模糊集合理论
模糊理论综述
模糊理论综述引言模糊理论（Fuzzy Logic)是在美国加州大学伯克利分校电气工程系的L.A.zadeh（扎德）教授于1965年创立的模糊集合理论的数学基础上发展起来的,主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容.L.A.Zadeh教授在1965年发表了著名的论文，文中首次提出表达事物模糊性的重要概念：隶属函数，从而突破了19世纪末康托尔的经典集合理论,奠定模糊理论的基础。
1974年英国的E.H.Mamdani成功地将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机的控制，标志着模糊控制技术的诞生。
随之几十年的发展，至今为止模糊理论已经非常成熟，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容。
模糊理论是以模糊集合为基础，其基本精神是接受模糊性现象存在的事实，而以处理概念模糊不确定的事物为其研究目标，并积极的将其严密的量化成计算机可以处理的讯息，不主张用繁杂的数学分析即模型来解决问题。
二、模糊理论的一般原理由于客观世界广泛存在的非定量化的特点，如拔地而起的大树，人们可以估计它很重，但无法测准它实际重量。
又如一群人，男性女性是可明确划分的，但是谁是“老年人”谁又算“中年人”；谁个子高，谁不高都只能凭一时印象去论说，而实际人们对这些事物本身的判断是带有模糊性的，也就是非定量化特征。
因此事物的模糊性往往是人类推理，认识客观世界时存在的现象。
虽然利用数学手段甚至精确到小数点后几位，实际仍然是近似的。
特别是对某一个即将运行的系统进行分析，设计时，系统越复杂，它的精确化能力越难以提高。
当复杂性和精确化需求达到一定阈值时，这二者必将出现不相容性，这就是著名的“系统不相容原理”。
由于系统影响因素众多，甚至某些因素限于人们认识方法，水准，角度不同而认识不足，原希望繁荣兴旺，最后导致失败，这些都是客观存在的。
这些事物的现象，正反映了我们认识它们时存在模糊性。
所以一味追求精确，倒可能是模糊的，而适当模糊以达到一定的精确倒是科学的，这就是模糊理论的一般原理。
vague集模糊理论
vague集模糊理论模糊集理论是由日本学者庆应义雄于1965年提出的，是一种用于处理模糊信息的数学工具和方法。
模糊集理论的核心思想是引入了模糊概念，使得我们能够更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题。
在传统的集合论中，一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在中间状态。
而在模糊集理论中，一个元素可以同时属于多个集合，且属于某个集合的程度可以是一个介于0到1之间的实数。
这就是模糊集的核心特点。
模糊集理论的应用非常广泛，特别是在人工智能、控制系统、模式识别、决策分析等领域。
例如，在控制系统中，模糊控制可以用于处理那些输入和输出都不是精确的问题，通过模糊规则和模糊推理来实现自适应控制。
在决策分析中，模糊集可以用于处理那些带有不确定性和模糊性的决策问题，通过模糊逻辑和模糊推理来做出最优决策。
模糊集理论的核心是模糊隶属函数，它描述了一个元素对于某个模糊集的隶属程度。
常用的模糊隶属函数有三角隶属函数、梯形隶属函数、高斯隶属函数等。
这些函数可以根据实际问题的需要来选择和设计，以便更好地描述模糊集的特征。
模糊集理论的关键操作是模糊运算，包括模糊交、模糊并、模糊补等。
这些运算可以通过模糊隶属函数的计算来实现，用于处理模糊集的运算和逻辑推理。
模糊集理论的优点在于能够处理那些传统方法难以处理的问题。
例如，在图像处理中，通过模糊集理论可以更好地处理模糊边缘、模糊纹理等问题，提高图像的质量和清晰度。
在自然语言处理中，模糊集理论可以用于处理语义模糊、语义歧义等问题，提高自然语言的理解和处理能力。
当然，模糊集理论也存在一些局限性。
首先，模糊集理论需要给出模糊隶属函数和模糊规则，这对于一些复杂问题来说可能比较困难。
其次，模糊集理论对于模糊集的表示和运算需要一定的计算资源和算法支持，这对于一些资源有限的环境来说可能不太适用。
总的来说，模糊集理论是一种处理模糊信息的有效工具和方法。
通过引入模糊概念，模糊集理论可以更好地处理那些不确定、模糊、模棱两可的问题，提高问题的处理能力和解决效果。
模糊集的理论及应用-1
1
1.1 经典集合的基本概念
定义
10/26/2018 9:20:19 AM
