第9章 相似性原理与量纲分析
量纲分析与相似原理
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9.2 量纲分析
• 由量纲一致性原理可知，上式两侧的量纲是相同的，即 • 由伯努利方程可知，gh与V 2 /2有相同的量纲，于是给式（9−12）两
侧同除以 ，得
• 则上式两侧都应该是量纲为1 的。等式右侧的m 的量纲M 在变量g 和 h 中都未出现（ g 和h的量纲只包含L 和T），因此m 不可能与g 和h 组成一个量纲为1 的组合量，应从右侧的变量中删去；
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9.2 量纲分析
• 在前面一节讨论了量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原 理。量纲一致性原理要求，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要推论： 一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲为1 的形式。
• 在前面一节中讨论过自由落体运动，现在假设我们并不清楚物体在自 由降落过程中距离与落地速度及重力加速度之间的函数关系。设物体 的释放高度为h ，物体落地速度为V ，从物理常识出发，V 应该与物 体的质量m 、重力加速度g 和h 有关，即
第九章 量纲分析与相似原理
• 9.1 量纲与单位 • 9.2 量纲分析 • 9.3 泊金汉Π 定理 • 9.4 相似原理 • 9.5 模型实验
相似原理与量纲分析
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
第九章 量纲分析与相似原理
m
mp mm
pVp mVm
3l
✓ 力的比尺：
F
Pp Pm
Fp Fm
Gp Gm
Ip Im
mpap mmam
ma
l22v
❖ 力学相似：所有的计算结果均列于（P199）表动如果力学相似，则必
然存在着许许多多的比例尺），判断流动动力相似时作用 力的比例尺满足的约束关系称为相似准则。
v
1
l
1 15
v
vp vm
vm
vp v
1015 150m / s
[例9.1] 已知溢流坝的过流量QP＝1000m3/s,若用长度比尺λl ＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm 。
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用 M表示。
§9.1 流体相似原理
解决 流体 力学 问题 的 方法
数学 分析
实验 研究
探索未知的流体流动规律 大型水工、机械模型实验
以相似原理为基础
一、力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
v2 g l p 2v
式（9.2）
lv
设计模型时，所选择的三个基本比例尺如能满足以上三个制
约关系，则模型流动与实物流动是完全力学相似。但这是有困难
的，因为，如前所述单位质量力的比例尺 ，则g 1
1
v2 g l
v l2 模型可大可小，但流体运动黏
lv
3
l2
度的比例尺要保持一致很难。
l v
✓
加速度比尺： a
ap am
vp vm
tp tm
v t
第9章 相似性原理与量纲分析
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2019年9月11日星期三
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
h n h h m 2 .2 1 5 .0 5 2 .3m 6
2019年9月11日星期三
流体力学
设
第三节 量纲分析法 Tianjin Institute of Urban Construction
一、量纲一致性
1. 基本量纲：(独立量纲)
长度 (L) 时间 (T) 质量 (M)
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
量纲分析和相似性
*
* V tV0 * r p t ψ * p = = , V = , t = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0 V T L2Φ ρ , T* = , M 0 = 0 , a 0 = kRT0 , Φ * = 2 T0 a0 ρ0 V 0 υρ0 * ∂ρ * * * + ∇ ⋅ ( ρ V )=0 ∂t *
l
二、基本量纲 长度：L＝[l] 时间：t＝[t]
质量：M＝[m]
温度：T＝[T]
三、量纲的性质： 1. 任何物理量的量纲都可以由基本量纲的幂指数次方的乘积来表示。 Eg. 力〔F〕＝〔ma〕＝M.L/t2 2. 不独立的量纲都可以由独立量纲的指数幂乘积来表示。 3. 凡是正确的方程或关系式，方程各项的量纲必须相同。
4.3 不可压缩流动无量纲方程 引入：无量纲变量
tV0 * r p V t ψ * * * p = , V = , t = = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0
连续方程： ∇ ⋅ V = 0
*
*
*2 * * ∂V * 1 *2 * 1 * * * * * * 运动方程： + ∇ ( V / 2 ) − V × ( ∇ × V ) = −∇ p + ∇ V − ∇ψ * Re Fr ∂t
dp / dx µ ε || , −2 −2 3 −1 ρDD / V ρD D V / D D dp / dx µ ε || , −1 2 ρDV D ρD V
2Байду номын сангаас
009量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。
工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。
实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。
借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。
而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。
因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。
一、量纲分析一、量纲分析基本概念物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim 表示。
一个物理量可以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。
例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L 。
由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。
基本量纲是相互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M 、 L 、T ）作为基本量纲。
在一般的力学问题中，任意一个物理量B 的量纲都可以用M ， L ，T 这三个基本量纲的指数乘积来表示dim B =M αL βT γ在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ，称为无量纲量，用M 0L 0T 0表示。
无量纲量就是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。
