高中数学必修五不等式的性质

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高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《三不等式》归纳整合

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3．二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)二元一次不等式(组)的几何意义二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示的平面区域．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．区域不包括边界时，边界直线(Ax＋By＋C＝0)应画成虚线． (2)二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋ By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
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【例3】 f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值范围是 ________．解析 (1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意；
(2)当 a≠0 时，由题意得：aΔ<＝0a2＋4a<0 ⇔a－<40<a<0 ⇔
－4<a<0，综上所述：－4<a≤0. 答案 (－4,0]
(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]；
(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；
当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]；
当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．
(3)当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1<x2，那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4

高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案

§2.2 不等式及其基本性质预备知识∙数与式的基本运算∙数轴重点∙比较两个实数的大小∙不等式的解集难点∙不等式的基本性质∙比较式的大小学习要求∙了解不等式的概念，∙熟练应用不等式的基本性质解题1. 不等式及其基本性质我们先用天平来做两个实验．实验1：在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g 的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的重量是相等的；当天平处在不平衡状态，则两端的重量不等．在实验中你可以观察到：(1)天平平衡是可能的；(2)天平不平衡状态是经常发生的，所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“≠”或“<(≤)”、“>(≥)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(≤)”、“>(≥)”表示的不等量关系．用符号“<(≤)”、“>(≥)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x 表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x >1，读作x 大于1；图2-11(2)表示x <2，读作x 小于2．课内练习11.请你用“>(≥)”、“<(≤)”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a ,b ,c ,d ,e ,f 所表示的数如图所示．用“>(≥)” 、“<(≤)”连接任意两个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如⇒ 7+3>5+3(即10>8)；⇒ 7+(3⨯3-3)>5+(3⨯3-3)(即13>11)； ⇒ 7-9>5-9(即-2>-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如7>5 ⇒ 7⨯2>5⨯2 (即14>10)；-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8d e c f a b∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙第2题图7>57>5 ⇒ 7÷2>5÷2 (即3.5>2.5)； 7>5 ⇒ 7⨯x >5⨯x , x >0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：7>5 ⇒ 7⨯(-2)<5⨯(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ⇒ 5⨯(-5)<(-7)⨯(-5)(即-25<35)； -3<-2 ⇒ (-3)÷(-4)>(-2)÷(-4)(即43>21)．这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向．课内练习2 1. 