04第四讲 构建数学理论的基本方法——公理化方法
04第四讲 构建数学理论的基本方法——公理化方法
（about 325 BC——about 265 BC）
Greek geometer
Quotations: "The laws of nature are but the mathematical thoughts of God." "There is no royal road to geometry."
于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、 公设的前提下，引进了一个相反于第五公设的公理： “过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与 该已知直线不相交”。这样，罗巴切夫斯基就构造出来 了一个新的几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与 欧几里得几何系统相并列。
后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系 统竟然是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则 另一个必定无矛盾。这样，罗氏几何的地位就得到了 确立。
《几何原本》受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德的 影响
毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行 研究的方向，
亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公 理体系”。
欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、 面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后， 引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明 而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言 作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个 命题。
故能以其易易他物之至难．易生于简，简生于明，综 1857年，清代数学家李善兰
其妙在明而已”．
——徐光启《几何原本杂议》
与英国传教士伟烈亚力合作 续译的《几何原本》后9卷正 式刊行．
非欧几何
长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设） 持保留态度。
公理化方法在高中数学教学中的意义和作用5页
公理化方法在高中数学教学中的意义和作用一、引言公理化方法是高中数学教学中的重要方法。
本篇论文在介绍公理化方法的基础上，着重阐述了公理化方法在高中数学教学中的意义和作用，以及如何应用。
二、公理化方法的简介1、公理化方法的概念和思想公理化方法是以若干个显然成立的或者通过简单证明能够成立的基本定理为基础，去解决问题的一种方法。
公理化方法的出发点就是一组原始概念和公理，因此如何去选择原始概念和设置公理是公理化的关键。
2、公理化方法的基本法则公理化方法的公理需满足下列几项要求：（1）公理需要是显然成立的，或者容易证明成立的。
（2）独立性：公理化的独立性是指公理系统中所有公理不能互相推出。
（3）全面性：要求公理要全面，能通过选择的这些公理解决所研究的数学方面的问题以高中数学的立体几何为例，在研究平面的问题中，建立了三个公理，这三个公理满足了上述的三项要求，每个公理都是显然成立的，都是独立的，并且通过这三个公理我们可以解决平面的所有问题。
三、公理化方法在中学数学教学上的意义和作用1、公理化方法对中学数学教学的启示（1）对数学教学内容的启示a强调已有知识经验在学习中的重要性教师应努力创设情境激活学生原有认知结构中与新知识学习有关的各种基础知识，让学生能在已经掌握的知识的基础上，进行思考新学习的内容，以保证学生学习的顺利进行。
b对数学教学内容呈现的思考为了提高学生的综合素质，近几年新课程改革轰轰烈烈地进行着，这也就促使我们思考这样一个问题：初等数学教学应该如何呈现数学教学内容呢？数学是培养学生逻辑思维能力的一种很有用的方法，而逻辑思维能力是公理化方法的一个主要特征，因此，对于中学数学内容的选取应综合各方面的因素，在学生可接受的前提下，以一种相对严谨的公理化方式，渐进地使学生了解公理化方法的思想内核，从而培养学生的逻辑思维，演绎推理能力。
（2）对教学过程中师生地位作用的启示公理化方法认为：学习是在已经掌握了的知识上进行思考。
浅谈数学公理化方法
方法 。首 先 ， 作为探索新 知识 的手段 ， 常从一组假 设的公理 出发 ， 由逻辑推 理建立新 的体 系 ， 能否得 出新 的结 果 ， 看 若 有新结果 出现 ， 则最终经 实践 检验而发展 数学 ， 至建立新 甚 的学科 ， 从欧 氏几何 到非 欧氏几何 的发展 ， 便是一 个典型 的 例子 。抽象代数 中的全部开拓工作 ， 都是依靠公理化方法实
４ 公理 化 方法 的作 用
从现代数学和 自然科 学与技术 的发 展来看 ，公理 化方 法 有 着 重要 的作 用 。 第 一，公理化方 法是整 理数学知 识为一个严 格逻辑 体 系、 建立数学逻辑基础的方法 。首先 ， 作为整理 材料 的作用 ， 《 几何原本》 中的公 理 、 皮亚诺 自然数公 理 、０世纪 初概率公 ２ 理的建立 、 近代 数学 中群论 的公理 系统 的建立 ， 都充 分显示 了公 理方 法整理数学知识 的功能 。用公理方法建构 的体系 ， 条理 清楚 、 简明扼要 ， 命题之 间有机联系 ， 便于流传 与推广 。 其次 ，形式化公理方法 在数理逻辑 的一 个基本领域——元 数学 （ 即证 明论 ） 中得 到 充分 的研 究 与 发 展 。 目前 ， 是研 究 它 数学 基 础 问题 的一 个 十分 重 要 和 广 泛 使 用 的工 具 。再 有 ， 通 过形 式化公理方法建立 的形 式系统 ，对 于计 算机科学有重 要 意义 ，因为它提供 的形式语 言和算法构成 了计算机科学 的必 要 前 提 和 逻 辑 基 础 。 第二 ， 数学公理 化方法是探 索新知 识 ， 发展数学 的一种
现的 。
３公 理化 方 法的基 本 内容
