模糊集合理论

8 7 6 5 4 3 2 1
张志政
1
A＝{长线段} 则： A=?根据线段越 短属于长线段的隶属度递减可以设：
1 u ∈{8,7,6,5} CA (u) = others 0
A(ui ) = i − 1
8 −1
= i −1
7
1 12345678
12345678
(3)－ 2.1 模糊集概念 (3)－举例
1 2 1 2
单调性：若a1≤a2, b1≤b2, 边界条件：T(1,a)=a
则 T(a1,b1)≤T(a2,b2);
则 S(a1,b1)≤S(a2,b2); 边界条件：S(a,0)=a
又称：T三角模
又称：S三角模 三角范算子
2.3
模糊集运算的其他定义——T范数、S范数的清晰域
对于模糊算子* （包括∧* 和∨* ），
例如：离散数学中，从集合，在它的元素上添加关 系，形成群，再添加新的运算就产生出不同的各种群等 等！！
计算机科学与工程系
集合
代 数
张志政 拓
扑 ……
…………
… …
模糊数学是什么? 1.4 模糊数学是什么?
大于四的数 大约为四的数 个头超过180cm的人 大高个子 {x| x > 4, x是实数} ＝A A’ 东南大学 {p|p(age)>180cm,p是人,age是实数}=B
2.2
模糊集的运算－ 模糊集的运算 最大最小运算
定义：(A∩B)(u) = A(u) ∧ B(u) =min(A(u),B(u)) (A∪B)(u) = A(u) ∨ B(u) =max(A(u),B(u))
东南大学
1 0
计算机科学与工程系
A(u) 交 U 0 B(u) 补 1 0 0
A c(u)
东南大学
现在从集合论能够
计算机科学与工程系 张志政
推出几乎所有的数学定理。
数理逻辑为我们都认可提供 的描述思维方法的形式体系。
1.3 现代数学
参考《现代数学》P.罗曼
把集合当作最基本的结构，给集合及其元素上添加 不同的关系及运算就构造出了一个新的结构：代数结构、 拓扑结构、测度空间和泛函空间等等
东南大学
数量亦即模糊算子的模糊程度
张志政
2.3 模糊集运算的其他定义
作业1：
东南大学
证明：三角范算子T和S是对偶算子p17-18
计算机科学与工程系 张志政
2.4
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
经典集合
(2) U为连续的
模糊集合
CA＝{年龄大于50岁的人}
东南大学 A＝{老年人} 张志政
0
(2) U为连续的
1
1 计算机科学与工程系
0
50
100
50
100
0 0 ≤ u ≤ 50 u − 50 −2 −1 A(u) = [1 + ( ) ] u > 50 5
(4)－ 2.1 模糊集概念 (4)－空集与满集 空集：A(u)≡0 满集：A(u)≡1
包含、相等、交、并、补、差
A (A
张志政 ⇔∀u A(u)≥ B(u) A⊆B
＝ B⇔ A ⊆ B & B ⊆ A ∩B )(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u)) (A ∪ B)(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u)) A c (u) = 1- A(u)
？
性质：自反、对称、传递、幂等、 交换、结合、分配、对偶
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
模糊集(Fuzzy 2 模糊集(Fuzzy Set) p2-p32 2.1 基本概念 2.2 F集的运算
东南大学
2.3 F集运算的其他定义 2.4 F集的截集 2.5 分解定理 2.6 模糊集的模糊度
计算机科学与工程系 张志政
2.1 模糊集概念 (1)－定义 (1)－
东南大学
计算机科学与工程系 用映射表示：
(A∩B)(u) = A(u) ∧* B(u) =T(A(u),B(u)) (A∪B)(u) = A(u) ∨* B(u) =S(A(u),B(u)) 讨论所有这些模糊算子的共性，就是讨论映射： T和S 的性质
张志政
2.3
模糊集运算的其他定义——T范数、S范数 T范数定义：
4 数学家也一直在寻找数学可靠的立足点：描述对象的表示、思维
方法，是现代数学的立足点：集合论、数理逻辑
不过注意：这个基础不是稳固的也是有悖论的，这是数学基础理论的
研究课题
