(完整版)《抛物线定义及其标准方程》
抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种几何图形，它的形状像弓形，早在古希腊时期就已被哲学家用来描述天体运动的轨道。
抛物线拥有独特的几何结构，是分析数学中的一个重要的几何图形。
抛物线定义为一个二次方程
y=ax^2+bx+c的解集合，其中a是不等于0的实数，b与c是实数。
bx 和c分别表示抛物线的斜率和截距。
抛物线有若干不同的特性，其定义可以用标准方程表示，即：
y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别是抛物线的系数，而a必须为不等于0的实数。
抛物线的系数a可以用来确定抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
抛物线的中点是抛物线函数的最高点或最低点，即y的最大值或最小值。
另外，抛物线的对称轴是横坐标x的值，由其标准方程中的b系数决定。
此外，抛物线的几何图形还具有一些特殊的性质，比如切线的斜率，其斜率的值等于解抛物线方程时的系数a。
另外，抛物线的曲线旁线总是平行于切线，这对抛物线几何图形的描述非常重要。
在学习数学时，抛物线可以用来解决许多复杂的问题，抛物线的定义与标准方程可以帮助人们理解抛物线的相关特性，从而更好地解决各种复杂的数学问题。
尽管抛物线的定义看起来很简单，但是人们在分析抛物线的运动轨迹及其性质时，还有许多需要注意的地方。
抛物线定义及标准方程
y2=-x
y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y
y2=16x或x2=-12y
焦点（7，0），准线x=-7
焦点(0,1/16a), 准线y=-1/16a;
焦点（0，3/16），准线y=-3/16
焦点（-5/8，0），准线x=5/8
例4 :在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点F的距离之和为最小。
抛物线及标准方程（一）
抛物线是怎样形成的呢？
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？
思考：
请看动画演示
平面内与一个定点F和一条定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
01
02
03
定点F叫做抛物线p=
9 4
9 2
4 3
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = - x
o
x
y
A
(3)
2 3
得 p=
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2； (4)焦点在直线3x-4y-12=0上. 2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0; (4)y=4ax2
开口与y轴正向同向:x2=2py
开口与y轴正向反向:x2=-2py
+
+
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。
一次项变量对称轴，开口方向看正负
如何确定抛物线对称轴及开口方向
例1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2）2x2+5y=0 (3)x=ay2(a≠0)
抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
19
与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
20
与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
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21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
12
抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
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抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线及其标准方程 课件
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
抛物线的定义及标准方程(新)
一、定义
定点F与定直线l的 位置关系是怎样的？
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线。
（定点F不在直线上）
二、标准方程
l
· N M ·F
如何建立直角 坐标系？
？想一想
二、标准方程
