第四节 高斯公式
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高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高斯公式
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
o
x
1y
13 12
2
0
Dxy
d
0
1
dr
2 0
cos d
2
8
例4
为 所围立体, 判断下列演算是否正确?
x3 y3 z3 (1) 3 d y d z 3 d z d x 3 d x d y r r r
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
16
Dx y Dx y
3
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
2
o
x
1y
13 12
2
0
Dxy
d
0
1
dr
2 0
cos d
2
8
例4
为 所围立体, 判断下列演算是否正确?
x3 y3 z3 (1) 3 d y d z 3 d z d x 3 d x d y r r r
z
其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x
y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
应用: (1) 计算曲面积分
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
P Q R 0 x y z
16
Dx y Dx y
3
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
第四节电介质中的高斯定理
S
由 : q' = − ∫ P ⋅ d S
S
∫ (ε
S
0
E + P ) ⋅ d S = q0
高斯定理可以重新写为：
令 : D = ε0 E + P
则有 : ∫ D ⋅ d S = q0
S
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、电位移
D = ε0 E + P
叫电位移。它是一个矢量。它没 有直接的物理意义。
若电介质是线性极化的，则有：
+
-+ E0 -+ D
+
-
+
-
-+
P
+
E’
+
-σ0
+
-
-
-+
《大学物理》
教师：
胡炳全
5、电介质中高斯定理的应用 应用电介质中的高斯定理可以很方便地求解电荷和电 介质都对称分布时的电场的场强。 例题1、如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球 壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有：
∫ D ⋅ d S = ∫ D ⋅ d S cosθ = ∫ D ⋅ dS = D ∫ dS
S S S S
R2 ε Q r R1
= D 4πr = q0
2
Q r3 q0 = Q 3 R1
r > R1 r < R1
Q 4πr 2 D = Qr 4πR13
r > R1 r < R1
《大学物理》 根据
教师：
胡炳全
D =εE
ε 0 , r < R1 ε = ε , R1 < r < R2 ε , r>R 2 0 Qr 4πε R 3 , r < R1 0 Q , R1 < r < R2 E= 2 4πεr Q , r > R2 2 4πε 0 r
高斯公式
1 xy
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为 解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3
R( x , y , z )dxdy = ∫∫ R[ x , y , z 2 ( x , y )]dxdy , ∫∫ Σ D
2 xy
R( x , y , z )dxdy = 0. ∫∫ Σ
3
于是 =
∂R ∴ ∫∫∫ dv = ∫∫ R( x , y , z )dxdy. Ω ∂z Σ
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] − R[ x , y , z1 ( x , y )]}dxdy, ∫∫ D
∂v ∂v ∂v ∂v 证明： = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∴ u = u cosα + u cos β + u cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂u v = v cos α + v cos β + v cos γ ∂n ∂x ∂y ∂z
高斯公式
表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系.
使用Guass公式时注意: 1、 P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2、是否满足高斯公式的条件;
2 2 2 ∂2 ∂ v ∂ v ∂ v 3、∆ = 2 + 2 + 2 （拉普拉斯算子） ∆v = + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
z = y − 1 绕 y 轴旋转面方程为 解 x = 0 x y − 1 = z2 + x2
∑
x = 0
∑*
o
1
3
高等数学-高斯公式教学内容.ppt
之间部分的下侧.
先二后一
计算曲面积分
作取上侧的辅助面
*
优学课堂
例3
设 为曲面
取上侧, 求
解
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
*
优学课堂
在闭区域 上具有一阶
和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
设函数
*
优学课堂
注意:
曲面论和位势论等.
他在学术上十分谨慎,
原则:
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何
在对天文学、大
恪守这样的
“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
*
优学课堂
高斯公式
证
由高斯公式得
移项即得所证公式.
