思维特训(十三) 中点四边形含答案

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苏科版八年级下册第九章—中点四边形提优训练(有答案)

八下第九章—中点四边形提优训练姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为()A.9B. 12C. 18D. 不能确定2.如图，已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是()A.矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形3.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形①平行四边形；②菱形；③对角线互相垂直的四边形；④对角线相等的四边形，满足条件的是()A. ①③④B. ②③C. ①②④D. ①②③4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是()A. 四边形EFGH是矩形B. 四边形EFGH是菱形C. 四边形EFGH是正方形D. 四边形EFGH是平行四边形5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，顺次连接四边形ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD，②△ABO与△CBO周长相等；③∠DAO=∠CBO；④∠DAO=∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是()A. 12B. 13C. 14D. 157.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n.下列结论正确的有()①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是a+b4④四边形A n B n C n D n的面积是ab2n+1．A. ①②B. ②③C. ②③④D. ①②③④二、填空题8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC=20，BD=16.点E，F，G，H分别是边AB.BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为________．9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若四边形EFGH的面积12，则四边形ABCD的面积为______ ．10.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加______条件，就能保证四边形EFGH是菱形．11.顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个____________四边形．12.如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是______．13.如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60，顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去。

中点四边形专题训练(苏华强供稿)

中点四边形专题训练(苏华强供稿)例1.在四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连结EF ，FG ，GH ，HE 。

（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。

例2、如图,在四边形ABC 中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证:四边形MNPQ 是矩形.小结：中点四边形：对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 . (2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 . (3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 . (4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 . (5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 .中点四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.例3.如图，四边形ABCD 取其四边中点E 、F 、G 、H ，得四边形EFGH 。

若四边形ABCD 的面积为a ，求EFGH S 四边形思路一：（整体思想与转化思想）要说明，四边形EFGH 的面积是21ABCDS，转化为说明ABCD HGD FCG BEF AEH S S S S S 四边形21=+++∆∆∆∆。

连接BD ，说明： ①ABCD FCG AEH S S S 41=+，② ABCD DGH BEF S S S 四边形41=+即可。

方法二：（整体思想与转化思想）延长EH 于M ，使HM=EH延长FG 至N ，使GN=FG ，连接MN 要说明，EFG H S 平行四边形=21ABCDS，转化为说明 EFG H S 平行四边形 =21EFNM S 平行四边形；EFNM S 平行四边形=ABCD S 四边形只要说明： ΔAEH ≌ΔDHMΔFCG ≌ΔNDG ΔMDN ≌ΔEBF 即可。

八年级数学下册中点四边形模型(解析版)

专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。

(完整版)2014年几何专题训练中点四边形难题突破【原创】

中点四边形训练几何专题一．选择题（共5小题）1．顺次连接圆内接梯形四边的中点所得的四边形是（)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．顺次连接凸四边形各边中点所得到的四边形是正方形时,原四边形对角线需满足的条件是（）A．对角线相等且垂直C．对角线垂直B．对角线相等D．一条对角线平分另一条对角线3．如图，在四边形ABCD中，E,H，F，G分别是AB，BD，CD,AC 的中点，要使四边形EHFG为菱形，需要添加条件（)A．AC=BD B．AD=CD C．AB=BC D．AD=BC4．下列说法正确的是（）A．依次连接任意四边形各边中点可以得到一个矩形B．依次连接矩形各边的中点能得到一个矩形C．依次连接正方形各边的中点能得到一个正方形D．依次连接菱形各边的中点能得到一个菱形5．如图，矩形ABCD中,AB=6,AD=8,顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…,依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为（）A．14B．10C．5D．2.5二．解答题（共9小题）6．如图,在四边形ABCD中，AC=BD，且AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．7．如图，在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．(1）求证：四边形EFGH是菱形；(2)若AC=8，求EG2+FH2的值．8．如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点,BD与CE交于点O．点F、G分别是线段BO、CO的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；(2）如图2，若AO=BC，求证:四边形DEFG是菱形；（3)若AB=AC，且AO=BC=6,直接写出四边形DEFG的面积．9．如图,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1）判断四边形EFGH的形状，并说明你的理由；(2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）10．已知：如图，四边形ABCD中,对角线相交于点O、E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．（1）请说明四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．11．课题学习:(1)如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，正方形ABCD的面积记为S1，EFGH的面积为S2,则S1和S2间的数量关系：_________ ；（2)如图2，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_________ 形，菱形ABCD的面积为S1，EFGH的面积为S2，则S1和S2间的数量关系：_________ ；(3）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD,垂足为O，E、F、G、H分别为各边的中点．四边形EFGH是_________ 形；若梯形ABCD的面积记为S1,四边形EFGH的面积记为S2，由图可猜想S1和S2间的数量关系为：_________ ；(4）如图4，E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，H、F分别是边形AD、BC 上的点，且四边形EFGH为平行四边形，若把平行四边形ABCD的面积记为S1，把平行四边形形EFGH的面积记为S2，试猜想S1和S2间的数量关系，并加以证明．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．试判断线段MN、PQ的关系，并加以证明．13．如图,梯形ABCD中，AD∥BC,M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证:MN 和PQ互相平分．14．证明：中点四边形的面积为原四边形面积的一半（不用相似三角形)．。

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

中点在平行四边形中的应用
总结词
矩形中点性质
详细描述
矩形的对角线相等且互相平分，中点到矩形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于矩形中点的问题。
中点在矩形中的应用
菱形中点性质
总结词
菱形的对角线互相垂直且平分，中点到菱形四个顶点的距离相等，利用这一性质可以解决关于菱形中点的问题。
详细描述
中点在菱形中的应用
中点问题经典例题解析
03
VS
平行四边形中点应用例题是解决中点问题的重要题型之一，通过证明两个三角形全等，得到对应边相等，从而得出中点结论。
详细描述
平行四边形中点应用例题通常涉及两个三角形，其中一个是平行四边形，另一个是三角形或平行四边形。通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法。
总结词
平行四边形中点应用例题
总结词
矩形中点应用例题通常涉及矩形的对角线，通过对角线平分矩形得到两个全等的三角形，从而得出中点结论。
详细描述
矩形中点应用例题通常涉及两个全等的三角形，通过证明这两个三角形全等，可以得出对应边相等，从而得出中点结论。在证明全等时，通常需要利用矩形的性质和对角线平分矩形的性质。
菱形中点应用练习题
中点问题易错点及注意事项
05
1
中点应用常见的错误及解决办法
2
3
四边形中点与中位线概念不同，中点是四边形两边中点的连线，而中位线是四边形两对角线中点的连线。
混淆中点与中位线的概念
中点四边形是指以四边形的各边中点为顶点的四边形，其具有平行四边形的性质，但并不总是平行四边形。
未掌握中点四边形的性质