地,翠绿の原始森.林占据着这里大概三成左右の面积,甚至这颗星辰の直径都和地球差不多,而且海洋占七成の面积,陆地占三成左右.这里の气压,还有重力系统都和地球十分相似,只是这颗星辰周围,没有太阳,没有月亮罢了.它の光源,似乎来自自己.在这颗星辰の北面,根汉发现了壹颗巨型の土 晶石,这块淡白色の土晶石,就是这里有光の真正の原因,也给予了这颗星辰提供了能量.根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出 长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.<b>（正文叁00叁古星）叁00肆灵狐..ilou.o叁00肆根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千 里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.他往下飞了飞,离近了壹些,看到了这长古城墙の全貌.很显然这里不会是长城,只是壹条类似于长城の建筑,和长城壹样,也是沿着山脉建造の,只不过却比地球上の长城要威武 得多了.因为这条古城墙几乎都是建在千米以上の山峰上,壹路连绵了数千里,直到现在还保存着比较完整,只有少数路段出现了壹些损毁.这样の东西,壹般の普通人是绝对建造不出来の,根汉大概也能看出来,这应该是壹些修行者所为.不过似乎这古城墙也不是壹下子就建成の,所以并不会是特别 强大の修行者所为,强大の修行者如他壹样の强者の话,举手之间就能弄出这样の东西来了,不需要这样子麻烦.正好这里地势高,根汉用天眼看了看这四周看哪家强?阅读网の环境,整个星辰将近壹半の地方,都被他用天眼给看到了.这里の确是有生灵の气息,只不过都十分の弱小,有壹些飞行走兽在 这壹带生存,比之前の那颗小小の海洋小星要强得多了.这里の生灵至少也有数千万吧,只不过像人类壹样の高级生命却很少,几乎都是壹些兽类了.不过根汉还是发现了,在北侧大概二千里の地方,有壹座小山峰.半山腰中有壹个山洞,根汉在那里发现了壹个小家伙,这是壹只小灵狐.他壹瞬间就出现 在了那里,出现在了小灵狐の身边."叽."小灵狐倒是十分の聪明,壹下子就跳到了根汉の怀里,向根汉献殷勤了.尽管这是它第壹回见到根汉这样の人类,但是却十分の主动,直接向根汉投怀送抱了."你叫什么名字?"根汉试着用元灵之音问她.小灵狐还真の就听得懂："咱叫灵尔.""灵尔?"根汉十分惊 讶,然后笑着对她说："看来你听得懂咱说の话.""恩恩."灵尔兴奋の点头,在根汉の怀里拱来拱去,就像当年白清清化作の小白狐那样,在根汉の怀里占他の便宜.根汉问她："你怎么在这里了?你不是这里出生の吗?""咱是在这里出生の哦,只不过咱也不知道咱の父母是谁,咱为什么会说话."灵尔明 显有些难受,她の聪慧程度很高,自主意识很强.她说："这里の同伴们,都听不懂咱说の话,咱这些年也壹直壹个人在这里生活.""壹个人?"根汉心中壹怔,心想难道这灵狐是什么人所化の吗?要不然她怎么知道壹个人,而不是壹只狐呢?当然这样の话他现在没有去问灵尔,而是问灵尔："灵尔,那你知 道这颗星辰以前の过往吗?这里来过什么人吗?""咱也不知道,咱知道の很有限."灵尔说."那你在这里多久了?"根汉问.灵尔道："在这里好像有壹千多年了,从咱在这里出生开始,就壹直呆在这个山洞里,咱没有出去过.""哦,那你愿意跟着咱走吗?"根汉问她.灵尔连忙说："当然了,大哥哥,哦不,主人, 咱跟着你,以后都跟着你.""叫咱大哥哥吧."根汉笑了笑说,这小家伙倒是很会顺道爬,他笑着问她："你不怕咱是坏人呀?""灵尔可不管,只要对灵尔好就行了,对别人随便你怎么坏."小家伙の回答,令根汉无以言对.不过想想也是了,自己对别人坏与她有什么关系呢,这小家伙还是真挺自私の嘛.根汉 带着她飞离了这座山洞,离别前,这小家伙也对这里,好像丝毫没有眷恋之心.她也不知道自己为何会出生在这里,自己の父母是谁,只是出生之后便孤独の壹个人在这里生活着,在那座小小の山洞中生活了上千年了.至于这小灵狐の血脉,根汉也觉得很奇怪,连自己の天眼也无法看穿,不知道是什么血 脉.但是可以肯定の是,这小家伙绝对不会是凡种,天生就带有意识在这里苏醒之后,便认得自己,认自己为亲人.这可不是壹般の小灵宠,根汉也不是因为她の血脉可能很强,才收留の她,而是因为有缘,在这无尽の星空中,自己遇到の第壹个纯粹の生命体,这可是天大の缘分.小家伙跟着根汉在这星辰 上转了壹大圈,兴奋の嗷嗷直叫,因为她の实力可没有这么强大.没想到过,会有这么强大の壹个大哥哥,好像天上の仙人壹样,带着她壹下子出现在这里,壹下子出现在那里,太厉害了.最后根汉又带着她,来到了这块土晶石の面前.土晶石坐落在两座万米の高山中间,这里面有壹个小峡谷,而这块土晶 石就被嵌在这中间了.只不过根汉能够看到,这块土晶石表面有着明显の破坏の痕迹,所以光亮消失了许多了,几乎都快要黯淡掉了.灵尔趴在根汉の领口,对根汉说："大哥哥,这就是这颗星辰の能量来源了,所有の生命都是以它而生存の,若是没有了它,这里就会变成壹个死寂之地了.""哦."根汉自 然也看得出来,至于这小家伙上哪尔知道の,现在根汉也搞不清楚.她其实就和小紫倩,还有伊莲娜尔那样差不多,都是记忆缺失の生灵.只不过她现在还不如最开始の小紫倩了,比小紫倩还要更混沌,也许也是需要时间慢慢来恢复の,前面遇到了两位了,现在再遇到壹只灵尔这样の小灵狐,根汉也就不 觉得再有什么可奇怪の了.根汉仔细の观察这块土晶石,以及这附近の地貌还有风水.结果他还真发现了壹些猫腻,在这两侧の两座高山の下面,连着数十条犬牙交错の灵脉.<b>（正文叁00肆灵狐）叁005紫倩苏醒..ilou.o叁005只不过她现在还不如最开始の小紫倩了,比小紫倩还要更混沌,也 许也是需要时间慢慢来恢复の,前面遇到了两位了,现在再遇到壹只灵尔这样の小灵狐,根汉也就不觉得再有什么可奇怪の了.根汉仔细の观察这块土晶石,以及这附近の地貌还有风水.结果他还真发现了壹些猫腻,在这两侧の两座高山の下面,连着数十条犬牙交错の灵脉.这些灵脉好像全部枯死了现 在,而且看这样子并不是自然枯死の,而是被什么东西给吸干了灵气,瞬间就被枯死了.所以根汉才能想像得出来,为何这里还保留有壹些原始の自然の东西,但是却没有更高级の生命体了,可能与这个有关系,有什么东西,可能是什么原因导致这里の灵脉枯死了.灵脉瞬间枯死,被吸走之后,那些高级 生命体便无法再生存太久了,所以全部死绝了.隔了好多好多年之后,这里才重新出现了壹些低级の生�
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程抛物线是一个经典的二次曲线，其形状类似于一个弧线。
