LEBESGUE积分极限定理
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
4.2勒贝格积分的极限定理
f(x) fn(x) 说明 小于等于显然成立， f1(x)
因为fn(x)总在f(x)的下方， 只需证明大于等于。 fn+1(x)
没有假定fn(x) 任何收敛性
问题
？
若 lim f n ( x ) f ( x ),
n
b
ห้องสมุดไป่ตู้
lim f n ( x )dx
n a
a
b
f ( x )dx
Riemann积分的局限性 极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛)才能交 换积分次序
函数列 f n 一致收敛于 f 的几何意义:如图所示,
a
b
x
状区域之内.
函数列 { x n } 在区间 (0, 1) 上
y
1
不一致收敛, 从几何意义上
看, 就是存在某个预先给定
的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线
y x ( n N ),
n
x1
x2
O
x3
1
x
不能全部落在由 y 与
图 13 2
y 夹成的带状区域内
0, N 0, 对于序
号大于 N 的所有曲线
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x) y fn ( x)
y f ( x)
与 y f ( x ) 所夹的带
O
lim f n ( x)dx f ( x)dx ?
n E E
注 定理1反映了L 积分值与积分域之间的一种依赖关系：
第19讲Lebesgue积分的极限定理
本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟 练运用，了解一个函数 Riemann可积的 充要条件。 重点与难点：控制收敛定理及其证明。
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
由无界函数积分定义，可以作有界函数 列 f n ( x) 如下：
f n ( x)
n f ( x)
f ( x ) n f ( x ) n
,
则 f n ( x) 单调递增收敛到f(x)，且
f ( x)dx lim fesgue积分的极限定理
由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交 换顺序，即 lim∫Efn(x)dx =∫Elimfn(x)dx (1),
对一般非负可测函数{fn}，由Fatou引理 知有如下的不等式： ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx (2)
lim
n
f
E
n
( x)dx
f ( x)dx
E
第19讲 Lebesgue积分的极限定理
由此可见，问题归结为函数序列在E- Eℇ上 的积分如何变化。 回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是 区间[a,b]上的可积函数,则对 ∀ℇ>0,存在>0， 使得当[c,d][a,b]，且d-c< 时，有
| f ( x)dx | .
c
d
定积分黎曼定理
定积分黎曼定理定积分黎曼定理（LebesgueIntegralTheorem），简称为黎曼定理，是20世纪初发现的重要数学定理。
由瑞士数学家黎曼发现，它确定了极限积分和定积分之间的关系，标志着计算数学的起源。
黎曼定理是指定积分可以用极限积分来代替，即定积分的积分范围是无穷多的。
也就是说，在定积分中，当积分范围上的点数量变到无穷多时，可以用极限积分来代替定积分。
这也是传统积分的重要推论，并且表明积分也具有统计意义。
许多现代数学的应用都是建立在黎曼定理的基础之上的，特别是微分几何、拓扑学和数学物理学，都基本可以归结为定积分黎曼定理。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而极大简化了数学分析的不变性，降低计算的复杂度，使用的面更宽。
【定积分的基本概念】定积分是定义在实函数上的积分，也叫定义域积分，是积分理论中重要的概念。
定积分是指积分运算时，函数在指定的区间内定义，其实质是用函数曲线下的面积来表示函数的实际值。
定积分的计算一般分成定积分的确定法与定积分的近似计算法。
定积分确定法是按照函数定义、函数特征，使用函数谱、分类归纳等方法，最终计算出某函数的定积分问题；而定积分的近似计算法是按照特定的积分运算方法，假定积分函数是离散的、有规律的，使用数值近似法，将求解的过程转化为数值运算的过程，从而计算出某函数的定积分问题。
【定积分黎曼定理的重要性】定积分黎曼定理是积分概念的大突破，为计算数学的发展和传统积分统计理论提供了基础。
它使得定积分可以用极限积分来替换，从而简化了数学推导过程，提高了计算效率。
黎曼定理也是微分几何、拓扑学和数学物理学的基础，极大地拓展了科学的发掘和应用领域。
有无数的实例表明，定积分黎曼定理的应用确实十分广泛。
例如，它可以用来证明函数的可微性，也可以用来证明某一函数的导数的可积性，以及证明极限积分和定积分之间的某些关系等。
归结起来，可以说，定积分黎曼定理无疑是科学实践中不可缺少的。
【定积分黎曼定理的计算】根据定积分黎曼定理的定义，定积分的计算一般分为两步：确定积分的范围以及确定积分的函数。
321Lebesgue积分极限定理
lim g k ( x)dx 0.
