、。
15年八年级数学同步培优竞赛详附答案：第十六讲 完美的正方形
名师第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨 AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP 交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为 ．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。
【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第16讲 周期问题 人教版(含答案)
第十六讲周期问题卖废品小朋友们，我们学习数学是为了更好地帮助我们解决生活中的问题，所以生活中我们要尽量做到学以致用。
一天，阳阳听到小区里收废品的老爷爷又来了，还不停地拖着长声吆喝着：“收废品了-----”阳阳赶紧提醒妈妈：“妈妈，我们地下室里的废品都快满了，收废品的老爷爷又来了，卖不卖啊？”“卖！”妈妈连忙停下手中的活，让阳阳一起下楼去拿废品。
地下室的废品都搬上来后，阳阳一看，呀！真多！足足摊了一地。
收废品的老爷爷笑眯眯地、不紧不慢地把垃圾归类放好，然后拿出他的秤，称了起来：旧报纸35斤，一斤5角；废纸壳28斤，一斤6角；还有8个易拉罐，一个1角。
称完后，老爷爷就拿出计算器，慢吞吞地算起来。
阳阳在心里暗暗地好笑：这么简单还用着计算器了？他脑子飞快地运转起来：旧报纸35×5=175角，废纸壳28×6=168角，易拉罐8×1=8角；一共35元1角。
于是，阳阳很自信地对爷爷说：“一共能卖35元1角。
”老爷爷用计算器算了一会，对阳阳竖起来大拇指：“小家伙真聪明，比我这计算器算得还快呢！”听了爷爷的话，妈妈也高兴地笑了，对阳阳说：“看来在学校里学的知识派上用场了啊。
儿子，好样的！”第二部分：奥数小练一、知识要点在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。
像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。
完美的正方形 经典讲义
完美的正方形正方形是四边形中最特殊的一种，它是中心对称图形也是轴对称图形，在分析有关条件与结论之间的关系时，可以利用这种性质进行分析，把图形（主要是三角形）进行旋转实现线段与角的位置的转化，在解题过程中综合中心对称、轴对称及等腰三角形、线段的垂直平分线、角的平分线的知识来解决问题。
例1：如图：四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则∠AFD= 度．ＡＥＣＤＢＦ例2：如图：将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠,使得A 点落在CD 上的E 点,然后压平得折痕FG ，若FG=13cm ，求线段CE 之长．例3：如图：已知Ｅ、Ｆ分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于点M 、N ．若∠EAF=050，求∠CME +∠CNF 的度数．CMＡ NDF E例4：如图：正方形ABCD 中，Ｅ、Ｆ是AB 、BC 边上两点，且EF=AE+FC ，D G ⊥EF 于G ． 说明：DG=DA例5：如图，操作：把正方形CGEF 的对角形CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（C G ﹥BC ），取线段AE 的中点M ．探索：线段MD 、MF 的关系，并加以说明．FA DB C GEＥＧ上题中，若将正方形CGEF绕点C旋转任意角度(如图)，其它条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．AＤＢＦＭＣＥＧ课后作业：1．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =∠CDA=090，BE ⊥AD 于E ，四边形ABCD 的面积为8，则BE 的长为( )A ．2 Ｂ．３ Ｃ．3 Ｄ．22２．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，直角三角形CEF 的面积为200，则BE= ． ３．如图，Ａ在线段B Ｇ上，四边形ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE 的面积等于 平方厘米．４．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 、F 、G 、H 分别在正方形的四条边上，已知E F ∥GH ，EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31，求四边形EFGH 的周长和面积；（2）求四边形EFGH 的周长的最小值.BCDAEＦAＤＢＣＥＣD ＥＢ AＦＧADHBEGFC５．如图,已知正方形ABEF 和ACGH 在三角形BAC 的外侧,M 是BC 边的中点。
第3讲 完美的正方形
NM GEF D C B A 图1G E FD CB A 图2H O G E F DC B A 图3E P FD CB A ABCD EFM第三讲 完美的正方形上一讲我们探讨了如何区分各种不同的平行四边形，这一讲我们来研究最特殊的平行四边形——正方形的性质的应用。
之所以称之为完美的正方形，是因为正方形集中了各种平行四边形的所有特征，例如：四边相等、四个内角都是直角、两条对角线相等且互相垂直平分、每条对角线都平分其内角、有四条对称轴、一个对称中心等。
这都将是我们解决实际问题的依据和法宝，我们要会灵活应用。
在实际解题中，我们常对正方形进行割补或折叠，通过平移、旋转、对称等方法把正方形问题转化为特殊的三角形或全等三角形问题来解决。
【例题讲解】1.(1)如图，在正方形ABCD 中，点P ，1P 为正方形内的两点，且PB=PD,BP P CBP AB B P 11,∠=∠=,则P BP 1∠=___________。
(2)如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA ︰PB ︰PC=1︰2︰3，则APB ∠=___________。
(3)如图，正方形ABCD ，E 为BF 上一点，四边形AEFC 恰是一个菱形，AE 交BC 于点M ，则MCE ∠=_________。
(4)如图，在正方形ABCD 中，AB=8,Q 是CD 的中点，设,α=∠DAQ 在CD 上取一点P ，使α2=∠B A P ,则CP=___________。
