2.5状态估计-卡尔曼滤波
系统辨识 第三章 状态估计—Kalman滤波方法
定理 若 z 的协方差阵 Rzz 有逆 则 z 对 x 的线性无偏最小方差估计唯一地表示为 −1 ˆ = E ( x | z ) = m x + Rxz Rzz ( z − mz ) x (3.1.16) 且误差协方差阵为 −1 ~~ T ˆ ˆ T R~ x = cov{x x } = cov{( x − x )( x − x ) } = R xx − R xz R zz R zx (3.1.17)E[T * (Y ) − x] ≤ E[T (Y ) − x] 2 则称 T (Y ) 为最小方差估计 定理 设 x 和 Y 是两个联合分布的随机向量 期望值 ˆ = E[ x | y ] = ∫ x p( x | y )dx x
−∞ ∞
ˆ 就是 x 的条件 则 x 的最小方差估计 x (3.1.8)
估计值能够落在真值的任一
定义 如果对于任意实数 ε > 0 式 3.1.1 ˆ (N ) − x > ε} = 0 lim P{ x
N →∞
得到的估计量依概率收敛于真值
即 (3.1.4)
则称该估计为一致估计 充分估计 ˆ 包含了样本 { y (1), y (2),L , y ( N )} 关于 x 的全部信息 则称 x ˆ (N ) 为 x 的 如果 x 充分估计
−1
−1
−1
结合式
(3.1.18)
定理得证
5 定理 如果 z = { y (1),L , y ( N )} 是 Y 的一组子样 且 y (i ), i = 1, L , N 对 x 的线性无偏最小方差估计为 ˆ = E{x | z} = ∑ E ( x | y (i )) − ( N − 1)m x x
证明 假定 f ( y ) 为 x 的一个估计 其中 y 为随机向量 Y 的某一实现 则估计误差为 ~ x = x − f ( y) 且 E[ ~ x~ x T ] = E{[ x − f ( y )][ x − f ( y )]T = E{[ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )] • [ x − E ( x | y ) + E ( x | y ) − f ( y )]T } = E{[ x − E ( x | y )][ x − [ x − E ( x | y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T } + E{[ E ( x | y ) − f ( y )][ x − E ( x | y )]T } 下面说明上式的最后两项为零 E{[ x − E ( x | y )][ E ( x | y ) − f ( y )]T }
卡尔曼滤波器
Ak (xk1 xˆk1 H kCk Ak (xˆk1 xk1) k1 H kCk Akk1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) (I H kCk )k1 H k vk
(I H kCk ) Ak (xk1 xˆk1) k1 H kvk
(2.5.17)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
所以(xˆskuǒ1yǐ) 仅依赖于xk-1,vk-1，而与vk不相关，即 E[(xk1 xˆk1)vkT ] E[vk (xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.18)
E[(xk1 xˆk1)kT1] E[k1(xk1 xˆk1)T ] 0 (2.5.19)
(2.5.24)
令
U T (Pk'CkT )T Ck Pk'T Ck Pk'
(2.5.25)
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
定义:设A∈Cn×n是Hermite矩阵,如果对任意0≠x∈Cn,都有 xHAx＞0,则A是Hermite正定阵; 若xHAx≥0,则A是Hermite半正定阵.