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
集合是确定的、具有一定性质的事物的全体 集合常用大写字母表示 集合中的事物称为集合的元素，常用小写字母表示 集合的元素与集合的关系是：属于∊，或者，不属于∉ 对于给定的问题，所关心的事物的全体组成论域集合 集合的表示方法：
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1.2 格与代数系统
偏序集的例子
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模 糊 集 的 理 论 及 应 用
整数集合Z关于“≤”做成的集合（Z, ≤）； 集合A的幂集合关于“”做成的集合（P(A), ）； 正整数集合Z+关于“|”（整除）做成的集合（Z+, |）； 整数集合Z关于“mod(k)”做成的集合（Z, mod(k)”） 偏序集合可以做出相应的哈斯（hassen）图，其中要用到 覆盖的概念： ， L，说覆盖，如果<（ 且 ≠ ） 且不存在使得< < 。 若覆盖，则在，间画连线，且保证在上， 在下。 将所有的覆盖连线做出形成的图称为哈斯（hassen）图。
子集（⊆）
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
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注意特征函数表示方法：
AB ( x) A ( x) B ( x)
AB ( x) A ( x) B ( x)
相等（=） 并（∪） 交（∩） 余（-,c,’） 差（-） 对称差（）
A ( x) 1 A ( x)
c
上述公式可以推广到任意多 个集合的情况
3
1.1 经典集合的基本概念
运算律
模糊集理论
模糊集理论模糊集理论（Fuzzy Set Theory）是一种理论，主要关注定义和应用模糊（模糊）集合（fuzzy set）。
它由芬兰科学家Lotfi Zadeh在1965年提出，随后历经修正和扩展，今天已成为人工智能的重要研究概念。
它引入了模糊集合的概念，允许将不弱量化数据藉基于概率理论进行处理，以研究各种模式。
这种理论允许模糊集合随着数据流而变化，从而允许对诸如特征抽取、模式识别和对象识别等计算问题进行实例。
模糊集的一般定义是一组非常宽的概念，即这些概念可以模糊地概括其中的数据和事件。
典型的例子包括定义“热”时可以指的内容。
这可以指很热的水，但也可以指很热的空气，甚至指温度处于中间范围内的物体，如细砂沙。
由于我们通常在一种普通的处理方式中不能够构建这种多义性，因此出现了模糊集理论。
模糊集理论将条件分解成可被计算的成分，并提供了两种比较语句，以替代确定的相等和比较关系：“如果X属于Y”与“如果X不属于Y”。
模糊集理论和理论的一个重要舞台是节点（membership）函数。
节点函数将离散值链接到集合中，该集合可能建立在模糊集概念上，以及定义当值处于属性范围时，集合中元素的状态概念。
模糊集理论可以用来表示和处理有关诸如决策系统、专家系统、状态识别系统和控制系统等领域的许多模糊结构。
例如，模糊集理论可用来表示“暖”的语义，可以定义一个给定限度的暖度成分，用于计算属性范围内的暖度。
同样，你也可以定义一个语义表示“如果暖一点，就觉得很好”。
在其他方面，它也可以用来表示系统输入，以及它们之间的关系，以及它们到系统输出的影响。
因此，模糊集理论的应用范围非常广泛，被用于机器学习，数据挖掘，机器视觉，语音识别，建模和仿真，以及工业控制等计算机任务的解决方案。
它高度重视“不确定性”，减少了我们在研究实例时常常面临的困难，允许用户在可以定义的模糊集上使用模糊逻辑来解决复杂问题。
今天，它已经成为人工智能领域及其它多学科间的流行工具，并被许多应用领域所采用。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用
1. 什么是模糊集合论
模糊集合论是指将集合的概念扩展到带有模糊性质的情况下进行的一种数学理论。
在模糊集合中，元素的隶属度不是二元的0或1，而是属于[0,1]之间的实数。
模糊集合的概念最初由L.A.齐亚德(L.A. Zadeh)在1965年提出。
2. 模糊集合的运算
模糊集合的并、交、补等基本运算与普通集合相同，但存在一些特殊的运算符号，如模糊等价运算符、模糊包含运算符等。
此外，我们还可以通过模糊集合的笛卡尔积运算得到新的模糊集合，这在模糊控制中十分常见。
3. 模糊集合的应用