中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题18.13中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD 中，AC BD =，顺次连接四边形各边中点得到的图形是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．以上都不对【分析】根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形．【解析】E ，F 分别是DC ，AD 的中点， 12EF AC ∴=，//EF AC ，同理，12GH AC =，//GH AC ，12GF BD =， EF GH ∴=，//EF GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EF GF ∴=，∴平行四边形EFGH 为菱形，故选：A ．2．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出//EF AC ''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''，求出EH FG =，//EH FG ，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH 是平行四边形，根据菱形的性质得出AC B D ''⊥''，求出90HEF ∠=︒，根据矩形的判定得出四边形EFGH 是矩形，即可判断④．【解析】①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误； ②如图，AC BD ⊥，但是四边形ABCD 不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误； ③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；④如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形A B C D ''''的边A B ''、B C ''、C D ''、A D ''的中点，//EF AC ∴''，12EH B D =''，//EH B D ''，12FG B D =''，//FG B D ''， EH FG ∴=，//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，四边形A B C D''''是菱形，∴''⊥''，AC B DEH B D''，//EH AC∴⊥''，EF AC''，//∴⊥，EF EH即90∠=︒，HEF∴四边形EFGH是矩形，故④正确；所以正确的个数是1，故选：D．3．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是()A．若AC BD=，则四边形EFGH为菱形B．若AC BD⊥，则四边形EFGH为矩形C．若AC BD⊥，则四边形EFGH为正方形=，且AC BDD．若AC与BD互相平分，且AC BD=，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD===，=时，存在EF FG GH HE故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BDEFG FGH GHE∠=∠=∠=︒，⊥时，存在90故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；===，⊥，存在EF FG GH HE C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC BD=，且AC BD∠=∠=∠=︒，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；90EFG FGH GHED、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC BD=，故四边形EFGH 为菱形，故本选项符合题意；故选：D．4．（2021春•樊城区期末）如果一个四边形的对角线相等，顺次连接该四边形四条边的中点，可以得到( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，//EF BD∴，//GH BD，12EF BD=，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH是平行四边形．如图，连接AC、BD，AC BD=，12EF BD=，12EH AC=，EF EH∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．5．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是()A ．当AC BD ⊥时，四边形EFGH 为菱形B ．当AC BD =时，四边形EFGH 为矩形C ．当AC BD ⊥，AC BD =时，四边形EFGH 为正方形D ．以上说法都不对【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH 为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，//EF AC ∴，12EF AC =，//GH AC ，12GH AC =，//EH BD ，12EH BD =， //EF GH ∴，EF GH =，∴四边形EFGH 为平行四边形，当AC BD ⊥时，EF EH ⊥，∴四边形EFGH 为矩形，A 选项说法错误；当AC BD =时，EH EF =，∴四边形EFGH 为菱形，B 选项说法错误；当AC BD ⊥，AC BD =时，EF EH ⊥，EF EH =，∴四边形EFGH 为正方形，C 选项说法正确；D 选项说法错误；故选：C ．6．（2019•青神县一模）如图，正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，若四边形EFGH 的面积是2，则正方形ABCD 的周长是( )A ．4B ．42C ．8D ．82【分析】根据正方形的性质得到AB BC CD AD ===，求得AE BE BF CF CG DG DH AH =======，根据全等三角形的性质得到EF FG HG EH ===，45AHE DHG ∠=∠=︒，求得90GHE ∠=︒，求得1AE AH ==，得到正方形ABCD 的边长为2，于是得到答案．【解析】正方形ABCD 四边的中点分别是E 、F 、G 、H ，AB BC CD AD∴===，∴=======，AE BE BF CF CG DG DH AH∠=∠=∠=∠=︒，A B C D90∴∆≅∆≅∆≅∆，AEH BFE CGF HDE SAS()∠=∠=︒，AHE DHGEF FG HG EH∴===，45GHE∴∠=︒，90∴四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的面积是2，∴四边形EFGH2，∴==，AE AH1∴正方形ABCD的边长为2，∴正方形ABCD的周长是8，故选：C．7．（2019•江油市二模）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是()A．任意一个四边形的中点四边形是菱形B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．【解析】A、任意一个四边形的中点四边形是平行四边形，故此选项错误；B、任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，正确；C、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，故此选项错误．故选：B．8．（2019•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是正方形，=，且AC BD⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC⊥时，中点四边形是矩形，当对角线AC BD=，=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD且AC BD⊥时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．9．（2021秋•金水区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形”进行判断即可．【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故③错误；当对角线BD AC=时，中点四边形是菱形，当对角线AC BD⊥时，中点四边形是矩形，故①②错误，所以正确的有0个，故选：A．10．（2021春•德阳期末）如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：①若AC BD=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是菱形，则AC与BD互相垂直；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，再由菱形、矩形以及正方形的判定分别对各个说法进行判断即可．【解析】E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EH∴是ABD∆的中位线，FG是CBD∆的中位线，EF是ABC∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD=，//FG BD，12FG BD=，//EF AC，12EF AC=，//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形，①AC BD=，EH EF∴=，∴平行四边形EFGH是菱形，故①错误；②AC BD⊥，EF EH∴⊥，90FEH∴∠=︒，∴平行四边形EFGH 是矩形，故②错误；③若四边形EFGH 是菱形，则AC BD =，故③错误；④对角线AC BD =，且AC BD ⊥时，中点四边形EFGH 是正方形，故④正确，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2021春•阿拉尔期末）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是正方形．【分析】由三角形中位线定理得//EH BD ，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =，则//EH FG ，EH FG =，得四边形EFGH 是平行四边形，再怎EH EF =，则平行四边形EFGH 是菱形，然后证90FEH ∠=︒，即可得出结论．【解析】如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EH ∴是ABD ∆的中位线，FG 是CBD ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线，//EH BD ∴，12EH BD =，//FG BD ，12FG BD =，//EF AC ，12EF AC =， //EH FG ∴，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，AC BD =，EH EF ∴=，∴平行四边形EFGH 是菱形，又AC BD ⊥，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形，故答案为：正方形．12．（2021秋•寿光市期末）下列说法正确的是 A 、C ．A ．对角线相等的菱形是正方形B ．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C ．成轴对称的两个图形全等D ．有三个角相等的四边形是矩形【分析】利用正方形的判定方法、菱形的判定方法、矩形的判定方法及全等图形的定义分别判断后即可确定正确的答案．【解析】A 、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B 、顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C 、成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D 、有四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意．故答案为：A 、C ．13．（2020春•西华县期末）如图所示，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，且AC BD ⊥，已知10AC =，8BD =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EG 41 ．【分析】易证四边形HEFG 是平行四边形，因为AC BD ⊥，所以HG EH ⊥，所以四边形HEFG 为矩形，进而由勾股定理得到22EG HE HG +．【解析】E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，152HG EF AC ∴===，142EH FG BD ===， E ，H ，是AB ，AD 中点，//HE BD ∴，12HE BD =，同理//FG BD ，12FG BD =， ∴四边形HEFG 是平行四边形， AC BD ⊥，HG EH ∴⊥，∴四边形HEFG 为矩形，22224541EG HE HG ∴=+=+4114．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，依次连接AO ，BO ，CO ，DO 的中点E ，F ，G ，H ，得到四边形EFGH ，点M 是EF 的中点，连接OM ，若10AB =，则OM 的长为 2.5 ．【分析】根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据三角形中位线定理得到152EF AB ==，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解析】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， E 、F 分别为OA 、OB 的中点，152EF AB ∴==，在Rt EOF ∆中，M 是EF 的中点，1 2.52OM EF ∴==，故答案为：2.5．