定理(dìnglǐ):设A∈ Cn×n 是Hermite矩阵,则下列条件等价 (1)A是Hermite矩阵,AH=A (2)A的特征值全为正实数 (3)存在矩阵P ∈Cn×n,使得A=PHP
(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
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第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.5.1 卡尔曼滤波的状态方程(fāngchéng)和量测方程(fāngchéng)
假设某系统k时刻的状态变量为xk，状态方程(fāngchéng)和量 测方程(fāngchéng)（也称为输出方程(fāngchéng)）表示为
卡尔曼滤波
式中，N 1向量 (n)表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。
3.2、新息过程
新息 (n)具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n)与所有过去的观测数据y(1), ...，y(n-
1)正交，即：
E{(n)yH (k)} 0,1 k n 1.......(7)
二.估计原理和卡尔曼滤波
1. 状态估计原理 2. 为什么要用状态估计理论 3. 经典控制理论与现代控制理论 3. 什么是卡尔曼滤波 5.卡尔曼滤波器的应用
2.1状态估计原理
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。 一般来说，根据观测数据对随机量进行定 量推断就是估计问题，特别是对动态行为 的状态估计，它能实现实时运行状态的估 计和预测功能。比如对汽车状态估计。
在kalman滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ，而
是先计算状态向量的一步预测
def
x1 (n) x(n y(1),... y(n 1))........ (11)
然后再用到下式得到
y 1
(n)：
y (n) C(n) x1(n)...........(12)
1
3.2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式（6），可得到：
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器 的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系
统状态x的最优估算值xˆ ，它在统计意义下最接近 状态的真值x，从而实现最优控制u( xˆ )的目的。
2.4什么是卡尔曼滤波：
卡尔曼滤波是美国工程师Kalman 在线 性最小方差估计的基础上，提出的在数学结 构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方 法，具有计算量小、存储量低，实时性高的 优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。
状态估计之kalman滤波
Π
其中：
Π
进而：
2012/6/6
Π
8
5.1 卡尔曼滤波
● 针对随机线性时不变离散系统，用状态方程描述如下：
⎧ X k = Φk ,k −1 X k −1 + Γ k ,k −1Wk −1 状态(转移)方程 ⎨ 观测方程 ⎩Zk = Hk X k + Vk
ˆ E ⎡ba T ⎤ = E ⎡ ( I − K k H k )Wk −1 ( X k −1 − X k −1 ) T ΦkT ( I − K k H k ) T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T E ⎡bc T ⎤ = E ⎡( I − K k H k )Wk −1VkT K k ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ E ⎡ca T ⎤ = E ⎡ K kVk ( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡cb T ⎤ = E ⎡ K kVkWkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2012/6/6
3
5.1 卡尔曼滤波
从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望 估值与状态的真实值的误差越小越好，即要求有：
ˆ x(t ) − x(t ) = min
因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 如何去估计状态值是一个非常重要的问题，卡尔 曼滤波通常用当前时刻输出测量值和前一时刻的 状态估计值去估计当前时刻的状态值。
ˆ ˆ = Φk ( X k −1 − X k −1 ) − K k H k Φ k ( X k −1 − X k −1 ) + Wk −1 − K k H kWk −1 − K kVk