因为3<5，所以(1)3+2 5+2，根据； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据． 2. 因为4>2，所以(1)4⨯3 2⨯3，根据； (2)4⨯(-3) 2⨯(-3)，根据． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x 与3的差大于0； (2)y 与5的和小于1； (3)y 的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x +3>0的两边同减去3后，不等式成为； (2)不等式y +6<2y -4的两边同加上4后，不等式成为； (3)不等式21x +7<-9的两边同乘以2后，不等式成为； (4)不等式9x +18<18x +6的两边同除以9后，不等式成为； (5)不等式-21x +7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为； (6)不等式9x +18<-18x +6的两边同除以-9后，不等式成为．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a ,b ，有 a b ⇔ a-b >0； a =b ⇔ a-b =0．(这里的记号“⇔”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1 比较65和76的大小．解因为 65-76=421423635-=-<0，所以65<76 ▍ 例2 比较x 2+x 和3x -2的大小，其中x 为任意实数．解因为 (x 2+x )-( 3x -2) =x 2+x -3x +2 =(x 2-2x +1)+1 =(x -1)2+1>0，所以 (x 2+x )>( 3x -2) ▍应用求差法还可以证明：若a >b ,b >c , 则a >c ．这个性质称为不等式的传递性课内练习31. 比较下列各组中两个实数的大小：(1)32和43； (2)-3和-4； (3)12.3和3112．2. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x 是任意实数)： (1)(x +1)2和2x +1；(2)(x +5)(x +7)和(x +6)2．2. 数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．(1)开区间(a , b )：(a ,b )表示{x a <x a }，如图2-12(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：[a ,+∞)表示{x x ≥a }，如图2-12(6)；(7)左无界右开区间(-∞,b )：(-∞,b )表示{x x <b }，如图2-12(7)； (8)左无界右闭区间(-∞,b ]：(-∞,b ]表示{x x ≤b }，如图2-12(8)．图2-12(1)图2-12(2)图2-12(3)图2-12(4)图2-12(5)图2-12(6)例如不等式x +3<6的解集{x ∣x <3}是区间(-∞,3)；不等式x +3≥5的解集{x ∣x ≥2}是区间[2,+∞)；不等式5x ≤2的解集{x ∣x ≤52}是区间(-∞,52]；而不等式2(3+x )>3(3+x )的解集{x ∣x <-3}是区间(-∞,-3)．课内练习41. 以区间法表示下列数集，并在数轴上出来： (1){x ∣x <-1}；(2){x ∣x ≤0}；(3){x ∣x >21}；(4){x ∣x ≥-31}．2. 解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来： (1) x +2<3； (2) 1-x >10； (3) 5x +2≤3x -8； (4) 1-x ≥4(x +2)．课外习题 A 组1. 用“>”或“<”填空：(1)15+6 13+6； (2)9-4 7-4； (3)6+(-2) 5+(-2)； (4)8+x 10+x ； (5)3⨯2 7⨯2； (6)4⨯(-3) 5⨯(-3)． 2. 用“>”或“<”表示下列实数的大小关系： (1)21和31； (2)32-和21-； (3)72和115； (4)211-和31． 3. 用不等式表示： (1)x 与b 的和不小于5； (2)y 的21倍小于-1； (3)x 与3的差的2倍大于0；(4)y 与-31的和不大于6．4. 在数轴上表示下列数集：(1){x |x <-2}； (2){x |x ≥3.5}； (3){x |x ≤0}； (4){x |x >-4}． 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示： (1)x +3<5；(2)x 的2倍不大于x 与3的和．B 组1. 用不等式表示： (1)x 与3的和不小于5； (2)两个数的平方和大于0；图2-12(7)图2-12(8)(3)代数式3a +2小于1； (4)代数式4x +8是负数； (5)代数式2a -1不是负数． 2. 解出题1中5个不等式．3. 比较下列两式，求出确定大小的范围：(1)x 2-2x +1与0； (2)(x +2)2与x 2+2； (3)3x +1与2x -5； (4)-2-5x 与8-6x ．C 组1. 设a >0, b >0，比较下列两式的大小： (1)b a 与a 1+； (2)a b 与1+a b ．2. 证明：若a >b >0，则a 1<b1． 3. 用 “>”,“=”,“<”, “≥”, “≤” 连接： (1)(-1)2 -12； (2)|-21| 21；(3)(-2)3 -2； (4)|a | a ．4. 若a >b , c >d ，那么a +c >b +d 成立吗？a -c >b -d 成立吗？若不成立，应作怎样的修改使之成立？ 5．解下列不等式(1)7x +5>8x +6； (2)6x -3≤4x -4； (3)2(2-3x )<3(x -2)．。