2. 点F 为正方形ABCD 对角线AC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，FG ⊥AD 于G ，取CF 、BG 的中点M 、N,连结MN.试探求MN 与BG 之间的关系.引申1：若将原题中“点F 在对角线AC 上”改为“点F 在直线AC 上”时，上述结论是否依然成立.引申2：若将原题中的正方形AEFG 绕点A 顺时针旋转任意角度，其它条件不变，则上述结论是否依然成立.3.(1)如图，点F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，AF 交BC 延长线于点G ，点E 是CD 延长线上一点，点H 是AE 的中点.∠EAF=45°.求BG DEFH-的值.(2)如图，点E 是正方形ABCD 的边AD 上一点，BE 的中垂线HF 交BC 的延长线于点F ，EF 交CD 于点G ，连接BG .①求∠EBG 的度数；②若正方形ABCD 的边长是3，求△DEG 的周长.【练习】1.如图1，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别是27cm 和211cm ，求△CDE 的面积。
完美正方形三
判断对错：
1. 四边相等的四边形是正方形 × 2．四角相等的四边形是正方形 × 3．对角线垂直的平行四边形是正方形 ×
4．对角线互相垂直平分且相等的四边形
是正方形 √
5．四条边相等且有一个角是直角的四边
形是正方形 √
初试身手：已知:□ABCD的对角线AC、BD交于点
O，从下列条件中取出哪两个条件后，可使平行 四边形ABCD成为正方形给妈妈买了一条四边形丝巾，她准 备验证这条丝巾是不是正方形，身 边没有携带任何测量工具，只能用 对折的方法。请你想一想，怎样对 折？最少折几次就可以验证这条四 边形丝巾是正方形？
平行四边形
矩形
有一组邻边相等
菱形
正 方 形 常 正方形 见 的 判 定 法
为什么下列三个图形都是正方形？
7
52
52
有一组邻边相等并 且有一个角是直角 的平行四边形是正 方形。
两条对角线互
相垂直的矩形 是正方形。
7
7
7
既是菱形又是矩 形的四边形是正 方形。
解决问题：母亲节快到了，小欣给妈妈买了一条 四边形丝巾，她准备验证这条丝巾是不是正方形， 身边没有携带任何测量工具，只能用对折的方法。 请你想一想，怎样对折？最少折几次就可以验证 这条四边形丝巾是正方形？
A
M B
O
E
FN
C
D
分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ， ＤＡ上，且ＡＡ′＝ＢＢ′ A'
HH
C'
MM
N C'
变变＝四形式式Ｃ边吗23：：Ｃ 形 ？正正Ａ为′＝方方什′ＤＢ形形么Ｄ′AAＣB？B′C′.CＤDD的′中是边，正长A方B为=1100AB，,'BBBGG,H,H,是,M内,NB部G'G在两其点NB内'，部且C，CCC
2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第06讲 正方形的判定(解析版)
第06讲正方形的判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。
一、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点一：正方形的判定定理理解例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A．【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错．误的是（）A．①对角相等B．②对角线互相垂直C．③有一组邻边相等D．④对角线相等【答案】A【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．【详解】解：A 、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A 符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B 不符合题意；C 、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C 不符合题意；D 、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D 不符合题意．故选：A ．【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故A 选项正确，不符合题意；B 、 四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，故B 选项正确，不符合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C 选项正确，不符合题意；D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故D 选项错误，符合题意．故选：D ．【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（）①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等且互相平分的四边形是菱形；⑤四个内角都相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可．【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题；⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题．故选：B ．考点二：添一个条件使四边形是正方形例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点Q ，请添加一个条件：使得矩形ABCD 是正方形．（只写一个）【答案】AB BC =（答案不唯一）【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB BC =或BC CD =或CD DA =或DA AB =或AC BD ⊥，故答案为：AB BC =（答案不唯一）．【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，不添加任何辅助线，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．【答案】90BAD ∠=︒（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．【详解】解： 四边形ABCD 为菱形，∴当90BAD ∠=︒时，四边形ABCD 为正方形．故答案为：90BAD ∠=︒．【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，连接DE DF EF ，，，要使四边形DECF 是正方形，只需增加一个条件为．【答案】AC BC=【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可．【详解】∵90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，∴1122DE BC DE BC DF AC DF AC ==，，，，P P ∴四边形DECF 是矩形，∵四边形DECF 是正方形，∴1122DF DE BC AC ===，故AC BC =，故添加的条件是：AC BC =．【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键．