令
*
优学课堂
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型
设有空间区域 G ,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,
则称 G
为空间二维单连通域 ;
若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,
则称 G 为
例如,
球面所围区域
设 的单位外法向量为
*
优学课堂
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,
他的数学成就遍及各个领域 ,
在数论、
级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创
性的贡献,
他还十分重视数学的应用,
地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
公式称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
第四节高斯Gauss求积公式.ppt
2.399709
由三点辛卜生求积公式有
1
1
x 1.5dx ( 0.5 4 1.5
1
3
2.5) 2.395742
该积分的准确值 1 x 1.5dx 2.399529
1
数值分析
数值分析
一般区间的Gauss - Legendre 求积公式
如果积分区间是[a,b]，用线性变换
x batab
答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
b
n
I( f ) ( x) f ( x)dx a
Ak f ( xk )
k0
定义：若求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
1
x2
)
f
( x)dx
A0
f
( x0 )
A1
f
( x1 )
将f ( x) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 ，其令成 为 等 式 。
1 (1
1
x2 )dx
A0
A1
1 (1 x
1
联立解
2 )xd 出A0
x A0 A1
( 4
3
2) 5
A1 (
2 )
5
得 到 两 点 高 斯 求 积 公为式
1
1
1
1
2
( A0
f
( (1 2
t0 ))
A1
f
( 2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
高等数学—高斯公式
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
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例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
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说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
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P x
Q y
R z
d xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
P
d
y
d
z
Qdz P
高斯公式
(
u x
v x
u v y y
u v )dv z z
二、通量与散度
定义1 给了向量场
A(x, y, z) ( P (x, y, z) ,Q (x, y, z) , R (x, y, z) )
又 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，则称
P Q R 为向量场 A 的散度，记为 x y z
S 1
S
2
R[x, y, z1( x, y)]dxdy
1 : z z1(x, y) y
Dxy
o
0
Dxy
x
R[x, y, z2( x, y)]dxdy
Dxy
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
(0 , 0, 1) (cos ,cos ,cos )
cos 0，cos 0，cos 1
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
1
( x2 0 y2 0 z2 1)dS
z
1
z2dS
o
(x, y)
R( x, y, z)
z2(x, y)
dxdy
x
Dxy
D xy
z1( x, y)
{R[x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy
D xy
z 2 : z z2( x, y)
Rdxdy
Rdxdy Rdxdy Rdxdy
1(外) S0 (下)
《高斯公式》课件
机遇
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
THANKS FOR WATCHING
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数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
数分第十八章第四节(1)高斯公式和斯托克斯公式
第18 章曲面积分第四节第二类型曲面积分的高斯公式与第二类型曲线积分的斯托克斯公式理解掌握封闭曲面上第二类型曲面积分的高斯公式，并运用于一些第二类曲面积分的计算。
理解掌握沟通第二类曲线积分与第二类型曲面积分联系的斯托克斯公式。
1、高斯公式的证明考察3R中的有界闭区域}),(),,(),(:),,{(Dyxyxzyxzyx∈≤≤=Ωψϕ其中D是xy平面上的闭区域。
为行文的简短，我们称这类区域为丙类区域。
设函数R 在Ω上连续且有连续的一阶偏导数。
取Ω∂的外侧为曲面Ω∂定向，计算第二型曲面积分 dxdy R ⎰⎰Ω∂， 这时Ω∂可以看成是一个拼接曲面。
下底1∑由方程D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表示，法线向下；上盖2∑由方程D y x y x z ∈=),(),,(ψ表示，法线向上；还有一个是母线平行于z 轴的柱面，记作3∑，法线平行于xy 平面，方向向着体外。
这样便有dxdy R ⎰⎰Ω∂dxdy R ⎰⎰∑=1dxdy R ⎰⎰∑+2dxdy R ⎰⎰∑+3， 因为在3∑，0),cos(=z n ，因此dx d R ⎰⎰∑30),c o s (3==⎰⎰∑σd z n R ； 于是dxdy R ⎰⎰Ω∂dxdy R ⎰⎰∑=1dxdy R ⎰⎰∑+2， 我们有dxdyR ⎰⎰∑1dxdy y x y x R D )),(,,(ϕ⎰⎰-=， dxdy R ⎰⎰∑2dxdy y x y x R D)),(,,(ψ⎰⎰=， 从而dxdy R ⎰⎰Ω∂ dxdy y x y x R y x y x R D))],(,,()),(,,([ϕψ-=⎰⎰ dz z y x zR xdy d y x y x D ),,(),(),(⎰⎰⎰∂∂=ψϕ， 如果把最后的表达式看成是从一个三重积分化归的累次积分，我们便得出dxdy R ⎰⎰Ω∂dxdydz z R ⎰⎰⎰Ω∂∂=。
类似地，我们可以定义甲类区域。
高等数学--高斯公式 PPT
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
高数高斯公式教学内容.ppt
Q y
R )dv z
1 V
AdS
高斯 ( Gauss ) 公式21
积分中值定理,
( P x
Q y
R ) z
( , ,
)
1 V
AdS
两边取极限,
P Q R lim 1
AdS
x
y
z
V M
divA
P
Q
R
x y z
优学课堂
18
说明: 1、散度是一数值。
高斯
2、梯度：u f ( x, y, z)
dxdy
h
zdz,
x2 y2
(h2 优学课堂
x2
y2
)dxdy
1 2
h4 .