抛物线有许多有用的应用，如天文学中的行星轨道、物理学中的抛体运动以及工程学中的桥梁设计等。
一、抛物线的基本定义和性质：1.定义：抛物线是一个平面曲线，其定义是到一个定点（焦点）和到一条定直线（准线）的距离之比为常数的所有点的集合。
2.构成：抛物线由对称轴、焦点、准线和顶点组成。
对称轴是通过焦点和顶点的直线。
焦点和准线等距离于顶点，且准线位于焦点下方（准线可能为X轴）。
3.性质：(1)抛物线关于对称轴对称；(2)焦点到定点的距离等于焦点到准线的距离，且为该抛物线的常数比率；(3)抛物线没有最大值或最小值，是一条开口向上或向下的曲线；(4)抛物线的顶点即为对称轴与抛物线的交点，是抛物线的最高点（或最低点）；(5)抛物线方程通常由顶点和准线方程确定。
二、抛物线的标准方程：抛物线的标准方程可写为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数且 a ≠ 0。
抛物线的准线一般为X轴，顶点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)。
为了找到抛物线的标准方程，需要知道抛物线的焦点和准线方程，或者通过其他已知条件进行推导。
以下是两种常见的情况：1.抛物线顶点在原点的情况：当抛物线的顶点在原点(0,0)时，可以通过给定的焦点坐标(x₁,y₁)求得a的值。
根据焦点的定义，焦点到原点的距离等于焦点到准线的距离，可以得到：√(x₁²+y₁²)=y₁/(2a)。
解方程可得：a=1/(4y₁)。
然后将a的值代入抛物线方程，即可得到标准方程。
2.抛物线顶点不在原点的情况：其他情况下，可以通过给定的焦点和抛物线上的一点来确定标准方程。
假设焦点为F(x₁,y₁)、准线为L(y=d)以及抛物线上一点P(x,y)。
根据焦点的定义，我们可以得到：PF=PL，即√((x-x₁)²+(y-y₁)²)=，y-d。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，其形状与开口向上或开口向下的弓形极为相似。
抛物线有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、建筑学等领域中都有着重要的地位。
一、抛物线的定义抛物线可以定义为：过定点且不垂直于定直线的所有点到定点距离与该点到定直线距离之差相等的点的集合。
简单来说，就是抛物线上任何点到它的焦点距离减去它到抛物线的准线（即过抛物线的焦点且垂直于直线）距离的差值为常数，成为焦距。
抛物线的准线垂直于抛物线的轴线。
二、抛物线的标准方程一般来说，抛物线的标准方程为y = ax² + bx + c，其中a不等于0。
如果我们规定焦点位于y轴上，且顶点为原点，那么这个抛物线的标准方程将为y = ax²。
这个标准方程中的a值决定了抛物线的形状。
如果a大于0，则抛物线开口向上，如果a小于0，则抛物线开口向下。
当a = 0时，标准方程变为y = bx + c，这是一条线性函数。
可以通过把上述标准方程与完美的抛物线的三个关键点联系起来，以确定它的形状。
这些基本关键点包括：焦点、顶点和准线交点。
三、抛物线的性质1. 抛物线对称性: 由于抛物线具有对称性，因此任何垂直于抛物线轴线的直线与抛物线的交点都会沿着轴线形成一个对称点。
2. 抛物线焦点: 抛物线的焦点是距离准线的焦距相等的所有点的集合。
抛物线的焦点与准线相等的距离通常被称为焦距，通常用字母f表示。
3. 抛物线顶点: 抛物线的顶点是抛物线开口处的点。
如果抛物线开口向上，则顶点的y坐标为抛物线函数的最小值。
如果抛物线的开口向下，则顶点的y坐标为抛物线函数的最大值。
4. 抛物线的交点: 如果直线y = mx + b与抛物线相交，那么它将与抛物线在两个位置相交。
交点公式为x = (-b +√(b² - 4ac))/ (2a)和x = (-b -√(b² - 4ac))/ (2a)。
五、总结抛物线是一种非常基础的二次曲线，在工程数学中经常被使用。
抛物线及其标准方程 课件
解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,
∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0).
把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p·(-3)或 9=2p·2,
4
3
9
2
即 2p= 或2p= .
4
3
9
2
故所求抛物线的标准方程为 y2=− 或x2= .
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线
通过平移得到.
求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
5
(3)焦点到准线的距离为 .
2
分析:对于(1),需要确定 p 的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)
5
2
5
2
(3)由焦点到准线的距离为 , 可知p= ,
即 2p=5.
故所求的抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
抛物线的定义及标准方程的应用
【例2】 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动
点P的轨迹方程.
分析一:设点 P 的坐标为(x,y),则有 (-1)2 + 2 = || + 1,
在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或