使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为平行四边形，再根据又AC BD =，EF EH =，得出四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．考点三：证明四边形是正方形例3.（2024·陕西咸阳·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，求证：四边形BMPN 为正方形．【答案】详见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，得出ABP CBP ∠=∠，由过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N 和90ABC ∠=︒得出四边形BMPN 为矩形，再由MP MB =即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键．【详解】∵BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，∴ABP CBP ∠=∠，∵过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，∴90BMP BNP ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴四边形BMPN 为矩形，∴PM BN ∥，∴CBP MPB ABP ∠=∠=∠，∴MP MB =，∴四边形BMPN 为正方形．【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，过点A ，D 分别作BC 与AB 的平行线，相交于点E ，连接EC ，AD ，DE 与AC 交于点O ．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，求证：四边形ADCE 是正方形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）先由AB AC =，点D 是边BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD CD =，AD BC ⊥，，再由AE BD ∥，DE AB ∥得出四边形AEDB 为平行四边形，那么AE BD CD ==，又AE DC ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE 是矩形；（2）由矩形的性质可得AC DE ⊥，又由（1）知四边形ADCE 是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE 是正方形．【详解】（1）证明：∵AB AC =，点D 是边BC 的中点，∴BD CD =，AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵AE BD ∥，DE AB ∥，∴四边形AEDB 为平行四边形，∴AE BD CD ==，又∵AE DC ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形；（2）证明：∵DE AB ∥，90BAC ∠=︒，∴90DOC BAC ∠=∠=︒，即AC DE ⊥，由（1）知四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作AB 的平行线，并在此直线上截取CE AD =，连接BE ．(1)判断四边形CDBE 的形状并请说明理由；(2)直接写出当ABC 满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．【答案】(1)四边形CDBE 是菱形，理由见解析(2)当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形【分析】（1）说明CE DB =，证明四边形CDBE 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到12CD BD AB ==，即可得证；（2）当ABC 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，即可得证．【详解】（1）解：四边形CDBE 是菱形．理由：∵CE AB ∥，点D 是边AB 的中点，∴CE DB ∥，AD DB=∵CE AD =，∴CE DB =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==，∴平行四边形CDBE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形．理由：∵90ACB ∠=︒，且ABC 是等腰直角三角形，∴CA CB =，∵点D 是边AB 的中点，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，由（1）知：四边形CDBE 是菱形，∴四边形CDBE 是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键．【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ∥交BAF ∠的平分线于点E ．(1)求证：四边形ADBE 是矩形；(2)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADBE 是正方形．【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒，见解析【分析】（1）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，可得12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，由AE 是ABC 的外角平分线，可得12BAE BAF ∠=∠，则90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，AD AE ⊥，证明AE BC ∥，进而可证四边形ADBE 是矩形；（2）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，可得45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，则AD BD =，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，∵AE 是ABC 的外角平分线，∴12BAE BAF ∠=∠，∵180BAC BAF ∠+∠=︒，∴90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AD AE ⊥，∵AD BC ⊥，∴AE BC ∥，又∵BE AD ∥，=90DAE ∠︒，∴四边形ADBE 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形ADBE 是正方形．