04第四讲 构建数学理论的基本方法——公理化方法

Proclus Diadochus
普罗克洛斯 （411—485）,Greece
John Playfair （1748—1819）,Scotland
Adrien-Marie Legendre
（1752—1833），France
但是所有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯 一引出的正面结果便是一串与第五公设等价的命题被发现。
徐光启和利玛窦译的《几何 原本》前6卷，乃是东方的最 早译本(不计阿拉伯文本). 较 俄译本(1739)、瑞典文本 (1744)、丹麦文本(1745)、 波兰文本(1817)都早．

“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必 改．有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲 减之不可得，欲前后更置之不可得．有三至三能：似 至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁， 实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，
Greek version(888) Latin Version (1482) English Version
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1606年，由意大利传教士利 玛窦口译，明代进士、数学 家徐光启执笔，合作译完欧 几里得《几何原本》前6卷， 1607年在北京雕版刊行．徐 光启亲自写了《刻几何原本 序》，手迹至今犹存 .
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《几何原本》受到了毕达哥拉斯学派和亚里士多德的 影响
毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证明的演绎学科来进行 研究的方向，
亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学的“三段论公 理体系”。
欧几里德首先指明了几何学的研究对象，即点、线、 面，在对这些对象进行“定义”（其实只是说明）以后， 引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明 而采用的5个公设，进而又引进了更为一般的5个断言 作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推演出465个 命题。
At the Paris International Congress of 1900, Hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves. These problems have come to be known as Hilbert's problems, and a number still remain unsolved today.
罗巴切夫斯基几何（也叫双曲几何）与黎曼几 何（也叫椭圆几何）这两种几何统称为非欧几 何。
非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑， 而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅 在于一条平行公理的不同，这充分显示出公理 化方法的威力。
几何基础
非欧几何的创立大大地促进了几何基础研究的进展， 也大大地提高了公理化方法的信誉，接着便有许多数 学家致力于公理化方法的研究。
数学上的所谓公理，是数学需要用作自己 出发点的少数思想上的规定
—— 恩格斯
公理化方法能系统地总结数学知识、清楚地揭 示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支 的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论 的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化 的一个主要特征。
第四讲
构建数学理论的基本方法 ——公理化方法
本讲内容
z 数学公理化方法的历史演进过程——关于几何 公理体系
z 实质公理化与形式公理化 z 数学公理化方法的逻辑特征
所谓公理化方法，就是指从尽可能少的原始概 念和不加证明的原始命题（即公理、公设）出 发，按照逻辑规则推导出其它命题，建立起一 个演绎系统的方法。
Euclid of Alexandria
（about 325 BC——about 265 BC）
Greek geometer
Quotations: "The laws of nature are but the mathematical thoughts of God." "There is no royal road to geometry."
它所体现的演绎美对数学美学思想的发展也起到了不可低估的作 用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系 如此精密地一步一步推进……，推理的这种可赞叹的胜利，使人 类理智获得了为取得以后的成就所必须的信心”（爱因斯坦语）。
几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而得到如此之多的结
它倡导的公理化方法，为数学家和物理学家树立了 如何建立科学理论体系的光辉典范。
Hungary
在罗氏几何创立28年以后，1854年黎曼（Georg Riemann，
1826—1866）又建立了另外一种“过直线外一点不能引出与该 直线不相交的直线”的几何新体系——黎曼几何。 如所知，黎曼几何在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已 得到了证实和应用。
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、 公设的前提下，引进了一个相反于第五公设的公理： “过平面上一已知直线外的一点至少可以引两条直线与 该已知直线不相交”。这样，罗巴切夫斯基就构造出来 了一个新的几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与 欧几里得几何系统相并列。
后来，人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何系 统竟然是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则 另一个必定无矛盾。这样，罗氏几何的地位就得到了 确立。
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故能以其易易他物之至难．易生于简，简生于明，综 1857年，清代数学家李善兰
其妙在明而已”．
——徐光启《几何原本杂议》
与英国传教士伟烈亚力合作 续译的《几何原本》后9卷正 式刊行．
非欧几何
长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设） 持保留态度。
若平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小 于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。
1871—1872年间，德国数学家康托（Cantor）与戴德金 （Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。
1882年，德国数学家巴士（Pasch）又拟成了顺序公理。
正是在这样的基础上，希尔伯特（David Hilbert）于
1899年发表了《几何基础》一书。
他通过引进一些基本概念（基本元素包括点、线、面，基本关 系包括结合、顺序、合同），用结合、顺序、合同、平行、连 续这5组公理（共20条）来确定基本概念的涵义并进行逻辑演绎， 展开几何理论，形成了一个简明、完整、逻辑严谨的几何形式 化公理系统，从而最终地解决了欧氏几何的缺陷，完善了几何 学的公理化方法。
牛顿采用欧几里德的公理化方法，把他之前的众多的物理 学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研究的力学知识排 列成逻辑的体系，组成一个有机的整体。他的名著《自然 哲学的数学原理》从力学三大运动定律出发，按照数学的 逻辑推理把力学定理逐个必然地引申出来。
About Elements
The Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time.