模糊集合论是一个广泛应用的数学分支，应用领域包括但不限于人工智能、模式识别、控制理论、决策分析、信息处理、经济学等。
下面列举几个常见的应用场景：
- 模糊控制：模糊集合论可以用于构建模糊控制器，这种控制器可以处理非线性、不确定性等难以处理的问题。
- 模糊推理：模糊推理具有很强的容错性，可以处理存在不确定性的问题，例如专家系统中的诊断、推荐等。
- 模糊聚类：模糊聚类可以将不同的数据对象分为模糊的类别，具有很强的数据挖掘功能。
- 模糊决策：模糊集合论可以用于处理决策问题中存在的不确定性，例如灾害风险评估、投资决策等。
总之，模糊集合论是一个十分重要的数学分支，其应用已经渗透到了我们生活的方方面面。
随着人工智能和大数据的发展，相信模糊集合论在未来的应用中会越来越广泛。
第3章 模糊理论
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：
A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》
模糊集合（Fuzzy Set,FS）是属于模糊数学（Fuzzy Mathematics）领域的一门研究，它以广义的语言和表述形式描述客观事物。
该理论可以处理模糊不确定性和词语本身的模糊性，为表达模糊语义提供新的方法。
模糊集合理论最早由美国著名数学家Zadeh提出，1967年提出了模糊集合的概念，认为“实数集的元素可以不是绝对明确的，而可能有不同的模糊性，即模糊的真实值”。
从而为模糊0和1的综合计算提供了基础。
模糊集合理论应用于不确定领域，被用来处理决策分析，尤其是处理决策者所面临的大量模糊信息。
随着深度学习技术的发展，模糊集合理论已被广泛用于知识挖掘和分类算法，帮助企业把握客户的行为趋势。
此外，模糊集合理论也可以应用于智能控制，医疗诊断，信息服务，市场营销，证券投资等多种领域，为智能决策提供强有力的支持。
模糊集合理论的发展和应用，将推动未来智能决策、智能管理和智能控制，为构建智能社会做出更大贡献。
总之，模糊集合理论是一种可以用来处理不确定领域的理论，它为解决模糊不确定领域提供了许多有用的思维方法和工具，已经在许多领域如决策分析、知识挖掘和智能控制等中得到了
广泛的应用，并且在未来的智能决策、智能管理和智能控制方面发挥着重要作用。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊理论总结
模糊理论总结简介模糊理论（Fuzzy Theory）是一种用于处理不确定性问题的数学方法，其背后的思想是模糊集合论。
模糊理论从模糊集合的角度对问题进行描述和处理，可以克服传统二值逻辑的限制，更符合人类思维的特点。
模糊理论主要应用于控制系统、人工智能、数据挖掘和模式识别等领域。
通过引入模糊概念，模糊理论能够有效处理模糊、不确定或不完全信息的问题，使得决策和系统设计更加灵活和适应实际应用。
模糊概念在模糊理论中，模糊概念是一个介于完全成员和完全非成员之间的概念。
与传统的二值逻辑相比，模糊概念允许元素有一定程度的隶属度。
模糊集合是由一系列隶属度在[0,1]范围内的元素组成的。
模糊概念的隶属函数描述了元素与模糊集合的关系。
常见的隶属函数包括三角函数、高斯函数和sigmoid函数等。
通过对隶属度的计算和操作，可以对元素进行模糊化处理，从而更好地表达和处理不确定性问题。
模糊推理模糊推理是模糊理论的核心。
与传统的逻辑推理相比，模糊推理能够处理模糊或不确定的条件和结论。
模糊推理根据输入的模糊规则和模糊事实，通过模糊逻辑运算得出模糊结论。
模糊推理的过程包括模糊化、模糊规则匹配和模糊合成三个步骤。
模糊化将输入的模糊事实转换为模糊集合，模糊规则匹配对输入的模糊事实和模糊规则进行匹配，模糊合成根据匹配结果和隶属度计算得出最终模糊结论。
模糊推理可以应用于各种决策问题，如模糊控制系统中的规则推理、模糊分类和模糊聚类等。
模糊控制模糊控制是模糊理论的一种重要应用，用于处理带有模糊或不确定性信息的控制问题。
传统的控制方法通常基于精确的模型和确定性的输入，而模糊控制则能够应对系统模型不确定或难以建立的情况。
模糊控制系统由模糊控制器和模糊规则库组成。
模糊控制器负责对输入模糊事实进行模糊推理，得出模糊控制命令。
模糊规则库包含了一系列模糊规则，用于将输入模糊事实映射到输出模糊命令。
模糊控制系统的设计包括确定模糊集合、编写模糊规则和确定隶属函数等步骤。
模糊决策的三种方法
模糊决策的三种方法模糊决策是一种基于模糊理论的决策方法，其目标是针对现实生活中的不确定性和模糊性进行决策。
模糊决策的核心思想是将决策问题中的模糊信息和不确定性进行数学建模和分析，以求得合理的决策结果。
