2010年全国考研数学一真题及答案.doc

2010年考研数学一真题

一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)极限

(A)1 (B)

(C)(D)

【考点】C。

【解析】

【方法一】

这是一个“”型极限

【方法二】

原式

而

(等价无穷小代换)

则

【方法三】

对于“”型极限可利用基本结论：

若,,且

则,求极限

由于

则

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且

,则。

(A)(B)

(C)(D)

【答案】B。

【解析】

因为,

所以

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微

分

(3)设为正整数，则反常积分的收敛性

(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关

(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关

【答案】D。

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在

和时无界

在反常积分中，被积函数只在时无界。

由于，

已知反常积分收敛，则也收敛。

在反常积分中，被积函数只在时无界，由于

(洛必达法则) 且反常积分收敛，所以收敛

综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)

(A)(B)

(C)(D)

【答案】D。

【解析】

因为

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若

,则

(A)秩秩(B)秩秩

(C)秩秩(D)秩秩

【答案】A。

【解析】

因为为阶单位矩阵，知

又因,故

另一方面，为矩阵，为矩阵，又有

可得秩秩

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩

(6)设为4阶实对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于

(A)(B)

(C)(D)

【答案】D。

【解析】

由知，那么对于推出来

所以的特征值只能是、

再由是实对称矩阵必有，而是的特征值，那么由,可知D正确

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

(7)设随机变量的分布函数,则

(A)0 (B)

(C)(D)

【答案】C。

【解析】

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质

(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得

概率密度，若

为概率密度，则应满足

(A)(B)

(C)(D)

【答案】A。

【解析】

根据密度函数的性质

为标准正态分布的概率密度，其对称中心在处，故

为上均匀分布的概率密度函数，即

，

，其他

所以,可得

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布

二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）

(9)设，则。

【答案】。

【解析】

【方法一】

则，

【方法二】

由参数方程求导公式知，

代入上式可得。

【方法三】

由得，，则

当时，则

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10)。

【答案】。

【解析】

令,则

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

(11)已知曲线的方程为起点是终点是

，则曲线积分。

【答案】。

【解析】

如图所示,其中

,

所以

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算

(12)设，则的形心坐标。

【答案】。

【解析】

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

(13)设，若由

生成的向量空间的维数为，则。

【答案】6。

【解析】

生成的向量空间的维数为，所以可知，

所以可得

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念

(14)设随机变量的概率分布为,则

。

【答案】。

【解析】

泊松分布的概率分布为,

随机变量的概率分布为

对比可以看出

所以而

综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布；

概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)求微分方程的通解