1.2 集合和数理逻辑在数学中的作用和地位
集合论是现代数学的基础和立足点， 不同时期数学家赋予数学的基础是不同的， 随着认识范围扩大和新矛盾、悖论的发现旧的基础被动摇，就有 新的基础出现。
1
λ
U
2.4
模糊集的截集——性质：注意从有限到无限 截集 强截集
性质1
(A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ
λ λ λ
东南大学 (A∩B) = A ∩ B
t∈ T
性质2
若{At |t ∈T}， 则
性质1、2、3、4、5
U
t∈ T
( At ) λ ⊆ (U At ) λ
计算机科学与工程系
t∈T
I
t∈T
( At ) λ = (I At ) λ
A B
A
c
d
B
d
eB
对数学的初步认识(3) 1.1 对数学的初步认识(3) 3 我们曾经学过的数学都是经典的，在一定认识范围内适用的，有
没有适用于整个世界的公理和定理？大家正在探索。
比如非欧几何的许多例子：三角形内角和等于180度； 等等都是有它本身适用范围的，而不是全宇宙都适用的。
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
设λ 1 、λ 2 ∈[0,1]， A ∈F（U），若λ 1 < λ 2则
张志政
性质3
A λ 2 ⊆ A λ1
性质4
分解定理——模糊集用普通集合表示 2.5 分解定理
东南大学
2.2 模糊集的运算－最大最小运算下的性质(3) (F(U), ∪ ,∩ ,c)的性质：(p13) 作业(3)：
东南大学
证明所有最大最小运算下的(F(U), ∪ ,∩ ,c)的性质
计算机科学与工程系 张志政
模糊集运算的其他定义－ 2.3 模糊集运算的其他定义－“?”→其他二元运算的情
况
在实际的工程应用中，单单采用min、max 不适用，逐步探索出了其他的运算（p15） 统称为模糊算子,表示为∧*和∨* 和
模糊数学 东南大学
计算机科学与工程系
张 志 政
——基本原理及应用
张志政 东南大学计算机科学与工程系
seu_zzz@
1 序言
介绍本课程是什么、有何用途、 介绍本课程是什么、有何用途、如何学习
1.1 对数学的初步认识：
东南大学
1.2 集合和逻辑在数学中的作用和地位 1.3 现代数学的分类方法 1.4 模糊数学是什么？ 1.5 本门课程的内容 1.6 如何学习本门课程
它的清晰域为： σ(* )={(x,y)|x * y=0或x * y=1}
东南大学
因为：
计算机科学与工程系 (A∩B)(u) =1(0) ⇔ A(u) ∧* B(u) =1(0) ⇔ T(A(u),B(u))=1(0)
(A∪B)(u) =1(0) ⇔ A(u) ∨* B(u) =1(0) ⇔ S(A(u),B(u))=1(0) 所以：模糊算子清晰域的大小决定了确定属于或确定不属于集合的元素的
我认同的别人的观点： 1 要坚信数学是从实际应用而来，并且是能够到实际应用中而去的。 以数学的发展首先是从几何的大发展。有人认为是用来描述现实世 界的语言
东南大学 再复杂的数学都来自于直观的实际问题：比如古代的土地丈量所 计算机科学与工程系 张志政
A A b B b c
2 数学本身也是可能出错的（悖论），正是这些错误和矛盾及不能够 解释的现象推动数学的发展。 例如：阿基里斯和乌龟：
映射：[0,1]2→[0,1] 映射 ∀a,b,c∈[0,1] 交换律：T(a,b)=T(b,a); 结合律：T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));
S范数定义：
东南大学
映射：[0,1]2→[0,1] 映射 ∀a,b,c∈[0,1]
交换律：S(a,b)=S(b,a);
计算机科学与工程系 结合律：S(S(a,b),c)=S(a,S(b,c)); 张志政 单调性：若a ≤a , b ≤b ,
经典集合 定义：设在论域U上给定一个映射 CA : U－>{0,1} 则： 模糊集合 定义：设在论域U上给定一个映射 东南大学 A: U－>[0,1] 则:
集合CA ={u| CA(u)=1,u∈U} 集合A的特征函数为：
u|－>A(u) 计算机科学与工程系
1 u ∈ C A C A (u ) = 0 u ∉ C A
计算机科学与工程系 B’
张志政 问：3属于A? 3属于A’？
190cm属于B? 190cm属于B’?