12
Dxy
Dxy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS
1
h2dxdy h4 .
Dxy
1 高斯 ( Gauss ) 公式14
z
故所求积分为
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
( Gauss ) 公 式22
gradf ( x, y, z) f
i
f
j
f
k
向量
例5
A
e
xy
i
cos
(
xy)
j
x
s
in(
y
xz
2
)k
z
求divA
解:
divA
P
Q
R
x y z
ye xy x sin( xy) 2xz cos( xz2 )
优学课堂
19
思考与练习
1. 设 为球面 x2 y2 z2 R2 的外侧, 为 所围立
高斯公式
0
四、小结
1、高斯公式
P + Q + R)dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. ∫∫∫( x y z ∫∫ Σ
2、高斯公式的实质 （1）应用的条件 （2）物理意义
∫∫∫div Adv = ∫∫ AndS.
Σ
作业： 页 作业：213页 1.
o x
y
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
P Q R 2( x y z). = + + + + x y z
z
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
Σ1
h h
P + Q + R = 2( x + y + z). x y z
Σ+Σ1
( x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )dS ∫∫
o x
y
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
解 曲面 Σ 不是封闭曲面， 不是封闭曲面， 不能直接用高斯公式。 不能直接用高斯公式。 高斯公式 补充
z
Σ1
h h
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
取上侧， Σ1 取上侧，
Σ + Σ1 围成空间区域. 恰好是空间区域 . Σ + Σ1 恰好是空间区域的外侧
P + Q + R = lim 1 v dS x y z →M V ∫∫ n Σ
P + Q + R . div A = x y z
四、小结
1、高斯公式
P + Q + R)dv = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. ∫∫∫( x y z ∫∫ Σ
2、高斯公式的实质 （1）应用的条件 （2）物理意义
∫∫∫div Adv = ∫∫ AndS.
Σ
作业： 页 作业：213页 1.
o x
y
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
P Q R 2( x y z). = + + + + x y z
z
在 上使用高斯公式,
P= x ,
2
Q = y2 ,
R = z2 ,
Σ1
h h
P + Q + R = 2( x + y + z). x y z
Σ+Σ1
( x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )dS ∫∫
o x
y
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
解 曲面 Σ 不是封闭曲面， 不是封闭曲面， 不能直接用高斯公式。 不能直接用高斯公式。 高斯公式 补充
z
Σ1
h h
Σ1 : z = h ( x2 + y2 ≤ h2 )
取上侧， Σ1 取上侧，
Σ + Σ1 围成空间区域. 恰好是空间区域 . Σ + Σ1 恰好是空间区域的外侧
P + Q + R = lim 1 v dS x y z →M V ∫∫ n Σ
P + Q + R . div A = x y z
高斯公式ppt课件
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
Q y
R z
dv
S
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
，
或
W
P x
Q y
R z
dv
S
(P
cos
Q
cos
R cos
)dS
这里S是W的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是S上点(x, y, z)
divFdv = F ndS ．
W
S
S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W
P x
Q y
R z
dv
S
F
ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左
端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
处的法向量的方向余弦． 这两个公式称为高斯公式．
证明
简要证明： 如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的
方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy．
z
S2 ：zz2(x, y)
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
SS1
W
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有
W
P x
Q y
R z
dv
S
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
，
或
W
P x
Q y
R z
dv
S
(P
cos
Q
cos
R cos
)dS
这里S是W的整个边界的外侧，cos 、cos 、cos是S上点(x, y, z)
divFdv = F ndS ．
W
S
S1
S1
x2 y2 h2
因此
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 1 h4 h 4 1 h4 ．
S
2
2
二、通量与散度
高斯公式的物理意义：
高斯公式
W
P x
Q y
R z
dv
S
F
ndS
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左
端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
处的法向量的方向余弦． 这两个公式称为高斯公式．
证明
简要证明： 如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的
方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外 侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy．
z
S2 ：zz2(x, y)
由高斯公式得
(x2 cos y2 cos z2 cos)dS 2 (x y z)dv
SS1
W
gauss高斯公式
I=
Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 取下侧.