E
最后，由 gk ( x) | f k ( x) f ( x) |, k 1,2,
f x dx f x dx
E E n
E
g n x dx,
令 n ，即知命题成立。
15
推论3.2.5设 E M ， f n M
n 1 n
n 1 E
在 E 上几乎处处收敛。
记和函数为 f x ，则 f L E ，且有
f ( x)dx f ( x)dx.
n 1 E n
E
20
证明：定义函数
F x fn x
n 1
由非负可测函数列逐项积分定理（Lebesgue基本定理）
k 1 E
证明关键：Levi渐升列积分定理。
证明：令
Sn x f k x
k 1
n
非负单调递增可测函数列且 积分线性
lim Sn x f x
n
故由Levi定理，
E
f x dx lim n
S n x dx lim f k x dx E n E
lim f n lim f n
即得2）。
n n
12
定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理) 设 E M , fk M ( E ) 且有
lim f k ( x) f ( x) a.e.
k
若存在 F L E 使得 | fn ( x) | F ( x) a.e.，则
而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！
已接触的例子？
lebesgue积分的几个充要条件
lebesgue积分的几个充要条件Lebesgue分是一种实用的数学概念，它用于衡量定义在某一特定函数上的极限。
它于1902年由法国数学家H. 依拉克莱(Henri Lebesgue)提出，是现代分析学中最基础而又最重要的定义之一。
它被广泛用于各种不同的数学问题，如求解偏微分方程、研究随机过程、处理信号等等。
Lebesgue分的几个充要条件是：（1）长性：函数的积分和总面积大于等于0，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx≥0；（2）均值定理：当f(x)为连续函数时，即积分函数f(x)，其面积I=∫af(x)dx既可以计算函数的积分，又可以计算函数的平均值，即有I=∫a[f(x)]dx=f(x)dx/n；（3）许使用分段/离散函数，一般情况下，可以用离散函数替代连续函数来计算积分，即可以用一个小的窗口，以一定的步长来计算离散函数的积分，而不需要使用连续函数；（4）法性质：即函数的积分可以分解为多个积分，并可以结合得到最后的总积分，即有I=∫af(x)dx=∑∫af1(x)dx+∫af2(x)dx+……+∫afn(x)dx；（5）盖定理：函数的积分可以用来表示定义域[a,b]的面积，也可以用来表示图像下面的积分面积，即有I=∫af(x)dx=∫bak(x)dx，其中k(x)为图像下面的函数；（6）换性质：函数积分的顺序是可以换的，即有I=∫af(x)dx=∫bf(b-x)dx；（7）线性性质：函数积分与系数相乘是线性关系，即有I=∫af(x)dx=c∫af(x)dx，其中c∈R。
Lebesgue分有很多种应用，它可以用来测量一个连续函数的极限界限，也可以用来计算多变量的函数的积分。
它也被广泛应用于函数分析、统计信号处理、最优化、概率和复变函数等领域，用来研究复杂的数学结构。
例如，可以用它来计算多元函数的导数、研究随机过程，解决最优化问题，研究复杂的微积分函数结构等等。
虽然Lebesgue分有一些明确的充要条件，但它们在实际应用中也不是绝对的。
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理是实分析中重要的定理，它们在测度论、积分论以及概率论等领域有着广泛的应用和推广。
本文将首先介绍Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理的基本概念和定理内容，然后探讨它们在实际问题中的应用及推广。
一、Fatou引理Fatou引理是测度论中的一个重要定理，它描述了非负可测函数序列的积分性质。
具体来说，如果有一列非负可测函数{fn}，则其逐点极限的下积分不大于其逐点极限的下极限的积分，即∫lim inf fn ≤ lim inf ∫fn这个定理的重要性在于它在测度论中具有广泛的应用，特别是在概率论中。
例如在概率论中，可以用Fatou引理来证明随机变量序列收敛到某个随机变量时，其期望收敛到该随机变量的期望。
二、Lebesgue控制收敛定理Lebesgue控制收敛定理是关于可测函数序列的收敛性的一个重要定理。
具体来说，如果存在一个可积函数g，使得对于所有的n，有|fn(x)|≤g(x)几乎处处成立，则当n趋向于无穷时，fn收敛到f几乎处处成立，并且有lim ∫|fn-f| = ∫lim|fn-f| = 0n→∞Lebesgue控制收敛定理的重要性在于其可以推广到广泛的函数类别，例如可测函数、几乎处处有限的函数等。