人教版高中数学必修五第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

第三章不等式 3.1 不等关系与不等式第2课时不等式的性质与应用A 级基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________．答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0，所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)．因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1，所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2，所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32，所以－10≤－5f (1)≤－5，所以14≤8f (2)－5f (1)≤27，所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。

高中数学必修5精要——不等式知识点

不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。

特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

常用的方法为：拆、凑、平方。

如（1）下列命题中正确的是A、的最小值是2B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（答：C）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）；4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。

高中数学基本不等式优秀教案

《不等式的性质》教学设计一. 教学内容解析；本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5〕》〔人教A 版〕第三章第一节的第二课《不等式的性质》。

这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这局部内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及根底．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系根底上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比拟两个实数大小的方法和不等式的性质。

二．教学目标设置；1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比拟两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比拟实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．三．学生学情分析；在的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是〔1〕利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，〔2〕学习关于不等式原来不完善的地方，比方对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。

教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．四．教学策略分析；这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的根本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜测不等式的根本性质，并给出证明。

让学生体会“运算〞在研究不等式性质中的关键作用。

为了研究不等式的性质，首先学习比拟两实数大小的方法，这是论证不等式性质的根本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生根本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．五．教学过程设计；引入：1．古诗横看成岭侧成峰，远近上下各不同，引出不等关系。

高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4

2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围．【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________．解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度，即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000

高中数学第3章不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质新人教B版必修5

A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．设 M＝x2，N＝－x－1，则 M 与 N 的大小关系是( )
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与 x 有关
A [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，故 M>N.]
a>b，b>c⇒_a_>_c_
性质 3(可加性)
a＞b⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_
推论 1 性质 3
推论 2
a＋b＞c⇒_a_＞__c_－__b__ a＞b，c＞d⇒_a_＋__c_＞__b_＋__d_
性质 4(可乘性) a＞b，c＞0⇒_a_c_＞__b_c_；a＞b，c＜0⇒_a_c_＜__b_c_
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？
[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
1．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．

高中数学必修5优质课件：基本不等式

第七页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
解得 x＝1－ 22，y＝ 2－1，∴当 x＝1－ 22，y＝ 2 －1 时，1x＋1y有最小值 3＋2 2.
法二：1x＋1y＝1x＋1y·1＝1x＋1y(2x＋y)＝3＋2yx＋xy≥3 ＋2 xy·2yx＝3＋2 2，
以下同解法一．
第八页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
A．最大值为 0
B．最小值为 0
Байду номын сангаасC．最大值为－4
D．最小值为－4
解析：∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋－1x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号．答案：C
第二十二页，编辑于星期日：二十三点三十九分。
2．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是( ) A．a＞b＞a＋2 b＞ ab B．a＞a＋2 b＞ ab＞b C．a＞a＋2 b＞b＞ ab D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
[解] (1)∵m，n＞0 且 m＋n＝16，所以由基本不等式可得 mn≤m＋2 n2＝1262＝64，当且仅当 m＝n＝8 时，mn 取到最大值 64.∴12mn 的最大值为 32.
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(2)∵x＞3，∴x－3＞0，x－4 3＞0，于是 f(x)＝x＋x－4 3＝x－3
基本不等式
【知识梳理】
1．重要不等式当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式
a＋b （1）有关概念：当 a，b 均为正数时，把 2 叫做正数 a，b 的算术平均数，把 ab 叫做正数 a，b 的几何平均数.
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高中数学新人教A版必修5第三章 3.1 不等关系与不等式