常见的模糊决策方法有模糊集合理论、模糊数学和模糊逻辑。
下面将详细介绍这三种方法。
1.模糊集合理论模糊集合理论是模糊决策的基础，它通过引入模糊概念来描述现实世界中的模糊性和不确定性。
在模糊集合理论中，一个元素可以同时属于多个集合，并以一些隶属度来描述其在各个集合中的程度。
这使得模糊集合能够更好地处理复杂的、模糊的决策问题。
在模糊集合理论中，最常用的模糊决策方法是模糊综合评价和模糊层次分析。
模糊综合评价通过将决策问题转化为模糊评价问题，然后利用模糊集合运算来对待选方案进行评价和排序。
模糊层次分析将决策问题转化为多层次的模糊子问题，然后通过对每个子问题进行模糊比较和模糊一致性检测来确定权重和评价方案。
2.模糊数学模糊数学是将模糊理论应用于数学方法和技术的一门学科，它通过引入模糊集合和模糊逻辑等概念，对模糊决策问题进行建模和分析。
在模糊数学中，模糊数是一种介于0和1之间的数值，用来描述元素在一些模糊集合中的隶属度。
对于模糊决策问题，模糊数学提供了一系列有效的方法，如模糊规划、模糊优化和模糊最优化等。
模糊规划通过引入模糊目标和模糊约束，对决策变量进行模糊处理，从而求解满足一定模糊要求的最优方案。
模糊优化通过引入模糊目标函数和模糊约束条件，以及模糊偏导数和模糊梯度等概念，对决策变量进行模糊处理和优化，以求得最优解。
模糊最优化是模糊优化的一种特殊情况，它在模糊目标函数和模糊约束条件下求解最优解。
3.模糊逻辑模糊逻辑是一种能够处理模糊命题和模糊推理的逻辑系统，它通过引入模糊命题和模糊规则，对决策问题进行描述和推理。
在模糊逻辑中，命题的真值不再是0或1，而是一个介于0和1之间的模糊数，用来表示命题的隶属度。
对于模糊决策问题，模糊逻辑提供了一系列有效的方法，如模糊推理、模糊控制和模糊识别等。
补充知识-模糊推理
简单模糊推理
• 知识中只含有简单条件，且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推 理。 • 合成推理规则：对于知识 IF x is A THEN y is B 首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合 成求出结论。 如果已知证据是 x is A’ 且A与A’可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B’： B’=A’◦R 如果已知证据是 y is B’ 且B与B’可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A’： A’=R◦B’
贴近度： A∙B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7)=0.7 A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0.7)=0.3 (A,B)=1/2[A∙B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.7
海明距离： d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925
按这种方法，对δmatch(A,D)与δmatch(B,D)可以得到： 0.8/1+0.5/1+0.1/1+0.5/1+0.5/1+0.1/0+0.1/1+0.1/0+0.1/0 =0.8/1+0.1/0 由于μ1=0.8>μ0=0.1，所以得到： δmatch(A,D) ≥δmatch(B,D) 同理可得： δmatch(A,D) ≥δmatch(C,D) δmatch(B,D) ≥δmatch(C,D) 最后得到： δmatch(A,D) ≥δmatch(B,D)≥δmatch(C,D) 由此可知R1应该是首先被选用的知识。
模糊规划的理论方法及应用
模糊规划的理论方法及应用模糊规划是一种将模糊数学方法应用于决策问题的数学工具。
相比于传统的决策方法，模糊规划考虑到了决策者在面对不确定性和模糊性时的主观认知和感知能力，并利用模糊集合理论来解决这些问题。
本文将介绍模糊规划的理论方法及其在实际应用中的例子。
一、模糊规划的基本概念与原理1. 模糊集合理论模糊集合理论是模糊规划的理论基础，它是Lotfi Zadeh于1965年提出的。
在传统的集合论中，一个元素只能属于集合A或者不属于集合A，而在模糊集合论中，每个元素都有属于集合A的程度或者隶属度。
通过定义隶属函数来刻画元素对一个集合的隶属程度，该函数的取值范围通常是[0,1]。