为了把某一 门数 学表达为演绎 系统 ，需要选择 一组基 本概念和公 理作 为出发点 ， 因此 ， 如何 选择一组基本 概念和 公 理便 是运 用公 理 化 方 法 的 关 键 所 在 ，这 也 是 公 理 化 方 法
公理化方法(精)
现代公理法的意义与作用
公理化方法是加工、整理知识，建立科学理论的工 具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。 公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各 个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动 新理论的创立和发展。 公理化方法是建立某些抽象学科的基础。 公理化方法对各门自然科学的表述具有积极的借鉴 作用。 公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方 法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。
进一步的工作
集合论悖论的出现，又一次引起了数学基础的危机。 希尔伯特的元数学（证明论）：（1）证明古典数学 的每一个分支都可以公理化；（2）证明每一个这样 的系统都是完备的、相容的；（3）证明每一个这样 的系统所应用的模型都是同构的；（4）寻找这样一 种方法，借助于它，可以在有限步骤内判断任一命 题的可证明性。 元数学理论的研究使公理化方法进一步精确化，把 公理化方法发展到一个新的阶段。形式化公理法不 仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应 用开辟了广泛的前景。
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n ( n m ) m （2）n+ = 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
公理化方法的发展及其对数学教育的启示
公理化方法的发展及其对数学教育的启示公理化方法是现代数学发展的重要方法，它的出现使得数学能够更加清晰、系统、严谨地表达出来。
公理化方法不仅改变了数学的面貌，也对数学教育产生了深远影响。
本文主要从公理化方法的发展和它对数学教育的启示两个方面来探讨公理化方法的意义。
一、公理化方法的发展公理化方法的起源可以追溯到希腊数学家欧几里德。
他在《几何原本》中的公理化方法对现代数学的发展造成了深远的影响。
欧几里德的公理化方法是以一些自然显然的个人经验作为基础，进行逻辑推理，从而证明定理的正确性。
后来在十九世纪末，希尔伯特提出了公理化方法的新理念：从极端简单的、自明的判断开始，利用逻辑细节的证明过程建立起大量的数学理论。
公理化方法的本质是从基本事实着手，通过推演、证明和求解来得出定理和结论。
由于基本事实不会被证明或推导出来，其默认为真，需要从中推导所有其它是定理或推论。
由此，公理化方法不仅仅是逻辑方法，而且是一种需要语言和符号体系去完备表达的方法。
公理化方法要求对不同领域的知识进行分解、分类、梳理和整合，从而形成一个清晰、明确、有序的知识结构。
1. 培养系统化思维公理化方法鼓励学生系统化的思考方式。
在向学生介绍一个概念时，要从概念的定义入手，充分了解概念的意义和运用场景，引导学生弄清概念的基本性质或公理，然后尝试建立该概念与其它概念之间的联系，形成更加系统化的思维方式。
2. 增强创造思维公理化方法提倡对问题产生好奇心、提出假设并实现想法。
在数学教育中，教师应该更多地引导学生在学习过程中积极提问，用自己的思考去探索问题的本质，鼓励学生通过观察、实践、思考等多种方式交流沟通，并引导学生探索问题的深层原因和内在联系，最终做出合理的结论。
3. 增强良好的学习习惯公理化方法讲究严谨的逻辑和语言表达能力。
这使得学生不能掉以轻心，在学习中遵循逻辑严谨的思维方式，加强语言表达的训练，提高学习技巧和策略。
并在学习过程中树立“勤奋、挑战自我、创新、严谨”的良好学习习惯，更多地获得自信和成功。
公理法
公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．公理法选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”．两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展．1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点．希尔伯特公理体系的主要思想包含：（1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象．（2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系．（3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质．希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点：第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中．第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出．第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题．欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系．公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．20世纪以来，由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就，促使公理化方法渗透到数学的其他分支，诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研究．公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响，已成为举世公认的事实，公理化方法早已超过数学理论范围，进入其他自然科学的领域．如本世纪40年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化，物理学家还将相对论表述为公理体系等等．当然，公理化方法若不与实验方法相结合，不与科学方法相结合，也不会更好地解决和发现问题．。
