数值计算课后答案4

习 题 四 解 答

1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。

设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为

解之得11

1

a e

b -⎧=-⎨=⎩

则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 所以

01

0101

()max max (1)

2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤

-=⨯⨯

=。

2选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。

解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 即

解之得

则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以

3、设(0,1,2,

,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明：

（1）0()(0,1,2,

,)n k k i i i x l x x k n ===∑；

（2）0

()()0(0,1,2,

,)n

k i i i x x l x k n =-==∑。

证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n

n i i i p x l x y ==∑，

而y i =x i k ,

所以0

()()()n n

k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑

同时，插值余项 所以0()n

k k i i i l x x x ==∑

结论得证。

（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=

对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为

0()()()n

k n i i i p x x t l x ==-∑，

由余项公式，得

(1)

(1)011

()()()()()()()()0

(1)!(1)!

n

n k

k n k

i i i r x x t x t l x f x x t x n n ξ

ξππ++==---=

=-=++∑所以

令t=x ，

4

()f x = (1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；

(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。

解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式是

用x=2.3代入，得 (2)

根据定理2f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…

+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)

+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。 以表中的上方一斜行中的数为系数，得

f(2.15)＝1.41421＋0.3501 ×(2.15-2.0)－0.047 ×(2.15-2.0) ×(2.15-2.1) ＝1.663725

指出： 误差未讨论。 5

57

()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26

p x x x x x x x x x x x =++--------。

指出： 余项未讨论。

解：由已知条件，显然，x 0=0，h=1，x=t 。

0(1)(1)(2)(1)(2)(3)

()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35

167(1)(1)(2)(3)

36

n n t t t t t t t t t p x th p t t t t t t t t t t t t ------+==+⨯+

⨯+⨯-+⨯---=+------指出:

在本题这种情况下,实际上()()n n p t p x =，也就是说,在这样的条件下,t 的多项式就是x 的多项式，可以直接转换。

一般情况下，把t 的关系转换为x 的关系需要根据x=x 0+th ，将t 用x 表示，即

将0

x x t h

-=代入得到的多项式。

6

解：所给节点是等距结点：

000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5i x h x x ih i ===+=。

令0

0()x x th t h

=+=

,根据等距结点插值公式，得 0(1)

()()0.79618(0.02284)(0.00679)

2!

(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)

3!4!5!

n n t t p x th p t t t t t t t t t t t t t t -+==+⨯-+⨯----------+⨯-+⨯+⨯-则

(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,

(0.636)(0.6363)(0.125 4.088)0.651804826n n n n f p p h f p p h ≈=+=≈=+=。

7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且