状态估计卡尔曼滤波
22
13
它的特点是可以用递推的方法计算，其所需数据 存储量较小，便于进行实时处理。 具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量 方程对系统状态进行估计。
14
卡尔曼滤波具体运算步骤
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。 该系统可用一个线性随机微分方程 （Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k)
21
针对上述不足，很多学者提出了不同的方法加以 克服，如限定记忆法、平方根滤波、渐消记忆滤 波、自适应卡尔曼滤波(Adap tive Kalman Filtering,AKF)、抗野值滤波等。其中，AKF因为 具有自适应特性非常适合动态系统滤波而受到广 泛重视。因此，在采用卡尔曼滤波处理动态测量 数据时，一般都要考虑采取适当的自适应滤波方 法来解决这一问题。
2
估计理论是现代许多信号处理和数据处理系统的 基础，像雷达、声纳、通信等系统都有两个共同 的问题。 一是信号检测问题； 二是检测到信号以后需要估计信号的某些参数， 也就是参数估计问题。 参数估计按被估计的量是否是随时间变化的又分 为静态估计和数是不随时间变化的，而 动态估计中被估计的参数是随时间变化的。 动态估计又称为状态估计或波形估计。 其目的是： （1）对目标过去的运动状态进行平滑； （2）对目标现在的运动状态进行滤波； （3）对目标未来的运动状态进行预测，这些运动 状态包括目标位臵、速度、加速度等。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码
卡尔曼滤波简介及其算法实现代码卡尔曼滤波算法实现代码（C，C＋＋分别实现）卡尔曼滤波器简介近来发现有些问题很多人都很感兴趣。
所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。
现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。
因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。
希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。
卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter?）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
卡尔曼滤波方法资料课件
线性最小方差估计方法的优 点
适用于线性系统状态估计，计算量较小，易于实现。
线性最小方差估计方法的 缺点
对非线性系统效果不佳，需要先验知识或模 型参数。
04
卡尔曼滤波方法的实现 和应用案例
卡尔曼滤波方法的软件实现
软件平台
可以使用Python、C、Matlab等编程语言实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波方法在控制系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在控制系统中主要用于估计系统的状态变量。
案例分析
通过实际控制系统的数据和实验，验证卡尔曼滤波方法在控制系统中的可行性和稳定性。
卡尔曼滤波方法在雷达系统中的应用案例
应用场景
卡尔曼滤波方法在雷达系统中主要用于 目标跟踪和运动参数估计。
VS
案例分析
卡尔曼滤波方法的基本概念和原理
基本概念
卡尔曼滤波方法是一种递归估计方法，通过建立状态方程和观测方程，对系统状态进行最优估计。
原理
卡尔曼滤波方法基于最小均方误差准则，通过不断更新估计值来逼近真实值，具有计算量小、实时性 强的优点。
卡尔曼滤波方法的应用领域
机器人
用于机器人的定位、路径规划、 避障等。
描述系统状态和观测之间的关系。
定义初始状态和误差协方差
02
确定系统初始状态和误差协方差的估计值，为后续的滤波过程
提供初始条件。
选择合适的模型参数
03
根据实际情况选择合适的模型参数，如系统动态参数、观测参
数等，以更好地描述系统特性。
预测步骤
01
根据上一时刻的状态和误差协方 差，预测当前时刻的系统状态和 误差协方差。
《卡尔曼滤波介绍》课件
卡尔曼滤波的原理和基本公式
卡尔曼滤波基于贝叶斯推理，通过使用状态方程和测量方程来递归地更新状态估计。 核心公式包括预测步骤的状态预测和协方差预测，以及更新步骤的卡尔曼增益、状态更新和协方差更新。
针对非线性系统，设计扩展卡尔 曼滤波、粒子滤波等非线性滤波 算法。
传感器融合
结合多个传感器信息，使用卡尔 曼滤波进行融合估计，提高系统 性能。
结论和总结
卡尔曼滤波是一种强大而灵活的状态估计算法，应用广泛且效果显著。通过 深入理解其原理和应用，我们能更好地运用卡尔曼滤波解决实际问题。
希望本课件能够帮助您更好地理解和应用卡尔曼滤波，提升您的技术和研究 能力。
《卡尔曼滤波介绍》PPT 课件