理由如下：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，∴45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，∴矩形ADBE 为正方形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键．考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）例4.（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 和BC 上的点，且满足BE CF =．(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD 和DA 上分别作出点G 和点H ，DG AH BE CF ===（保留作图痕迹，不写做法作法）；(2)判断：四边形EFGH 的形状是．【答案】(1)见解析(2)正方形【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）证明()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，推出EF FG GH HE ===，得到四边形EFGH 是菱形，再证明90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，即可得到四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）解：如图所示：DG AH BE CF ===；；（2）解：四边形EFGH 是正方形，∵正方形ABCD 中，∴AB CD ∥，OB OD =，∴EBO GDO ∠=∠，∵EOB GOD ∠=∠，∴()ASA EOB GOD ≌，∴BE DG =，同理AH CF =，∵BE CF =，∴EF FG GH HE ===，∵正方形ABCD 中，BAD ABCBCD CDA ∠=∠=∠=∠，AB BC CD DA ===，∵DG AH BE CF ===，∴AE BF CG DH ===，∴()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，∴EF FG GH HE ===，∴四边形EFGH 是菱形，∴AEH BFE ∠=∠，∵90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形．故答案为：正方形．【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点,E F 在正方形ABCD 的边,AB CD 上．(1)请用尺规作图法，在,AD BC 上分别取点,M N 使得MN EF ⊥且平分正方形ABCD 的面积．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：MN EF=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定．（1）平分正方形ABCD 的面积，会经过正方形的中心O ，过点O 作EF 的垂线即可；（2）过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，证明()AAS EFG NMH ≌，即可得证．【详解】（1）解：如图，MN 即为所作，（2）解：如图所示，过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，∴四边形,AEGD ABNH 是矩形，90NHM EGF ∠=∠=︒∴,EG AD AB HN ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，AB AD ⊥，∴EG HN =，HN EG⊥∵AD EG∥∴EPN HMN∠=∠∵EF MN ⊥，HN EG⊥∴90,90PEF EPN HNM EPN ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴PEF HNM ∠=∠即GEF HNM∠=∠在,EFG NMH 中，90NHM EGF HNM GEF EG HN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS EFG NMH ≌∴MN EF=【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在BC 的延长线上，AE CF =，连接EF ．(1)求证：45F ∠=︒；(2)如图，当点E 为AD 边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形CDOF （保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，先证明四边形AEFC 是平行四边形，可得AC EF ，即有45F ACB ∠=∠=︒；（2）设EF 、CD 交于点T ，连接AC 、BD ，二者交于点P ，连接DF ，连接PT ，并延长交PT 于点G ，连接CG ，并延长交AD 的延长线于点O ，连接FO ，问题得解．【详解】（1）证明：连接AC ，如图，在正方形ABCD 中，有AD BC ∥，45ACB ACD ∠=∠=︒，∵AE CF =，AD BC ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AC EF ，∴45F ACB ∠=∠=︒；（2）如图，矩形CDOF 即为所求．证明：根据点E 为AD 边中点，AE CF =，可得DE CF =，进而可证明DET CFT ≌，则有DT CT =，ET FT =，即点T 为EF 、CD 的中点；根据正方形的性质可得点P 为BD 、AC 的中点；即有：PT AD ∥，PT BC ∥，结合点P 为BD 、AC 的中点，可得点G 为CO 、DF 的中点，即可证明四边形CDOF 是平行四边形，结合90DCF DCB ∠=∠=︒，则平行四边形CDOF 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键．【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形,ABCD E 为BC 上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在边AD 上找点F ，使得直线EF 将正方形ABCD 的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）(2)在边AB 上找点G ，使得BG BE =；（在图2中完成）(3)连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转90 ，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解；（2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形；==，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定（3）在第（2）问所作图的基础上构造DH BE BG=，即可作出所作图形．