这使得该定理在实际中有着广泛的应用。
三、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理的推广及应用1. 推广Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理都可以推广到更一般的情况。
例如对于可测函数而言，可以将Fatou引理推广到Fatou定理，即逐点极限的下积分不大于其下极限的积分；Lebesgue控制收敛定理也可以推广到其他函数类别中，例如可积函数、Lp空间等。
2. 应用这两个定理在实际问题中有着广泛的应用。
在测度论中，Fatou引理可以用于证明随机变量序列的期望的性质；在积分论中，Lebesgue控制收敛定理可以用于证明函数序列的收敛性及与极限函数的关系；在概率论中，这两个定理也有着重要的应用。
第17讲Lebesgue积分的性质
第17讲 Lebesgue积分的性质
问题9：有限测度集上有界可测函数的积分 性质能否推广到一般可测函数的积分情 形（包括有限测度集上的可测函数与无 限测度集上的可测函数）？
第17讲 Lebesgue积分的性质
定理2中的（i）~(iv)对于一般可积函数也 同样是正确的。其证明需实施一下极限 手续。 *定理5 如果E是可测集，则
E
f ( x )dx lim { f ( x )}m dx
m E
m
第17讲 Lebesgue积分的性质
) 从定义5不难看到， f ( x 可积性与 | f ( x的可积相同，即有 )|
定理4 设 f ( x ) 是可测集E上的可测函数，
则 f ( x )在E上Lebesgue可积当且仅当
定义5 设 f ( x )是E上的可测函数，对任意
正整数m， E m同定义4，记
第17讲 Lebesgue积分的性质
Jm f ( x )dx, J m f ( x )dx Em Em
若 lim J m 与 lim J m 至少有一个不为+，则
称 f ( x )在E上有积分并记
(i)当 f ( x ) 在E上可测，g ( x ) 在E上非负可积，
| f ( x ) | g ( x ) 时， f ( x )也在E上可积，且
第17讲 Lebesgue积分的性质
E
| f ( x ) |dx g ( x )dx
E E
证明 因为 | f ( x ) | g ( x )，故当 g ( x )dx
第17讲 Lebesgue积分的性质
特别地，当 f ( x ) 是E上的非负可测函数时，
Lebesgue积分与收敛定理
Lebesgue积分与收敛定理Lebesgue积分是数学分析中一种重要的积分方式，它由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出，并成为现代测度论的基础。
Lebesgue 积分理论相比于传统的黎曼积分理论更加广泛适用于各种函数，且具有更强的收敛性质。
Lebesgue积分的定义和计算方法相对复杂，但其背后的思想却非常直观。
Lebesgue积分是通过测量函数在定义域上的取值与所谓的测度之间的关系来定义的。
具体而言，给定一个定义在实数轴上的函数f(x)，我们可以将实数轴分割成许多维度无穷小的区间，并在每个区间上计算函数的取值与区间长度的乘积。
然后将所有这些乘积相加，即可得到Lebesgue积分。
与黎曼积分相比，Lebesgue积分的优势在于其更强的收敛定理。
在Lebesgue积分中，我们可以定义函数序列的极限，并通过极限的性质来研究函数的收敛行为。
其中最为重要的收敛定理包括单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue收敛定理和控制收敛定理等。
单调收敛定理是指如果一个递增（或递减）的函数序列在积分定义域上逐点收敛于某个函数，那么它的积分也收敛，并且其积分值等于极限函数的积分。
这一定理在研究一些特殊的函数序列，如三角函数序列和幂函数序列时特别有用。
Fatou引理和Lebesgue收敛定理则是用来研究函数序列的逐点收敛性质的定理。
Fatou引理是指对于任意一个非负的函数序列，其逐点极限的积分不能大于或小于其下极限（上极限）的积分。
Lebesgue收敛定理则是对一般函数序列加以推广的结果，它给出了函数序列逐点收敛的充要条件，并且得出了收敛函数的积分等于极限函数的积分。
控制收敛定理是通过额外的控制函数来研究函数序列的收敛性质。
具体而言，如果对于一个函数序列，存在一个可测函数g(x)和一个可积函数h(x)，使得对于所有的x，序列中的每个函数的绝对值都小于g(x)，并且序列中的每个函数与极限函数之间的差的绝对值都小于h(x)，那么这个序列就称为控制收敛的。
riemann—lebesgue引理
riemann—lebesgue引理《Riemann-Lebesgue定理》，也被称为Riemann-Lebesgue积分定理，是数学分析中重要的结果。