15．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD 中，AD BC =，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，四边形EHFG 是菱形．【分析】由已知条件得出GF是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，由三角形中位线定理得出//GF EH，GF EH=，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE EH=，即可得出四边形EHFG是菱形．【解析】证明：点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，GF∴是ADC∆的中位线，GE是ABC∆的中位线，EH是ABD∆的中位线，//GF AD ∴，12GF AD=，12GE BC=，//EH AD，12EH AD=，//GF EH∴，GF EH=，∴四边形EGFH是平行四边形，又AD BC=，GE EH∴=，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足对角线垂直且相等条件时，四边形EFGH是正方形．【分析】根据三角形中位线定理得到//EF BD，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．【解析】点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，//EF BD ∴，12EF BD=，//GH BD，12GH BD=，12EH AC=，//EF GH∴，EF GH=，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC BD=时，EF EH=，∴平行四边形EFGH为菱形，当AC BD⊥时，EF EH⊥，∴菱形EFGH为正方形，∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，故答案为：对角线垂直且相等．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是①②③．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答．【解析】中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③．18．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD ，若M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ 是平行四边形；②四边形MNPQ 是矩形；③四边形MNPQ 是菱形； ④四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是 ①③ ．【分析】连接AC 、BD ，由三角形中位线定理得出//MN AC ，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =，则//MN PQ ，MN PQ =，MN MQ =，证出四边形MNPQ 是平行四边形，四边形MNPQ 是菱形；①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC 、BD ，如图：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，MN ∴是ABC ∆的中位线，PQ 是ACD ∆的中位线，MQ 是ABD ∆的中位线，//MN AC ∴，12MN AC =，//PQ AC ，12PQ AC =，//MQ BD ，12MQ BD =， //MN PQ ∴，MN PQ =，MN MQ =，∴四边形MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形；故①③正确；当AC BD ⊥时，MN MQ ⊥，四边形MNPQ 是矩形，四边形MNPQ 是正方形．故②④不正确；故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）①当AB 与CD 满足条件 AB CD = 时，四边形EGFH 是菱形；②当AB 与CD 满足条件时，四边形EGFH 是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点，EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ，同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）①F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ，当AB CD =时，EG FG =，∴四边形EGFH 是菱形；②//HF AB ， HFC ABC ∴∠=∠，//FG CD ，GFB DCB ∴∠=∠，90ABC DCB∴∠+∠=︒，90HFC GFB∴∠+∠=︒，90GFH∴∠=︒，∴平行四边形EGFH是矩形，故答案为：①AB CD=；②AB CD⊥．20．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为BAC∠内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB 的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB AC=，AO平分BAC∠时，求证：四边形EFGH为矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理推知////EH AO FG，12EH FG AO==，则四边形EFGH是平行四边形．（2）根据平行线的性质和等腰AEF∆的性质推知：90HEF ADE∠=∠=︒，则四边形EFGH为矩形．【解析】证明：（1）EH是ABO∆的中位线，//EH AO ∴，12EH AO=．同理，FG是ACO∆的中位线，//FG OA ∴，12FG AO=．//EH FG∴，EH FG=，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）设OA与EF的交点为D，AB AC=，E、F分别为AB，AC的中点，AE AF∴=．AO平分BAC∠，//EH AD，∴∠=∠=︒，HEF ADE90∴四边形EFGH为矩形．21．已知：如图，分别以BM、CM为边，向BMC∆形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点．（1）猜测四边形EFGH的形状；（2）证明你的猜想；（3）三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响？【分析】（1）由题意可猜测四边形EFGH是菱形；（2）首先连接AC，BD，易证得()∆≅∆，即可得AC BDAMC BMD SAS=，又由E、F、G、H分别为AB、===，即可得四边形EFGH是菱形；BC、CD、DA中点，则可证得EF FG GH EH（3）由（2）得：BMC∆形状的改变对上述结论没有影响．【解析】（1）解：四边形EFGH是菱形；（2）证明：连接AC，BD，∆和CDMABM∆是等边三角形，∴=，CM DMAM BM∠=∠=︒，=，60AMB CMD∴∠=∠，AMC BMD在AMC ∆和BMD ∆中，AM BM AMC BMD CM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AMC BMD SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 中点，12EF GH AC ∴==，12EH FG BD ==， EF FG GH EH ∴===，∴四边形EFGH 是菱形；（3）解：BMC ∆形状的改变对上述结论没有影响．22．（2021春•东莞市期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接E 、F 、G 、H ．（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在四边形ABCD 中，若再补充一个条件： AC BD ⊥ ，则四边形EFGH 是矩形；（3）连接EG 、FH ，求证：222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【分析】（1）由中位线定理证明：//HG AC ，12HG AC =，//EF AC ，12EF AC =，从而//HG EF ，HG EF =，即可证明四边形EFGH 是平行四边形；（2）若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，由//EF AC ，//FG BD ，即可得90GFE ∠=︒，故四边形EFGH 是矩形；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，Rt HPE ∆中，22222EH HP OE OP OE OP =++-⋅，Rt HPG ∆中，22222HG HP OG OP OG OP =++-⋅，由四边形EFGH 是平行四边形，可得12OE OG EG ==，12OH OF HF ==，故2222222222112222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP HF EG +=++-⋅+++-⋅=+，同理可得：22221122EF FG HF EG +=+，从而可证明222222EG FH EF FG GH HE +=+++．【解析】（1）H 、G 是AD 、CD 的中点，HG ∴是ACD ∆的中位线，//HG AC ∴，12HG AC =，同理：//EF AC ，12EF AC =，//HG EF ∴，HG EF =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：补充的条件是：AC BD ⊥，证明如下：如图：若AC BD ⊥，则90DOC ∠=︒，//EF AC ， 90OMF DOC ∴∠=∠=︒，FG 是BCD ∆的中位线，//FG BD ∴，18090GFE OMF ∴∠=︒-∠=︒，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：AC BD ⊥；（3）过H 作HP EG ⊥于P ，过F 作FQ EG ⊥于Q ，如图：Rt HPE ∆中，22222222()2EH HP EP HP OE OP HP OE OP OE OP =+=+-=++-⋅， Rt HPG ∆中，22222222()2HG HP PG HP OG OP HP OG OP OG OP =+=++=++-⋅，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形，12OE OG EG ∴==，12OH OF HF ==， 2222222222EH HG HP OE OP OE OP HP OG OP OG OP ∴+=++-⋅+++-⋅ 22222()HP OP OE OG =+++222112()()22OH EG EG =++ 22112()22HF EG =⨯+ 221122HF EG =+，同理可得：22221122EF FG HF EG +=+， 222222EG FH EF FG GH HE ∴+=+++．23．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ．（1）如图1，试判断四边形PQMN 怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB 上取一点E ，连结DE ，CE ，恰好ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形（如图2)，判断此时四边形PQMN 的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接AC 、BD ．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN 的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，由于2222213()()2DB x y x x xy y =++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++，可得平行四边形PQMN 的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；【解析】四边形PQMN 为平行四边形；（1）连接AC 、BD ．PQ 为ABC ∆的中位线，//PQ AC ∴，12PQ AC =，同理//MN AC ．12MN AC =． MN PQ ∴=，//MN PQ ，∴四边形PQMN 为平行四边形；（2）四边形PQMN 是菱形；理由如下：设ADE ∆的边长是x ，BCE ∆的边长是y ，2222213()()2DB x y x xy y ∴=++=++，2222213()()2AC x y y x xy y =++=++，平行四边形PQMN 的对角线相等，∴平行四边形PQMN 是菱形；24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =，四边形EGFH 是怎样的四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到12EG AB =，//EG AB ，12FH AB =，//FH AB ，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）依据四边形ABCD 是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．【解析】（1）证明：E ，G 分别是AD ，BD 的中点， EG ∴是DAB ∆的中位线，12EG AB ∴=，//EG AB ，同理，12FH AB =，//FH AB ， EG FH ∴=，//EG FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）菱形．理由：F ，G 分别是BC ，BD 的中点，FG ∴是DCB ∆的中位线，12FG CD ∴=，//FG CD ，又12EG AB =， ∴当AB CD =时，EG FG =，∴平行四边形EGFH 是z。

