2012年全国中考数学试题分类解析汇编-尺规作图

2012年全国中考数学试题分类解析汇编

专题40：尺规作图

一、选择题

1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形

乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断【】

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确

【答案】A。

【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。

【分析】根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。∴OE=DE=1

2 OD。

又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=1

2

OB。∴∠OBE=30°。

又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。

又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。

同理∠C=60°。∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。∴△ABC为等边三角形。故甲作法正确。

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD。

∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。∴△BOD为等边三角形。∴∠OBD=∠BOD=60°。

又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。∴BM为∠OBD的平分线。∴∠OBM=∠DBM=30°。

又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。

同理∠ACB=60°。∴∠BAC=60°。

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。∴△ABC为等边三角形。故乙作法正确。

故选A。

2. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明

∠AOC=∠BOC的依据是【】

A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等

【答案】A。

【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。

【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：

在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，

∴△ONC≌△OMC（SSS）。∴∠AOC=∠BOC。故选A。

3. （2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中， FG是【】

A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧

C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧

【答案】D。

【考点】作图（基本作图），平行线的判定，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠A OB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：

根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法， FG是以点E 为圆心，DM为半径的弧。故选D。

4. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取

OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于1

2

AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点

C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【】

(A)m＋2n=1 (B)m－2n=1 (C)2n－m=1 (D)n－2m=1

【答案】B。

【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。

【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为

(m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m－1。根据

角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1 。故选B。

二、填空题

1. （2012河南省5分）如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大

于1

2

EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为▲

【答案】650。

【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。

【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=250。

∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴根据三角形内角和定理，得∠B=400。

∴根据三角形外角性质，得∠ADC =400＋250=650。

2. （2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。（保留作图痕迹）

【答案】作图如下：

【考点】作图题，

【分析】正五边形的性质。连接BD，CE交于点O，连接AO，即为所求。

三、解答题

1. （2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．