2. 模糊规划的基本步骤模糊规划的基本步骤包括问题定义、模糊关系构建、决策矩阵建立、权重确定、模糊规则制定、规则评价、推理运算及解的评价等。
其中，模糊关系的建立和模糊规则的制定是模糊规划的核心。
通过对问题的抽象和建模，将模糊的问题转化为可计算和可处理的数学模型，从而能够得出合理的决策结果。
二、模糊规划的实际应用1. 市场营销决策在市场营销中，决策者往往需要面对很多模糊的信息，例如消费者的购买意愿、市场竞争环境等。
模糊规划可以帮助决策者进行市场细分、产品定价、促销策略等决策，从而提高市场的竞争力。
比如，通过模糊规划的方法，可以根据消费者的购买意愿和价格敏感度，确定合适的产品定价，并通过促销策略来满足不同消费者群体的需求。
2. 资源调度问题在资源调度问题中，决策者需要考虑多个因素，例如人力资源、物资配送等。
这些因素往往存在模糊性和随机性，传统的数学模型很难对其进行准确建模和求解。
而模糊规划可以通过考虑不确定性因素，使决策结果更加稳健和鲁棒。
比如，在人力资源调度中，通过模糊规划可以考虑员工的技能水平、工作经验等因素，使得调度结果更加符合实际情况。
3. 供应链管理问题供应链管理中涉及到多个环节和参与方，存在着各种不确定性和模糊性。
模糊规划可以帮助决策者在不确定的环境下进行供应链规划、库存管理、物流优化等决策，从而提高供应链的运作效率和灵活性。
模糊集(fuzzy set)相关理论知识简介
2、模糊度计算公式 （1）海明(haming)模糊度 海明(haming)模糊度
其中， 是论域U中元素的个数， 其中，n是论域U中元素的个数， 1 µA (ui)≥0.5 )≥0 µA 0.5(ui)= 0 µA (ui)＜0.5
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（2）欧几里德(Euclid)模糊度 欧几里德(Euclid)模糊度
模糊理论（1 模糊理论（1）
1
一、集合与特征函数
1、论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题 的论域。 的论域。
2
2、集合 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。 在论域中，具有某种属性的事物的全体称为集合。
3
3、特征函数 设A是论域U上的一个集合，对任何u∈U，令 是论域U上的一个集合，对任何u 1 当u∈A CA(u)= 0 当u A 则称C (u)为集合A的特征函数。 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有： A={ u | CA(u)=1 } (u)=1
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三、模糊集表示法
1、扎德表示法1 扎德表示法1 设论域U 设论域U是离散的且为有限集： U={ u1, u2, …, un, } 模糊集为：A={µ 模糊集为：A={µA(u1), µA(u2), … , µA(un) } 则可将A 则可将A表示为：
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A=µA(u1)/ u1+µA(u2)/ u2+ … +µA(un)/ un 或 A={ µA(u1)/ u1，µA(u2)/ u2，… ，µA(un)/ un } 或 A= n µA(ui)/ ui ∑ 或 i =1 A= µA(u)/ u u∈U
27
模糊理论（2 模糊理论（2）
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一、模糊集的λ水平截集 模糊集的λ
模糊集合理论对模糊关联分析的意义
模糊集合理论对模糊关联分析的意义模糊集合理论是20世纪60年代提出的一种数学理论，用于处理现实生活中存在的模糊性和不确定性问题。
与传统的二值逻辑不同，模糊集合理论将事物的隶属度引入，使得对象可以同时属于多个集合，而不仅仅是属于或不属于。
在数据挖掘和智能决策领域，模糊集合理论被广泛应用于模糊关联分析中。
本文将探讨模糊集合理论对模糊关联分析的意义。
一、模糊集合理论对数据挖掘的意义数据挖掘是从大量数据中发现有用信息的过程。
在传统的关联规则挖掘中，仅考虑了事物的二元关系，即两个事物是关联的或不关联的。
然而，在现实生活中，很多事物具有模糊的关联性，无法用简单的是/否来描述。
模糊集合理论提供了一种量化模糊关系的方法，能够更准确地描述事物之间的关联性。