四边形中点习题及答案

多个中点，考虑（或构造）______________．
1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是
AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，
则∠EFG =________.
2．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是DC 及AB 的中点，射线FE 与AD 及BC 的延长线分别交于点H 及G ．试猜想∠AHF 与∠BGF 的关系，并给出证明．
3．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ．
求证：∠BME=∠CNE ；（提示：取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）
（2）如图2，在△ABC 中，F 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线FE 交BA 的延长线于点G ，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE 的长度．
A C D F
G
答案：1 . 2.相等
3. 提示：若猜想不出∠AHF 与∠BGF 的关系，可考虑使四边形ABCD 为特殊情况．如果给不出证明，可考虑下面作法，连结AC ，以F 为中心，将△ABC 旋转180°，得到△ABP ．
23。

北师大九年级上思维特训(三)有答案：四边形中几种辅助线的小结-(数学)AlHUww

思维特训(三)四边形中几种辅助线的小结1．截长补短法：通过将最长线段截成较短的两部分或将较短线段延长构造全等三角形解决线段的和差倍分问题．2．在三角形中，已知一边的中点，常在另一边上找一中点，从而构造中位线解决问题．3．在直角三角形中，常作斜边上的中线得等腰三角形，然后利用图形的性质等解决问题．类型一连接对角线解决问题1．如图3－S－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？图3－S－12．如图3－S－2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点E，G分别在AD，CD上，连接AF，BF，CF.(1)求证：AF＝CF；(2)若∠BAF＝35°，求∠BFC的度数．图3－S－2类型二截长补短法解决线段问题3．如图3－S－3，在正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF.(1)若AE＝1，求EF的长；(2)求证：PF＝EP＋EB.图3－S－34．如图3－S－4，E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G.(1)若AB＝8，BF＝16，求CE的长；(2)求证：AE＝BE＋DG.图3－S－45．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N，AH⊥MN于点H.(1)如图3－S－5①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________．(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明．(3)如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．(可利用(2)中得到的结论)图3－S－5类型三构造三角形的中位线解决问题6．如图3－S－6，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝12，AC＝16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．图3－S－67．如图3－S －7，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点F 在AC 上，AF ＝12FC ，AD 与BF 相交于点E .求证：E 是AD 的中点．图3－S －7类型四构造直角三角形斜边上的中线解决问题8．如图3－S －8，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M ，N 分别是边AC ，BD 的中点．求证：MN ⊥BD .图3－S －89．如图3－S －9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点E 在边AC 上，AB ＝12DE ，AD ∥BC .求证：∠CBA ＝3∠CBE .图3－S－9详解详析1．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ABF和△CDE中，∠BAC＝∠DCA，∠ABF＝∠CDE，AF＝CE，∴△ABF≌△CDE(AAS)．(2)当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BFDE是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示．由(1)得△ABF≌△CDE，∴AB＝CD，BF＝DE，∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE.∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵BF＝DE，BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BFDE是菱形．2．解：(1)证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，FE＝FG，∴AD－ED＝CD－GD，∴AE＝CG.在△AFE和△CFG中，AE＝CG，∠AEF＝∠CGF＝90°，FE＝FG，∴△AFE≌△CFG(SAS)，∴AF＝CF.(2)由(1)得△AFE≌△CFG，∴∠AFE＝∠CFG.又∵AB∥EF，∠BAF＝35°，∴∠AFE＝∠CFG＝∠BAF＝35°.连接DF，如图，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DFG＝45°，∴∠BFC＝180°－∠CFG－∠DFG＝180°－35°－45°＝100°.3．解：(1)∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥AE，∴∠BAE＋∠BAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF.∵BE⊥DP，∴∠ABE＋∠BPE＝90°.又∵∠ADF＋∠APD＝90°，∠BPE＝∠APD(对顶角相等)，∴∠ABE＝∠ADF.在△ABE和△ADF中，∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝1，∴EF＝2AE＝2×1＝ 2.(2)证明：如图，过点A作AM⊥EF于点M.∵△AEF是等腰直角三角形，∴AM＝MF＝EM.∵P是AB的中点，∴AP＝BP.又∵∠APM＝∠BPE，∠AMP＝∠BEP＝90°，∴△AMP≌△BEP(AAS)，∴PM＝EP，AM＝EB.∵PF＝PM＋MF，∴PF＝EP＋EB.4．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，∴AB＝BC＝8，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F.∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF.设CE＝x，则BE＝8－x，EF＝AE＝8＋x.在Rt△ABE中，由勾股定理得82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，即CE＝2.(2)证明：如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠3＝∠2＋∠5＝∠4.在△ABM和△ADG中，AB＝AD，∠ABM＝∠D，BM＝DG，∴△ABM≌△ADG(SAS)，∴∠M＝∠4，∠6＝∠1.∵∠1＝∠2(角平分线的定义)，∴∠2＝∠6，∴∠4＝∠M＝∠3＝∠2＋∠5＝∠6＋∠5，即∠M＝∠MAE，∴AE＝ME.∵BM＝DG，∴AE＝BE＋DG.5．解：(1)AH＝AB(2)还成立．证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°.在Rt△AEB和Rt△AND中，AB＝AD，∠ABE＝∠D，BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.在△AEM和△ANM中，AE＝AN，∠EAM＝∠NAM，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN.又∵AB，AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AH＝AB.(3)如图，分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△AMB和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由(2)可知，AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD . 设AH ＝x ，则MC ＝x －2，NC ＝x －3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2， ∴52＝(x －2)2＋(x －3)2，解得x 1＝6，x 2＝－1(不符合题意，舍去)． ∴AH 的长为6.6．解：如图，取边BC 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EG 是△ABC 的中位线，FG 是△BCD 的中位线， ∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又∵BD ＝12，AC ＝16，AC ⊥BD ， ∴EG ＝8，FG ＝6，EG ⊥FG . 在Rt △EGF 中，由勾股定理，得 EF ＝EG 2＋FG 2＝82＋62＝10，即EF 的长是10.7．证明：如图，取CF 的中点M ，连接DM .∵AF ＝12FC ， ∴AF ＝FM ＝CM .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴DM 是△BFC 的中位线，∴DM ∥BF .∵AF ＝FM ，∴AE ＝DE ，即E 是AD 的中点．8．证明：如图，连接BM ，DM .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC . ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD .9．证明：如图，取DE 的中点F ，连接AF .∵AD ∥BC ，∠C ＝90°，∴∠DAE ＝∠C ＝90°，∴AF ＝DF ＝EF ＝12DE . ∵AB ＝12DE ，∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D＋∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D.∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE＋∠ABF＝3∠CBE.。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题15 中点四边形