2 2
Σ∪Σ 1
z
∫∫
Ω
− ∫∫
Σ 1
2
Σ
2 2
2 2
= ∫∫∫(3x z +1− x z − 2x z)dv−∫∫ −x z d xd y Σ1
1
= ∫∫∫ dv − (−1) ∫∫
Ω
∑1
D xy
(−x )1 d xd y
z 3
O 1 x
由三重积分的对称性
y
例2(P231) 其中Σ 为锥面 x2 + y2 = z2介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, α, β, γ 为法向量的方向角. 解 积分
z
Σ1 h
Σ
y
作辅助面 Σ1 z = h, (x, y) ∈Dxy : x2 + y2 ≤ h2, 取上侧 :
O x
2zdz −πh
4
= ∫∫ [h −(x + y )]dσ − πh
2 2 2
4
1 4 =− πh . 2
Dxy
例3. 计算 (1)其中Σ 为球面 x2 + y2 + z2 = R2外侧. (2)其中Σ 为上半球面 z = R − x − y 上侧. 解(1)
2 2 2
z
(2)加补曲面Σ 1: z = 0, 取下侧 Dxy : x + y ≤ R , I = ∫∫ − ∫∫
2 2 2
Σ ∪Σ1
∑ 1
Σ
O
−∫∫ (x + y + z )d xd y x
2 2 3 ∑1
Σ1 y
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分析：由于 p( x) ( x)是次数不高于 2 n 1的多项式，因而高斯公式准确成立。有
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
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求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
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4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2 A3 f x3
（1）确定求积节点：取三次Legendre多项式的零点：
3 x1 , x2 0, x3 5
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3 5
（2）令它对于 f ( x) 1, x, x 准确成立，于是有
分析：通过计算可以发现，高斯公式的精度较高，但高斯点的确 定是一个难题？
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二、高斯点的基本特性
尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是
由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质 性的困难，所以，要从研究高斯点的基本特性着手解决 高斯公式的构造问题。
第四节 高斯公式
在构造牛顿-柯特斯公式时，限定用等分点作为求积节
点，这样做方法简单（优点!），但却限定了求积公式的精
度（缺点！）。“复化”求积方法有利于精度的提高，但
由于步长的原因，难于保证精度，于是产生了变步长的求
积方法－龙贝格算法－变步长，算例说明：龙贝格算法的 加速效果是显著的。但是，在节点数一定的条件下，其精 度还是不够高。寻求高精度的求积公式是一个永恒的主题。
, n) 为零点的n次式
pn ( x) ( x x1 )
2、Legendre多项式的确定
( x xn )
称为勒让德多项式（Legendre）
即定义中的高斯节点的具体形式？
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2、Legendre多项式的确定
n! d 2 n pn ( x) [( x 1) ] n (2n)! dx
事实上，对于任意区间
[ 1,1] 上，
于是有：
[a, b]，通过下列变换总可以变到区间 ba ba x t 2 2
b
a
ba 1 ba ba f x dx= f( t )dt 1 2 2 2
相应的二点高斯公式是
b a
ba ba ba ba ba f x dx [ f ( ) f ( )] 2 2 2 2 3 2 3
所以，高斯（节）点为
x1 0, A1 2，于是有一点高斯公式为：
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1
1
f ( x)dx 2 f (0)