二、模糊关联分析的应用场景模糊关联分析是一种基于模糊集合理论的数据挖掘技术，用于发现事物之间的模糊关联规则。
与传统的关联规则挖掘相比，模糊关联分析可以处理不确定性和模糊性更强的数据。
它在许多实际问题中都有广泛的应用，例如市场营销、航空运输、医疗诊断等领域。
三、模糊集合理论在模糊关联分析中的基本概念和方法在模糊关联分析中，我们需要理解以下几个基本概念和方法：1. 模糊集合：在模糊关联分析中，事物的隶属度不再是二值的，而是在0到1之间的一个模糊值，反映了事物之间关联的程度。
2. 模糊关联度：用于度量两个事物之间的模糊关联程度。
模糊关联度越大，表示两个事物之间的关联程度越高。
3. 模糊关联规则：由前提和结论组成，前提是一个或多个事物的集合，结论是另一个事物的集合。
模糊关联规则用于描述事物之间的模糊关系。
4. 模糊频繁项集：在模糊关联分析中，通过计算频繁项集的支持度来发现模糊关联规则。
模糊频繁项集是指在给定模糊关联度阈值下，支持度大于等于阈值的项集。
四、模糊关联分析的价值和意义模糊关联分析作为一种数据挖掘技术，具有以下价值和意义：1. 揭示事物之间的模糊关系：传统的关联规则挖掘只能处理二元关联关系，而模糊关联分析能够揭示事物之间的模糊关系，帮助人们更好地理解和认识事物之间的复杂关系。
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用随着计算机科学和人工智能的发展，模糊集合论逐渐成为了一个重要的研究领域。
模糊集合论是一种比传统集合论更加灵活的数学工具，它可以用来描述那些不确定或不精确的概念，例如“高温”、“大雨”等。
在实际应用中，模糊集合论被广泛地应用于控制系统、决策分析、模式识别、信息检索等领域。
一、模糊集合论的基本概念模糊集合论是在传统集合论的基础上发展起来的一种数学理论。
在传统集合论中，一个元素要么属于一个集合，要么不属于该集合。
而在模糊集合论中，一个元素可以以不同的程度属于一个集合，这种程度可以用一个0到1之间的数值来表示，这个数值被称为隶属度。
例如，一个人的身高可以被描述为“高”这个概念的隶属度，如果一个人的身高为180cm，则他的“高”这个概念的隶属度可能为0.8，而如果一个人的身高为150cm，则他的“高”这个概念的隶属度可能为0.2。
模糊集合的定义：设X是一个非空的集合，称集合X的模糊集合为F，如果对于任意的x∈X，都可以给出一个0到1之间的实数μ(x)，表示元素x属于F的隶属度。
模糊集合的表示方法：通常用{（x，μ(x)）| x∈X}来表示一个模糊集合F，其中x是元素，μ(x)是元素x的隶属度。
模糊集合的运算：与传统集合论一样，模糊集合也有并、交、补等运算。
设A和B是X上的两个模糊集合，则它们的并、交、补分别定义为：A∪B={(x,max(μA(x),μB(x)))|x∈X}A∩B={(x,min(μA(x),μB(x)))|x∈X}A’={（x,1-μA(x))|x∈X}其中，max和min分别表示取最大值和最小值的运算。
二、模糊控制系统模糊控制系统是一种基于模糊集合论的控制系统，它可以用来处理那些难以精确建模的系统，例如温度控制、汽车控制等。
模糊控制系统的主要组成部分包括模糊化、规则库、推理机和解模糊化等。
模糊化：模糊化是将输入量转化为模糊集合的过程。
例如，将温度转化为“冷”、“温”、“热”等模糊概念的隶属度。
模糊集合论
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
c
扩张：点集映射 集合变换
如2∧3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系.二 元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c=a； 互余律：a∨ac=1， a∧ac=0， 则称(L,∨,∧,c )为一个Boole代数.
若在具有最小元0与最大元1的分配格 (L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足： 还原律：(ac)c = a ； 对偶律：(a∨b)c = ac∧bc， (a∧b)c = ac∨bc， 则称(L,∨,∧,c ) 为一个软代数.
设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下 列运算性质：
分配律：( a∨b )∧c = ( a∧c )∨( b∧c ) , ( a∧b )∨c = ( a∨c )∧( b∨c ) .
