2020年内蒙古高考数学(理科)模拟试卷(1)

2020年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4] 2．（5分）复数z满足|z+i|＝2，则|z﹣1+i|的最大值等于（）A．√2+1B．2+√2C．3D．3+2√2 3．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，则它的前8项的和为（）A．95B．80C．40D．204．（5分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝05．（5分）函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆x2+y2＝1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=12B．x2+y2=14C．x2+y2=12（x＜12）D．x2+y2=14（x＜14）7．（5分）七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，整幅七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．14B ．516C ．38D ．7168．（5分）三角形ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−14，1]B ．[−14，0]C ．[−12，4]D ．[−12，2]9．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．12010．（5分）已知F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．√3x ±y ＝0C ．x ±√3y ＝0D ．x ±2y ＝011．（5分）已知球面上两点的球面距离为1cm ，过这两点的球半径所成的角为π3，则球的半径为（ ）A ．1πcmB ．3πcmC ．πcmD ．3πcm ．12．（5分）已知函数f （x ）=12x+1+2x +1，且f （a 2）+f （2a ）＞3，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，3）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 232+⋯+a 202032020= ．14．（5分）已知直线l ：y ＝x ﹣1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p ＝ ，|AB |＝ ．15．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f （x ）的图象经过点(π3，1)，则函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为 ．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （4，3）＝10，则a （41，20）＝三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且∠DAC ＝90°，sin ∠BAC =2√23，AB ＝3√2，AD ＝3． （1）求BD 长； （2）求cos C ．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 是侧棱AA 1上的一点．（Ⅰ）证明：当点D 是AA 1的中点时，DC 1⊥平面BCD ； （Ⅱ）若二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929，求二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值．19．（12分）2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]（单位：元）．得到如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23．（1）求椭圆C 的方程．（2）过原点O 作圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，求F 1A →⋅F 1B →．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分） 22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=α(π2＜α＜π)与曲线C 1交于点M ，射线ON ：θ=α−π4与曲线C 2交于点N ，求1|OM|+1|ON|的取值范围．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +m |，g （x ）＝x +2． （Ⅰ）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），求m 的取值范围．2020年内蒙古高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．（5分）复数z满足|z+i|＝2，则|z﹣1+i|的最大值等于（）A．√2+1B．2+√2C．3D．3+2√2【解答】解：设z＝x+yi，由|z+i|＝2得圆的方程x2+（y+1）2＝2，又|z﹣1+i|=√(x−1)2+(y+1)2表示定点（1，﹣1）与圆上任一点（x，y）间距离．则由几何意义得|z﹣1+i|大＝1+√2，故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，则它的前8项的和为（）A．95B．80C．40D．20【解答】解：∵等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝8，∴2a3＝a2+a4＝4，2a4＝a3+a5＝8，∴a3＝2，a4＝4，∴d＝a4﹣a3＝2，∴a1＝﹣2∴数列的前8项之和S8＝﹣16+8×7×22=40，故选：C．4．（5分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【解答】解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．（5分）函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：f(x)=(21+e x−1)sinx=1−ex1+e x•sin x，则f（﹣x）=1−e−x1+e−x•sin（﹣x）=e x−1e x+1•（﹣sin x）=1−e x1+e x•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，由f（x）＝0，得1﹣e x＝0或sin x＝0，得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π，当x＝1时，f（1）=1−e1+e•sin1＜0，排除A，故选：C．6．（5分）已知圆x2+y2＝1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是（）A．x2+y2=12B．x2+y2=14C．x2+y2=12（x＜12）D．x2+y2=14（x＜14）【解答】解：设BC中点是D，∵圆心角等于圆周角的一半，∴∠BOD＝60°，在直角三角形BOD中，有OD=12OB=12，故中点D的轨迹方程是：x2+y2=1 4，如图，由角BAC的极限位置可得，x＜1 4，故选：D ．7．（5分）七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，整幅七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．516C ．38D ．716【解答】解：设小正方形的边长为1，则平行四边形的底为√2，高为√22， 大直角三角形的直角边长为2，斜边长为：√22+22=2√2， ∴大正方形的边长为2√2，∴在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为： P =√2×√22+1222×22=14．故选：A ．8．（5分）三角形ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−14，1]B ．