3、二点高斯公式
令它对于
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2
2 3
f ( x) 1, x, x , x 准确成立，于是有 A1 A2 2 A x A x 0 1 1 2 2 2 2 2 A x A x 1 2 2 1 3 3 3 A x A x 0 1 2 2 1
2
A1 A2 A3 2 A1 x1 A2 x2 A3 x3 0 2 2 3 A1 x12 A2 x2 A3 x2 3
（3）三点高斯公式
5 3 8 5 3 1 f x dx 9 f ( 5 ) 9 f (0) 9 f ( 5 )
，可以使求积公式 ,n )
（30）具有 2n 1 次代数精度。高斯公式的求积节点 x k 称 为高斯点。
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2、一点高斯公式（中矩形公式）
令它对于 f
1
－1
f x dx A1 f x1
( x) 1, x 准确成立，于是有
2 A1 0 A1 x1
行讨论，在此略！
P96: 16
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1
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小 结
高斯公式的一个重要特点是它的收敛性较好，当步长趋
于无穷小时，高斯公式收敛于积分值，但是由于高阶的高斯 公式形式复杂，而不便于实际使用。为了解决这个问题，常 常采用等分积分区间的方法，在每个小区间上使用一点高斯 公式，构造复合高斯公式。对于数值微分可用类似的方法进
则有 v ( x ) 的任意性，有
u(1) u(1)
u
( n1)
(1) 0
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则－1和+1都是 u ( x ) 的
n 1 重零根，则有
n! 2 n u ( x) ( x 1) (2n)!
则有：
n! d 2 n pn ( x) [( x 1) ] n (2n)! dx
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1、定理
定理 节点 xk (k 1, 2,
, n)是高斯点的充要条件是次数
n 1 的多项式 p( x) 与 ( x) 正交，即成立
1
－1
p( x)( x)dx 0, k 0,1,
, n 1
(35)
其中 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ).
p( x) 1
的高斯节点，按（35），知
p( x) x
于是有
1 x1x2 , x1 x2 0 3
故，高斯节点为
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x2 x1
1 3
三、勒让德多项式（Legendre）
1、定义（Legendre）
以高斯点 xk (k 1, 2,
(35*)
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2、定理的应用
例如，要确定两点高斯公式
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2
1 ( x x )( x x )dx 0 1 2 －1 1 x( x x1 )( x x2 )dx 0 －1
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n
例如：Legendre多项式
p1 ( x) x 1 p2 ( x) x 3 3 3 p3 ( x) x x 5 30 2 3 4 p4 ( x) x x 35 35
2
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3、Legendre多项式的应用
(1) 0
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设任意 n 1次多项式 v ( x ) ，有
1
1
v ( x ) pn ( x ) dx
1
1
v ( x )u ( n ) ( x ) dx
v (1)u ( n 1) (1) v(1)u ( n 2) (1) ( 1) ( n 1) v ( n 1) (1)u (1)
作辅助函数：
u ( x)
1 1
n
x x
x
1
pn ( x)dxdx
dx
可以证明有：
n! 2 n u ( x) ( x 1) (2n)!