模糊集理论
模糊集理论
模糊集理论，也称模糊集合，是一种表达模糊性的数学工具。
它允许将复杂的情况抽象为简单的模糊集合，从而更容易进行计算和分析。
模糊集理论是一种处理不确定性和模糊性的数学模型，其中可以表示某个状态属于某个集合的程度。
模糊集理论的最大特点是它可以表达不确定的事物，而不是确定的事物。
模糊集合允许在模糊集合中使用模糊变量，用来表示模糊性，而不是使用数字来表示确定性。
模糊集合中的每个元素都有一个模糊系数，用来表示它在集合中的重要程度。
这种模糊系数可以是0到1之间的任何实数，表示该元素在集合中的程度。
模糊集理论在计算机科学、自然语言处理、机器学习等领域有着广泛的应用。
在计算机科学领域，模糊集理论用于解决模糊推理和模糊控制问题。
它可以帮助计算机识别不同的状态，从而更好地进行模糊推理和模糊控制。
在自然语言处理领域，模糊集理论可以帮助机器理解自然语言，从而进行更好的自然语言处理。
在机器学习领域，模糊集理论可以帮助机器学习系统更好地处理不确定性和模糊性。
模糊集理论可以用来帮助解决不同类型的问题，而且能够更好地处理不确定性和模糊性。
模糊集理论的应用越来越广泛，它是一个有效的工具，可以帮助解决复杂的问题。
模糊集合
第二章：模糊集合与模糊计算模糊理论的产生一方面是为描述客观世界中的模糊现象，另一方面是为了将人类的知识引入到智能系统中去，提高智能系统的智能水平。
“模糊”译自英文“Fuzzy”一词，其含义可以解释为：“朦胧的、模糊的；不精确的；不合逻辑的、不分明的”。
因此，曾有人提议兼顾其音义将Fuzzy译为“乏晰”，但最终没有得到大众的认可。
经过数十年的发展，“模糊”作为一个技术形容词已经得到了广泛使用。
如模糊计算、模糊推理、模糊控制等等。
§2.1 模糊性分析2.1.1 模糊性在客观世界中，有的概念在特定的场合有明确的外延，例如国家、货币、法定年龄、地球是行星等等。
而有的概念的外延往往并不明确，例如发展中国家、著名球星、俊男靓女、冷与热等等。
是不是发展中国家，不同的人有不同的理解。
这种没有明确外延的概念，我们说它具有模糊性(fuzziness)。
当然，模糊性通常是指对概念的定义及理解上的不确定性，如酷、聪明、舒适等等。
关于什么是聪明，我们永远不可能列举出它应满足的全部条件。
至于什么是酷，不同的时代可能有不同的理解。
不容置疑的是在现实生活中，这种模糊现象是普遍存在的。
模糊性来源于事物的变化过程。
处于过渡阶段，事物的基本特征就是性态的不确定性，类属的不清晰性，也就体现出模糊性。
例如“青年人”这个模糊概念。
根据图2.1.1给出的关于人的成长阶段，按照经典集合的描述方法，一般认为年龄在14~25岁之间的人是青年人，其特征函数值取为1，其它年龄段的人都不是青年人。
儿童时期少年时期青年时期中年时期老年时期年龄图2.1.1 经典数学描述下人的成长时期但是，在14~25岁之外就截然不是青年人吗?答案是否定的。
因为人的生命是一个连续的过程，一个人从少年走向青年是一日一日积累的一个渐变的过程。
从差异的一方(如少年)到差异的另一方(如青年)，这中间经历了一个由量变到质变的连续过渡过程，这种过渡性造成了划分上的不确定性。
模糊集合及其运算
模糊理论 模糊集合 模糊函数 模糊逻辑与推论 模糊规则库 模糊控制
模糊概念的感性认识
何谓模糊? Ex：今天气温如何?那位女孩正吗?
什么是模糊系统? Ex：
模糊规则库
模糊集合U
模糊推论
引擎
哪里可看見模糊控制的系統?
Ex:冷气机、洗衣机等等…
模糊集合V
用模糊来调和对立
180公分 179公分 高的程度
6、同一律
A X X A X A A A A
7、达.摩根律
(A B) A B
8、双重否定律
(A B) A B
A A
模糊集合运算的基本性质
提问： 为什么在模糊集合里排中律不成立？
9、其它运算类型 见板书
模糊关系
定义：n元模糊关系R是定义在直积X1×X2×... ×Xn上的模糊集合，它可以表示为
O
(x,0)
0
x
50
x,
1
(
1 5 x 50
)2
50
x
200
O
0
[1 ( 5 ) 2 ]1 x 50
x 0 x50
50 x200
x
Y
(x,1) 0
x
25
x,
连
续
变
化
。
模糊集合的定义及表示方法
若我们用A来表示模糊集合“大苹果”，用 来表示隶属度函数，A中的元素用x来表示， 则 A(x)便表示x属于A的隶属度，对于上面 的例子就可以写成
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8 7 6 5 4 3 2 1
张志政
1
A＝{长线段} 则： A=?根据线段越 短属于长线段的隶属度递减可以设：
1 u ∈{8,7,6,5} CA (u) = others 0
A(ui ) = i − 1
8 −1
= i −1
7
1 12345678
12345678
(3)－ 2.1 模糊集概念 (3)－举例
1 2 1 2
单调性：若a1≤a2, b1≤b2, 边界条件：T(1,a)=a
则 T(a1,b1)≤T(a2,b2);
则 S(a1,b1)≤S(a2,b2); 边界条件：S(a,0)=a
又称：T三角模
又称：S三角模 三角范算子
2.3
模糊集运算的其他定义——T范数、S范数的清晰域
对于模糊算子* （包括∧* 和∨* ），
例如：离散数学中，从集合，在它的元素上添加关 系，形成群，再添加新的运算就产生出不同的各种群等 等！！
计算机科学与工程系
集合
代 数
张志政 拓
扑 ……
…………
… …
模糊数学是什么? 1.4 模糊数学是什么?