例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim （υvl）=000121T L M T L L LT =-- 为一个无量纲的量。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
量纲分析和相似原理
p vp
vm l m
几何相似、定性准则成立是实现流体力学相似的必要和充分条件
（5）模型实验应保证对流动起主要作用的力相似，如 有压管流粘滞力起主要作用，满足雷诺准则；明渠流 动重力起主要作用，满足弗劳德准则。
弗劳德准则
Ip
Im G p Gm
vp
2 vp
G gl
3
g p lp
v g m lm
2 m
g p lp
vm g m lm
3 l I l 2 l 2 v 2 t
( Fr ) p ( Fr ) m
弗劳德数表征惯性力与重力之比。 两流动相应的弗劳德数相等，重力相似。
相似准则（3）
pm 2 2 p vp m vm pp
欧拉准则
Pm I p Im Pp
P pl 2
l I l 2 l 2 v 2 t
3
( Eu ) p ( Eu ) m
欧拉数表征压力与惯性力之比。 两流动相应的欧拉数相等，压力相似。 雷诺准则、弗劳德准则是定性准则，欧拉准则是导出准则
相似概念（1）
几何相似
l lm1 lm 2 lm p1 m1 p 2 m 2 lp1 lp 2 lp
l
—— 长度比尺
运动相似
lp t m l v vm lm / t m lm t p t ap vp / t p vp t m l 2 a am vm / t m vm t p t vp lp / t p
§5-4
模型实验
vm l m
模型律的选择
vp l p
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
量纲分析和相似原理
，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
i x x x xi
x y z 1 2 3
i 1,2,n m
(4)确定量纲一π参数：由量纲和谐原理解联立指数
方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各量纲一
π参数。
(5)写出描述现象的关系式φ(π1,π2,……,πn-m)=0 ,
解π参数。
设变量共5个，其中x1、x2、x3为三个基本量(m=3), 则x1、x2、x3可与余下的x4，x5组合成2个(n-m=2) 量纲一π1、π2。
三 物理方程量纲的一致性
量纲和谐原理(theory of dimensional omogeneity)： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。 物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律性： 1．物理方程中各项的量纲应相同。 2．任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组 成的方程而不会改变物理过程的规律性。 3．物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各 量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而 发生改变。
应该指出：量纲分析并没有也不可能给出流 动问题的最终解，它只提供了这个解的基本 结构，函数的数值关系还有待于实验研究。
§4-3 流动相似性原理
采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题 的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中 产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型 中去？ 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。
相似理论与量纲分析
前后驻点
上下侧点
其他点
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。
柱面上：
柱面外：
流场中 还与无量纲半径 有关
·
C
·
D
A
B
a
量纲分析法
对于复杂的流动,常用量纲分析法和实验相结合进行研究。
01
量纲分析法是根据量纲齐次性原理寻求物理量之间函数关系的一种方法，也可以得出相似准则。
02
01
03
04
水力学中任何物理量C的量纲可写成
当α、β、γ不全为0时，C称为有量纲量。
=[ M ][ L ][ T ]
当α、β、γ全部为0时，C称为无量纲量或无量纲数。
9.4.2 有量纲量和无量纲量
有量纲量
水力学中的有量纲量可分为三类： 几何学的量，α＝γ＝0，β≠0； 运动学的量， α＝0， γ ≠0； 动力学的量， α ≠0。
粘性力比尺
02
要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即
01
即
02
雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：
01
要满足重力相似，必须满足CG=CI，即
02
即
佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：
01
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即
02
即
欧拉数的物理意义
欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度 、管内流体密度、流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。 解： 所求解问题的原隐函数关系式为 f(p, d, l, , , , v)=0 有量纲的物理量个数n=7，此问题的基本量纲有L、M 、T三个，m=3，按定理，这n个变量转换成有n-m=4个无量纲量的函数关系式 F(1, 2, 3, 4)=0 从7个物理量中选出基本物理量3个，如取、d、v，而 其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
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包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这些变量所涉及
的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和
容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相
2021年对1月速12度日星等期。二
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设
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在这7个量中，基本量纲数为3，因而可选择Ur三ba个n C基on本struction
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pn nvn2
pm mvm2
无量纲数
p Eu v 2
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欧拉数表征压Ur力ba（n C差on）struction 和惯性力之比
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