x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以
求出直线 x-2y-4=0 与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线的标准方程及相关公式
抛物线的标准方程及相关公式抛物线是我们在初中时就接触到的一个概念，大部分人都知道它是一种平面曲线，但是具体的表达方式可能不是所有人都能记得清。
其实，抛物线也可以用一种简单的标准方程来表达，下面我会详细介绍这个方程以及与抛物线相关的公式。
一、抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，其数学定义是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹，其中定点称为焦点，定直线称为准线。
在我们的日常生活中，许多自然现象都可以使用抛物线来描述，比如炮弹的轨迹、跳水运动员的姿态等等。
二、抛物线的标准方程在数学中，抛物线可以用一种简单的标准方程表示。
这个方程是：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 都是常量，具体的数值由抛物线的形状以及位置决定，下面我将逐一解释这些常量。
① aa 是抛物线的开口方向和开口大小的决定因素。
如果a 大于0，那么抛物线开口向上，开口大小取决于 a 的大小；如果 a 小于 0，那么抛物线开口向下，开口大小同样取决于 a 的大小。
如果 a 等于 0，那么抛物线就变成了一条水平直线，这个时候抛物线不存在焦点和准线。
② bb 是抛物线在 x 轴上方的截距，也称抛物线的对称轴。
如果 b等于 0，那么抛物线就与 y 轴对称，即为偶函数。
如果 b 不等于 0，那么抛物线就可以沿着 y 轴方向平移，改变抛物线的位置。
③ cc 是抛物线在 y 轴上的截距。
如果 c 等于 0，那么抛物线的焦点就位于原点。
通过上述的分析，我们已经可以根据抛物线的形状和位置来确定 a、b、c 的数值，进而得到抛物线的标准方程。
三、与抛物线相关的公式在学习抛物线的过程中，还有许多与它相关的公式需要掌握。
①抛物线在 x 轴的范围根据抛物线的表现形式，我们可以得到其在 x 轴的范围为：x ∈ [-∞,∞]这个范围表明了抛物线在 x 轴上可以取到任何一个实数。
②抛物线的对称轴抛物线的对称轴就是它的顶点，顶点的 x 坐标可以通过以下公式计算出来：x = -b/2a根据这个公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标。
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程抛物线是一种常见的二次曲线，其定义和标准方程是初中数学中的重要内容。
抛物线在物理学、工程学和数学中都有着广泛的应用，因此了解抛物线的定义及标准方程对于学习和工作都是非常重要的。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
这意味着抛物线是由一定点和一条直线确定的轨迹，其形状呈现出一种特殊的曲线形态。
在平面直角坐标系中，抛物线通常是关于y轴对称的，其开口方向可以向上或向下。
接下来，我们来看一下抛物线的标准方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线的一般形式，通过调整a、b、c的数值，我们可以得到不同位置和形状的抛物线。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
而当a等于0时，这个方程描述的是一条直线，而不是抛物线。
除了一般形式的标准方程之外，我们还可以通过顶点和焦点来确定抛物线的标准方程。
通过平移和缩放的操作，我们可以将抛物线的顶点平移到坐标原点，并且使得焦点在y轴上，这样就可以得到抛物线的标准方程。
这种方法可以更直观地理解抛物线的形状和特征。
总的来说，抛物线的定义及标准方程是数学中的重要概念，它们不仅在学术研究中有着重要的地位，同时也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
通过理解和掌握抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地应用它们解决实际问题，同时也可以更深入地理解数学中的相关知识。
希望本文的介绍可以帮助大家更好地理解抛物线的相关概念，为进一步学习和工作中的应用打下坚实的基础。
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
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抛物线及其标准方程
一、教学目标
1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则.
2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。
二、教学过程
（一）、复习引入
问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。
自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢?
（二）.创设情境
问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。
用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？
设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动：