与性质，得到DM BG【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）旋转后的三角形为ADM△，如图所示：【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识．考点五：正方形的性质与判定的综合问题例5.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后在把纸片展平；第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，再把纸片展平．问题解决：(1)如图1，求证：四边形AEA D '是正方形；(2)如图2，若2AC '=，4DC '=，，求AC M '△的面积．【答案】(1)见解析(2)AC M '△的面积是83【分析】（1）由折叠性质得AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA D '是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA D '为正方形；（2）连接C E '，证明Rt Rt EAC C BE ''' ≌，得C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=，设AM x =，则6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，利用勾股定理列方程求出x ，得到AM ，即可求出AC M '△的面积．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，∵将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，∴AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴AED A DE '∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AE AD =，∴AD AE A E A D ''===，∴四边形AEA D '是菱形，∵90A ∠=︒，∴四边形AEA D '是正方形；（2）解：如图，连接C E '，由（1）知，AD AE =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，∴AE BC '=，EAC B ''∠=∠，在Rt EAC ' 和Rt C BE '' 中，EC C E AE BC '''=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt EAC C BE HL ''' ≌，∴C EA EC B '''∠=∠，∴MC ME '=，设AM x =，∵2AC '=，4DC '=，∴2+46AE AD ===，∴6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，由勾股定理，得222+AC AM MC ''=，即2222+(6)x x =-，2243612x x x +=-+，1232x =，解得83x =，即83AM =，∴AC M '△的面积1188=22233AC AM '=⨯⨯=g ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．(1)EAF ∠=________°（直接写出结果不写解答过程）(2)①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求AEF △的面积．(3)如图（2），在PQR 中，45QPR ∠=︒，高7PH =，3QH =，则HR 的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．【答案】(1)45；(2)①证明见解析；②15；(3)2.8．【分析】（1）由90C ∠=︒可得90CEF CFE ∠+∠=︒，进而得270BEF DFE ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得()11352AEF AFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=︒，最后根据三角形内角和定理即可求解；（2）①过点A 作AG EF ⊥于G ，由角平分线的性质可得AB AD =，再证明四边形ABCD 是矩形即可求证；②证明()Rt Rt HL ABE AGE ≌得3BE GE ==，同理得DF GF =，设DF GF x ==，得3EF x =+，又由3BE EC ==可得6CD AB CG ===，得到6CF x =-，在Rt CEF △中，利用勾股定理得()()222363x x +-=+，得到2x =，即得5EF =，再根据三角形面积公式即可求解；（3）如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，同理（2）即可求解；本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：∵90C ∠=︒，∴90CEF CFE ∠+∠=︒，∴180********BEF DFE ∠+∠=︒+︒-︒=︒，∵AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠，∴12AEF BEF ∠=∠，12AFE DFE ∠=∠，∴()11112701352222AEF AFE BEF DFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴18013545EAF ∠=︒-︒=︒，故答案为：45；（2）①证明：过点A 作AG EF ⊥于G ，∵AE 平分BEF ∠，AB EB ⊥，AG EF ⊥，∴AB AG =，同理可得AD AG =，∴AB AD =，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形；②∵AG EF ⊥，∴90AGE AGF ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt AGE 中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE AGE ≌，∴3BE GE ==，同理可得DF GF =，设DF GF x ==，∴3EF x =+，∵3BE EC ==，∴336BC =+=，∴6CD AB AG ===，∴6CF x =-，在Rt CEF △中，222CE CF EF +=，∴()()222363x x +-=+，解得2x =，∴325EF =+=，∴11·561522AEF S EF AG ==⨯⨯= ；（3）解：如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，由折叠可得7PD PH PM ===，3QD QH ==，MR HR =，DPQ HPQ ∠=∠，MPR HPR ∠=∠，90D PHQ ∠=∠=︒，90M PHR ∠=∠=︒，∴()222290DPM HPQ HPR HPQ HPR QPR ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90D DPM M ∠=∠=∠=︒，∴四边形PMGD 是矩形，∵PD PM =，∴四边形PMGD 是正方形，∴7DG MG PD ===，∴734GQ DG QD =-=-=，设MR HR a ==，则3QR a =+，7GR a =-，在Rt GQR △中，222GQ GR QR +=，∴()()222473a a +-=+，解得 2.8a =，∴ 2.8HR =，故答案为：2.8．