卡尔曼滤波是一种用于估计线性动态系统状态的优秀算法。本课件将深入介 绍卡尔曼滤波的定义、原理和应用领域，以及其优缺点和改进方法。
卡尔曼滤波的定义和背景
卡尔曼滤波是一种基于数学模型的状态估计方法，用于预测和跟踪系统状态。 它通过融合传感器测量和系统模型，对系统状态进行优化估计。
1 优点
高效准确：卡尔曼滤波在噪声环境下具有很 好的估计性能。
3 缺点
对线性系统假设：卡尔曼滤波假设系统和观 测模型为线性，不适用于非线性系统。
2
适用范围广：卡尔曼滤波可应用于多个领域 的状态估计问题。
4
对初始条件敏感：卡尔曼滤波对初始状态估 计的准确性较为敏感。
卡尔曼滤波的实际案例和效果评估
1
案例1：目标跟踪
将卡尔曼滤波应用于视频中的目标跟踪，
案例2：机器人导航
《卡尔曼滤波》课件
3
无迹卡尔曼滤波线性系统的 估计。
卡尔曼滤波的应用案例
飞行器姿态估计
卡尔曼滤波在航空领域中被广泛应用于飞行器姿态估计，用于提高飞行器的稳定性和导航准 确性。
目标跟踪
卡尔曼滤波可用于跟踪移动目标的位置和速度，常见于机器人导航和视频监控等领域。
3 卡尔曼滤波的应用领
域
卡尔曼滤波被广泛应用于 航空航天、机器人、金融 等领域，用于提高系统的 状态估计精度。
卡尔曼滤波的数学模型
状态空间模型
卡尔曼滤波使用状态 空间模型表示系统的 状态和观测值之间的 关系，包括状态方程 和测量方程。
测量方程
测量方程描述观测值 与系统状态之间的关 系，用于将观测值纳 入到状态估计中。
了解更多关于卡尔曼滤波的内容和应用，推荐文献、学术论文和在线课程等资源。
《卡尔曼滤波》PPT课件
卡尔曼滤波是一种优秀的状态估计方法，被广泛用于目标跟踪、姿态估计和 股票预测等领域。
介绍卡尔曼滤波
1 什么是卡尔曼滤波？
卡尔曼滤波是一种递归状 态估计算法，用于通过系 统模型和测量信息估计系 统状态。
2 卡尔曼滤波的基本原
理
卡尔曼滤波基于贝叶斯估 计理论，通过最小化估计 误差的均方差来优化状态 估计。
股票预测
卡尔曼滤波可以应用于股票市场，通过对历史数据进行分析和预测，提供股票价格的预测和 趋势分析。
卡尔曼滤波的优化算法
粒子滤波
粒子滤波是一种基于蒙特卡洛 方法的状态估计算法，适用于 非线性和非高斯系统，提供更 广泛的估计能力。
自适应滤波
自适应滤波是一种根据系统的 特点自动调整滤波参数的方法， 提供更好的适应性和鲁棒性。
非线性滤波
非线性滤波是对卡尔曼滤波算 法的改进，用于处理非线性系 统和测量模型，提供更准确的 状态估计。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波估计算法
卡尔曼滤波估计算法卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的递归贝叶斯估计方法，由来自俄国的工程师R.E.卡尔曼在1960s提出。
具有递归、最优和有效等特性。
它可以用于估计线性动态系统的状态，并能够通过观测到的数据进行实时更新。
卡尔曼滤波算法的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，通过迭代的方式估计出系统的状态。
它假设系统的状态变量是多元正态分布，并利用贝叶斯定理在每次迭代中更新状态的估计。
其主要步骤包括预测和更新两个阶段。
预测阶段是根据系统的动态模型，通过预测系统状态的均值和协方差矩阵来预测下一个时刻的状态。
预测的状态估计值是基于上一时刻的状态估计值和状态转移矩阵进行预测的。
预测的协方差矩阵则是通过上一时刻的协方差矩阵和状态转移矩阵以及噪声协方差矩阵计算得出的。
更新阶段是根据观测数据，通过计算卡尔曼增益和观测噪声协方差矩阵来更新状态估计。
卡尔曼增益是用于调整预测的状态估计和实际观测值之间的权重，它的计算需要使用预测的协方差矩阵、测量模型矩阵和观测噪声协方差矩阵。
通过卡尔曼增益的计算，可以根据观测值来对状态估计进行修正，得到更准确的状态估计。
卡尔曼滤波算法的应用非常广泛，特别是在导航、控制和信号处理领域有着重要的作用。
例如，它可以用于无人机的自主导航和目标跟踪，通过对GPS定位数据的滤波和融合来提高导航的精度；在自动驾驶汽车中，卡尔曼滤波算法可以用于估计车辆的位置和速度，并帮助控制系统进行路径规划和决策。
另外，卡尔曼滤波算法还具有递归、最优和有效的特点。
递归是指在每一时刻，只需利用上一时刻的状态估计和协方差矩阵，就可以对当前时刻的状态进行估计，无需保存历史状态数据。
最优是指在给定观测数据的情况下，卡尔曼滤波算法是最小均方误差估计。
有效是指卡尔曼滤波算法的计算复杂度比较低，适用于实时应用。
总之，卡尔曼滤波算法是一种重要的状态估计算法，具有广泛的应用前景。
通过利用系统动态模型和观测数据，它能够实时更新系统的状态估计，并具有递归、最优和有效等特点。
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的递归滤波器，被广泛应用于控制系统、定位导航等领域。
本文将介绍卡尔曼滤波算法的经典公式及其推导过程。
1.卡尔曼滤波算法介绍卡尔曼滤波算法以观测数据和系统模型为输入，通过递归地计算系统状态的最优估计值，并通过观测数据进行修正，得到真实状态的估计。