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第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
[2] LT1 2 L 2 ML3 2 ML1T2 1
[3]
LT1 3
L 3
ML3
3
L
1
[4]
LT1
L 4
4
ML3
4 L1
4)根据各个π项必须为无量纲量的条件，决定待定指数
αi、βi、γi列出具体的π项。
对每一个 写i 出量纲和谐方程组
L:1 1 31 20 1T :110
，使上述两模型律同时满足，则有
v
v
3/ L
2
这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上
这是很不容易实现的。因此，在模型律的应用时，通常的 做法是要求对流动现象起决定或主导作用的那一个模型律 相似就可以了。
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常见流动的模型律
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L 2
或
L
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显然，对于同种、同温的流体，若要同时满U足rba雷n 诺Construction
模型律和弗诺德模型律，则容易导出
L 1
这意味着模型尺寸与原型相同。因此模型实验就失去 意义了。
即使是对于不同种的流体，若通过调整运动粘度比尺
变量，不妨取
管径d
[d]=L
平均流速 [ ]=LT-1
密度ρ
[ρ]=ML-3
3)排列 nm 个π项，如该物理现象中的m3 ，其基本变
量为x1，x2，x3，作为重复变量，则各个π项的组成为：
i x1 ix2 ix3 ix3i （i=1,2,..., ）
用未知指数写出无量纲
参数πi (i=1-4）。
1 2
向相同）
vn vm
un um
v
λv——速度比尺
时间比尺
t
tn tm
ln lm
vn vml v加速度比尺 Nhomakorabeaa
v t
v2 l
运动相似是实验的目的
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（3）动力相似（同名力作用，且对应的同名力互成同一U比r例ba）n Construction
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Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
（1）雷诺准则——粘性力是主要的力
Fn FIn Fm FIm
改成
FIn FIm Fn Fm
由雷诺数模型律，有
Ren Rem
或
Lnn Lmm
vn
vm
或写成比尺关系的形式，即
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v L
在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同 的流体，此时 ，1 故有
1
L
另一方面，根据弗诺德数相等，可导出
M:1 0
2TL::2 222032 10 M:2 10
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L:3 3 33 10 L:4 4 34 10
3T :30
4 T : 40
M:3 0
M:4 0
分别解得：
故有
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(1) 已知原型煤油流量Qn 100l s，为达到动力相似，模型 中水的流量Q m 应为多少?
(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差 hm1.05m
，推算原型中的测管水头差 h n 应为多少?
解：此流动的主要作用力为压力和阻力，决定性相似准 则为Re数，非决定性相似准则为Eu数。
⑴ 由阻力相似的比尺关系
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F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
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雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
Re n Re m 粘性力相似准则，也称为雷诺相似准则。
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第一节 力学相似性原理 Tianjin Institute of Urban Construction
力学相似：两个流动现象中相应点处的各物理量彼此之 间互相平行，并且互成一定的比例。
（1）几何相似（流动空间几何相似）
ln lm
dn dm
l
λl——长度比尺
n m
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设
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1
1d 1 0 v
v d
1 Re
Urban Construction
2
2 d 0 1 p
p 2
Eu
3
l d
4
K d
必要时，可将各π项相互或 自相乘除，尽量使各个π项 为一般所熟悉的纯数，如雷
诺数、马赫数等
5)该物理现象可用(n-m)个无量纲π项的函数关系来表示。
密度：dim =ML-3
表面张力：dim =MT-2
压强：dim p =ML-1T-2
体积模量：dim K =ML-1T-2
速度：dimv =LT-1
动力粘度：dim =ML-1T-1
加速度：dima =LT-2
比定压热容：dimcp
L T2 -2 -1
运动粘度：dim =L2T-1
比定容热容：dimcv L2T-2 -1
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
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（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
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二、模型律
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雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
1 d 1 1 2d 2 2p
3
3d
l 3 3
4
4d
K 4 3
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将各量的量纲代入，写出量纲公式
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[1] LT1 1 L 1 ML3 1 L2T1 1
【例2】证明有压管流中的压强损失⊿p可表示为：
pK/d,Rel
2
d2
解：1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量。
根据实验，知道压强损失⊿p与管长，管径d，管壁粗糙度K，
流体运动粘性系数 ，密度ρ和流速 有关，于是有
pf(l,d ,K ,,,)
2)从n个变量中选择m个基本变量。基本变量的条件为其量纲中