上的一个动点，延长CD 到点E ，使DE BP =，连接AE AP ，，以AE AP ，为边作平行四边形APFE ，直线PF 和直线CD 相交于点M ．(1)如图1，点P 在边BC 上，判断四边形APFE 的形状，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若点P 为BC 的中点，求点F 到边CD 的距离；(3)若2CP =，求CM 的长．【答案】(1)正方形，理由见解析(2)2(3)1或3【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：（1）先证明()SAS ABP ADE ≌得到AP AE BAP DAE =∠=∠，，进而证明90PAE ∠=︒，即可证明四边形APFE 是正方形；（2）如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，证明()AAS ADE EHF ≌，得到ED FH BP ==，求出122PB BC ==，则2FH =，即点F 到CD 距离为2；（3）分点P 在BC 上和点P 在BC 得延长线上两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：四边形APFE 是正方形，理由如下：解：在正方形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===︒，，∴90B ADE BAD ∠=∠=∠=︒，∵DE BP =，∴()SAS ABP ADE ≌，∴AP AE BAP DAE =∠=∠，，∵90BAD BAP PAD ∠=∠+∠=︒，∴90PAE DAE PAD ∠=∠+∠=︒，又∵四边形APFE 是平行四边形，∴四边形APFE 是正方形；（2）解：如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，∵四边形APFE 是正方形，∴90AE EF AEF =∠=︒，，∵9090AED MEF EFH MEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴AED EFH ∠=∠，∵90ADE EHF ∠=∠=︒，∴()AAS ADE EHF ≌，∴ED FH BP ==，又DE BP =，∴FH BP =，∵点P 是BC 中点，∴122PB BC ==，∴2FH =，∴点F 到CD 距离为2；（3）解：①点P 在线段BC 上，∵2CP =，∴2BP =，∴22220AP AB BP =+=，由（2）可得2FH DE ==，ADE EHF ≌，∴4EH AD ==，设MH x =，则4EM x =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()22222420x x +=+-，解得1x =，∴24411CM CD DE EH HM =+--=+--=；②点P 在BC 延长线上，如图所示，作FH DE ⊥，垂足为H ，同理可得22252AP AB BP =+=，同理可证明ADE EHF ≌，∴4264HF DE BP EH AD ===+===，，设MH m =，则4EM m =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()2226452m m +=+-，解得9m =，∴3CM HM CD DE =--=；综上所述，CM 得长为1或3．【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90，∠=︒⊥AEB BF BE ，且BF BE =，延长AE 交CF 于点G ，连接DE ．猜想证明：（1）如图①，试判断四边形BEGF 的形状，并说明理由．（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CG 与GF 的数量关系，并加以证明．解决问题：（3）如图①，若159，==AB GF ，请直接写出DE 的长．【答案】（1）四边形BEGF 是正方形．理由见解析；（2）CG GF =，证明见解析；（3）317【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．（1）证明90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB 即可；（2）过点D 作DH AE ⊥于点H ，证明AEB DHA △≌△，结合ABE CBF △≌△，得到12GF CF =，得证；（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，证明DAM ABE ≌，结合ABE CBF △≌△，得到===+DM AE CF FG CG ，设CG x =，则9===+DM AE CF x ，根据勾股定理，求得x 的值，再利用DE 222=+DM ME 计算即可．【详解】解：（1）四边形BEGF 是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,ABC AB BC ∠=︒=，∴90BEG ∠=︒．∵BF BE ⊥，∴90EBF ∠=︒．∴ABE CBF ∠=∠，∵BE BF =，∴(SAS)ABE CBF △≌△，∴AEB CFB ∠=∠，90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB ，∴四边形BE FE '是矩形，又∵BE BF =，∴四边形BEGF 是正方形．（2）CG GF =．证明：如图，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则90,1390∠=︒∠+∠=︒DHA ．DA DE = ，12AH AE ∴=，∵四边形ABCD 是正方形，,90∴=∠=︒AB DA DAB ，2190∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，90AEB DHA ∠=∠=︒ ，AEB DHA ∴△≌△，AH BE ∴=，由（1）知四边形BEGF 是正方形，BE GF ∴=，∴=AH GF ，ABE CBF △≌△，AE CF ∴=，12∴=GF CF ，CG GF ∴=．