高中数学必修五 不等式的性质

【错因分析】
在错解中，由已知条件推出不等式－6≤3a
－2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但 结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得 到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取 得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7， 就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出 关系并非等价关系．
3．不等式性质的应用 不等式性质的应用非常广泛，但就类型来说主要是两类： 一类是在实际生活中的应用，这要求我们具有数学建模的思想 和能力；另一类是与其他章节知识综合命题，即在所谓知识交 汇处命题，这是现在高考命题的趋势．解决此类问题，除要综 合运用不等式的性质外，还要注意其他相关章节知识的运用．
课堂互动探究
1 0<c＝20.3<1，
∴b>c>a.
答案
B
3．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)如果a>b，那么a－c>b－c； a b (2)如果a>b，那么 > ； c c (3)如果ac<bc，那么a<b； (4)如果ac2>bc2，那么a>b.
解
(1)正确，符合性质3；(2)不正确，当c<0时不正确；(3)
5．a>b，c>d⇒a＋c________b＋d. 6．a>b>0，c>d>0⇒ac________bd. 7．a>b>0⇒an________bn(n∈N，n≥2)． 8．a>b>0⇒ a________ b(n∈N，n≥2). n n
自 我 校 对
1.<
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－1
(4)注意不等式性质的单向性或双向性．也就是说每条性质 是否具有可逆性．仅有a>b⇔b<a，a>b⇔a＋c>b＋c具有可逆 性．其余几条性质是不可以逆推的．
2．利用不等式的性质，求取值范围问题 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常 见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向不等式的两边可 以相加”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使 用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围．解题时务必小 心谨慎，先建立待求范围的整体，与已知范围的整体的等量关 系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”， 是避免犯错误的一条途径．
第三章
不等式
§3.1
不等关系与不等式
第二课时
不等式的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.掌握不等式的有关性质． 2．利用不等式的性质，进行数或式的大小比较或不等式的 证明． 3．掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.
课前热身 不等式的性质 1．a>b⇔b________a. 2．a>b，b>c⇒a________c. 3．a>b⇔a＋c________b＋c. 4．(1)a>b，c>0⇒ac________bc； (2)a>b，c<0⇒ac________bc.
ac－ab－bc＋ab ca－b a b ⑥ － ＝ ＝ . c－a c－b c－ac－b c－ac－b ∵c>a>b>0，∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，c>0， a b ∴ > .∴原式成立． c－a c－b b－a 1 1 1 1 ⑦∵a>b，∴a－b>0，又 a > b ，∴ a － b >0，即 ab >0，而 a>b，∴ab<0且a>b，∴a>0，b<0，∴原式成立．
规律技巧
解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利
用已知求解，否则易出错，同时在交换过程中要熟练掌握，准 确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减，相除的错误.
易错探究 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 【错解】 ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3. ∵0≤a≤4，－1≤b≤3， ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.
【分析】
充分利用上述性质及性质中的条件，理解符号
的变化规律及大小的比较方法．
【解】
①若c＝0时ac2＝bc2，故不正确．
1 1 ②若a>0，b<0，则a>b，故不正确． ③∵ac2>bc2，∴c2≠0，则c2>0，故a>b成立． ④a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0. ∴a(a－b)>0，故a2>ab，而ab－b2＝b(a－b)，又 b<0，a－b<0，∴ab>b2.∴原式成立． ⑤a2－b2＝(a－b)(a＋b)，∵a<b<0，∴a－b<0， a＋b<0，∴a2－b2>0，∴a2>b2.∴原式成立．
8.>
名师讲解 1.在应用不等式的性质时应注意的问题 在使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的条件，不 能盲目套用，否则就会出错．例如： (1)性质5 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可 以相加，也可以表示为a<b，c<d⇒a＋c<b＋d.
(2)性质6
a>b>0且c>d>0⇒ac>bd.不但要求两个不等式同
不正确，当c<0时不正确；(4)正确，因为ac2>bc2，所以c2>0， 所以由性质4，可得a>b.