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事实上，由于
u
(n)
( x) pn ( x) u
( n 1)
u (1) u '(1)
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
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注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
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求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
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4、任意区间上二点高斯公式
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一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2 A3 f x3
（1）确定求积节点：取三次Legendre多项式的零点：
3 x1 , x2 0, x3 5
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3 5
（2）令它对于 f ( x) 1, x, x 准确成立，于是有
分析：通过计算可以发现，高斯公式的精度较高，但高斯点的确 定是一个难题？
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二、高斯点的基本特性
尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是
由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质 性的困难，所以，要从研究高斯点的基本特性着手解决 高斯公式的构造问题。
第四节 高斯公式
在构造牛顿-柯特斯公式时，限定用等分点作为求积节
点，这样做方法简单（优点!），但却限定了求积公式的精
度（缺点！）。“复化”求积方法有利于精度的提高，但
由于步长的原因，难于保证精度，于是产生了变步长的求
积方法－龙贝格算法－变步长，算例说明：龙贝格算法的 加速效果是显著的。但是，在节点数一定的条件下，其精 度还是不够高。寻求高精度的求积公式是一个永恒的主题。
, n) 为零点的n次式
pn ( x) ( x x1 )
2、Legendre多项式的确定
( x xn )
称为勒让德多项式（Legendre）
即定义中的高斯节点的具体形式？
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2、Legendre多项式的确定
n! d 2 n pn ( x) [( x 1) ] n (2n)! dx
事实上，对于任意区间
[ 1,1] 上，
于是有：
[a, b]，通过下列变换总可以变到区间 ba ba x t 2 2
b
a
ba 1 ba ba f x dx= f( t )dt 1 2 2 2
相应的二点高斯公式是
b a
ba ba ba ba ba f x dx [ f ( ) f ( )] 2 2 2 2 3 2 3
所以，高斯（节）点为
x1 0, A1 2，于是有一点高斯公式为：
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1
1
f ( x)dx 2 f (0)
3、二点高斯公式
令它对于
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2
2 3
f ( x) 1, x, x , x 准确成立，于是有 A1 A2 2 A x A x 0 1 1 2 2 2 2 2 A x A x 1 2 2 1 3 3 3 A x A x 0 1 2 2 1
2
A1 A2 A3 2 A1 x1 A2 x2 A3 x3 0 2 2 3 A1 x12 A2 x2 A3 x2 3
（3）三点高斯公式
5 3 8 5 3 1 f x dx 9 f ( 5 ) 9 f (0) 9 f ( 5 )
，可以使求积公式 ,n )
（30）具有 2n 1 次代数精度。高斯公式的求积节点 x k 称 为高斯点。
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2、一点高斯公式（中矩形公式）
令它对于 f
1
－1
f x dx A1 f x1
( x) 1, x 准确成立，于是有
2 A1 0 A1 x1
行讨论，在此略！
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1
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小 结
高斯公式的一个重要特点是它的收敛性较好，当步长趋
于无穷小时，高斯公式收敛于积分值，但是由于高阶的高斯 公式形式复杂，而不便于实际使用。为了解决这个问题，常 常采用等分积分区间的方法，在每个小区间上使用一点高斯 公式，构造复合高斯公式。对于数值微分可用类似的方法进
则有 v ( x ) 的任意性，有
u(1) u(1)
u
( n1)
(1) 0
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则－1和+1都是 u ( x ) 的
n 1 重零根，则有
n! 2 n u ( x) ( x 1) (2n)!
则有：
n! d 2 n pn ( x) [( x 1) ] n (2n)! dx
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1、定理
定理 节点 xk (k 1, 2,
, n)是高斯点的充要条件是次数
n 1 的多项式 p( x) 与 ( x) 正交，即成立
1
－1
p( x)( x)dx 0, k 0,1,
, n 1
(35)
其中 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ).
p( x) 1
的高斯节点，按（35），知
p( x) x
于是有
1 x1x2 , x1 x2 0 3
故，高斯节点为
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x2 x1
1 3
三、勒让德多项式（Legendre）
1、定义（Legendre）
以高斯点 xk (k 1, 2,
(35*)
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2、定理的应用
例如，要确定两点高斯公式
1
－1
f x dx A1 f x1 A2 f x2
1 ( x x )( x x )dx 0 1 2 －1 1 x( x x1 )( x x2 )dx 0 －1
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n
例如：Legendre多项式
p1 ( x) x 1 p2 ( x) x 3 3 3 p3 ( x) x x 5 30 2 3 4 p4 ( x) x x 35 35
2
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3、Legendre多项式的应用
(1) 0
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设任意 n 1次多项式 v ( x ) ，有
1
1
v ( x ) pn ( x ) dx
1
1
v ( x )u ( n ) ( x ) dx
v (1)u ( n 1) (1) v(1)u ( n 2) (1) ( 1) ( n 1) v ( n 1) (1)u (1)
作辅助函数：
u ( x)
1 1
n
x x
x
1
pn ( x)dxdx
dx
可以证明有：
n! 2 n u ( x) ( x 1) (2n)!
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事实上，由于
u
(n)
( x) pn ( x) u
( n 1)
u (1) u '(1)