（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90,∴∠=︒=DAB DA AB ，90BAE DAM ∴∠+∠=︒，90ADM DAM ∠+∠=︒ ，BAE ADM ∴∠=∠，90DMA AEB ∠=∠=︒ ．()ADM BAE AAS ∴ ≌，,AM BE DM AE ∴==，根据（2），得到CBF ABE ≌，∴===+DM AE CF FG CF ，设CG x =，∵四边形BFGE 是正方形，9GF =，9∴===+DM AE CF x ，222AB AE BE =+ ，222(9)915∴++=x ，解得3,21==-x x （舍去），93912,1293∴===+=+==-=-=DM CF AE x ME AE AM ，22222123∴=+=+DE DM ME ，解得317DE =．考点六：中点四边形例6.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG GH HE 、、，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．(1)四边形EFGH 的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足__________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的结论．【答案】(1)平行四边形，证明见解析(2)互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明见解析【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．（1）如图1，连接BD ，由点E 、H 分别是AB AD 、中点，可得EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，则EH FG ∥，EH FG =，进而可证四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，由AC BD ⊥，可得EH HG ⊥，证明平行四边形EFGH 是矩形，由AC BD =，可得EH HG =，进而可证四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形，证明如下；如图1，连接BD ，点E 、H 分别是AB AD 、中点，∴EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明如下；如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴EH HG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵AC BD =，∴EH HG =，∴四边形EFGH 是正方形．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析(2)12(3)1242n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据中位线的性质可得11A D BD ∥，1112D A D B =，11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；即有1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，证得四边形1111D C B A 是平行四边形，结合AC BD ⊥，问题得解；（2）由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，可得1112B C BD =，从而得到113A B =，114B C =，再由矩形的面积公式计算，即可．（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．【详解】（1）解：四边形1111D C B A 是矩形，理由如下：在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，∴1A 、1D 分别为AB AD 、的中点，∴11A D 是ABD △的中位线，∴11A D BD ∥，1112D A D B =，同理可得：11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；∴1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴1111A B A D ⊥，∴平行多边形1111D C B A 是矩形，（2）解：由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，∴1112B C BD =．又∵6AC =，8BD =，∴113A B =，114B C =，。
敢问完美在何方——完美正方形-小学数学三年级趣味故事专题
敢问完美在何方——完美正方形孩子们，三年的小学生活中，你们一定结交了很多“够意思”的铁哥们吧？在这些朋友中，有没有接近完美的人呢？那，一定是“上得了讲台，下得了操场”的三好学生吧？今天，我们就来聊聊“完美”这件事。
准确的说，是“完美正方形”这回事。
完美正方形是指用好多个边长不相等的小正方形拼成的大正方形。
画一个正方形很容易，但找到一个完美正方形就不是那么简单的事了。
如下图：这是一个由正方形构成的正方形，但所有正方形大小不相同。
这个标志为50的正方形，意味着它是边长为50的正方形。
这些正方形组合在一起，构成了一个边长是112的正方形。
这实际上是最小的完美正方形。
这个问题粗看起来感觉像是几千年前那些古希腊人解决的问题，一个很古老的问题，如何用正方形拼成正方形。
但事实上，这个问题在100多年前才被提出来。
1926年，前苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了设想。
所谓“完美正方形”，是指它可以用一些大小不相同，并且边长为整数的小正方形铺满。
这个消息传到了当时正在英国剑桥大学读书的塔特、斯通等四名学生的耳朵里。
直到1938年，他们终于找到了一个由69个大小不等的小正方形组成的完美正方形，还给这个完美正方形取了个名字——69阶完美正方形。
其中，“阶”字可以理解为“不同个”的意思。
次年，有人给出了一个39阶的完美正方形。
1964年，塔特的学生，滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形。
这个图形保持了12年的最佳纪录。
这是不是阶数最小的完美正方形呢？随着科技的发展，电子计算机的出现，数学家们利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。
于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。
1978年，荷兰数学家杜伊维斯廷发现了21阶的完美正方形，更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何长方形或正方形。
