3c 虚功原理推导单元刚度矩阵

§3-3 虚功原理推导梁单元的（单元）刚度矩阵

设在力P 的作用下，梁单元i-j 的两端点分别发生了线位移和角位移，用{}e δ来表示梁单元的端点位移（又称结点位移）： {

}{}T

e

i

i j

j v v δθθ=

使梁单元发生结点位移{}e δ的单元结点力（杆端力）为： {

}{}T

e

i

i j

j F F M F M =

根据材料力学，如果已知梁的两端点位移，则可求出等截面梁上任意一点的位移（挠度）。即梁上任意一点的位移v(x)可以用{}e δ表示出来，设二者的关系为：

{}1234()()()()(){}{}

i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫

⎪⎪⎪⎪

==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

又设由于某种其他原因，该梁发生了变形，引起梁单元○

e 两端点的位移为（用向量形式表示）：

{

}

*

*

{}j

e i i

j v v δθθ=

梁中任意一点的位移为：

{}*

**

1234()()()()(){}{}i i T e j j v v x N x N x N x N x N v θδθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪

==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

相对于力P 引起的位移v(x),称v*(x)为虚位移

计算梁单元○

e 的外力虚功和内力虚功 对梁单元来说，两端点的力即是外力，则外力虚功为：

**{}{}({}){}e T e e T e ex W F F δδ==

内力虚功 = 虚应变能

2*22*

*

222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰ ∵ 2

22

2

2

312

422

222{''}{}{}[]{}T

T e

e e d N d N d N d N d v N B dx dx

dx dx dx δδδ⎧⎫

===⎨⎬⎩⎭

22222**

**312422

2

2

2

{''}{}{}[]{}T

T e e e d N d N d N d N d v N B dx dx

dx dx dx δδδ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭

∴

****[]{}[]{}{}[][]{}{}[][]{}{}[]{}

e e in l e T T e l

e T T e l

e T e e W EI B B dx

B D B dx

B D B dx k δδδδδδδδ====⎰⎰⎰

式中： [][][]e T

l k B D B dx =⎰

虚功原理：系统保持平衡状态的充要条件是外力虚功=内力虚功 即： ex in W W = **{}{}{}[]{}e T

e e T e e

F k δ

δδ=

而虚位移为任意、不为零，所以上式等价于：

{}[]{}e e e F k δ=

§3-4 单元位移函数的基本概念

对于梁和二力杆，已知单元两端点位移（两端点的力），即可求得

单元内任意一点的位移。对于其他类型的单元即使知道单元结点位移（或单元结点力）也难以求得单元内任意一点的位移。

有限元法的解决方法：假设一个单元结点位移与单元内任意一点位移的关系—多项式形式，称这个关系为单元位移函数，又称单元位移场、单元位移模式。多项式的获得采用插值的方法—对单元结点位移插值。

例：用插值方法获得梁单元的单元位移函数v(x),已知梁两端点i,j 的位移分别为：i

i j j v v θθ

解：设v(x)为一个多项式，其阶数根据已知条件的个数确定。

∵

dv

dx

θ= ∴ 对于v(x)有4个已知条件：

① v(0)=i v ②

0i x dv dx θ== ③ v(l)= j v ④ j x l

dv

dx θ== ∴ 可设：2

3

1234()v x a a x a x a x =+++ 其中：1

234a a a a 为待定系数，现将其用向量{a}表示：

{}1

2

3

4{}T

a a a a a =

则v(x)又可以写成：

{}122

334(){}{}1T

a a v x x a x x x a a ⎧⎫

⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

将4个已知条件代入，可得到以4个待定系数为未知量的方程组： ① v(0)=i v 1i a v =

②

i x dv

dx θ== 2i a θ= ③ v(l)= j v 23

1234

j a a l a l a l v +++= ④

j x l

dv

dx

θ== 223423j a a l a l θ++=

将上面的方程组写成矩阵形式：

122332410

001001

123i i j j v a a v a l l l a l l θθ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥

⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭ → []{}{}

e

A a δ=

解此方程组，即可求得4个待定系数1234a a a a ：

1232

210

0001003231{}[]{}2121i i e j j v a A v l l l l l l l

l θδθ-⎡⎤

⎢⎥⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬

---⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭-⎢⎥⎣⎦

∴

1(){}{}{}[]{}{}{}T T e T e

v x x a x A N δδ-=== 因此我们用插值的方法获得了单元内任意一点位移与单元结点（端点）位移之间的关系---单元位移函数。

有了单元位移函数就可以用能量法推得的单元刚度矩阵的公式来计算单元刚度矩阵了。对于直梁，其虚应变能：

2*22*

*

222in l l l d v dv dv d v W M d EI d EI dx dx dx dx dx θ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