该定理指出，任何有限可积函数，在闭区间上收敛到零，它的傅立叶变换后的级数在任何给定的公差δ之内在范围[-δ，δ]收敛到零。
该定理的历史源于20世纪初的数学家G.F.B. Riemann，并由20世纪中期的数学家H. Lebesgue完善和形式化。
自此以后，该定理已被广泛应用于函数分析和相关的领域。
首先，我们需要了解傅立叶级数的概念。
傅立叶级数是一种数学工具，它把一个函数表示为一组个体项的和。
它有助于我们理解某个函数，并确定其特性。
在实际情况下，当我们对函数使用傅立叶级数时，可以理解它是由一组不振幅、相位和频率的正弦波构成的。
接下来，我们需要讨论Riemann-Lebesgue定理的形式。
Riemann-Lebesgue定理指出，任何有限可积函数，在闭区间上收敛到零，它的傅立叶变换后的级数在任何给定的公差δ之内在范围[-δ，δ]收敛到零。
就是说，对于每个给定的δ，必须有无限多小的K，使得当绝对值大于K时，傅立叶级数小于δ。
由于Riemann-Lebesgue定理在分析函数和积分过程中起着重要作用，因此其应用非常广泛。
它用于求解有关积分计算的复杂问题，还可用于理解级数收敛和振荡性质，以及研究定积分、辛普森积分和函数变换的属性。
Riemann-Lebesgue定理还可以用来解决相关的分析问题，例如分析复变函数的属性，研究几何图形积分的问题，研究复变函数的收敛性质，以及解决谱分解问题。
Riemann-Lebesgue定理还可以用于解决多种相关的偏微分方程。
它可以用于解决热传导方程和对流偏微分方程，以及其它类型的偏微分方程，如Maxwell方程、Schrdinger方程、KdV方程等。
它也可以用于分析分析复变函数的属性，如极、极限等。
因此，Riemann-Lebesgue定理被广泛应用于函数分析和相关的领域，它不仅可以用来解决各种分析函数的问题，还可以用来解决多种相关的偏微分方程。
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途勒贝格控制收敛定理（Lebesgue's Dominated Convergence Theorem）是实分析中的一项重要定理，它可以用来求解极限、积分和级数等各种数学问题。
本文将从基本的控制收敛定理开始介绍，然后详细说明它的基本用途。
勒贝格控制收敛定理是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）证明提出的，它提供了在函数序列可控制并且满足一些条件下，可以交换极限运算符和积分运算符的条件。
在数学上，它属于测度论的一部分。
具体来说，如果有一个函数序列{f_n(x)}满足以下条件：1.对于所有的n，函数f_n(x)在一些测度为零的集合上有界，即存在一个实数M，使得，f_n(x)，≤M，几乎处处成立；2.存在一个可积函数g(x)，使得对于几乎处处的x，有，f_n(x)，≤g(x)，对于所有的n成立。
那么，我们可以得到以下结论：1.对于几乎处处的x，函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)；2. 序列{f_n(x)}的极限函数f(x)也是可积的，并且有∫，f_n(x)-f(x)，dx→0，即函数序列的积分与其极限函数的积分之差趋于零；3. 使用交换积分和极限运算符的公式，可得∫f(x)dx = lim(n→∞) ∫f_n(x)dx。
上述结论是勒贝格控制收敛定理所述的基本内容。
接下来我们将介绍它的基本用途。
首先，勒贝格控制收敛定理可以用于求解极限。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解一个函数序列的极限的问题。
使用勒贝格控制收敛定理，我们可以通过找到一个可控制函数序列和一个可积函数来确定极限函数。
这为我们求解各种函数的极限问题提供了一种有效的方法。
其次，勒贝格控制收敛定理可以用于求解积分。
当我们需要计算一个函数的积分时，有时会遇到难以直接计算的情况，比如被积函数不连续或者复杂。
通过构造一个逐点收敛于被积函数的可控制函数序列，再根据勒贝格控制收敛定理，我们可以将积分与极限运算符交换，从而将复杂的积分问题转化为易于计算的极限问题。
lebesgue积分收敛定理
Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。
Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。
Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。
这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。
下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。