不等关系与不等式预习课本P72～74，思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系？(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？(3)不等式的性质有哪几条？[新知初探]1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．比较两个实数a ，b 大小的依据3.不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ；推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ；(5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)．[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2( )(2)若a b ，则ac >bc 一定成立( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d ( )解析：(1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2，故此说法是正确的． (2)正确．不等式a ≤b 表示a b ，则ac >bc 不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2，满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b ，故此说法错误．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C 法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .3．设a ，b 是非零实数，若a 0，所以1a 2b －1ab 2＝b －a a 2b 2>0，故1a 2b >1ab 2. 4．当m >1时，m 3与m 2－m ＋1的大小关系为________．解析：∵m 3－(m 2－m ＋1)＝m 3－m 2＋m －1＝m 2(m －1)＋(m －1) ＝(m －1)(m 2＋1)．又∵m >1，故(m －1)(m 2＋1)>0. 答案：m 3>m 2－m ＋ 1用不等式(组)表示不等关系[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h 的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：家电名称空调彩电冰箱工时(h)121314若每周生产空调x [解] 由题意，知x ≥0，y ≥0，每周生产冰箱(120－x －y )台．因为每周所用工时不超过40 h ，所以12x ＋13y ＋14(120－x －y )≤40，即3x ＋y ≤120；又每周至少生产冰箱20台，所以120－x －y ≥20，即x ＋y ≤100. 所以满足题意的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[活学活用]1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 0002．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为________．解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19)km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19)km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示．答案：8(x ＋19)>2 200不等式的性质[典例] (1)已知b <2a,3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c(2)下列说法不正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3 B ．若a ∈R ，则(a －1)4>(a －2)4 C ．若0<a ⎝⎛⎭⎫13bD ．若0<a 0，所以a 2＋2a －1>a －2，则(a 2＋2a －1)3>(a －2)3，故A 选项说法正确；对于B ，当a ＝1时，(a －1)4＝0，(a －2)4＝1，所以(a －1)4>(a －2)4不成立；对于C 和D ，因为0<a <b ，所以由指数函数与幂函数的性质知C 、D 选项说法正确，故选B.[答案] (1)C (2)B1．利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[活学活用]1．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>|b |c解析：选C 因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，所以ab >ac . 2．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.数式的大小比较[典例] (1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． [解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34.∵x <1，∴x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0. ∴x 3－1<2x 2－2x .(2)因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a，因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤． ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围． ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法． [活学活用]若m >2，比较m m 与2m 的大小．解：因为m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ，又因为m >2，所以m 2>1，所以⎝⎛⎭⎫m 2m >⎝⎛⎭⎫m 20＝1，所以m m >2m.用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a ＜4,2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围． [解] ∵1＜a ＜4,2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8,6＜3b ＜24. ∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.故2a ＋3b 的取值范围是(8,32)，a －b 的取值范围是(－7,2)．同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.1．在本例条件下，求ab 的取值范围．解：∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ·1b ＜4×12，即18＜a b ＜2.故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，2.不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．2．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，求ab 的取值范围．解：∵－6＜a ＜8,2＜b ＜3. ∴13＜1b ＜12， ①当0≤a ＜8时，0≤ab ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab ＜0. 由①②得：－3＜ab ＜4.故ab的取值范围为(－3,4)．利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数． 3．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．解：设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，解得λ1＝53，λ2＝－23.又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23，所以－113≤a ＋3b ≤1.故a ＋3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.层级一学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不确定解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]．答案：[3,8]9．两种药片的有效成分如下表所示：应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A 药片x 片，B 药片y 片，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x＋6y ≥28，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.10．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95 解析：选C x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.∴1＋a ＞0,1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1， ∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a ≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1. 对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2.即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．答案：①④7．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ；当a <b 时，x －y <0，所以x <y .8．已知x ，y 为正实数，且1≤lg(xy )≤2,3≤lg x y ≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解：由题意，设a ＝lg x ，b ＝lg y ，∴lg(xy )＝a ＋b ，lg x y ＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b .设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. 又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4，∴6≤4a ＋2b ≤10，∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。

不等式的基本性质

“不等式的性质”教学设计一、教学内容解析本节课是人教版高中数学必修5第三章第一节《不等关系与不等式》第二课时的内容．在初中的时候，学生已经学习了不等式的基本性质,本节课将继续探索不等式的性质。

本节内容是学生上节课学过的利用作差法比较大小知识的延续和拓展，又是后续研究不等式问题的基础。

因此本节课起着承上启下的作用，有其重要地位。

它是在数（式）及其运算系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个完整的知识体系．二、学情分析知识储备：1、已掌握等式的基本性质及基本初等函数的图像与性质。

2、初中已学习过不等式的三条基本性质，但没有进行严密的逻辑证明。

能力储备：1、具备“通过观察、操作、抽象概括等活动获得数学结论”的体会。

2、有一定的抽象概括和合情推理归纳能力．方法储备：会利用作差法证明简单的不等式。

三、教学目标设置1、①能够梳理等式的基本性质，通过类比，猜想出不等式的基本性质，能够证明，并说出其中的约束条件。

②能够合理利用不等式的基本性质、作差法和函数图像，证明不等式。

2、①在不等式的若干性质及推论的猜想和证明过程中，培养学生的逻辑推理能力.②在应用不等式的性质的过程中，能够掌握不等式的基本研究思路和方法。

③在将实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生数学建模能力。

3、①通过本节课的学习，能够激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，体会数学的结构美、对称美和系统美，激发学生更大的数学热情。