数学公理化方法
§5.3 使用RMI方法的条件从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。
（1）映射ϕ须是两类数学对象之间的一一对应关系；（2）所采用的映射ϕ须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来；ϕ必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种（3）相对的逆映射（反演）-1需要的性态经过有限步骤确定下来。
以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。
正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。
ϕ的可定映射ϕ，谁数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演-1就对数学的发展作出贡献。
反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。
129第六章数学公理化方法数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。
可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。
§6.1数学公理化方法的意义所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。
数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。
我们可以归纳出如下几点：1．总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。
”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。
第四章 数学中的公理化方法
§4.1公理化方法的历史概述
• 公理化方法的历史考察 • 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，
哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家 和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑 知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其 余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一 个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方 法创造了条件。
§4.1公理化方法的历史概述
萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他
在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年）
的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明
平行公设。
萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，
如图，其中 AC BD,A B 且为直角。
萨克利指出，顶 C
D
角具有三种可能性并
分别将它们命名为：
第四章 数学中的公理化方法 与结构方法
• 公理化方法在近代数学的发展中起着基本 的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统 形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全 面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其 观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革 运动，即“新数学”运动。
• 两种方法均是用来构建数学理论体系的， 一个是局部，一个是整体。
§4.1公理化方法的历史概述
• 在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和 大于180°）也成立的黎曼几何系统，后来人们称 这两种几何为非欧几何。
• 非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进 一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还 有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看， 非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也 就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没 有得到具体的解释。
亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的 希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法 应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作《几何原 本》。
公理化方法
公理化方法的思想源流
历史上第一个给出公理系统的学者是亚里士多德，他 在其《工具书》中，总结了古代积累起来的逻辑知识， 并以数学及其它学科为例，把完全三段论作为公理， 由此推出了别的所有三段论。 第一个在“知其然”的同时提出“知其所以然”的学 者是古希腊哲学家和数学家泰勒斯，他第一个证明了 下面定理(1)一个圆被它的一个直径所平分；（2）三 角形内角和等于两直角之和；（3）等腰三角形的两底 角相等；（4）半圆上的圆周角是直角；（5）对顶角 相等；（6）全等三角形的ASA定理。所以泰勒斯被称 为论证之父。
2
公理化方法举例
数概念及其理论的公理化整理，自然数建立在皮 亚诺公理之上，整数集建立在自然数之上，有理 数建立在整数集之上，实数集建立在有理数集之 上，复数集建立在实数集之上。