传统的集合，某元素是否属于该集合是确定的：或 是或否？
东南大学
现在的问题是：有些集合，某元素是否属于它是不 确定的，模模糊糊的，以这种集合为基础，讨论模 糊数学。
计算机科学与工程系 张志政
1.5 本门课基本内容 1 序言：介绍本课程是什么、如何学习 介绍本课程是什么、 2 F集合：属于 数学的基本理论 属于F数学的基本理论
2.2 模糊集的运算—讲述集合之间的运算
两个集合之间的运算是两个 集合的隶属函数之间的运算
东南大学
当隶属函数的值域为{0,1}， 则变成普通集合的运算
计算机科学与工程系
当隶属函数的值域为[0,1]，则 变成普通集合的运算
包含、相等、交、并、补、差
CA ⊆ CB ⇔∀u CB (u)≥ CB(u) CA ＝ CB ⇔ CA ⊆ CB & CB ⊆ CA ( CA ∩CB )(u) = CA(u)∧CB(u)= min(CA(u), CB(u)) ∧ (CA ∪ CB)(u) = CA(u)∨CB(u)=max(CA(u) CB(u)) ∨ (CA) c (u) =1- CA(u) 性质：自反、对称、传递、幂等、 交换、结合、分配、对偶
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
(5)－ 2.1 模糊集概念 (5)－模糊幂集 p6 一个论域U上可以定义多个F集，U上所有F集的全体记为： F(U)称作模糊幂集并且有：P(U)⊆F(U)
东南大学
作业1： 1 幂集本身是不是集合？
计算机科学与工程系 张志政
如果是，它是模糊集还是普通集？为什么？ 2 3 请给出一个论域有多个模糊集的例子，并在一个 坐标系内画出它们的特征函数曲线！ 举例说明模糊集合的各种表示方法！
1
张志政 并
1
U
1 0
(A∩B)(u) U
(A∪B)(u) U
U
模糊集的运算－ 性质(1) 性质 2.2 模糊集的运算 最大最小运算下的性质(1) 一个扩展：
U At (u ) = ∨ At (u ) = sup At (u ) t∈T t∈T t∈T 计算机科学与工程系 I At (u ) = ∧张志政 At (u ) At (u ) = inf t∈T t∈T t∈T
3 F模式识别：模糊数学的一种重要应用
东南大学
4 F关系与聚类分析：模糊数学的一种重要应用 5 F逻辑：属于 数学的基本理论 属于F数学的基本理论
计算机科学与工程系 张志政
1.6 如何学习本门课程
1 以离散数学为先行课！ 2 必须了解各章节在整个课程中的地位和作用！ 3 防止眼高手低，一定要自己在不看书的情况下能够做出 例题（包括：定理和性质的证明。） ！ 4 认真完成作业！
•
个- λ截集，称λ为阈值（或置信水平） (2)
东南大学
A的支集
称Aλ 为A的一
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) > λ} 称Aλ 为A的一
计算机科学与工程系 个- λ强截集
A的核 张志政
(3) SuppA={u|u∈U, A(u)>0} KerA={u|u ∈U,A(u)=1}
当A的核不空，称A为正规F集
张志政
例 属 函 数 为 0 或 1 的 特 隶
A称作论域U上的模糊集，A(u)称 为A的隶属函数。
2.1 模糊集概念 (2)－举例 (2)－
经典集合
(1) U为离散的
模糊集合
东南大学
4cm
(1) U为离散的
4cm
计算机科学与工程系
8 7 6 5 4 3 2 1
CA＝{长度大于4cm的线段} 则： CA 工程系 张志政
对数学的初步认识(1) 1.1 对数学的初步认识(1)
算术、几何、代数、解析几何、数学分析、高等代数、数理统计与概率论均 为数学，他们的关系如何？他们又有怎样的共同性质？（先请大家回答）
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
对数学的初步认识(2) 1.1 对数学的初步认识(2)