[−14，0]C ．[−12，4]D ．[−12，2]【解答】解：根据题意，△ABC 中，|AB |＝2，|AC |＝2√2，∠BAC ＝45°， 则|BC |2＝4+8﹣2×2×2√2×cos45°＝4， 所以|BC |＝2，△ABC 为直角三角形；以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，如图所示；则A （0，2），C （2，0）； ∴线段AC 的方程为x 2+y 2=1，即x +y ＝2，其中0≤x ≤2；设P （x ，y ），则PB →=（﹣x ，﹣y ），PC →=（2﹣x ，﹣y ）；∴PB →•PC →=−x （2﹣x ）+y 2＝x 2﹣2x +（2﹣x ）2＝2x 2﹣6x +4＝2(x −32)2−12， 当x =32时，PB →•PC →取得最小值为−12， 当x ＝0时，PB →•PC →取得最大值为4； ∴PB →•PC →的取值范围是[−12，4]． 故选：C ．9．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（ ）A ．28B ．56C ．84D ．120【解答】解：模拟程序的运行，可得 i ＝0，n ＝0，S ＝0执行循环体，i ＝1，n ＝1，S ＝1不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝2，n ＝3，S ＝4 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝3，n ＝6，S ＝10 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝4，n ＝10，S ＝20 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝5，n ＝15，S ＝35 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝6，n ＝21，S ＝56 不满足条件i ≥7，执行循环体，i ＝7，n ＝28，S ＝84 满足条件i ≥7，退出循环，输出S 的值为84． 故选：C ．10．（5分）已知F 2为双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．√3x ±y ＝0C ．x ±√3y ＝0D ．x ±2y ＝0【解答】解：双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，若|OH |＝|F 2H |，可得在直角三角形OHF 2中，∠HOF 2＝45°，可得C 的渐近线方程为x ±y ＝0． 故选：A ．11．（5分）已知球面上两点的球面距离为1cm ，过这两点的球半径所成的角为π3，则球的半径为（ ） A ．1πcmB ．3πcmC ．πcmD ．3πcm ．【解答】解：∵两点的球面距离为1cm ，两条半径所成的角π3， ∴设球的半径为R ，可得π3•R ＝1，得R =1π3=3πcm故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）=12x+1+2x +1，且f （a 2）+f （2a ）＞3，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，3）【解答】解：根据题意，设F （x ）＝f （x ）−32=12x +1+2x +1−32=1−2x2(2x+1)+2x ， 则F （0）＝f （0）−32=0，又由F （﹣x ）=1−2−x 2(2−x+1)+2（﹣x ）＝﹣（1−2x 2(2+1)+2x ）＝﹣F （x ），即函数F （x ）为奇函数； 又由F ′（x ）=−2xln2(2x +1)2+2=−2x ln2+2(2x +1)2(2x+1)2=2x (4−ln2)+2(2x )2+2(2x+1)2＞0，所以函数F （x ）单调递增， 若f （a 2）+f （2a ）＞3， 则f （a 2）−32＞32−f(2a)， f （a 2）−32＞−[f （2a ）−32]，F （a 2）＞﹣F （2a ）， F （a 2）＞F （﹣2a ）， 所以a 2＞﹣2a ， 解得，a ＜﹣2或a ＞0， 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）若x2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则a 13+a 23+⋯+a 20203=（43）2020﹣1 ．【解答】解：∵x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020， 令x ＝1得：a 0＝1； 令x =43得： （43）2020＝a 0+a 13+a 232+⋯+a202032020； ∴a 13+a 23+⋯+a 20203=(43)2020−1；故答案为：(43)2020−114．（5分）已知直线l ：y ＝x ﹣1经过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于点A ，B 两点，则p ＝ 2 ，|AB |＝ 8 ． 【解答】解：根据条件得到抛物线的焦点为（p2，0），故0=p2−1，解得p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，联立{y 2=4x y =x −1，整理可得x 2﹣6x +1＝0，则x A +x B ＝6，所以|AB |＝x A +x B +2＝6+2＝8， 故答案为2，8．15．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f （x ）的图象经过点(π3，1)，则函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为 [0，π12]和[7π12，π] ．【解答】解：∵相邻两条对称轴之间的距离为π2，即T ＝π=2πω，∴ω＝2． 根据 （π3，1）在图象上得：2sin （2×π3+φ）+1＝1，∴sin （2×π3+φ）＝0；2π3+φ＝k π，k ∈z ．故φ＝k π−2π3．结合−π2＜φ＜π2，可得φ=π3， ∴函数f （x ）＝2sin （2x +π3）+1． 由 2k π−π2≤2x +π3≤2k π+π2得 k π−5π12≤x ≤k π+π12，k ∈z ， 故函数的增区间为[k π−5π12，k π+π12]，k ∈z ． 再结合x ∈[0，π]，可得增区间为[0，π12]和[7π12，π]．故答案为：[0，π12]和[7π12，π]．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状的数表且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （4，3）＝10，则a （41，20）＝ 839【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为a （41，20）对应的数字为奇数， 则前面奇数行共有：1+3+5+…+39=(1+39)×202=400个奇数， 故a （41，20）为第420个奇数，由2×420﹣1＝839，可得a （41，20）＝839， 故答案为：839．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且∠DAC ＝90°，sin ∠BAC =2√23，AB ＝3√2，AD ＝3． （1）求BD 长； （2）求cos C ．【解答】（本小题满分12分） 解：（1）∵∠DAC ＝90°，∴sin ∠BAC ＝sin （π2+∠BAD ）＝cos ∠BAD ，∴cos ∠BAD =2√23，…（2分）在△ABD 中，由余弦定理得，BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos ∠BAD ，…（4分） 即BD 2＝18+9﹣2×3√2×3×2√23=3，得BD =√3．…（6分） （2）由cos ∠BAD =2√23，得sin ∠BAD =13，…（8分） 在△ABD 中，由正弦定理，得：BDsin∠BAD=AB sin∠ADB．∴sin ∠ADB =AB⋅sin∠BAD BD =3√2×13√3=√63，…（10分）∵∠ADB ＝∠DAC +C =π2+C ， ∴cos C =√63．