②通过类比体会数学各个内容之间的联系，使学生学会从已有知识出发主动探索新知识。

四、教学重难点重点：理解不等式的基本性质及推论，能利用基本性质证明不等式。

难点：①探索不等式的基本性质的过程与方法。

②将实际问题转化为数学问题的过程中的数学建模。

高中数学必修五《不等式的基本性质》教案

不等式的基本性质教学设计教学设计思想本节主要学习了不等式的三个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质3的探索及运用，讲解时要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。

对于不等式的基本性质3，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。

并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流．教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点能根据不等式的基本性质进行化简．教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质．教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A）第二张：（记作§1.2 B）课时安排1课时教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？［生］记得．等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式．基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式．［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证．Ⅱ.新课讲授1．不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法．［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．［师］很好．不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究．［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×a＜5×b．所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变．［生］不对．如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的．［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明．［生］如3＜43×3＜4×33×5＜4×53×（－3）＞4×（－3）3×（－4）＞4×（－4）3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变．［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导．［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变．［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用．2．用不等式的基本性质解释(l/4)2＞π?(l/2π)2的正确性．［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为(l/4)2和π?(l/2π)2，且有(l/4)2＞π?(l/2π)2存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16∴1/4π＞1/16根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得(l/4)2＞π?(l/2π)23．例题讲解将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－5＞－1；（2）－2x＞3；（3）3x＜－9．［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x＞－1+5即x＞4；（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜－2/3；（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x＜－3．说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否．4．议一议投影片（§ 1.2 A）讨论下列式子的正确与错误．（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；（3）如果a＜b,那么ac＜bc；（4）如果a＜b,且c≠0,那么ac＞bc．［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负．本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流．.［生］（1）正确∵a＜b，在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c；∴结论正确．同理可知（2）正确．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得ac＜bc；所以正确．（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得ac＜bc．所以结论错误．［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意．［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号．而结论ac＜bc．只指出了其中一种情况，故结论错误．在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有ａ＜b ,若 c＜0，则有a＞b ,而他只说出了一种情况，所以结果错误．［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否．［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行．［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条．区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似．Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x－1＞2（2）－x＜３［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－３．2．已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6；（2）3x＜3y；（3）－2x＜－2y．解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6．∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立．投影片（§ 1.2 B）3．设a＞b,用“＜”或“＞”号填空．（1）a+1 b+１；（2）a－3 b－3；（3）3a 3b；（4）a/4 b/4；（5）－1/2a－1/2b；（6）－a－b．分析：∵a＞b根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向不变；在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－１／2或－1，不等号的方向改变．解：（1）a+1＞b+1；（2）a－3＞b－3；（3）3a＞3b；（4） a/4＞；（5）－1/2＜－1/2；（6）－a＜－b．Ⅳ．课时小结1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质．2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空．Ⅴ．课后作业习题1.2Ⅵ．活动与探究1．比较a与－a的大小．解：当a＞0时，a＞－a；当a=0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a．说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2．有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a．调换后的两位数为10a+b．根据题意得10a+b＞10b+a．根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b，得9a＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b．板书设计§1.2不等式的基本性质1．不等式的基本性质的推导．2．用不等式的基本性质解释＞．3．例题讲解.4．议一议练习小结作业备课资料参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－2＜3；2）6x＜5x－1；（3） x＞5；（4）－4x＞3．2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.（1）a－3 b－3；（2）；（3）－4a－4b；（4）5a 5b；（5）当a＞0，b 0时，ab＞0；（6）当a＞0，b 0时，ab＜0；（7）当a＜0，b 0时，ab＞0；（8）当a＜0，b 0时，ab＜0．参考答案：1.（1）x＜5;（2）x＜－1；（3）x＞10;（4）x＜－．2.（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞．。