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题15 中点四边形【例题讲解】问题背景：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且边长分别为a ，b ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，点F ，G ，H ，I分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，连接FG ，GH ，HI ，IF 猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI 是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a ＝6，b ＝2时，求四边形FGHI 的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI 是正方形时，连接AE ，BD 相交于点N ，点N ，H 恰好在FC 上．求证：△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI 是菱形.理由：如图①，连接AE ,BD ， ∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ,EC ＝DC ，在△AEC 和△BDC 中，AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDC (SAS)，∴AE ＝BD ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，FG ＝12AE ＝IH .FI ＝12BD ＝CH .∴FG ＝GH ＝IH ＝FI .∴四边形FGHI 是菱形；（2）解：如图②，过点D 作DM ⊥EC 于点M ，∵△CDE 为等边三角形， ∴MC ＝12EC ＝12×2＝1，∠C ＝60°，∴BM ＝BC －MC ＝6－1＝5，在Rt △DMC 中，DM ＝2222213DC CM -=-=，在Rt △BDM 中，BD ＝()22225327BM DM +=+=，∴GH ＝12BD ＝7，由(1)知四边形FGHI 是菱形，∴.四边形FGHI 的周长为4GH ＝47.（3）解：∵点F 为AB 的中点，△ABC 和△CDE 均为等边三角形， ∴直线CF 为△ABC 和△CDE 的对称轴.∴AN ＝BN ，DN ＝EN ， ∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，∴FG ∥AE ，IH ∥AE ，FI ∥BD ，GH ∥BD .∴.FG ∥AEIH ，FI ∥BD ∥GH ， ∵四边形FGHI 是正方形，∴∠FNA ＝∠FHI ＝45°，∠FNB ＝∠FHG ＝45°∴.∠ANB ＝∠FNA +∠FNB ＝90°，∠DNE ＝90°.∴△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD ，点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点．(1)如图1，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形ANPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；(2)如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝CD ，顺次连结M 、N 、P 、Q 得到四边形MNPQ ，试猜想四边形MNPQ 的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，AB ＝3，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是______．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________ A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A =PB ，PC =PD ，∠APB =∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD 为“60°等角线四边形”，即AC ＝BD ，∠AOB ＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是．（填序号） ①对角线所夹锐角为60°的平行四边形； ②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC 为边，向下构造等边三角形△ACE ，连接BE ，如图2，请直接写出AB ＋CD 与AC 的大小关系；(3)请判断AD＋BC与3AC的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30︒﹤α﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．8．综合与探究：如图1，四边形ABDC中，E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．(1)猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，P 在四边形ABDC 内一点，使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，其他条件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，6PA =，23PB =，60APC BPD ∠=∠=︒，90CPD ∠=︒，求四边形EFGH 的面积． 9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有（只填序号）； ①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形； ②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形； ③顺次连接矩形各边中点所得的四边形； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD 中，∠ABC =∠DCB ，AC=DB ，AB ＞CD ，求证：∠BAC 与∠CDB 互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD =2∠B ，AC=BC =5，AB =6，CD =4．在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．10．【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE ∥BC ，且DE =12BC ．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD 相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．11．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．答案与解析【例题讲解】问题背景：△ABC 和△CDE 均为等边三角形，且边长分别为a ，b ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，点F ，G ，H ，I分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，连接FG ，GH ，HI ，IF 猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI 是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a ＝6，b ＝2时，求四边形FGHI 的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI 是正方形时，连接AE ，BD 相交于点N ，点N ，H 恰好在FC 上．求证：△ABN 和△DEN 均为等腰直角三角形．解：（1）解：四边形FGHI 是菱形.理由：如图①，连接AE ,BD ， ∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ,EC ＝DC ，在△AEC 和△BDC 中，AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDC (SAS)，∴AE ＝BD ，∵点F ，G ，H ，I 分别为AB ，BE ，ED ，AD 的中点，FG ＝12AE ＝IH .FI ＝12BD ＝CH .∴FG ＝GH ＝IH ＝FI .∴四边形FGHI 是菱形；（2）解：如图②，过点D 作DM ⊥EC 于点M ，∵△CDE 为等边三角形， ∴MC ＝12EC ＝12×2＝1，∠C ＝60°，∴BM ＝BC －MC ＝6－1＝5，在Rt △DMC 中，DM ＝2222213DC CM -=-=，在Rt △BDM 中，BD ＝()22225327BM DM +=+=，∴GH ＝12BD ＝7，由(1)知四边形FGHI 是菱形，∴.四边形FGHI 的周长为4GH ＝47.（3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.∴AN＝BN，DN＝EN，∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，∴FG∥AE，IH∥AE，FI∥BD，GH∥BD.∴.FG∥AEIH，FI∥BD∥GH，∵四边形FGHI是正方形，∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形.【综合演练】1．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析(3)72≤m≤132【分析】（1）连结BD ，根据三角形中位线的性质可得MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ，进而可得MQ ∥PN ，MQ ＝PN ，根据平行四边形的判定定理即可求解；（2）连结BD 、AC ，同理可得四边形MNPQ 为平行四边形证明△ABC ≌△DCB （SAS ）得出AC ＝BD ，根据中位线的性质，即可得出MQ ＝MN ，根据平菱形的判定定理即可求解；（3）连结BD ，取BD 的中点P ，连接QP 、CP ，得出PQ 是△ABD 的中位线，根据三角形三边关系即可求解．（1）解：四边形MNPQ 为平行四边形，连结BD∵点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点. ∴MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ∴MQ ∥PN ，MQ ＝PN∴四边形MNPQ 为平行四边形．（2）四边形MNPQ 为菱形，连结BD 、AC∵点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点. ∴MN ＝12AC 在△ABC 与△DCB 中AB CD ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DCB （SAS ） ∴AC ＝BD∵点M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、AD 的中点.∴MQ ∥BD ，MQ ＝12BD ，PN ∥BD ，PN ＝12BD ∴MQ ∥MN ，MQ ＝PN ∵四边形MNPQ 为平行四边形 ∴平行四边形MNPQ 是菱形．（3）解：如图，连结BD ，取BD 的中点P ，连接QP 、CP ，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，∴BD ＝10， ∵点P 是BD 的中点，∴CP ＝BP ＝CP ＝12BD ＝5， ∵点Q 是AD 的中点，点P 是BD 的中点， ∴PQ 是△ABD 的中位线， ∴PQ ＝12AB ＝32，在△CPQ 中，CP ﹣PQ ＜CQ ＜CP +PQ ，∴72＜m ＜132， ∵点C 、点Q 是定点，点P 是动点，∴当点C 、P 、Q 三点共线，且点Q 在线段CP 上时，m 取得最小值72，当点C 、P 、Q 三点共线，且点Q 在射线CP 上时，m 取得最大值132，综上，m 的取值范围为：72≤m ≤132．【点评】本题考查了中点四边形，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________ A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3＝S 2+S 4；（4）21 【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．【解答】解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A ．（3）由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOA ＝90°，又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴△AOE 的面积＝△BOE 的面积， △BOF 的面积＝△COF 的面积， △COG 的面积＝△DOG 的面积， △DOH 的面积＝△AOH 的面积，∴S 1+S 3＝△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积＝S 2+S 4；（4）如图2，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ，∵在Rt △AOB 中，AO 2＝AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2＝DC 2-CO 2，AB ＝3，BC ＝2，CD ＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD=21．【点评】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】(1)证明见解析；(2)菱形，证明见解析.【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．【解答】（1）如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH12=BD．∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG12=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．理由如下：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．在△APC和△BPD中，AP PBAPC BPDPC PD∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF12=AC，FG12=BD．∵AC=BD，∴EF=FG．∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．4．定义：对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”．如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC＝BD，∠AOB＝60°．判定探究：(1)下列语句能判断四边形是“60°等角线四边形”的是．（填序号）①对角线所夹锐角为60°的平行四边形；②对角线所夹锐角为60°的矩形；③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．(2)性质探究：以AC为边，向下构造等边三角形△ACE，连接BE，如图2，请直接写出AB＋CD与AC的大小关系；(3)请判断AD＋BC3的大小关系，并说明理由；(4)学习应用：若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为．对角线所夹锐角为△∠=AOB∥DB EC=DB AC∴=DB EC∴四边形ABE中，+即AB CD(3)如图，过C60,90EAC ACF ∠=︒∠=︒30F ∴∠=︒2AF AC AC BD ∴==+3CF AC ∴=3AF AC ∴>,AD AO OD BC BO OC >+>+AD BD AC BD ∴+>+3AC BD AF AC +=> 3AD BD AC ∴+>；(4)若“60°等角线四边形”的对角线长为4，则4AC = 由（2）（3）可得AB CD AC +≥，3AD BD AC +> ()()31431434AB CD AD BC AC ∴+++≥+=+=+．∴该四边形周长的最小值为434+．【点评】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．5．