(1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔
尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。
并抽象数学问题：
（三）、新课讲授：
（1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简
称焦准距。
特别提醒：定点F 在定直线l 外。
（并假设F 在直线l 上）
换种说法：平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数1的轨迹，叫做抛物线。
归纳总结：平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线。
思考题：一个动点),(y x P 满足下列条件5
4-3)1(2
2
y x y x =
+-则动点P 的轨迹是
（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
师生活动：教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言 （2）抛物线的标准方程
类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？
设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法（利用定义来推导），并巩固复习建系、列方程的方法步骤（建、设、限、代、化）。
师生活动：利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。
求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程： 如图所示，利用对称性建立直角坐标系系， 设|KF|=p （p >0）,
那么焦点F 的坐标为)0,2
(p ，准线l 的方程为2p x -=，
设抛物线上的点),(y x M ，则有2
|)2(22p
x y p x +=+- 化简方程得 (022>=p px y
方程()022>=p px
y 叫做抛物线的标准方程
问题3椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？
设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程2x y =和2x y -=，让学生观察并总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程．
师生活动：学生回答上述问题,老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表
观察总结：抛物线的标准方程的特点
(1)都过原点；(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3)焦准距为p ，半焦距等于等于一次项系数绝对值的
41
，即2
42p p = （4）一次项的字母为对称轴，二次项单独在某一边，且系数为1.（5）一次项系数正负决定图像开口方向
（四）、精讲范例
例题 （1）已知抛物线标准方程是x y 4-2=，作图并求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，
2
1） 设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质. 师生活动：
（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；
（2）抛物线标准方程过原点且对称，因此结合图像、准线和焦点坐标求出p ，问题即解．
解析：（1）x y p 2-2=则2=p ，焦点坐标是（-1，0）准线方程是x ＝1．
（2）焦点在y 轴正半轴上，2
p ＝21
，所以抛物线的标准方程是y x =2．
变式练习：
1、已知抛物线的标准方程风别是：（1）26x y =，（2）2ay x =（0≠a ） 求它们的焦点坐标和准线方程．
特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！
2、求下列抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是)23
,0(-；
(2)抛物线的准线方程为1=y ； (3)过点)1,4(．
设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程．或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程．
师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充:解此题的关键是（1）会根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）想办法求出参数p 的值． （五）、小结
①抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系； ②解抛物线问题时，要做到先“定位”，后“定量”． ③圆锥曲线的统一定义。
（六）、作业
（1） 教材120P 练习2、3、4、5. （2）《小练习》
（七）、强调：（1）先由焦点位置或准线方程确定抛物线标准方程的类型；
（2）一定先将抛物线化为标准方程
三、兴趣培养：圆锥曲线统一定义的背景和应用
（1） 统一定义：用一个平面去切两个共点且对称的圆锥，不同的切法可切出这三个曲线
（2）应用：吊桥、电筒。