高中数学不等式的性质及一元二次不等式知识要点及例题讲解

不等式的性质及一元二次不等式考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题．[基础梳理]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd .3．两个实数比较大小的依据 (1)a －b >0⇔a >b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b <0⇔a b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③ 答案：D2．不等式x (9－x )<0的解集为( ) A ．(0,9) B ．(9，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．(必修5·习题3.2B 组改编)若函数y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．答案：[13，＋∞)4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤0x 2 x >0，则f (x )≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)考点一一元二次不等式的解法|方法突破[例1] (1)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (2)解不等式x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． [解析] (1)－x 2－3x ＋4>0⇒(x ＋4)(x －1)<0. 如图，作函数y ＝(x ＋4)(x －1)的图象， ∴当－4<x <1时，y <0. (2)由x 2－4ax －5a 2>0，知(x －5a )(x ＋a )>0.由于a ≠0，故分a >0与a <0讨论．当a <0时，x <5a 或x >－a ；当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }； a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． [答案] (1)(－4,1) [方法提升][母题变式]1．将例(1)的不等式改为“－x 2－3x ＋4≤0”，其解集为________．解析：由－x 2－3x ＋4≤0得x 2＋3x －4≥0，即(x ＋4)(x －1)≥0，∴x ≥1或x ≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．将例(1)的不等式变为“x 2－3x ＋4>0”，其解集为________．解析：令y ＝x 2－3x ＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y >0恒成立．∴x ∈R . 答案：R3．将例(2)变为“x 2－4ax －5a 2>0”，如何求解．解析：由例(2)知，(1)若a ＝0，不等式为x 2>0解集为{x |x ≠0}， (2)当a >0,5a >－a ，解集为{x |x >5a 或x <－a }， (3)当a <0,5a <－a ，解集为{x |x <5a 或x >－a }．考点二不等式恒成立问题|方法突破[例2] (1)(2018·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0](2)(2018·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立，则a 的最小值是________．(3)对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 的取值范围是________．[解析] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A. (2)法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52. 法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a 2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2<0，即a >0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上，a 的最小值为－52.(3)令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且g (1)>0，解得x <1或x >3.[答案] (1)A (2)－52 (3)(－∞，1)∪(3，＋∞)[方法提升]一元二次不等式恒成立问题的破解方法[母题变式]在本例(1)中，改为“对于x ∈[1,2]上，2kx 2＋kx －38<0恒成立”，求k 的取值范围．解析：k (2x 2＋x )<38，当x ∈[1,2]时，3≤2x 2＋x ≤10，∵k <38(2x 2＋x )恒成立，380≤38(2x 2＋x )≤18，∴k <380.考点三比较大小问题|模型突破角度1 作差(商)法比较代数式的大小 [例3] 已知a >0，b >0，且a ≠b ，则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．2a 3b >3a 2bD ．a a b b <a b b a[解析] 选项A(作差法)，ab ＋1－(a ＋b )＝ab －a ＋(1－b )＝a (b －1)＋(1－b )＝(a －1)(b －1)，显然当a ，b 中有一个等于1时，(a －1)(b －1)＝0，即ab ＋1＝a ＋b ；故选项A 不正确．选项B(作差法)，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a 2－b 2)(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．因为a >0，b >0，a ≠b ，所以a ＋b >0，(a －b )2>0，故(a －b )2(a ＋b )>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故选项B 正确．[答案] B [模型解法]角度2 巧用不等式性质比较大小[例4] 若a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a ·lg x >b ·lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x[解析] 已知a >b ，选项A ，由已知不等式两边同乘lg x 得到，由不等式的性质可知，当lg x >0时，a ·lg x >b ·lg x ；当lg x ＝0时，a ·lg x ＝b ·lg x ；当lg x <0时，a ·lg x 0时，ax 2>bx 2；当x 2＝0时，ax 2＝bx 2.故该选项不正确．选项C ，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a >b >0时，a 2>b 2；当a >0>b 且|a |<|b |时，a 20，所以a ·2x >b ·2x .故该选项正确． [答案] D [模型解法]角度3 构造函数法比较代数式的大小[例5] 已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln ⎝⎛⎭⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫54，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1x ×x －1×ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f ⎝⎛⎭⎫54<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即b <a <c .故选B. [模型解法][高考类题]1．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：依题意a ＝g (－log 25.1)＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)．所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又log 25.1>0,20.8>0,3>0，且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3，而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .故选C. 答案：C2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B. 法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 答案：B1.[考点一](2014·高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：由x (x ＋2)>0得x >0或x <－2；由|x |<1得－1<x <1，所以不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.答案：C2.[考点三](2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0D ．ln x ＋ln y >0解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；当x >0且y >0时，ln x ＋ln y >0⇔ln xy >0⇔xy >1，而x >y >0⇒/ xy >1，故D 错误．答案：C3.[考点二](2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3解析：∵a x <a y,0<a <1， ∴x >y ，∴x 3>y 3. 答案：D4.[考点二、三](2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b cD.a d <b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确．答案：D。