在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD 与边长为2AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上.连接DG ,BE,易得DG=BE 且DG ⊥BE （不需要说明理由）(1)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30︒﹤α﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.(2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为，四边形MNPQ面积的最大值是,【答案】(1)①证明见解析;②四边形BGED面积的最大值为6+42;（2）正方形,3+22.【分析】（1）①由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得DG=BE，∠AGD=∠AEB，如图所示，EB交AG于点H，利用等角的余角相等得到∠GMH =90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；②根据①可知旋转过程中，DG=BE且DG⊥BE；当BE取得最大值，即点A,B,E在同一条直线上时，四边形BGED面积有最大值.(2)根据中点四边形的性质可知四边形MNPQ是正方形，边长的最大值为112, 2BE=+四边形MNPQ面积的最大值是：()21232 2.+=+【解答】(1) ①∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90，AG=AE，∠DAB+∠GAB =∠GAB +∠GAE ∠DAG =∠BAE 在△ADG 和△ABE 中，AD AB DAG BAE AG AE ，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ABE (SAS )， ∴∠AGD =∠AEB ，DG =BE, 如图所示，EB 交AG 于点H ，在△AEH 中,∠AEH +∠AHE =90， ∠AEH =∠BHG , ∴∠AGD +∠BHG =90，在△HGM 中, ∠AGD +∠BHG +∠GMH =180， ∴∠GMH =90，则DG ⊥BE ；②根据①可知旋转过程中，DG=BE 且DG ⊥BE ；当BE 取得最大值，即点A,B,E 在同一条直线上时，四边形BGED 面积有最大值. 此时：DG=BE 222,AB AE =+=+ 四边形BGED 面积()21122264 2.22BE DG =⋅=+=+(2)连接BE,DG ，根据中位线的性质可得1,2MN PQ BE == 1,2MQ NP DG ==////MN BE PQ ,////MQ DG PN ,,DG BE DG BE =⊥；,MN PQ MQ NP === ,MN MQ ⊥四边形MNPQ 是正方形，边长的最大值为112,2BE =+四边形MNPQ 面积的最大值是：()21232 2.+=+故答案为正方形,3+22.【点评】考查正方形的性质，中位线的性质，全等三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大. 6．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E ，F ，G ，H 依次连接起来得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC ．结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形ABCD 的形状（如图2），则四边形EFGH 还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC ，BD ．①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形，写出结论并证明； ②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形，直接写出结论．【答案】（1）是平行四边形，理由见解析；（2）①AC=BD；证明见解析；②AC⊥BD．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=12BD，HG=12AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；②若四边形EFGH是矩形，则∠HGF=90°，即GH⊥GF，又GH∥AC，GF∥BD，则AC⊥BD．【解答】解：（1）是平行四边形．理由如下：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理HG∥AC，HG=12AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）①AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=12BD，HG=12AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形、菱形及矩形的判定是解题的关键．7．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并并说明理由．【答案】(1) △OMN为等腰三角形，理由见解析；（2）△AGD是直角三角形，理由见解析．【解答】试题分析：（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．试题解析：：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=2AB ， PE ∥AB ，∴∠PEF=∠ANF ，同理PF=2CD ， PF ∥CD ，∴∠PFE=∠CME ，又PE=PF ，∴∠PFE=∠PEF ，∴∠OMN=∠ONM ，∴△OMN 为等腰三角形．（2）判断出△AGD 是直角三角形．证明：如图连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF 、HE ，∵F 是AD 的中点，∴HF ∥AB ，HF=12AB ，同理，HE ∥CD ，HE=12CD ，∵AB=CD∴HF=HE ，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF 是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF 是等边三角形．∵AF=FD ，∴GF=FD ，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD 是直角三角形．考点：1．三角形中位线定理；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．勾股定理的逆定理． 8．综合与探究：如图1，四边形ABDC 中，E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，P 在四边形ABDC 内一点，使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，其他条件不变，试探究四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，6PA =，23PB =60APC BPD ∠=∠=︒，90CPD ∠=︒，求四边形EFGH 的面积．【答案】(1)平行四边形(2)菱形，见解析(3)2132【分析】(1)连接AD ，利用三角形中位线定理，证明EH =FG ，且EH ∥FG 即可得证．(2)连接AD ，BC ，证明()SAS ≅△△APD CPB ，得到AD =CB ，结合三角形中位线定理，得到四边形EFGH 的四边相等，即可得到菱形EFGH ．(3)连接AD ，BC ，交点为M ，设BC 与EH 的交点为Q ，AD 与EF 的交点为O ，证明()SAS ≅△△APD CPB ，判定四边形EOMQ 是平行四边形，证明∠HEF =60°，连接PG ，过点H 作HN EF ⊥，垂足为N ，求得EH ，HN 的长度即可．（1）平行四边形．理由如下：如图1，连接AD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，∴EH ∥AD ，EH=12AD ，FG ∥AD ，FG=12AD ， ∴EH =FG ，且EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）菱形.理由：如图2，连接AD ，BC .∵APC BPD ∠=∠，∴∠+∠=∠+∠APC CPD BPD CPD ，即APD CPB ∠=∠.又∵PA PC =，PD PB =，∴()SAS ≅△△APD CPB ，∴AD CB =.∵E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，∴EF 、FG 、GH 、EH 分别是ABC 、ABD △、BCD △、ACD 的中位线，∴12EF BC =，12FG AD =，12GH BC =，12EH AD =， ∴EF FG GH EH ===，∴四边形EFGH 是菱形.（3）连接AD ，BC ，交点为M ，设BC 与EH 的交点为Q ，AD 与EF 的交点为O ，∵PD PB =，60∠=︒DPB ，∴DPB 是等边三角形.∵G 是DB 中点，∴PG 平分DPB ∠，30∠=︒DPG ，∴609030180∠=︒+︒+︒=︒APG ，点A 、P 、G 共线.在Rt DPG 中，()()22222333=-=-=PG PD DG ，在Rt AGD 中，()()2222633221=+=++=AD AG DG ， ∴1212===EF EH AD . ∵APD CPB ≅，∴PAD PCB ∠=∠，∴60∠=∠=︒CMA CPA .∵//EH AD ，//EF CB ，∴四边形EOMQ 是平行四边形，∴60HEF ∠=︒.在Rt △EHN 中，12122==EN EH ，22372=-=HN EH EN ， ∴菱形EFGH 的面积372132122=⨯=⨯=EF HN . 【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．9．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做“邻对等四边形”．概念理解(1)下列四边形中属于邻对等四边形的有（只填序号）；①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形；性质探究(2)如图1，在邻对等四边形ABCD 中，∠ABC =∠DCB ，AC=DB ，AB ＞CD ，求证：∠BAC 与∠CDB 互补；拓展应用(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD =2∠B ，AC=BC =5，AB =6，CD =4．在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．【答案】（1）④；（2）见解析；（3）存在这样一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形，DE ＝245【分析】（1）根据中点四边形的特征，结合邻对等四边形的定义求解即可；（2）延长CD 至E ，使CE=BA ，根据“SAS”可证△ABC ≌△ECB ，从而BE=CA ，∠BAC =∠E ．利用等量代换可证BD=BE ，从而∠BDE =∠E ，然后可证明结论成立；（3）在BC 延长线上取一点E ，使得CE =4，连接DE ，四边形ABED 即为邻对等四边形．连接AE ，BD ，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证∠ABC=∠DEB ，∠ACE=∠BCD ．通过证明CE ≌△BCD ，可证BD=AE ，从而四边形ABED 为邻对等四边形．通过证明△ABC ∽△DEC ，利用相似三角形的性质可求出DE的长.【解答】（1）①顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；②顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，平行四边形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；③顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，菱形不具备一组邻角相等且对角线相等，故不是邻对等四边形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，矩形具备一组邻角相等且对角线相等，故是邻对等四边形；故答案为④；（2）∵AB＞CD，故可延长CD至E，使CE=BA，在△ABC与△ECB中，，∴△ABC≌△ECB．∴BE=CA，∠BAC=∠E．∵AC=DB，∴BD=BE．∴∠BDE=∠E．∴∠CDB+∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°．即∠BAC与∠CDB互补．（3）存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如图2，在BC延长线上取一点E，使得CE=4，连接DE，四边形ABED即为邻对等四边形．理由如下：连接AE，BD，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∵∠BCD=2∠B，∴∠ABC=∠DEB，∠ACE=∠BCD．在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD．∴BD=AE，四边形ABED为邻对等四边形．∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED，∴△ABC∽△DEC．∴，∴.【点评】本题考查了信息迁移，中点四边形的特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并理解“邻对等四边形”的含义是解答本题的关键.BC．（不10．【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE=12需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD 相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．∴14CFGBCDSS∆∆=，∴S△BCD=4S△CFG，同理：S△ABD=4S△AEH，∵四边形ABCD面积为5，∴S△BCD+S△ABD=5，∴S△CFG+S△AEH=54，同理：S△DHG+S△BEF=54，∴S四边形EFGH=S四边形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣52=52，设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，∵FG∥BD，FG=12BD，∴CM=OM=12OC，同理：AN=ON=12OA，∵OA=OC，∴OM=ON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，∴S阴影=12S四边形EFGH=54．故答案为54．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解[探究]的关键是判断出HG∥AC，HG=12AC，解[应用的关键是判断出S四边形EFGH=52，是一道基础题目．11．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD 的中点时，有：①AF =DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE =DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【答案】（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【分析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，CE =DF ，可证△ADF ≌△DCE (SAS )，即可得到AF =DE ，∠DAF =∠CDE ，又因为∠ADG +∠EDC =90°，可推出∠ADG +∠DAF =90°，即有AF ⊥DE ；（2）同理（1）即可证明；（3）设MQ ，DE 分别交AF 于点G ，O ，PQ 交DE 于点H ，因为点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，可得MQ =PN =12DE ，PQ =MN =12AF ，MQ DE ，PQ AF ，然后根据AF =DE ，可得四边形MNPQ 是菱形，又因为AF ⊥DE 即可证得四边形MNPQ 是正方形．【解答】（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中，90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△DCE (SAS )，∴AF =DE ，∠DAF =∠CDE ．∵∠ADG +∠EDC =90°，∴∠ADG +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ；。