自然数
皮亚诺公理：集合N如果满足下列一组公理，那么N叫做 自然数集，N的元素叫做自然数。 （1）1∈N； （2）对N中每一个元素n，在N中有且仅有一个确定的后 继元； （3）对N中任意元素n， n ≠1； n m （4）对N中任意两个元素n，m，如果 ， 那么n=m； （5）归纳公理：如果N的子集M满足①1∈M，②当n∈M 时， n ∈M，那么M=N。
自然数
在N上定义加法：f：N×N→N (n,m) →n+m 满足：（1）n+1 = n m = (n m ) （2）n+ 在N上定义乘法：f：N×N→N (n,m) →n·m 满足：（1）n·1=n （2）n· m =n·m+n
整数
设D={（m，n）∣m，n∈N}， 在该集合上定义关系：（m，n）∽（p，q）当且仅当 m+q=n+p 上述关系是等价关系,它将集合D划分成若干等价类，把 每一等价类叫做一个整数,一切整数所组成的集合叫做 整数集，记为Z。 在集合Z上定义加法：（m，n）+（p，q）=（m+p，n+q） 在集合Z上定义乘法：（m，n）（p，q）=（mp+nq， mq+np）
公理化方法
（3）备性．公理系统的完备性要求，常常通俗地说成，要保证 某一数学分支的全部命题都能从这一组公理推导出来，也就是公理 应足够地多．所以，从这个意义上讲，公理系统应该是极大的．可 以想象，一个公理系统中的公理愈少，则选取它的模型的自由度就 愈大，一个公理系统中的公理愈多，则适合它的模型越少．就是说， 当我们不断地把一个公理系统扩大（当然要求加入的新公理对于原 有的公理来说保有独立性和矛盾性）的时候，则能成为公理系统的 模型的种类就越来越少，直至不用“再加”，系统完备，而模型也 唯一了．基于此，一个公理系统的完备性概念可以确切地叙述为： 如果已知的公理系统的所有的模型都是互相同构的，则该系统称为 完备的．
（2）独立性．公理系统的独立性，是指公理系统中的每个公理都 不能由其它公理用逻辑推导的方法导出，因为一个公理如果可作为 定理推证出来，就没有列为公理的必要了． 公理系统具有独立性，保证了公理系统尽可能的简洁．从这个意 义上来说，具有独立性的公理系统是极小的，即要求公理系统中的 公理数目尽可能的少，不允许出现多余的公理．
在一个数学理论体系中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明 的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体 系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化 思想．
公理是对诸基本概念相互关系的规定．这些规定是合理的，不互 相矛盾的，也是不多不少的，即公理的选取应符合三条要求： （1）相容性．公理系统的相容性,亦称协调性或无矛盾性，是指 同一系统中的公理,不能相互矛盾． 任何一组公理，层出不穷，不可能逐一考察其中有没有相互矛盾 的命题；另外，即使一时推不出矛盾，也不能断定将来什么时候不 会出现矛盾．如果它能够成为具有数学意义的公理系统，一定要符 合相容性,这是公理系统的最基本的要求．事实上,根据逻辑知识 ,P∧┐P是一个恒假命题．对于任意一个命题，(P∧┐P)→Q是一个 恒真命题．因此，如果一个公理系统有矛盾，不论这个矛盾是否明 显，但最终从这个公理系统能推导出十分明显的两个相互矛盾的命 题R与┐R，从而也就可以导出任意命题（为真）．显然，这样的公 理系统难以帮助人们认识现实世界的数量关系与空间形式，因而没 有任何实际价值． 然而，要判断一个公理体系的公理是否具有相容性并非易事．一 般说来，由公理出发推导出的命题因此，为了证明公理系统的相容 性，常用模型的方法，即寻找抽象公理的一个具体模型．如果模型 中的具体关系之间没有矛盾，那么，公理系统就符合相容性要求． 所以说，公理系统的相容性是相对意义下的相容性．
【高中数学】数学的公理化
【高中数学】数学的公理化十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。
数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。
有两种经典方法。
一种是旧的公理化方法，但非欧洲几何学的发展和各种几何学的发展暴露了它的许多缺陷；另一种是构造法或生成法，它往往有局限性，许多问题无法通过构造来解决。
特别是，许多涉及无穷大的问题往往依赖于逻辑、反证据，甚至直觉。
然而，什么是可靠的，什么是不可靠的，不经分析就无法确定。
对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域―抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。
而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。
初等几何公理化十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。
当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。
1九世纪80年代，德国数学家巴斯提出了一套公理体系和序公理等重要概念。
然而，他的体系中有些公理是不必要的，有些公理是不必要的，所以他的公理体系并不完善。
此外，他没有系统的公理化思想。
他的目的是通过引入理想元素，将度量几何纳入射影几何。
十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。
皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”(1899)，由于基本概念太少(只有“点”和“运动”)而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。
希尔伯特几何基础的出版标志着数学公理化新时代的到来。
希尔伯特的公理系统是所有公理化的模型。
公理化方法
公理化方法的特征及功能数学家欧几里得以亚里士多德的演绎逻辑为工具总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》，它是演绎逻辑与几何相结合的产物。
因此它的出现使演绎逻辑第一次成功的应用于数学。
欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理思想建立起来的第一门演绎数学，后来成为公理化方法的初级阶段，既然是初级阶段，就少不了后来人的应用和发展。
