信号与系统公式和常用的连续傅里叶变换

αF1 (ω ) + βF2 (ω ) ω 1 F( ) a a
g (ω ) F (ω )e − jωt jωF (ω )
频移
0
g (t ) f (t )e jω t
0
2πf (−ω ) F (ω − ω 0 ) d F (ω ) dω
√ √ √
√
时移
时域微 分性质 时域积 分性质
频域微 分性质
− jtf (t )
√
δ (t + t0 ) − δ (t − t0 )
W
√
1, t < τ f (t ) = 0, t > τ 1 − t τ , t < τ f (t ) = 0, t > τ
τSa(
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
√
√
τSa 2 (
ωτ
2
)
W Wt Sa 2 ( )) = f (t )u (t )
πω
2π ) T
频域抽 样
√
时域抽 样
f (t ) ∑ δ (t − nT )
n = −∞
+∞
1 T
1 2π
k = −∞
∑ F (ω − k
F (ω ) dω
2
+∞
1
ω0
n = −∞
∑ f (t − n ω
+∞
2π
0
)
F (ω ) ∑ δ (ω − kω 0 )
√
e − at u (t ), Re{a} > 0
e
−a t
1 a + jω
2a ω + a2
2
1
τ − jt
τ
t +τ 2
2
2πe −τω u (ω ),τ > 0
, Re{a} > 0
πe −τ ω ,τ > 0
√ √
e − at cos ω 0tu (t ), Re{a} > 0
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
√
u (t ) tu (t )
1 1 δ (t ) − 2 j 2πt
√
1, t > 0 sgn(t ) = − 1, t < 0 δ (t − t 0 )
cos ω 0t sin ω 0t
1
π
,t ≠ 0
0
π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )]
jπ [δ (ω + ω 0 ) − δ (ω − ω 0 )]
tk
重 要
√ √
δ (t )
d δ (t ) dt
1 jω
2πδ (ω ) j 2π d δ (ω ) dω
√
dk δ (t ) dt k
( jω ) k
1 + πδ (ω ) jω jπ d 1 δ (ω ) − 2 dω ω 2 jω e
− j ωt 0
2πj k
dk δ (ω ) dω k
u (ω )
∫
t
−∞
f (τ )dτ
F (ω ) + πF (0)δ (ω ) jω
F (ω ) H (ω )
频域积 分性质 频域卷 积性质
f (t ) + πf (0)δ (t ) − jt
f (t ) p (t ) f (t ) 是实函数
∫
ω
−∞
F (σ )dσ
√ √
时域卷 积性质 对称性
f (t ) * h(t ) f (−t ) f * (t ) f * (−t )
√ √
δ T (t ) =
l = −∞
∑ δ (t − lT )
t − ( )2
+∞
2π T
k = −∞
∑ δ (ω − k
π τe
−(
+∞
2π ) T
ωτ
2
e
τ
)2
√
[u (t +
τ
2
) − u (t −
τ
)] cos ω t 0 2
τ
2
[ Sa
(ω + ω )τ (ω − ω )τ 0 0 + Sa ] 2 2
e jω t δ (t + t0 ) + δ (t − t0 )
− j , ω > 0 F (ω ) = j, ω < 0 2πδ (ω − ω 0 )
2 cos ωt 0 j 2 sin ωt 0 1, ω < W F (ω ) = 0, ω > W 1 − ω W , ω < W F (ω ) = 0, ω > W
F (0) = ∫−∞ f (t )dt
重 要
名称
连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω )
名称
相对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω )
重 要
√ √
线性 尺度比 例变换 对偶性
αf 1 (t ) + βf 2 (t )
f (at ), a ≠ 0 f (t ) f (t − t 0 ) d f (t ) dt
k = −∞
∑F e
k
+∞
jkω 0t
2π
k = −∞
∑ F δ (ω − kω
k
+∞
0
)
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
f (t ) = 1 2π
+∞ −∞
∫ F (ω )e ∫
+∞ −∞
j ωt
dω
F (ω ) =
+∞
−∞
∫ f (t )e
+∞
− j ωt
dt
f (0) =
1 2π
F (ω )dω
k = −∞
+∞
√
帕什瓦 尔公式
∫
∞
−∞
f (t ) dt =
2
∫
∞
−∞
取反----------取反 共轭----共轭取反 共轭取反---
2
1 F (ω ) * P(ω ) 2π
j Im{F (ω )} Re{F (ω )}
√
F (−ω ) F * (−ω ) F * (ω )
F (ω ) = R (ω ) + jI (ω )
R(ω ) = I (ω ) * 1
奇偶虚 实性质
f o (t ) = Od { f (t )} f e (t ) = Ev{ f (t )}
表 6.3
f (t ) = 1 2π
+∞ −∞
常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
dω F (ω ) =
+∞ −∞
∫ F (ω )e
j ωt
∫ f (t )e
− j ωt
dt
重 要
连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω )
相对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω ) 1 t
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!