…（12分）18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 是侧棱AA 1上的一点．（Ⅰ）证明：当点D 是AA 1的中点时，DC 1⊥平面BCD ；（Ⅱ）若二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929，求二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形， AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，因为CC 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵BC ⊥CA ，CC 1⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1 ∴C 1D ⊥BC ，∵∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45 0 ∠C 1DC ＝90 0 ∴C 1D ⊥DC ，DC ⊂平面DCB ，BC ∩DC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BCD ；（Ⅱ）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，以C 为坐标原点，分别以射线CA ，CB ，CC 1为x 轴，y 轴，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，设D （1，0，a ），a ∈[0，2]，C 1（0，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0）， 设n →1为平面DC 1B 的法向量，则{n 1→⋅DC 1→=0n 1→⋅C 1B →=0⇒n 1→=(2−a ，2，1)， n →2=(1，0，0)是平面C 1BC 的法向量，由题意可知，二面角D ﹣BC 1﹣C 的余弦值为3√2929， 即|cos ＜n 1→，n 2→＞|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=√(2−a)+5=29⇒a =12，n 1→=(32，2，1)，又因为n →3=(0，1，0)是平面C 1CD 的法向量， 则二面角B ﹣C 1D ﹣C的余弦值即求cos ＜n 1→，n 3→＞=n 1→⋅n 3→|n 1→||n 2→|=4√2929，则二面角B ﹣C 1D ﹣C 的余弦值是4√2929，19．（12分）2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]（单位：元）．得到如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记每户农户的平均损失为x 元，则x =(1000×0.00015+3000×0.00020+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.0003）×2000＝3360．（2）由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15户，损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3户， 随机抽取2户，则X 的可能值为0，1，2， P(X =0)=C 122C 152=2235，P(X =1)=C 121⋅C 31C 152=1235，P(X =2)=C 32C 152=135，X 的分布列为：X 012P22351235135数学期望为E(X)=0×2235+1×1235+2×335=1435=25． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23． （1）求椭圆C 的方程．（2）过原点O 作圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，求F 1A →⋅F 1B →．【解答】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点P （√23，2√23）在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为2√23， 可得29a 2+89b 2=1，12•2c •2√23=2√23，且a 2﹣b 2＝c 2， 解得a ＝2，b ＝c ＝1， 则椭圆的方程为x 22+y 2＝1；（2）圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4的圆心为（2，1），半径为r ＝2， 当切线的斜率不存在，即x ＝0，代入圆的方程可得切点A （0，1）， 若切线的斜率存在，设为k ，方程设为y ＝kx ， 由√1+k 2=2，解得k =−34x ，将切线y =−34x 联立圆的方程，解得x =45，y =−35，即B （45，−35）， 又F 1（﹣1，0），可得F 1A →•F 1B →=（1，1）•（95，−35）＝1×95+1×（−35）=65． 21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=a x，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点．h ′（x ）=1x 12√x +m ＝m −116+（√x −14）2①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以√x 14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x 12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x 14x 1＞0， 所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分） 22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）射线OM ：θ=α(π2＜α＜π)与曲线C 1交于点M ，射线ON ：θ=α−π4与曲线C 2交于点N ，求1|OM|2+1|ON|2的取值范围．【解答】解：（1）由曲线C 1的参数方程{x =√2cosφy =√3sinφ（φ为参数），得：cos 2φ+sin 2φ=(2)2+(3)2=1， 即曲线C 1的普通方程为x 22+y 23=1．又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+2ρ2sin 2θ＝6， 即ρ2cos 2θ+2ρ2＝6．曲线C 2的极坐标方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2， 故曲线C 2的直角方程为x −y +√2=0．（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为（ρ1，α），(ρ2，α−π4)，其中π2＜α＜π，则|OM|2=ρ12=6cos 2α+2，|ON|2=ρ22=1sin 2(α−π2)=1cos 2α． 于是1|OM|2+1|ON|2=cos 2α+26+cos 2α=7cos 2α+26．由π2＜α＜π， 得﹣1＜cos α＜0，故1|OM|+1|ON|的取值范围是(13，32)． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +m |，g （x ）＝x +2． （Ⅰ）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m ＝﹣1时，|2x ﹣1|+|x ﹣1|＜3，等价为{x ≥12x −1+x −1＜3或{12＜x ＜12x −1+1−x ＜1或{x ≤121−2x +1−x ＜1，解得1≤x ＜53或12＜x ＜1或−13＜x ≤12，则原不等式的解集为（−13，53）；（Ⅱ）当x ∈[﹣m ，12）时f （x ）＜g （x ），即为1﹣2x +x +m ﹣（x +2）＜0，即m ＜2x +1在x ∈[﹣m ，12）恒成立，可得m ＜﹣2m +1，可得m ＜13，但﹣m ＜12，即m ＞−12， 可得m 的取值范围为（−12，13）．。