它不仅作为基础为后来人的研究打下基础，也激发了许多杰出数学家的研究几何演绎与公理化的热情。
希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是在之后的研究热潮中的重要成果的突出代表。
他在《几何基础》中放弃了欧几里得《几何原本》中公理的直观显然性把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以摒弃，着眼于对象间的联系，强调了逻辑推理，首次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式公理系统。
从此，公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已经被其他学科领域所采用。
以下介绍希尔伯特在《几何基础》中对于几何的应用提出的公理化方法，以及上面所提到在其他领域中应用的几个例子，总结公理化方法在教学中的启示。
几何学公理化方法结合公理：Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．顺序公理：Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．合同公理：Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．平行公理：过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行连续公理：Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)公理代替上述的Ⅴ2：“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn<PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”各个领域的应用应用公理化设计，进行可用于在轨组装飞行器总体设计的步骤为：1) 了解组装服务的需求：根据任务的实施环境、任务类型及任务特点，获取“5WlH”（why、what、where、when、who、how）等需求信息；2) 定义满足这些需求所需解决的问题：将任务需求转化；3) 通过综合分析产生或选择解决方案，将由组装服务需求转化而成的功能需求和设计参数进行“之”字型展开，根据独立公理调整FR 或DP，使得二者层级上各层次的射矩阵为对角阵或三角阵。
数学的公理化方法
• 拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、 维数等构成一般拓扑学的研究对象
• 14．中学教材中的公理系统—— • 平面几何公理： • 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 • 在所有连接两点的连线中，线段最短 • 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有
相等的
• 等量加等量，总量仍相等 • 等量减等量，余量仍相等 • 彼此重合的东西是相等的 • 整体大于部分 • 7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相
反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少 可以引出两条直线与已知直线平行。
• 8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲 式几何
• 黎曼——钝角假设的椭圆式几何 • 从而非欧几何被人们所承认
一条直线和该直线平行 • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行 • 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的
两个三角形全等 • 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的
两个三角形全等 • 矩形的面积等于它的长a和宽b的积
• 立体几何公理：
• 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上的所有点都在这个平面内
• 6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于 一切科学的真理，而公设则只用于几何。
• 欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的 体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公 理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
• 欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了 465个命题。
• 定理：经过公理推演出来的命题
• 5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演 绎方式的公理化方法。
• 第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几 里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
第四节 数学公理化
其次，公理化方法可以将一门数学分支的基础分析 得清清楚楚，从而有利于比较不同几何学的本质差异和 逻辑相关性，从而对它们进行严格的区分．例如，通过 对欧几里得几何的公理系统和罗巴切夫斯基几何的公理 系统的对比，可以清楚地看出这两者之间就在于平行公 理的对立，而其他公理完全相同．因此，用平行公理以 外的其他公理所推导出来的概念和定理体系是两种几何 所公有的，一般称为中性几何或绝对几何．这样，研究 绝对几何的结构可以取得事半功倍的作用，一举两得， 同时通过对平行公理的作用的研究，可以进一步了解两 种几何的差异．
12
再次，几何公理化方法对科学方法论有示范 作用，说明了科学方法的重要性，推动了对科学 方法的研究．这种方法产生于几何，同样也适用 于其他数学分科，在代数、概率论、泛函分析、 现代数理逻辑、拓扑学等的研究和整理中都起到 了重要的作用；此外还渗透到其他自然科学领域, 如理论力学和相对论的公理化等等． 应当注意，公理化方法并不是研究数学的惟 一方法，此外还有代数方法、拓扑方法、统计方 法等等．