高中数学不等式知识点

高中数学不等式知识点不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0>-⇔>b a b a 0<-⇔ ， a b b a >⇔< （反对称性）（2）c a c b b a >⇒>>, ，c a c b b a <⇒<<, （传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>，故b c a c b a ->⇒>+ （移项法则）推论：d b c a d c b a +>+⇒>>, （同向不等式相加）（4）bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0, 推论1：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 推论2：n n b a b a >⇒>>0 推论3：n n b a b a >⇒>>0不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（4）222)2(2b a b a +≤+4、最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如积P y x P xy 2(有最小值定值），则积+=（2）如积22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即:积定和最小，和定积最大。

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5、均值不等式:证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）。

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规律技巧
解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利
用已知求解，否则易出错，同时在交换过程中要熟练掌握，准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减，相除的错误.
易错探究已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【错解】 ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3. ∵0≤a≤4，－1≤b≤3， ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.
5．a>b，c>d⇒a＋c________b＋d. 6．a>b>0，c>d>0⇒ac________bd. 7．a>b>0⇒an________bn(n∈N，n≥2)． 8．a>b>0⇒ a________ b(n∈N，n≥2). n n
自我校对
1.<
2.>
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4.> <
5.>
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2 2 b a b －a 证明 (1) －＝， a b ab
∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴a2>b2. 故b2－a2<0. b2－a2 b a 又∵ab>0，∴ <0，∴ < . ab a b (2)∵a>b>0，∴ a> b>0.① 1 1 1 又∵a>b>0，两边同乘正数ab，得b>a>0.② a b ①②两式相乘，得 > . b a
【正解】
设x＝a＋b，y＝a－b，
x＋y x－y 则a＝ 2 ，b＝ 2 ， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3， 1 5 ∴3a－2b＝2x＋2y. 1 1 5 5 5 15 又 ≤ x≤ ，－ ≤ y≤ ， 2 2 2 2 2 2 1 5 ∴－2≤2x＋2y≤10. 即－2≤3a－2b≤10.
随堂训练 1.设a，b为非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2<b2 1 1 C.ab2<a2b B．ab2<a2b b a D.alog1 ＝1， 3 2 3 2 2
3．不等式性质的应用不等式性质的应用非常广泛，但就类型来说主要是两类：一类是在实际生活中的应用，这要求我们具有数学建模的思想和能力；另一类是与其他章节知识综合命题，即在所谓知识交汇处命题，这是现在高考命题的趋势．解决此类问题，除要综合运用不等式的性质外，还要注意其他相关章节知识的运用．
课堂互动探究
1 0<c＝20.3<1，
∴b>c>a.
答案
B
3．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)如果a>b，那么a－c>b－c； a b (2)如果a>b，那么 > ； c c (3)如果ac<bc，那么a<b； (4)如果ac2>bc2，那么a>b.
解
(1)正确，符合性质3；(2)不正确，当c<0时不正确；(3)
二
利用不等式的性质证明简单的不等式
证明下列不等式．
【例2】
b a (1)已知a<b<0，求证：a<b； a b (2)已知a>b>0，求证： b > a ； 1 1 (3)已知a>b， < ，求证：ab>0. a b 【分析】首先作差，对差进行分析或利用不等式的性
