高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习有答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习知识点
一、选择题
1．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）
A ．,3
π
ωπϕ==
B ．2,3
π
ωπϕ==
C ．,6
π
ωπϕ==
D ．2,6
π
ωπϕ==
【答案】C 【解析】 【分析】
由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23
f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，511
4632T =-=，所以22T πω
==，ωπ=，又1()23f =，
所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6
k k Z π
ϕπ=+∈， 又2
π
ϕ<
，故6
π
=
ϕ. 故选：C 【点睛】
本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
档题.
2．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠== 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31422317122-=
=+⨯. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
3．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin B ．cos
C ．tan
D ．cos2θ
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
4．若函数tan 23y x k π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ） A ．)
3,⎡+∞⎣ B ．
(
)
3,+∞
C ．()
3,-+∞
D ．()
3,0
【答案】A 【解析】 【分析】
计算3tan 203x π⎛
⎫
-<-< ⎪⎝
⎭，tan 23x k π⎛
⎫->- ⎪⎝
⎭恒成立，得到答案.
【详解】
∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴3tan 203x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，
函数tan 23y x k π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方，
即对任意的0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，都有tan 203x k π⎛⎫
-
+> ⎪⎝
⎭，即tan 23x k π⎛
⎫->- ⎪⎝⎭
，
∵tan 23x π⎛
⎫
-> ⎪⎝
⎭
k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】
本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】
根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．
6．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．5
3-
B ．35
-
C ．
35
D ．
53
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 147
2πππαα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得
答案. 【详解】
由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以35tan 73
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪
⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭
. 故选：B . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7．
已知sin α
，sin()10
αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．
512
π
B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22
π
π
αβ-
<-<
，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2
π. 又sin(α－β)
＝－
10，∴cos(α－β)
＝
10
. 又sin α
cos α
∴sin β＝si n[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
－
×⎛ ⎝⎭
.∴β＝4π. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的
和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
9．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ）
A B C D ．【答案】A 【解析】 【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---，
∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++
27tan 3
6tan B B =+.
又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴
27tan 36tan B B +≥=
，当且
仅当tan 2
B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++=
⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c
，则C =
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1， ∵
π
2
＜A ＜π， ∴A=
3π4
， 由正弦定理可得
c sin sin a
C A
=， ∵a=2，
，
∴sinC=sin c A a
=12=22
， ∵a ＞c ， ∴C=
π6， 故选B ．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，
正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
11．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9
π
）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518
π
个单位长度 B ．向右平移518
π
个单位长度 C ．向左平移536
π
个单位长度 D ．向右平移
536
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数cos 29y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为7sin 218
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数cos 29y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象上所有点向右平移
536
π
个单位长度，故选D ． 【点睛】
本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．
12．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；
f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.
13．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++⨯g ．
0.4550.4570.461<<Q ，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
14．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30km
C ．15km
D ．153km
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出
BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】
设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，
可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =
30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒
在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：
sin sin AC BC
ABC BAC
=∠∠，
可得
sin 1
sin 2
BC ABC AC BAC ∠=
==∠ 故选D 【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
15．已知曲线1:sin C y x =，21
:cos 2
3C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）
A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π
个
单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个
单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3
π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】
A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12
倍得：sin 2y x =；向右平移3π
个单位长度后
得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=-
=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，A 错误；
B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin
2
y x =；向右平移3π
个单位长度后
得：11121sin
sin cos cos 232622
632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错
误；
C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12
倍得：sin 2y x =；向左平移3π
个单位长度后
得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=+
=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，C 错误；
D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin
2
y x =；向左平移3π
个单位长度后
得：1111
sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.
16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2
π
ω<）的最小正周期为π，且其图象向左
平移
3
π
个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于直线512
x π
=对称 C ．关于点(,0)12
π
对称
D ．关于点5(
,0)12
π
对称 【答案】C 【解析】
试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为
2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称.
考点：三角函数图象与性质.
17．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ-
<ϕ<，1
(3A ，0)为()f x 图象的对称中
心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是(
)
A ．2(23k -，4
2)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，4
2)3k ππ+，k Z ∈
C ．2(43k -
，4
4)3
k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，4
4)3
k ππ+，k Z ∈
【答案】C 【解析】
【分析】
由三角函数图像的性质可求得：2
π
ω=
，6
π
ϕ=-
，即()sin(
)26
f x x π
π
=-，再令222262
k x k ππππ
ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.
【详解】
解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ
-
<ϕ<， 因为1
(3
A ，0)为()f x 图象的对称中心，
B ，
C 是该图象上相邻的最高点和最低点，
又4BC =，∴2
22
()42T +=，即221216πω
+=，求得2πω=．
再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6
πϕ=-，()3sin()26f x x ππ
∴=-，
令222262k x k ππππππ--
+剟，求得24
4433
k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，4
4)3
k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
18．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π
B ．()f x 的最大值为2
C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的一个零点为6x π= 【答案】D 【解析】 【分析】
先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6
x π
=代入
3f x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
判断D . 【详解】
()
sin f x x x = 23sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()f x 周期22,1
T A π
π=
=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，
25,
,,63326
x x πππππ⎛⎫⎛⎫
∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，C 正确；
6
x π
=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 6x π
=
不是3f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
19．化简
21
sin 352sin 20︒︒
-=（ ）
A ．
12 B ．12
-
C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】
依题意，原式1cos701
1cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--
==-⨯=-⨯=-
o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
20．设2
α
是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案. 【详解】
∵
2
α是第一象限角，∴360903602k k α
︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，
∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.。