卡尔曼滤波算法基于以下两个假设：1)系统模型是线性的；2)系统噪声和观测噪声均为高斯分布。
2.卡尔曼滤波的数学模型假设我们的系统模型可以用如下状态方程表示：x(t+1)=A*x(t)+B*u(t)+w(t)---(1)其中，x(t)表示系统状态向量，u(t)表示控制输入向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，w(t)是状态噪声。
观测模型可以表示为：z(t)=H*x(t)+v(t)---(2)其中，z(t)是观测向量，H是观测矩阵，v(t)是观测噪声。
3.卡尔曼滤波算法的预测步骤预测步骤用于根据上一时刻的状态估计和控制输入，预测当前时刻系统的状态估计和协方差估计。
预测状态估计：x^(t)=A*x(t-1)+B*u(t-1)---(3)预测协方差估计：P^(t)=A*P(t-1)*A'+Q---(4)其中，x^(t)是预测的状态估计值，P^(t)是预测的协方差估计矩阵，Q是系统噪声的协方差矩阵。
4.卡尔曼滤波算法的更新步骤更新步骤利用观测数据来修正预测得到的状态估计。
计算卡尔曼增益：K(t)=P^(t)*H'*(H*P^(t)*H'+R)^(-1)---(5)其中，K(t)是卡尔曼增益，R是观测噪声的协方差矩阵。
更新状态估计：x(t)=x^(t)+K(t)*(z(t)-H*x^(t))---(6)更新协方差估计：P(t)=(I-K(t)*H)*P^(t)---(7)其中，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波算法的核心思想在于将多个时刻的信息进行融合，利用过去的状态估计和当前的观测数据来最优估计当前时刻的系统状态。
状态估计第3章 卡尔曼滤波的稳定性及滤波的发散
——卡尔曼滤波的稳定性问题
¾ 理论上计算出的无偏估计，在实际应用中，滤波估计的实 际误差（滤波值对实际状态的偏差）有时会远远超过按模
型计算的滤波误差的允许范围，甚至趋于无穷大，使得滤
波器失去作用。
2015-04-23
——滤波的发散现象
1
3.1 离散卡尔曼滤波器的稳定性
一、滤波的稳定性问题
¾ 设用正确的初值 xˆ * (0 | 0) 和 P *(0 | 0)，按照滤波方程 得到最优的滤波值 xˆ * (t | t)和 P * (t | t)，而用选取得不确 切的初值 xˆ(0 | 0) 和P(0 | 0) ，按照滤波方程得到非最优 的滤波值为 xˆ(t | t) 和 P(t | t) 。
对于k时刻，如果存在正整数N，使：
k
∑ Wc (k − N +1, k) =
Φ Γ Q Γ Φ T
T
k ,i i,i−1 k i,i−1 k ,i
>
0
i=k − N +1
其中，Wc (k − N +1, k)为完全可控性矩阵，上面条件即为完全 可控性矩阵为正定矩阵。
2015-04-23
9
¾ 随机线性离散系统(5)一致完全能控的充要条件： 如果存在正整数N和 β1 > α1 > 0，使对所有的k≥N，有： α1I ≤ Wc (k − N +1, k) ≤ β1I 此处的“一致”是对时间k而言的。
¾ 由于在转移矩阵 Ψ(k, k −1) 中有K(k)，而K(k)并不容易 用解析式表示，因此，用上面的滤波稳定性条件判断 滤波的稳定性也并不容易。
既既然然滤滤波波方方程程是是从从系系统统的的状状态态方方程程和和观观测测方方程程推推导导 得得到到的的，，那那么么，，滤滤波波的的稳稳定定性性是是否否与与随随机机线线性性系系统统 的的结结构构和和参参数数有有关关呢呢？？
状态最优估计的Kalman滤波算法
状态最优估计的Kalman 滤波算法摘要：Kalman 滤波器的提出，是为了解决最优控制无法实现全部状态均用于反馈。
对于那些无法反馈的状态，则需要根据测量到的信号对其进行估计，再作为反馈。
Kalman 滤波器的突破点在于采用状态空间，把信号作为白噪声作用的线性输出，并且是将概率论与数理统计的新成果引用与问题的求解。
本文中详细论述了Kalman 滤波器的推导过程和其增益计算公式，以及对其增益计算过程进行了仿真。
关键词：状态估计，Kalman 滤波器，最优控制一、引言在一定条件下，最优控制保证系统是渐近稳定的，而且具有令人满意的性能。
但是它要求全部状态均可用于反馈，这在实际上是难以做到的。
实际上常常只能测量系统的一部分状态，而且在测量到的信号中还可能包含有测量噪声。
因此需首先根据量测到的信号估计出全部状态，然后按照最优控制规律反馈估计的状态。
对于最优估计，Kalman 给出了适合计算机计算的状态最优估计递推算法，即Kalman 滤波器。
针对连续系统和离散系统，Kalman 滤波问题又有着连续和离散Kalman 滤波器的提法[1]，本文将主要讨论离散模型。
二、离散系统的Kalman 滤波问题设控制对象的离散模型[2]为：(1)()()()()()()x k Fx k Gu k v k y k Cx k w k +=++⎧⎨=+⎩ (1) 其中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为r 维输出向量，v (k )为n 维过程干扰向量，w (k )为r 维测量噪声向量。