4．(1)若bc－ad≥0，bd>0， a＋b c＋d 求证： b ≤ d ； a b (2)已知c>a>b>0，求证： > ； c－a c－b a＋m a (3)已知a，b，m均为正数，且a<b，求证： > . b＋m b
2 2 b a b －a 证明 (1) － ＝ ， a b ab
∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴a2>b2. 故b2－a2<0. b2－a2 b a 又∵ab>0，∴ <0，∴ < . ab a b (2)∵a>b>0，∴ a> b>0.① 1 1 1 又∵a>b>0，两边同乘正数ab，得b>a>0.② a b ①②两式相乘，得 > . b a
向，而且不等式两边必须为正值，否则结论不一定成立，假设 去掉大于0这个条件，取a＝3，b＝2，c＝－4，d＝－5，则有 3×(－4)>2×(－5)的错误结论．
(3)性质7
a>b>0⇒an>bn(n∈N且n≥2)，若忽略n∈N，且
n≥2，就会引出错误的结论．如取a＝3，b＝2，n＝－1，则有3
－1
1 1 >2 ，即 > 的错误结论． 3 2
解析
用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.再取a＝1，b
＝2，易排除B.
答案 C
1 1 2．设a＝log1 2，b＝log1 ，c＝20.3，则( 2 3 3
)
A．a<b<c C．b<c<a
B．a<c<b D．b<a<c
解析
1 1 易知a＝log1 2<0，b＝log1 >log1 ＝1， 3 2 3 2 2
证明：(1)
bc－ad≥0⇒bc≥ad ⇒ 1 又bd>0⇒bd>0
c＋d a＋b a＋b c＋d c a c a d≥b⇒d＋1≥b＋1⇒ d ≥ b ⇒ b ≤ d . (2)c>a>b>0⇒c－b>c－a>0⇒ 1 1 > >0 a b c－a c－b ⇒ > . c － a c － b a>b>0
剖析归纳 触类旁通
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一
典 例 剖 析 利用不等式的性质判断命题的真假
下列说法正确的是________．
2 2
【例1】
1 1 ①若a>b，则ac >bc ；②若a>b，则 < ；③若ac2>bc2，则 a b a>b；④若a<b<0，则a2>ab>b2；⑤若a<b<0，则a2>b2；⑥若 a b 1 1 c>a>b>0，则 > ；⑦若a>b且 > ，则a>0，b<0；⑧若 a b c－a c－b a>b，则lga>lgb.
1 1 b－a (3)∵ － ＝ ， a b ab ∵a>b，∴b－a<0. b－a 1 1 1 1 又∵ < ，∴ － <0，∴ <0. a b a b ab ∴ab>0.
规律技巧
(1)中，a<b<0变形为－a>－b>0；
(3)可作为不等式两侧同时取倒数的依据.
三
利用不等式性质求变量的取值范围
⑧a>b时，a、b不一定为正数，故lga与lgb可能无意义，故 应填③④⑤⑥⑦.
答案
③④⑤⑥⑦
规律技巧
(1)通过本例的练习，可以使我们熟悉不等式的
性质，更好地掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法的 性质最易出错，即在不等式两边同乘(除以)一个数时，必须确 定该数是正数、负数或是零，当不确定时，结论不成立． (2)要判断一个命题是真命题，应说明理由或严格证明，若 判断命题是假命题时只需举出一个反例即可.
【例3】 取值范围． 【分析】 解．
a 已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b， b 的
解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求
【解】
∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16.
∴－10<2a＋b<19. 又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 1 1 1 又 < < ， 3 b 2 a (1)当0≤a≤8时，0≤b<4； a (2)当－6<a<0时，－3＜ ＜0. b a 由(1)(2)得－3<b<4.
a＋m a ba＋m－ab＋m mb－a (3) － ＝ ＝ ， b＋m b bb＋m bb＋m ∵b>a>0，m>0， mb－a a＋m a ∴ >0，∴ > . bb＋m b＋m b
【正解】
设x＝a＋b，y＝a－b，
x＋y x－y 则a＝ 2 ，b＝ 2 ， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3， 1 5 ∴3a－2b＝2x＋2y. 1 1 5 5 5 15 又 ≤ x≤ ，－ ≤ y≤ ， 2 2 2 2 2 2 1 5 ∴－2≤2x＋2y≤10. 即－2≤3a－2b≤10.
随堂训练 1.设a，b为非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2<b2 1 1 C.ab2<a2b B．ab2<a2b b a D.a<b
二
利用不等式的性质证明简单的不等式
证明下列不等式．
【例2】
b a (1)已知a<b<0，求证：a<b； a b (2)已知a>b>0，求证： b > a ； 1 1 (3)已知a>b， < ，求证：ab>0. a b 【分析】 首先作差，对差进行分析或利用不等式的性
质，对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式．