这些获奖人不仅在当时做出重大成果，而且日后
继续取得成果，证明他们不是昙花一现的人物。
28
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4．菲尔兹奖的特点
菲尔兹倡议，得奖人不但应已获得 重大成果，同时还应有进一步获得成就 的希望。因此获奖者应是中青年。当时 获奖者都不超过40岁，开始是不成文的， 后来则对此作了明文规定。 （华人：丘成桐，陶哲轩）
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几何原本的缺陷
《几何原本》是古希腊数学的代表作，出现在两 千多年前，这是难能可贵的。但用现代的眼光看，也 还有不少缺陷。主要是： ⑴有些定义不够严格，本身含糊不清； ⑵默认了图形平移不改变其性质； ⑶公理系统不完备，公理不够用，致使许多证明不得 不借助于直观。 尽管如此，《几何原本》开创了数学公理化的正确 道路，对整个数学的影响，超过了历史上的任何其他著
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Proclus Diadochus
普罗克洛斯 （411—485）,Greece
John Playfair （1748—1819）,Scotland
Adrien-Marie Legendre
（1752—1833），France
但是所有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯 一引出的正面结果便是一串与第五公设等价的命题被发现。
At the Paris International Congress of 1900, Hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves. These problems have come to be known as Hilbert's problems, and a number still remain unsolved today.
它所体现的演绎美对数学美学思想的发展也起到了不可低估的作 用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系 如此精密地一步一步推进……，推理的这种可赞叹的胜利，使人 类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心”（爱因斯坦语）。
几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而得到如此之多的结
它倡导的公理化方法，为数学家和物理学家树立了 如何建立科学理论体系的光辉典范。
公理化方法的发展，大致经历了这样三个阶段： 实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段 和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论 体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》
和 ZFC公理系统。
数学公理化方法的历史演进
——关于几何公理体系
欧几里德几何
历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体 系的是欧几里德（Euclid），他的工作集中体现 在他的《几何原本》中。
在总结前人失败教训的基础上，1826年，俄国年轻的
数学家罗巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky）从问题
的反面考虑，大胆地提出了与前人完全不同的信念：
首先，他认为第五公设不能以其余的几何公理作为前提来进 行证明，即第五公设相对于其它公理、公设是独立的；
其次，更进一步，他认为除去第五公设成立的欧几里得几何 之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。
因为
它在陈述和内容上显得复杂和累赘。人们怀疑这条公设是多 余的，它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。
而且进一步认为，欧几里得之所以把它当作公设，只是因为 他未能给出这一命题的证明。
因而数学家们纷纷致力于证明第五公设，据说 在欧几里得以后的两千多年时间里，几乎难以 发现一个没有试证过第五公设的大数学家。
徐光启和利玛窦译的《几何 原本》前6卷，乃是东方的最 早译本(不计阿拉伯文本). 较 俄译本(1739)、瑞典文本 (1744)、丹麦文本(1745)、 波兰文本(1817)都早．
“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必 改．有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲 减之不可得，欲前后更置之不可得．有三至三能：似 至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁， 实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，
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《几何原本》受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德的 影响
毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行 研究的方向，
亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公 理体系”。
欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、 面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后， 引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明 而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言 作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个 命题。