假设v (k )和w (k )均为离散的高斯白噪声序列，且有T T ()0,()()()0,()()kj kj Ev k Ev k v j V Ew k Ew k w j W δδ==== (2) 其中：10kj k j k j δ=⎧=⎨≠⎩ (3) 同时设V 为非负定对称阵，W 为正定对称阵，并设v (k )和w (k )不相关。
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman ）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。
这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。
卡尔曼滤波的基本概念一个实际的系统可用如下形式表示：设向量非平稳序列1-k x 和1-k y 用下面的动态方程描述：)0(111,≥⎩⎨⎧+=+Φ=---k v x C y w x x kk k k k k k k k （1—1）k x 是状态向量，k y 是观测向量，k w 是输入噪声，k v 是观测噪声，1,-Φk k 是从1-k 时刻到k 时刻的状态转移阵。
上述动态方程可由系统的机理推导得来或由实验数据辨识得到。
现假设已知。
有如下假设：1）k w 和k v 为零均值白噪声即：()[]0,[,][]0,[,]()Tk k j k j k kj T k k j k j k kjE w Cov w w E w w Q E v Cov v v E v v R δδ⎧===⎪⎨===⎪⎩其中k Q 对称半正定k R 对称正定，均为已知。
2）k w 和k v 不相关即()[,]0(,)T k j kjC o v w v E w vk j==∀ 3）初始状态0x 是随机向量，且与k w 、k v 不相关，即000000[,][()]0[,][()]0Tk k Tk kCov x w E x Ex w Cov x v E x Ex v ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 卡尔曼滤波：——状态估计在已知动态方程（1—1）（状态和观测方程）和样本观测数据k y ，1-k y ，…情况下，求随机序列样本——状态k x 的估计值k xˆ。
卡尔曼通过对下一步预测观测误差——新息的修正加之最小均方误差调整准则很好地解决了带有噪声的状态估计问题。
卡尔曼的递推思想与新息：递推计算和新息是卡尔曼滤波的基本思想，请看如：)(11111211k k k k k y y k y k y y y y -++=++++=+++平均计算变成一种递推计算，大大减少了计算量，把1+k 估计看成是在k 基础上的修正，修正项11()1k k y y k +-+。
电池容量状态估计的卡尔曼滤波方法改进
电池容量状态估计的卡尔曼滤波方法改进一、电池容量状态估计的重要性随着现代电子设备的普及和电动汽车的快速发展，电池作为能量存储和转换的关键部件，其性能和可靠性受到了广泛关注。
电池容量状态估计作为电池管理系统中的一个重要组成部分，对于确保电池系统的安全、高效和长寿命运行至关重要。
电池的容量状态估计不仅能够提供电池当前的剩余电量信息，还能预测电池的寿命和性能衰减，从而为电池的维护和更换提供决策支持。
1.1 电池容量状态估计的挑战电池容量状态估计面临的挑战主要包括电池模型的复杂性、电池老化和工作条件的不确定性。
电池的电化学特性会随着使用时间的增长而发生变化，这使得电池模型的参数难以准确估计。
此外，电池在不同的工作条件下，如温度、充放电速率等，其性能也会有所不同，这增加了状态估计的难度。
1.2 卡尔曼滤波在电池容量状态估计中的应用卡尔曼滤波是一种高效的递归滤波器，能够从一系列含有噪声的测量数据中估计动态系统的状态。
在电池容量状态估计中，卡尔曼滤波器通过实时更新电池模型的参数，来准确估计电池的容量状态。
卡尔曼滤波器的优势在于其能够处理系统的不确定性和噪声，提供较为准确的估计结果。
二、卡尔曼滤波方法的基本原理卡尔曼滤波方法基于线性系统的状态空间模型，通过最小化估计误差的方差来实现状态的最优估计。
其基本原理包括状态预测和状态更新两个步骤。
2.1 状态预测在状态预测阶段，卡尔曼滤波器根据系统的动态模型和控制输入来预测下一时刻的状态。
预测步骤包括状态预测和误差协方差的预测。
状态预测是基于当前状态和系统模型进行的，而误差协方差的预测则是基于当前误差协方差和过程噪声协方差进行的。
2.2 状态更新在状态更新阶段，卡尔曼滤波器利用新的测量数据来修正预测的状态。
更新步骤包括计算卡尔曼增益、更新状态估计和更新误差协方差。
卡尔曼增益是衡量测量数据对状态估计影响的权重，状态更新是根据卡尔曼增益和新的测量数据来修正预测的状态，误差协方差的更新则是基于卡尔曼增益和测量噪声协方差进行的。
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分成二项
ˆ b z b z X k 1 k 1 i k 1 k 1
i 1
k
ˆ X ˆ b (z X ˆ ) X k 1 k k 1 k 1 k
第一项同时乘、除一个bk