中点四边形课后练习参考答案

《中点四边形》课后练习一、选择题（本大题共10小题）1．（2020春•崇川区校级期中）已知四边形ABCD的对角线相等，顺次连接四边形的四条边中点，所得到的新四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，根据菱形的判定定理证明即可．【解析】∵E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EF BD，GH BD，EH AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，EF BD，EH AC，∴EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故选：C．2．（2020春•清江浦区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为（）A．40B．20C．16D．8【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，求证四边形KLMN为矩形和KN．KL的长，然后即可求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，∴四边形KLMN为矩形，∴KN∥AC，且KN AC，∵AC＝10，∴KN10＝5，同理KL＝4，则四边形KLMN的面积为4×5＝20．故选：B．3．（2020春•木兰县期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，根据正方形的判定定理解答即可．【解析】如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴EF AC，EH BD，EH∥BD，EF∥AC，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∴AC＝BD，∵EH∥BD，EF∥AC，∠HEF＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，∴四边形ABCD可能是正方形，故选：D．4．（2020春•徐州期中）如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为（）（S≥2且S是正整数）A．B．C．D．【分析】观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，依此类推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可．【解析】观察图形发现：第2个图形中的阴影部分的面积为，第3个图形中的阴影部分的面积为，…第n个图形中的阴影部分的面积为．故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S的代数式表示为，故选：B．5．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH 为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．6．（2020秋•荥阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH AB，∴四边形GHIJ的周长＝2（1）＝2+2，故选：B．7．（2020秋•九龙坡区校级期中）如图，将正方形（图①）作如下操作：第1次，分别连接各边中点，得到5个正方形（图②）；第2次将图②中左上角的正方形按上述方法再分割得到9个正方形（图③），…，以此类推，若要得到2033个正方形，则需要操作（）次．A．506B．507C．508D．509【分析】根据正方形的个数变化规律，可得第n次得到（4n+1）个正方形，据此可得结论．【解析】∵第1次：得到4+1＝5个正方形；第2次：得到4×2+1＝9个正方形；…以此类推，第n次得到（4n+1）个正方形，若第n次得到2033个正方形，则4n+1＝2033，解得：n＝508．故选：C．8．（2020春•仙居县期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE．若EH＝3EF，则下列结论正确的是（）A．AB EF B．AB＝2EF C．AB＝3EF D．AB EF【分析】连接AC、BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形，根据勾股定理计算即可．【解析】连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF AC，EF∥AC，EH BD，EH∥BD，∵EH＝3EF，∴OB＝3OA，∴AB OA，∴AB EF，故选：D．9．（2019秋•海淀区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA中点，AC⊥BD．则下列相关叙述中错误的是（）A．连接EG，FH，则有EG＝FHB．若BD，则以E，F，G，H为顶点的四边形为正方形C．连接EG，FH，相交于点O，则OE＝OF＝OG＝OHD．若EF＝3，FG＝4，则EG＝5【分析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．证明四边形EFGH是矩形即可解决问题．【解析】如图，连接EH，HG，FG，EF．EG，FH，设EG交FH于点O．∵AE＝EB，AH＝DH，∴EH∥BD，EH BD，同法可证FG∥BD，FG BD，EF∥AC，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵ACBD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH，∴OE＝OG＝OF＝OH，∴∠EFG＝90°，若EF＝3，FG＝4，则EG5．故选项A，C，D正确，故选：B．10．（2019春•青山区期中）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形A n B n∁n D n．则下列结论正确的个数有（）①四边形A1B1C1D1是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长为；④四边形A n B n∁n D n的面积是．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形A n B n∁n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【解析】①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；故①结论正确；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②结论正确；③根据中位线的性质易知，A5B5A3B3A1B1AC，B5C5B3C3B1C1BD，∴四边形A5B5C5D5的周长是2（a+b），故③结论正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形A n B n∁n D n的面积是．故④结论正确．综上所述，①②③④正确．故选：A．二．填空题（共8小题）11．（2020春•广陵区校级期中）若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是AC＝BD．【分析】根据三角形中位线定理得到EF BD，EH AC，根据菱形的性质得到EF＝EH，得到答案．【解析】∵E、F、H分别是边AD、AB、CD的中点，∴EF BD，EH AC，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝EH，∵EF BD，EH AC，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD．12．（2020春•高淳区期末）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D在△ABC内，且BD＝CD，∠BDC＝90°，E、F、G、H分别是AB、AC、BD、CD的中点，则四边形EFHG的面积为．【分析】连接AD并延长交BC于点P，根据线段垂直平分线的定义得到BP＝CP＝5，AP⊥BC，根据勾股定理求出AP，根据直角三角形的性质求出PD，得到AD的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFHG为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解析】连接AD并延长交BC于点P，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AP是线段BC的垂直平分线，∴BP＝CP＝5，AP⊥BC，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BP＝CP，∴DP BC＝5，在Rt△APB中，AP12，∴AD＝12﹣5＝7，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF BC＝5，EF∥BC，同理，GH BC，GH∥BC，EG BC＝3.5，EG∥AD，∴GH＝EF，GH∥EF，∴四边形EFHG为平行四边形，∵EF∥BC，EG∥AD，AP⊥BC，∴四边形EFHG为矩形，∴四边形EFHG的面积＝5，故答案为：．13．（2020春•邗江区期末）已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，且AC＝10，BD＝8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为20．【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，得到四边形KLMN为矩形和KN、KL的长，求出四边形KLMN的面积．【解析】如图，∵K、L分别为AD、AB的中点，∴KL是△ABD的中位线，∴KL BD＝4，KL∥BD，同理，NM BD，NM∥BD，ML AC＝5，ML∥AC，∴KL＝MN，KL∥MN，∴四边形KLMN为平行四边形，∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，NM∥BD，ML∥AC，∴KL⊥ML，∴四边形KLMN为矩形，∴四边形KLMN的面积为4×5＝20，故答案为：20．14．（2020春•东海县期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2020个矩形的面积为．【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．【解析】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．∴第2020个矩形的面积为，故答案是：．15．（2020春•广陵区期中）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加AC＝BD条件，就能保证四边形EFGH是菱形．【分析】易得新四边形为平行四边形，那么只需让一组邻边相等即可，而邻边都等于对角线的一半，那么对角线需相等．【解析】∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，例如AC＝BD，故答案为：AC＝BD．16．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解析】如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF AC，同理HG∥AC，HG AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．17．（2020春•新乐市期末）对于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，下面四个结论中，①四边形MNPQ是平行四边形；②四边形MNPQ是矩形；③四边形MNPQ是菱形；④四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①③．【分析】连接AC、BD，由三角形中位线定理得出MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，则MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，证出四边形MNPQ是平行四边形，四边形MNPQ是菱形；①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形，②④不正确，即可得出结论．【解析】连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的中点，∴MN是△ABC的中位线，PQ是△ACD的中位线，MQ是△ABD的中位线，∴MN∥AC，MN AC，PQ∥AC，PQ AC，MQ∥BD，MQ BD，∴MN∥PQ，MN＝PQ，MN＝MQ，∴四边形MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形；故①③正确；当AC⊥BD时，MN⊥MQ，四边形MNPQ是矩形，四边形MNPQ是正方形．故②④不正确；故答案为：①③．18．（2020•通州区一模）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③④．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ AC，MN∥AC，MN AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解析】①当AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形；故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②当AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形；故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③当AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形；故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形．故存在两个中点四边形MNPQ是正方形．故答案为：①②③④．。