一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。
给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。
Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。
二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。
Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。
第五章,第二节 Lesbesgue积分的极限定理
= 0 0 +
∑
∞
n =1
( 1 ) n 2 n 1 n = 3 3
4.Fatou引理 4.Fatou引理 若fn(x)为E上非负可测函数列，则 ∫ lim f ( x)dx ≤ lim ∫ f ( x)dx
E n n →∞ n →∞ E n
lim f n ( x) = sup inf { f m ( x)}
∫
a
例
试从
证明
1 = (1 x) + ( x 2 x 3 ) + K + ( x 2 n 2 x 2 n 1 ) + K ,0 < x < 1 1+ x
1 1 1 ( 1) n +1 + + K + + K ln 2 = 1 2 3 4 n
解：令 f n ( x ) = x 2 n 2 x 2 n 1 , x ∈ ( 0 ,1), n = 1, 2 ,3, L
解：令Gn 为Cantor集P的余集中长度为1/3n 的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1]上的 非负可测函数，根据积分的可数可加性知
∫
[ 0 ,1 ]
f ( x ) dx =
∞
∫
P0 ∪ ( ∪ G
n =1
∞
n
)
f ( x ) dx
=
∫
P0
f ( x ) dx + ∑
n =1
∫
Gn
f ( x ) dx
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
E1 E2 E1 E2
= ∫ g ( x)dx + ∫ g ( x)dx = ∫ g ( x)dx
安庆师范实变函数第五章积分理论5.3 Lesbesgue积分的极限定理
E
fn (x)dx E
f (x)dx
所以lim n
E
fn (x)dx
E
f (x)dx
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
fn (x)
, 且 lim n
fn (x)
f (x)
则lim n
En
n1
En
E
f(x) fn(x) cφ(x)
由引理1知
lim c (x)dx c (x)dx
n En
E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明 En {x E | fn (x) c(x)}
于是从（应用引理2）
E fn (x)dx E fn (x)En (x)dx
则 fn (x) 为非负连续函数，当然为可测函数，
从而由Lebesgue逐项积分定理知：
(L)
1 (0,1) 1 x
dx (L)
(0,1)
n1
fn (x)dx
(L)
n1
( 0 ,1)
fn (x)dx
(R)
n1
1 0
fn (x)dx
(R) 1 (x2n2 x2n1)dx ( 1 1 )
En fn (x)dx
c(x)dx c (x)dx,
En
En
f(x) φ(x) fn(x)
cφ(x)
得到lim n
E
fn (x)dx c
( x)dx
实变函数三大积分收敛定理计算题
实变函数三大积分收敛定理计算题一、实变函数三大积分收敛定理概述实变函数的三大积分收敛定理分别是：Lebesgue控制收敛定理、dominated收敛定理和Fubini定理。
它们在数学分析中起着至关重要的作用，为我们将复杂问题转化为简单问题提供了有力的工具。
1.Lebesgue控制收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且在E上几乎处处收敛于函数f，那么在E上存在非负函数F，使得F在E上勒贝格可积，且对任意k，有f_k(x)≤F(x)，那么{f_k}在E上的勒贝格积分极限存在，且极限值为f(x)的勒贝格积分。
2.Dominated收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且存在一个函数g在E上可积，使得对任意x∈E，有|f_k(x)|≤g(x)，那么{f_k}在E上的积分极限存在，且极限值为f(x)的积分。
3.Fubini定理：若函数f(x, y)在区域D上可积，那么f(x, y)关于x和y的积分可以交换顺序计算，即∫∫f(x, y)dxdy = ∫f(x, y)dy∫dx。
二、积分收敛定理在实际问题中的应用积分收敛定理在实际问题中有着广泛的应用，如求解极限、计算定积分等。