k b bk 1 ˆ k 1 ˆ X b z b z X k bk 1 zk 1 k 1 k i k 1 k 1 bk i 1 bk
bk 1
ˆ X k 1
z
递 归 公 式
1
20
X k 1 X k bk 1 ( zk 1 X k )
^
^
^
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应用时要注意初始条件，即递推开始时的初始值
ˆ 0最佳，递 为使 X 推初始条件
ˆ 0 )2 ] E[( x X 0 ˆ X 0
x，
式中： x —恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样
7
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的加权系数。滤 波器的输出
ˆ hi zi X
i 1
m
h1=h2=…=hm=1/m
m 1 ˆ z X i m i 1
设要估计的随机信号为由均值为0，方差为σ2w的白噪声激励的一个一阶递归过 程，即信号对时间变化满足动态方程：
x(k)=ax(k-1)+w(k-1)
式中，a——系统参数 w(k-1)——白噪 声采样。
如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则
0 j 0 Pw ( j ) E[ w(k ) w(k j )] 2 w j 0
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解之，得 将其代入预测方程，有
a(k)=aa(k)=？cβ(k)
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1
m
在b<<m时
ˆ x )2 ] E[( h z x )2 ] P E[( X i i
i 1
m
最优非递归估计近似于采样平均
在噪声方差σ2n较大时
均值为零的白噪声
性能明显优于非最佳情况
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z k 1
bk 1
最优递归估计器 ˆ X k 1
1（ / 1 bk )
z
1
递 归 公 式
bk 1 ^ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
^
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z k 1
最优递归估计器
估计值， 则
ˆ k (1 a) yk X
12
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
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当k值较大时， 估值的均方误差
1 a 2 2 ˆ x) 2 P E [( X ] ? n k k 1 a
卡尔曼滤波器的局限性：
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问题时，动态方程和测量方程均为线性。
4
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器
2、递归估值器
5
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1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z2 h2 z3 h3 ∑
ˆ X
3
2、扩展Kalman滤波应用于时间非线性的动态系统。 自动化学院
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自动控制等
对机动目标跟踪中具有良好的性能
：卡尔曼滤波器的应用特点
为最佳估计并能够进行递归计算 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测值就能进行状态估计
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k 1) n (k 1) b
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b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b）
hi (k ) hi (k 1)
P (k )
2 n
bk bk 1
P (k 1)
2 n
ˆ 0 E ( x) X
若E(x)=0
ˆ 0 X 0 ˆ 0 X 20 x 1 b0 b0 2 ? n b
从零开始递推
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三、标量卡尔曼滤波器
主要作用：
对掺杂有噪声的随机信号进行பைடு நூலகம்性估计。
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1、模型 1） 信号模型
