中学数学竞赛中常用的几个重要定理资料

中学数学竞赛中常用的几个重要定理

数学竞赛中几个重要定理

1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F

且D 、E 、F 三点共线，则FB

AF

EA CE DC BD •

•=1

2、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点

D 、

E 、

F ，且满足FB

AF

EA CE DC BD •

•=1，则D 、E 、F 三点共线.

【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点，过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC

边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于

点P.

证明：△MPQ ∽△ABC

j M

Q

G

A

C B

X

Y P

【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC

【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.

【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分

别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点

O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点.

求证：∠OPF=∠OEP

【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD 上，AE的延长线交BC于F.

若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC

D

塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则

1=••PA

CP

NC BN MB AM

塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足

1=••PA

CP

NC BN MB AM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点.

【例1】B E 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG ，CG 交BC ，AB 于点D ，F ，

过D 作DN ∥CG 交BG 于N ，△DGL 及△FGM 是正三角形.求证：△LMN 为正三角形.

【例2】在△ABC 中，D 是BC 上的点DC BD =3

1

，E 是AC 中点.AD 与BE 交于O ，CO 交AB 于F

求四边形BDOF 的面积与△ABC 的面积的比

【练习1】设P 为△ABC 内一点，使∠BPA=∠CPA ，G

是线段AP 上的一点，直线BG ，CG 分别交边AC ，AB 于E ，F.求证：∠BPF=∠CPE

C

C

C

【练习2】在△ABC中，∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD 平分∠BAC，过点D作垂线DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K. 求证：AK⊥BC

托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD

K

A

C

P

Q

【例1】 已知在△ABC 中，AB >AC ，∠A 的一个外角的平分线交

△ABC 的外接圆于点E ，过E 作EF ⊥AB ，垂足为F.求证：2AF=AB -AC

【例2】经过∠XOY 的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P ，Q.

求证：OP 1+OQ

1

为定值

【例3】 解方程

42

-x

+

12

-x

=

x 7

【练习1】 设AF 为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B ，C 分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC ，∠BAF ，∠CAF 的平分线交⊙O1，⊙O2于点

D ，E. 求证：D

E ⊥AF

【练习2】⊙O 为正△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，在弧BC 上任取一点P （与

B ，

C 不重合）.设E ，F 分别为△PAB ，△PAC 的内

心.证明：PD=∣PE-PF ∣

西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，

D 、

E 、

F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线.

F

A

O1

O2

B

C

D

E C

B

E

F

P

【例1】过正△ABC 外接圆的弧AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D,作PE ⊥AC 于E,作PF ⊥BC 于F.

求证：

PF 1+PD 1=PE

1

【练习1】设P 为△ABC 外接圆周上任一点，P 点关于边

BC ，AC 所在的直线的对称点分别为P 1，P 2.求

证：直线P 1P 2经过△ABC 的垂心.

P1

三角形的五心

内心

【例1】设点M 是△ABC 的BC 边的中点，I 是其内

心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 与AH 的交点.求

证：AE 等于内切圆半径r

【例2】在△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线

AD 交△ABC 的外接圆于K.O ，I 分别为△ABC 的外心，内心.求证：OI ⊥AK

【练习】 在△ABC 中，∠BAC=300，∠ABC=700，M 为形内一点，∠MAB=∠MCA=200

求∠MBA 的度数.

B