因为
它在陈述和内容上显得复杂和累赘。人们怀疑这条公设是多 余的，它可能能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。
而且进一步认为，欧几里得之所以把它当作公设，只是因为 他未能给出这一命题的证明。
因而数学家们纷纷致力于证明第五公设，据说 在欧几里得以后的两千多年时间里，几乎难以 发现一个没有试证过第五公设的大数学家。
在总结前人失败教训的基础上，1826年，俄国年轻的
数学家罗巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky）从问题
的反面考虑，大胆地提出了与前人完全不同的信念：
首先，他认为第五公设不能以其余的几何公理作为前提来进 行证明，即第五公设相对于其它公理、公设是独立的；
其次，更进一步，他认为除去第五公设成立的欧几里得几何 之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。
Founders of Non-Euclidean Geometry
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) Russia
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) Germany
János Bolyai
(1802-1860)
his system to be self-consistent.
His many contributions span number theory
(Zahlbericht), mathematical logic, differential
equations, and the three-body problem. He also proved Waring's theorem.
徐光启和利玛窦合译的《几 何原本》语言通俗，错误很 少．其中的许多数学译名都 是从无到有，边译边创造的， 而且都十分恰当．“几何”一 词的选用，其他如点、直线、 平行线、角、三角形、四边 形、有理数，无理数等都是 这个译本首先定下来的，这 些名词在我国一直沿用至今， 而且还影响到日本、朝鲜等 邻国．只有少数名词后来有 所改动．
公理化方法的发展，大致经历了这样三个阶段： 实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段 和纯形式公理化阶段，用它们建构起来的理论 体系典范分别是《几何原本》、《几何基础》
和 ZFC公理系统。
数学公理化方法的历史演进
——关于几何公理体系
欧几里德几何
历史上第一个用公理化方法去建构数学理论体 系的是欧几里德（Euclid），他的工作集中体现 在他的《几何原本》中。
不仅如此，该书还给出了证明一公理系统相容性、独立性的普 遍原则，从此公理化方法进入了数学的其它各个分支。 20世纪 以来数学家们以希尔伯特的几何公理系统为楷模，努力为各个 数学分支建立公理化体系。
几乎所有数学和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的 分支，从二十世纪开始，都经过了公理方法的分析研究。
《几何原本》的问世，在数学的发展史上树立了一座 不朽的丰碑，对数学乃至科学的发展起了巨大的推动 作用。它也成为公认的、历史上第一部巨大的科学典 籍。
它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础；
它基本上完善了初等几何的体系，这正如黑格尔（G.W.F Hegel， 1770—1831）所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们的内容 而言，已经可以看作相当完备了，不可能有更多的进展”；
A.Fraenkel 弗兰克尔
About Hilbert
David Hilbert (1862-1943)
German mathematician who set forth the first rigorous set of geometrical axioms in
Foundations of Geometry (1899).He also proved
普雷菲尔（John Playfair）公设：“在平面上过直线外一点只能作一条和
这直线不相交的直线”； “三角形的内角和等于两直角”； “存在着相似三角形”等。
由于普雷菲尔公设形式最为简明，因此受到普遍采用，现在的 教科书中也常用这一叙述形式来替代第五公设。其实，普雷菲 尔公设由于包含了平行线的存在性，其与其它欧几里得公理、 公设并不独立，更确切的等价命题应为：“通过不在已知直线上 一点，至多可引一条与该已知直线平行的直线”（它被希尔伯特 公理系统所采用，称为“平行公理”）。