通过运用这些定理，我们可以将复杂的问题转化为更容易解决的问题，从而简化问题的处理过程。
三、计算题实例分析以下为一个利用Lebesgue控制收敛定理求函数列Lebesgue积分的极限的实例：设f_k(x) = kln(kx)e^(-kx)cos(kx)，k为正整数。
求{f_k}在区间[0, 1]上的勒贝格积分极限。
解：首先分析函数列{f_k}的性质。
易知cos(kx)是[0, 1]上的连续函数，ln(kx)和e^(-kx)是[0, 1]上的可测函数。
根据实变函数的相关定理，可得f_k(x)在[0, 1]上可积。
由Lebesgue控制收敛定理，若存在非负函数F(x)在[0, 1]上勒贝格可积，且对任意k，有f_k(x)≤F(x)，那么{f_k}在[0, 1]上的勒贝格积分极限存在，且极限值为f(x)的勒贝格积分。
4.2.1：非负可测函数的Lebesgue积分定义及基本性质
4.2.1：非负可测函数的Lebesgue积分定义及基本性质4.2：非负可测函数的Lebesgue积分4.2.1:非负可测函数的Lebesgue积分定义及基本性质按照上一节最后的引入，我们证明如下定理：Theorem1: 设和是可测集上两列非负简单函数, 而且对几乎所有的和都单增收敛于相同的极限, 则分析：一般对于这样的证明，我们的证明方法一般是证明左边小于右边，右边小于左边，而事实上很显然有：然后我们根据上一节最后的引理，就可以得到最终结果.下边给出严格证明：证明任意固定 , 则对几乎所有的有因此由上一节最后的引理在上式中令 , 得同理相反的不等式也成立.由此我们证明了，我们在上一节最后留下的问题，所以可以合理的引出非负可测函数的Lebesgue积分的定义Definition 2:(非负可测函数的Lebesgue积分) 设是可测集上的非负可测函数. 由简单函数逼近定理, 可取上的非负简单函数列 , 使对每一单增收敛于此时在上的 Lebesgue 积分定义为并称的积分由来定义. 此外当时, 称在上可积.类似地，非负可测函数也有前面非负简单可测函数积分的全部性质：Theorem 3: 设和都是可测集上的非负可测函数.1.特别地, 当时, ;2.若和是两个非负实数, 则3.若在上几乎处处有 , 则4.若在上几乎处处有 , 则5.若和是的两个不相交的可测子集,则其他的证明完全和上一节的类似，我们仅对3做一些说明：取,那么有：所以：又因为：,所以积分为0，故有：接下来我们引入两个比较重要且平凡的定理，他们的证明方法对我们以后的定理的证明方法很有效果即用集合的语言说话(这里有必要提一下，由于我们先学习的是Riemann积分，所以很多时候证明方法就直接搬抄Riemann积分那一套方法，但事实上在Lebesgue积分中，直接用到Riemann积分那一套的东西不多，很多情况下还是用集合分解，用集合的语言说话，所以很有必要掌握这一套方法.)Theorem 4:1.若在上几乎处处等于零,则; 若, 则若 , 则在上几乎处处等于零.(这里非负.)2.若是上的非负可积函数,则在上是几乎处处有限的.1.当几乎处处为0，结论是显然的；我们来看当非负时，积分为0时，是否有几乎处处为0；注意到：又因为：,所以：,所以：2.我们有类似的想法：而且注意到：是单调递减的，又：两边取极限即得所证.Music Time：又别循环了！期待一点小赞赏，给孩子点鼓励！。
勒贝格积分定义及基本定理
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
(1) Levi定理 问题3：从定理的条件，函数序列的极
限与函数序列可否比较大小？ 问题4：定理中并未假定集合的测度有
限，也未假定函数序列有界， 如何克服这一困难？
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
(2) Lebesgue基本定理的证明
k
令
Sk (x) fm (x)，
m1
则 Sk 是 E 上的非负可测函数，
Sm (x) Sm1(x), x E, m 1,2,,
并且
f
(
x)
lim
m
Sm
(
x)，
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
故由Levi定理知
k
f (x)dx lim k
E
k 1 E
k 1 E
类似可证
f
(x)dx
f
(x)dx。
E
k 1 E
由 f(x) 在 E 上有积分知 f dx与 f dx
E
E
至少有一个不为∞，不妨设 f dx ，
E
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
于是由
f (x)dx f (x)dx，
Ek
E
知 f + 在每个 Ek 上可积，且有
注意到 f , f 都是有界可测的，所以
f f 是非负Lebesgue可积函数，从而
( f f )dx f dx f dx 0.
