(完整版)《抛物线定义及其标准方程》

抛物线及其标准方程

一、教学目标

1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则.

2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。

二、教学过程

（一）、复习引入

问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢?

（二）.创设情境

问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？

设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动：

(1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔

尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题：

（三）、新课讲授：

（1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简

称焦准距。

特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上）

换种说法：平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数1的轨迹，叫做抛物线。

归纳总结：平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线。

思考题：一个动点),(y x P 满足下列条件5

4-3)1(2

2

y x y x =

+-则动点P 的轨迹是

（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线

师生活动：教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言 （2）抛物线的标准方程

类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？

设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法（利用定义来推导），并巩固复习建系、列方程的方法步骤（建、设、限、代、化）。

师生活动：利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程： 如图所示，利用对称性建立直角坐标系系， 设|KF|=p （p >0）,

那么焦点F 的坐标为)0,2

(p ，准线l 的方程为2p x -=，

设抛物线上的点),(y x M ，则有2

|)2(22p

x y p x +=+- 化简方程得 (022>=p px y

方程()022>=p px

y 叫做抛物线的标准方程

问题3椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？

设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程2x y =和2x y -=，让学生观察并总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程．

师生活动：学生回答上述问题,老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表

观察总结：抛物线的标准方程的特点

(1)都过原点；(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3)焦准距为p ，半焦距等于等于一次项系数绝对值的

41

，即2

42p p = （4）一次项的字母为对称轴，二次项单独在某一边，且系数为1.（5）一次项系数正负决定图像开口方向

（四）、精讲范例

例题 （1）已知抛物线标准方程是x y 4-2=，作图并求它的焦点坐标和准线方程

（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，

2

1） 设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质. 师生活动：

（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；

（2）抛物线标准方程过原点且对称，因此结合图像、准线和焦点坐标求出p ，问题即解．

解析：（1）x y p 2-2=则2=p ，焦点坐标是（-1，0）准线方程是x ＝1．

（2）焦点在y 轴正半轴上，2

p ＝21

，所以抛物线的标准方程是y x =2．

变式练习：

1、已知抛物线的标准方程风别是：（1）26x y =，（2）2ay x =（0≠a ） 求它们的焦点坐标和准线方程．

特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！

2、求下列抛物线的标准方程：

(1)焦点坐标是)23

,0(-；

(2)抛物线的准线方程为1=y ； (3)过点)1,4(．

设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程．或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程．

师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充:解此题的关键是（1）会根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）想办法求出参数p 的值． （五）、小结

①抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系； ②解抛物线问题时，要做到先“定位”，后“定量”． ③圆锥曲线的统一定义。 （六）、作业

（1） 教材120P 练习2、3、4、5. （2）《小练习》

（七）、强调：（1）先由焦点位置或准线方程确定抛物线标准方程的类型；

（2）一定先将抛物线化为标准方程

三、兴趣培养：圆锥曲线统一定义的背景和应用

（1） 统一定义：用一个平面去切两个共点且对称的圆锥，不同的切法可切出这三个曲线