质，对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式．
剖析归纳触类旁通
一
典例剖析利用不等式的性质判断命题的真假
下列说法正确的是________．
2 2
【例1】
1 1 ①若a>b，则ac >bc ；②若a>b，则 < ；③若ac2>bc2，则 a b a>b；④若a<b<0，则a2>ab>b2；⑤若a<b<0，则a2>b2；⑥若 a b 1 1 c>a>b>0，则 > ；⑦若a>b且 > ，则a>0，b<0；⑧若 a b c－a c－b a>b，则lga>lgb.
不正确，当c<0时不正确；(4)正确，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以由性质4，可得a>b.
4．(1)若bc－ad≥0，bd>0， a＋b c＋d 求证： b ≤ d ； a b (2)已知c>a>b>0，求证： > ； c－a c－b a＋m a (3)已知a，b，m均为正数，且a<b，求证： > . b＋m b
⑧a>b时，a、b不一定为正数，故lga与lgb可能无意义，故应填③④⑤⑥⑦.
答案
③④⑤⑥⑦
规律技巧
(1)通过本例的练习，可以使我们熟悉不等式的
性质，更好地掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法的性质最易出错，即在不等式两边同乘(除以)一个数时，必须确定该数是正数、负数或是零，当不确定时，结论不成立． (2)要判断一个命题是真命题，应说明理由或严格证明，若判断命题是假命题时只需举出一个反例即可.
【错因分析】
在错解中，由已知条件推出不等式－6≤3a
－2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7，就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系．
【例3】取值范围．【分析】解．
a 已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b， b 的
解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求
【解】
∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16.
∴－10<2a＋b<19. 又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 1 1 1 又 < < ， 3 b 2 a (1)当0≤a≤8时，0≤b<4； a (2)当－6<a<0时，－3＜＜0. b a 由(1)(2)得－3<b<4.
证明：(1)
bc－ad≥0⇒bc≥ad ⇒ 1 又bd>0⇒bd>0
c＋d a＋b a＋b c＋d c a c a d≥b⇒d＋1≥b＋1⇒ d ≥ b ⇒ b ≤ d . (2)c>a>b>0⇒c－b>c－a>0⇒ 1 1 > >0 a b c－a c－b ⇒ > . c － a c － b a>b>0 源自第三章不等式§3.1
不等关系与不等式
第二课时
不等式的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
自学导引 1.掌握不等式的有关性质． 2．利用不等式的性质，进行数或式的大小比较或不等式的证明． 3．掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.
课前热身不等式的性质 1．a>b⇔b________a. 2．a>b，b>c⇒a________c. 3．a>b⇔a＋c________b＋c. 4．(1)a>b，c>0⇒ac________bc； (2)a>b，c<0⇒ac________bc.
1 1 b－a (3)∵ －＝， a b ab ∵a>b，∴b－a<0. b－a 1 1 1 1 又∵ < ，∴ － <0，∴ <0. a b a b ab ∴ab>0.
规律技巧
(1)中，a<b<0变形为－a>－b>0；
(3)可作为不等式两侧同时取倒数的依据.
三
利用不等式性质求变量的取值范围
8.>
名师讲解 1.在应用不等式的性质时应注意的问题在使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的条件，不能盲目套用，否则就会出错．例如： (1)性质5 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，也可以表示为a<b，c<d⇒a＋c<b＋d.
(2)性质6
a>b>0且c>d>0⇒ac>bd.不但要求两个不等式同
－1
(4)注意不等式性质的单向性或双向性．也就是说每条性质是否具有可逆性．仅有a>b⇔b<a，a>b⇔a＋c>b＋c具有可逆性．其余几条性质是不可以逆推的．
2．利用不等式的性质，求取值范围问题利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向不等式的两边可以相加”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围．解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体，与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径．
a＋m a ba＋m－ab＋m mb－a (3) －＝＝， b＋m b bb＋m bb＋m ∵b>a>0，m>0， mb－a a＋m a ∴ >0，∴ > . bb＋m b＋m b