[a,b]
[a,b]
[ a ,b ]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又 f (x)dx m (x)dx
实变函数论课件第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、可测矩形
以看出，之所以需要一个可积的控制函
数，是为了使得函数序列在测度充分小
的集合上的积分可以由某个可积函数在
该集合上的积分控制，进而其积分的绝
对连续性相对于n具有某种“一致连续
性”条件来替代，这种一致连续性即下
面的
实变函数论课件第20讲 Lebesgue 积分的极限定理(续)、可测矩形
第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、 可测矩形
第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、 可测矩形
目的：掌握Vitali定理，并能熟练运用。 熟悉乘积空间中的可测矩形概念。
重点与难点：Vitali定理及其证明。
实变函数论课件第20讲 Lebesgue 积分的极限定理(续)、可测矩形
第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、 可测矩形
第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、 可测矩形
首先假设 A 与 B 都有界。 (i) 如果 A, B 都是长方体，则 A×B 是 Rnm中的长方体，显然可测。 (ii) 如果 A, B 都为开集，则由第二章 §2节的引理1知存在两个互不相交的
长方体序列 {Ii}i1,{Ji}i1，使得
1 2i2
1 2i2
1 2i
.
实变函数论课件第20讲 Lebesgue 积分的极限定理(续)、可测矩形
第20讲 Lebesgue积分的极限定理(续)、 可测矩形
由Riesz定理，有{ f(x)}的子序列 { fni (x)}，使
f
(x)
lim i
fni (x)
a.e.[ E ]，
不妨设 ni Ni，于是
1 2i2 (mE
1)
,
Em,n (i)
Ex
勒贝格积分定义及基本定理
(ff)d xfd xfd x0.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又 f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
mi(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dxi1来自f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
M i(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dx
E
E kE
E kE
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 mEk，且在 Ek 上，
{f(x)}l m l i m {fm(x)}l，
由Egoroff定理知，存在
mE 4l ，且在 Ek E
E Ek，使 上 {fm(x)}l
一致收敛到 {f (x)}l。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
b
f(x)dxa f(x)dx,
[a,b]
此处 f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
[ a ,b ]
b f (x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。 a
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
D m :a x 0 (m ) x 1 (m ) x i ( m m ) b ,D m 1
42勒贝格积分的极限定理
因此，对 0，当n N 时,有
E fn (x)dx
f (x)dx
E
[
E
fn (x)
f
( x )]dx
[
Ek
fn (x)
f
( x )]dx
[
E \ Ek
fn(x)
f
( x)]dx
2
E \ Ek
fn f dx
2F (x)dx
性, 0，使当mA 时，有
A F (x)dx 3 ．
(4.2.2)
对上述 ,根据 fn f ,则存在自然数 N ,当n N 时,有
mE[
fn (x)
f
(x)
3(mE
] 1)
.
(4.2.3)
记
En
E[
fn (x)
f
(x)
3(mE
], 1)
E
n EN
f (x)
dx lim
N
n
E
fn (x)dx ，
因此
证毕．
E
f (x)dx lim
n
E
fn (x)dx ．
Lvei 定理的重要性在于非负单增可测函数列，其极限运 算和积分运算的次序可以交换．而任何非负可测函数可由单
增的非负简单函数列来逼近，因此非负可测函数的积分性质
n
n
记 E E fn (x) fn1(x) ，则 mE 0 ．在 E0 E \ E
n1
上， f (x) lim fn (x) 存在，可测，且有 n
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lim fn
n
lim n
fn
即得2）。
12
定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理) 设 E M , fk M (E) 且有
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
若存在 F L E 使得 | fn(x) | F(x)
a.e.，则
fn, f LE
且
lim
k
fk (x)dx
f (x)dx
E
由于
lim
k
g
k
(
x)
0,
a.e.
得
lim
k
gk (x)dx 0，
E
即
lim
k
gk (x)dx 0.
E
最后，由 gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
E f xdx E fn xdx E gn xdx,
令 n ，即知命题成立。 15
推论3.2.5设 E M ， fnM (E) ，且 fn m f 若 F LE ，满足 fn F a.e. ，则
f E
x dx
E f xn xdx n1
f xdx
n1 En
类似的，
f xdx
f xdx.