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2） 观测模型
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k)
式中：c——测量因子；
v(k)——E(·)=0，
D(·)=σ2n的白噪声。
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2、标量卡尔曼滤波器
由前将递归估计的形式写成：
ˆ ( k ) a( k ) X ˆ (k 1) b(k ) z(k ) X
而一次取样的均方误差
2 2 2 P E [( x n x ) ] E ( n ) 1 k k n
故这一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计
2、递归估计
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第5讲 状态估计—卡尔曼滤波
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状态估计的主要内容
状态估计主要内容： 位置估计： 速度估计：
位置与速度估计
距离、方位和高度或仰角的估计 速度、加速度估计
应用：
通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态向量。
1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
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k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出
k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
由于│a│＜1，故随着k值的增加，yk趋近于x/(1-a)。这样，如果以(1-a)yk作为x的
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3、标量卡尔曼预测器
标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。但经 常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。根据预测 提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、 m步预测， 通常
ˆ (k 1 / k ) 。预测的步数越多， 误差越大。 把1步预测记作 X
这种最小均方误 差准则下的线性 滤波，通常称作
m个参数逐一求导，令等于零
1 h ˆ i X ? zi m b i 1
15
m
b=σ2n/σ2x
标量维纳滤波。
ˆ x )2 ] P E [( X
1 2 n mb
h1 h2 hm
1 mb
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2、由最优非递归估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
1 2 P ( k ) n k b
k+1次取样
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
2
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状态估计的主要方法：
这些方法针对匀速或 匀加速目标提出，如 目标真实运动与采用 的目标 模型不致， 滤波器发散。
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波
3、卡尔曼滤波
：算法的改进及适应性
状态估计难点：
机动目标的跟踪
1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善对机动目标的跟踪能力。
最后有递归估值器：
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ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
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滤波器增益b(k) ？
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一维标量卡尔曼滤波器， 其结构如图所示。
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z(k) ＋
∑ －
b(k)
＋
∑ ＋
ˆ (k ) X
c
a
z－ 1
标量卡尔曼滤波器结构
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
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