杜伊维斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
正方形的性质说课稿
《正方形性质》说课稿一、说教材(教材分析)《正方形的性质》这节课是九年义务教育华师大版数学教材初二年级上册第十六章第二节的内容。
纵观整个教材,《正方形的性质》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识,并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的.目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。
这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节.教材从学生年龄特征、文化知识实际水平出发,先让学生动手做,动脑思考,然后与同伴交流、探索、总结归纳，升华得出正方形的概念，再由概念去探索正方形的性质.这样的安排使学生在整个学习过程中真正享受到探索的乐趣.本节课的重点是正方形的概念和性质，难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系。
根据大纲要求及本班学生的实际情况，本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。
（一)知识目标:1、要求学生掌握正方形的概念及性质；2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证；（二）能力目标:1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力；2、发展学生合情推理意识,主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法；(三)情感目标：1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风；2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神；3、通过正方形图形的完美性，培养学生品格的完美性.二、说学生：（学生分析）这节几何课是在初二年级上的一节课。
该班学生基础一般，但上课很积极，有很强的表现欲,通过前一阵子的培养,具有一定的独立思考和探究的能力。
但该班学生的口头语言表达能力方面稍有欠缺，所以在本节课的教学过程中，设计了让学生自己组织语言培养说理能力，让学生们能逐步提高.三、说教法（教法分析）针对本节课的特点,采用”实践—-观察--总结归纳——运用”为主线的教学方法。
正方形解答题答案见菁优网
解答题1．如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE⊥AG 于E ，BF∥DE，交AG 于F ．求证：AF=BF+EF ．2．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．3．如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．（1）观察猜想BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．4．如图，在正方形ABCD 中，CE⊥DF．若CE=10cm ，求DF 的长．、管路敷设技术通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
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第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(2001年北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3. (2001年江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨 本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．注 数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ． (2002年河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (2000年苏州市中考题)(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (2003年南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( )(2003年河北省中考题)A ．22B ．21C ．23D ．32 6．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC的长为( )A．2 B．3 C．3D．22(2003年武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD中，C为CD上的一点，延长月C至F，使CF=CE，连结DF，BE与DF相交于G，则下面结论错误的是( )A．BE=DF B．BG⊥DF C．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG＝90°(2001年山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(2002年泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．(第1l届“希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为 ．(第13 “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则 △CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (2002年北京市竞赛题)(第15题) (第17题) (第18题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9. (第16届江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23 D ．33 (第12届“希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°(第19题) (第20题)20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(第15届江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD ∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(2003年郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。