LEBESGUE积分极限定理

f xdx
n1 En
n1 En
f xdx f xdx
n1 En
En
f xdx
n1 En
8
证明：考虑非负函数
gn x inf f j x : j n
则 gn 非负可测单调递增，且
lim
n
gn
x
lim
n
fn
x
利用Levi定理，
E
lim
n
fn
x dx
E
lim
•若存在可积函数 g fn g a.e. ，则；
lim E n
fn
x dx lim
n
E
fn xdx;
•若存在可积函数g fn g a.e. ，则
E
lim
n
fn
x dx lim n
E
fn xdx.
证明：1）对函数列 fn g 应用Fatou引理即得1）；
2）在对函数列 fn 应用1）的结果，并意到
由于 0 | gk (x) | 2F (x) k 1, 2,L 由Fatou引理，
lim(2F(x) k E
gk (x))dx
lim (2F (x)
k E
gk (x))dx
14
即 2
F (x)dx
lim
k
g
k
(
x)dx
2
F (x)dx lim k
gk (x)dx
E
E
E
fk L(E)
且
lim
n
E fn xdx
f xdx
E
，
证明：由于 fn m f 由Riesz定理，存在子列 fnk f a.e.
由Lebesgue控制收敛定理， f LE
记： gn (x) | fn (x) f (x) |, n 1, 2,L
类似上面定理，只需要证明
lim
n
gn (x)dx 0.
1)若 f
E UEn.
n1
在E上积分存在，则在每个 En 上积分存在；
2）若 f LE，则 f L En ，且
E f xdx n1
f xdx
En
积分对积分域的可列可加性
证明：简记n x为En的特征函数，则
En f xdx E f x n xdx
由于 f x f x n x n1
E
E
左侧极限存在？
注：可积函数 F 称为函数列 fk 的控制函数。
13
证明：由于
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
f 为可测函数。进而由 | fn (x) | F (x) a.e.
知： | f | F a.e.
因此 fn, f L E
考虑 E 上可积函数列
gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
而在Lebesgue积分框架下，条件很弱！
已接触的例子？
1
3.2.1Lebesgue积分与极限运算的交换定理
定理3.2.1（Lebesgue基本定理）
设 fn x是可测集合E上非负可测函数列，
f x fk x k 1
则
E f xdx
E fk xdx k 1
证明关键：Levi渐升列积分定理。
n
gn
x
dx
lim n
E gn x dx
lim
n
E gn
x dx
lim n
E
fn xdx.
9
定理3.2.3(Fatou引理) 设 fn 是可测集 E 上非负可测函数列，则
E
lim
n
fn
xdx
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lim
n
E
fn
x dx
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
注：Fatou引理中，不等号可能会出现。
Lebesgue积分的极限定理
设 fn 是函数列且按照某种意义收敛到 f .
在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题：
若每个 fn 都可积，则 f 是否可积？ 若 f 可积，那么 fn 积分的极限是否为 f 的积分？
即积分与极限是否可以交换次序？
在Riemann积分框架下，要附加很强条件，使得积 分与极限可以交换次序，
lim fn
n
lim n
fn
即得2）。
12
定理3.2.4(Lebesgue控制收敛定理) 设 E M , fk M (E) 且有
lim
k
fk (x)
f
(x)
a.e.
若存在 F L E 使得 | fn(x) | F(x)
a.e.，则
fn, f LE
且
lim
k
fk (x)dx
f (x)dx
n1 En
E
f xdx En
所以 f 在 En 上积分存在。
6
若 f LE ，即 f xdx E
因而对每个 n
E f xdx
f xdx En
f xdx
En
故 f L En .
E f xdx E f xdx E f xdx
f xdx
例子：考虑 R 上非负函数列 fn x
1
x2
e 2n
2n
n 1, 2,L
则 R fn xdx 1.
高斯分布
但是当 x 0
时，
lim
n
fn x 0 :
f
x
即极限函数 f x 0 a.e. 于是，
R
lim
n
fn
xdx
0
1 lim n
R fn xdx
11
练习：设 fn 是一列可测函数。
E
由于
lim
k
g
k
(
x)
0,
a.e.
得
lim
k
gk (x)dx 0，
E
即
lim
k
gk (x)dx 0.
E
最后，由 gk (x) | fk (x) f (x) |, k 1, 2,L
E f xdx E fn xdx E gn xdx,
令 n ，即知命题成立。 15
推论3.2.5设 E M ， fnM (E) ，且 fn m f 若 F LE ，满足 fn F a.e. ，则
f E
x dx
E f xn xdx n1
f xdx
n1 En
类似的，
f xdx
f xdx.
E
n1 En
5
若 f 在 E 上积分存在，
E f xdx 与 E f xdx
至少一个有限，
不妨设 于是正项级数
特别的，n
E f xdx .
f xdx f xdx
n
证明：令 Sn x fk x k 1 非负单调递增可测函数列且
lim
n
Sn
x
f
x
故由Levi定理，
积分线性
n
f x dx
E
lim
n
E Sn
x dx lim n k 1
E fk xdx
E fk xdx k 1
注：非负可测函数的级数求和与积分次序可换。
3
推论3.2.2设En是可测集 E 中互不相交可测子集，
E
17
假如结论不成立，则存在 0 与 n1 n2 L ，使得
gni (x)dx i 1, 2,L