E
n1 En
5
若 f 在 E 上积分存在，
E f xdx 与 E f xdx
至少一个有限，
不妨设 于是正项级数
特别的，n
E f xdx .
f xdx f xdx
n1 En
E
f xdx En
所以 f 在 En 上积分存在。
6
若 f LE ，即 f xdx E
因而对每个 n
E f xdx
f xdx En
f xdx
En
故 f L En .
E f xdx E f xdx E f xdx
f xdx
fk L(E)
且
lim
n
E fn xdx
f xdx
E
，
证明：由于 fn m f 由Riesz定理，存在子列 fnk f a.e.
由Lebesgue控制收敛定理， f LE
记： gn (x) | fn (x) f (x) |, n 1, 2,L
类似上面定理，只需要证明
lim
n
gn (x)dx 0.
E
E
左侧极限存在？
注：可积函数 F 称为函数列 fk 的控制函数。
13
证明：由于
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
f 为可测函数。进而由 | fn (x) | F (x) a.e.
知： | f | F a.e.
因此 fn, f L E
考虑 E 上可积函数列
gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
由于 0 | gk (x) | 2F (x) k 1, 2,L 由Fatou引理，
lim(2F(x) k E
gk (x))dx
lim (2F (x)
k E
gk (x))dx
14
即 2
F (x)dx
lim
k
g
k
(
x)dx
2
F (x)dx lim k
gk (x)dx
E
E
E
•若存在可积函数 g fn g a.e. ，则；
lim E n
fn
x dx lim
n
E
fn xdx;
•若存在可积函数g fn g a.e. ，则
E
lim
n
fn
x dx lim n
E
fn xdx.
证明：1）对函数列 fn g 应用Fatou引理即得1）；
2）在对函数列 fn 应用1）的结果，并意到
n
gn
x
dx
lim n
E gn x dx
lim
n
E gn
x dx
lim n
E
fn xdx.
9
定理3.2.3(Fatou引理) 设 fn 是可测集 E 上非负可测函数列，则
E
lim
n
fn
xdx
lim
n
E
fn
x dx
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
n
证明：令 Sn x fk x k 1 非负单调递增可测函数列且
lim
n
Sn
x
f
x
故由Levi定理，
积分线性
n
f x dx
E
lim
n
E Sn
x dx lim n k 1
E fk xdx
E fk xdx k 1
注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。
3
推论3.2.2设En是可测集 E 中互不相交可测子集，
例子：考虑 R 上非负函数列 fn x
1
x2
e 2n
2n
n 1, 2,L
则 R fn xdx 1.
高斯分布
但是当 x 0
时，
lim
n
fn x 0 :
f
x
即极限函数 f x 0 a.e. 于是，
R
lim
n
fn
xdx
0
1 lim n
R fn xdx
11
练习：设 fn 是一列可测函数。
f xdx
n1 En
n1 En
f xdx f xdx
n1 En
En
f xdx
n1 En
8
证明：考虑非负函数
gn x inf f j x : j n
则 gn 非负可测单调递增，且
lim
n
gn
x
lim
n
fn
x
利用Levi定理，
E
lim
n
fn
x dx
E
lim
E
17
假如结论不成立，则存在 0 与 n1 n2 L ，使得
gni (x)dx i 1, 2,L
Lebesgue积分的极限定理
设 fn 是函数列且按照某种意义收敛到 f .
在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：
若每个 fn 都可积，则 f 是否可积？ 若 f 可积，那么 fn 积分的极限是否为 f 的积分？
即积分与极限是否可以交换次序？
在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积 分与极限可以交换次序，
而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！
已接触的例子？
1
3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理
定理3.2.1（Lebesgue基本定理）
设 fn x是可测集合E上非负可测函数列，
f x fk x k 1
则
E f xdx
E fk xdx k 1
证明关键：Levi渐升列积分定理。
1)若 f
E UEn.
n1
在E上积分存在，则在每个 En 上积分存在；
2）若 f LE，则 f L En ，且
E f xdx n1
f xdx
En
积分对积分域的可列可加性
证明：简记n x为En的特征函数，则
En f xdx E f x n xdx
由于 f x f x n x n1