牛顿采用欧几里德的公理化方法，把他之前的众多的物理 学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究的力学知识排 列成逻辑的体系，组成一个有机的整体。他的名著《自然 哲学的数学原理》从力学三大运动定律出发，按照数学的 逻辑推理把力学定理逐个必然地引申出来。
About Elements
The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、 公设的前提下，引进了一个相反于第五公设的公理： “过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与 该已知直线不相交”。这样，罗巴切夫斯基就构造出来 了一个新的几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与 欧几里得几何系统相并列。
后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系 统竟然是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则 另一个必定无矛盾。这样，罗氏几何的地位就得到了 确立。
Founders of Non-Euclidean Geometry
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) Russia
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) Germany
János Bolyai
(1802-1860)
Hungary
在罗氏几何创立28年以后，1854年黎曼（Georg Riemann，
1826—1866）又建立了另外一种“过直线外一点不能引出与该 直线不相交的直线”的几何新体系——黎曼几何。 如所知，黎曼几何在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已 得到了证实和应用。
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
罗巴切夫斯基几何（也叫双曲几何）与黎曼几 何（也叫椭圆几何）这两种几何统称为非欧几 何。
非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑， 而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅 在于一条平行公理的不同，这充分显示出公理 化方法的威力。
几何基础
非欧几何的创立大大地促进了几何基础研究的进展， 也大大地提高了公理化方法的信誉，接着便有许多数 学家致力于公理化方法的研究。
Euclid of Alexandria
（about 325 BC——about 265 BC）
Greek geometer
Quotations: "The laws of nature are but the mathematical thoughts of God." "There is no royal road to geometry."
A.Fraenkel 弗兰克尔
About Hilbert
David Hilbert (1862-1943)
German mathematician who set forth the first rigorous set of geometrical axioms in
Foundations of Geometry (1899).He also proved
数学上的所谓公理，是数学需要用作自己 出发点的少数思想上的规识、清楚地揭 示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支 的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论 的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化 的一个主要特征。
第四讲
构建数学理论的基本方法 ——公理化方法
本讲内容
z 数学公理化方法的历史演进过程——关于几何 公理体系
z 实质公理化与形式公理化 z 数学公理化方法的逻辑特征
所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概 念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出 发，按照逻辑规则推导出其它命题，建立起一 个演绎系统的方法。
故能以其易易他物之至难．易生于简，简生于明，综 1857年，清代数学家李善兰
其妙在明而已”．
——徐光启《几何原本杂议》
与英国传教士伟烈亚力合作 续译的《几何原本》后9卷正 式刊行．
非欧几何
长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设） 持保留态度。
若平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小 于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。
1871—1872年间，德国数学家康托（Cantor）与戴德金 （Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。
1882年，德国数学家巴士（Pasch）又拟成了顺序公理。
正是在这样的基础上，希尔伯特（David Hilbert）于
1899年发表了《几何基础》一书。
他通过引进一些基本概念（基本元素包括点、线、面，基本关 系包括结合、顺序、合同），用结合、顺序、合同、平行、连 续这5组公理（共20条）来确定基本概念的涵义并进行逻辑演绎， 展开几何理论，形成了一个简明、完整、逻辑严谨的几何形式 化公理系统，从而最终地解决了欧氏几何的缺陷，完善了几何 学的公理化方法。
his system to be self-consistent.
His many contributions span number theory
(Zahlbericht), mathematical logic, differential