届高三数学第二轮复习空间角与距离

空间角与距离★★★高考考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大. 【热点透析】 1．转化思想：① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 距离【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。

【热点透析】 转化思想： ① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。

2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影★★★高考将考什么【范例1】（07北京•理•16题）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =， CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴==又12DE AO ==． ∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===．OCA DBE∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD ==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB ==23tan CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为23arctan． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，， (0023)OA ∴=，，，(213)CD =-，，，cos OA CDOA CD OA CD ∴<>=，642322==．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos． （III ）同解法一【范例2】（07福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC －A1B1C1的所有棱长都为2，D 为CC1中点。

（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A －A1D －B 的大小；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解答：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥，1AB BD∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B⊥，1AB ∴⊥平面1A BD．（Ⅱ）设1AB 与1A B交于点G ，在平面1A BD中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD．1AF A D∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D△中，由等面积法可求得45AF =，ABC D1A1C1BO FOCADB xyz又1122AG AB == 210sin 45AG AFG AF ∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin4． （Ⅲ）1A BD△中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 3设点C 到平面1A BD的距离为d ．由11A BCDC A BD V V --=得111333BCDA BD S S d =△△， 132BCD A BD S d ∴==△△． ∴点C 到平面1A BD 的距离为2．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD的法向量为()x y z =，，n ．(113)AD =--，，，1(020)AA =，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(31)=，，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n ，111336222AB AB AB -->===n n ．∴二面角1A A D B --的大小为6arccos4．【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法xz ABC D1A1C1BO Fy，在方法二中注意用分析法寻找思路。

【变式】在梯形ABCD 中，AB=BC=1，AD=2，90=∠=∠BAD CBA ，沿对角线AC 将折起，使点B 在平面ACD 内的射影O 恰在AC 上。

（1）求证：AB ⊥平面BCD （2）求异面直线BC 与AD 所成的角。

解：(1)在梯形ABCD 中,2AC DC ==,AD=2，222AD DC AC =+∴，DC AC ⊥∴ 又⊥BO 平面ACD ，故CD AB ⊥又BC AB ⊥，且C CD BC =⋂⊥∴AB 平面BCD （2）因为BA=BC ，AC BO ⊥，O ∴为AC 中点，取CD 中点E ，AB 中点F ，连结OE 、OF 、EF ，则OE//AD ， OF//BC ，所以AD 与BC 所成的角为EOF ∠或其补角. 作FH//BO 交AC 于H ，连结HE, 则FH ⊥平面ACD472242342222222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=+=∴EC HC FH EH FH EF 在三角形EOF 中，又21=FO ，EO=1由余弦定理知120,21cos =∠∴-=∠EOF EOF故异面直线BC 与AD 所成的角为60【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。

【范例3】在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，E 为BC 中点.（1）求平面PDE 与平面PAB 所成二面角的大小；（2）求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小 解：（1）延长AB 、DE 交于点F ，则PF 为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的棱， ∵PA⊥平面ABCD ， ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA 于A, 过A 作AO⊥PF 于O ，连结OD, 则∠AOD 即为平面PDE 与平面PAD 所成二面角的平面角。

得25tan =∠AOD ，故面PDE 与面PAD 所成二面角的大小为25tan atc（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA 于A, 同时BC⊥平面BPA 于B, ∴△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影,设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ, cosθ=S △PAB /S △PCD =/2θ=450，即平面BAP 与平面PDC 所成的二面角的大小为45°。

解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD 补形 得正方体ABCD-PQMN ，则PQ⊥PA、PD ，于是∠APD 是两 面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。

即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为45°。

【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。

【范例4】如图，四面体ABCD 中， O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

方法一：（I ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+=ABMDEOC90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ====OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=∴异面直线AB 与CD所成角的大小为arccos4（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h11, (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACD AO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD的距离为7方法二：（I ）同方法一。