中点四边形面面观知识精讲试题

中点四边形面面观知识精讲本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

王德义依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形，现以北师大版教材?数学?九年级上册第三章中的题目为例，归纳这类问题的解题思想、方法、技巧，对一些题目进展拓展、引申，探究有关中考题与这类题目的内在联络，供同学们学习时参考。

一. 基此题型例1. 〔82P “做一做〞〕任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴进展交流。

思路点拨：为了说明题目的一般性，我们在教材原图〔图1〕的根底上再画出图2。

该题目是探究四边形EFGH 的形状，我们可从四边形EFGH 的四条边的数量关系和位置关系入手。

由题设知E ，F 分别为AB ，BC 的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC ，那么EF 是ΔBAC 的中位线，同理GH 是ΔDAC 的中位线。

图1图2解：如图1、图2，四边形EFGH 是平行四边形，证明如下。

连接AC 。

因E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，所以有EF ∥AC ，EF=21AC 。

同理，G ，H 分别是边CD ，DA 的中点，故GH ∥AC ，GH=21AC 。

∴EF ∥GH ，EF=GH 。

∴四边形EFGH 是平行四边形。

评注：该题也可连接BD ，通过证EF ∥GH ，FG ∥EH ，或者证EF=GH ，FG=EH ，均可获得结论。

这是对平行四边形的定义和断定定理的考察。

解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模〞思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又表达出转化思想。

从该题的推理过程我们发现：中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，如图2。

二. 基此题型的拓展P“议一议〞〕〔1〕依次连接菱形或者矩形四边的中点能得到一个什么图形？先猜一猜，例2. 〔91再证明。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)中点四边形专项训练(含答案)

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形中点四边形训练一、选择题1.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形2.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法:①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列四边形中，顺次连接各边中点所得的四边形是矩形的是（）.A. 等腰梯形B. 矩形C. 平行四边形D. 菱形或对角线互相垂直的四边形4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，则应添加的条件是（）A. AB//DCB. AD=BCC. AC⊥BDD. AC=BD5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）A. 14B. 12C. 24D. 486.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．(下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=12 BC−AD)，⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题7.如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD交于点O，若四边形ABCD面积为10cm2，则四边形EFGH的面积为______cm2．8.如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．9.如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______cm．10.如图，D是△ABC内一点，AD=7，BC=5，若E、F、C、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是______．11.如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EF=2EH，则AB与EH的数量关系是AB=______EH．12.如图，在四边形ABCD中，AC=16，BD=12，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…，按此规律进行下去，则四边形A6B6C6D6的周长是______．三、解答题13.如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC=BD.求证：四边形EFGH为菱形.14.D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，点O所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）15.如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．16.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、:H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH?请证明你的结论.17.已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断EG与FH的数量关系并加以证明．18.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．(1)求证：四边形EGFH是菱形；(2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由；(3)猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系．(直接写出结果)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.C7.58.AD =BC9.2010.1211.512.513.证明：∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，同理，GH =12AC ，GH ∥AC ，FG =12BD ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∴EF =FG ，∴四边形EFGH 为菱形．14.（1）证明：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE =12BC ．同理，GF ∥BC ，GF =12BC ．∴DE ∥GF ，DE =GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形．（2）解：解法一：点O 的位置满足两个要求：AO =BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上．∵由（1）得出四边形DEFG 是平行四边形，∴点O 的位置满足两个要求：AO =BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上时，可得GD =12AO ，GE =12BC ，∴DG =GE ，∴平行四边形DEFG 是菱形；解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．15.（1）证明：∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG ∥BC ，DG =12BC ，同理，EF ∥BC ，EF =12BC ，∴DG ∥EF ，DG =EF ，∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解：∵∠OBC 和∠OCB 互余，∴∠BOC =90°，又M 为EF 的中点，∴EF =2OM =4，16.解：AB =CD ，理由：如图，连接GE 、GF 、HF 、EH ，∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ＝12AB ，同理HF ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12CD ，又∵AB =CD ，∴EG =GF =FH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，∴EF ⊥GH .17.解：EG =FH ，理由如下：连接EF 、FG 、GH 、HF ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，∵G 、H 分别为CD 、DA 的中点，∴HG =12AC ，HG ∥AC ，∴EF =HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∵F 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴FG ∥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 为矩形，∴EG =FH ．18.解：（1）∵E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，∴EG =12AB ，EH =12CD ，HF =12AB ，EG ∥AB ，HF ∥AB ，∴四边形EGFH 是平行四边形，EG =EH ，∴四边形EGFH 是菱形；（2）当∠ABC +∠DCB =90°时，四边形EGFH 为正方形，理由：∵GF ∥CD ，HF ∥AB ，∴∠ABC =∠HFC ，∠DCB =∠GFB ，∵∠ABC +∠DCB =90°，∴∠GFH =90°，∴菱形EGFH 是正方形；（3）当∠ABC +∠DCB ＜180°时，∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°，理由：∵GF ∥CD ，HF ∥AB ，∴∠ABC =∠HFC ，∠DCB =∠GFB ，∵∠BFG +∠GFH +∠HFC =180°，∴∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°．当∠ABC +∠DCB =180°时，∠GFH =0°，四边形EGFH 不存在，∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°，当∠ABC +∠DCB ＞180°时，∠GFH +∠ABC -∠DCB =180°．。

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。

（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。