大于四的数 大约为四的数 个头超过180cm的人 大高个子 {x| x > 4, x是实数} ＝A A’ 东南大学 {p|p(age)>180cm,p是人,age是实数}=B
2.2
模糊集的运算－ 模糊集的运算 最大最小运算
定义：(A∩B)(u) = A(u) ∧ B(u) =min(A(u),B(u)) (A∪B)(u) = A(u) ∨ B(u) =max(A(u),B(u))
东南大学
1 0
计算机科学与工程系
A(u) 交 U 0 B(u) 补 1 0 0
A c(u)
东南大学
现在从集合论能够
计算机科学与工程系 张志政
推出几乎所有的数学定理。
数理逻辑为我们都认可提供 的描述思维方法的形式体系。
1.3 现代数学
参考《现代数学》P.罗曼
把集合当作最基本的结构，给集合及其元素上添加 不同的关系及运算就构造出了一个新的结构：代数结构、 拓扑结构、测度空间和泛函空间等等
东南大学
数量亦即模糊算子的模糊程度
张志政
2.3 模糊集运算的其他定义
作业1：
东南大学
证明：三角范算子T和S是对偶算子p17-18
计算机科学与工程系 张志政
2.4
模糊集的截集——从模糊中寻找确定，“矬子里选将军”
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
经典集合
(2) U为连续的
模糊集合
CA＝{年龄大于50岁的人}
东南大学 A＝{老年人} 张志政
0
(2) U为连续的
1
1 计算机科学与工程系
0
50
100
50
100
0 0 ≤ u ≤ 50 u − 50 −2 −1 A(u) = [1 + ( ) ] u > 50 5
(4)－ 2.1 模糊集概念 (4)－空集与满集 空集：A(u)≡0 满集：A(u)≡1
包含、相等、交、并、补、差
A (A
张志政 ⇔∀u A(u)≥ B(u) A⊆B
＝ B⇔ A ⊆ B & B ⊆ A ∩B )(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u)) (A ∪ B)(u) = A(u) ? B(u)=?(A(u),B(u)) A c (u) = 1- A(u)
？
性质：自反、对称、传递、幂等、 交换、结合、分配、对偶
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
模糊集(Fuzzy 2 模糊集(Fuzzy Set) p2-p32 2.1 基本概念 2.2 F集的运算
东南大学
2.3 F集运算的其他定义 2.4 F集的截集 2.5 分解定理 2.6 模糊集的模糊度
计算机科学与工程系 张志政
2.1 模糊集概念 (1)－定义 (1)－
东南大学
计算机科学与工程系 用映射表示：
(A∩B)(u) = A(u) ∧* B(u) =T(A(u),B(u)) (A∪B)(u) = A(u) ∨* B(u) =S(A(u),B(u)) 讨论所有这些模糊算子的共性，就是讨论映射： T和S 的性质
张志政
2.3
模糊集运算的其他定义——T范数、S范数 T范数定义：
4 数学家也一直在寻找数学可靠的立足点：描述对象的表示、思维
方法，是现代数学的立足点：集合论、数理逻辑
不过注意：这个基础不是稳固的也是有悖论的，这是数学基础理论的
研究课题
1.2 集合和数理逻辑在数学中的作用和地位
集合论是现代数学的基础和立足点， 不同时期数学家赋予数学的基础是不同的， 随着认识范围扩大和新矛盾、悖论的发现旧的基础被动摇，就有 新的基础出现。
1
λ
U
2.4
模糊集的截集——性质：注意从有限到无限 截集 强截集
性质1
(A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ
λ λ λ
东南大学 (A∩B) = A ∩ B
t∈ T
性质2
若{At |t ∈T}， 则
性质1、2、3、4、5
U
t∈ T
( At ) λ ⊆ (U At ) λ
计算机科学与工程系
t∈T
I
t∈T
( At ) λ = (I At ) λ
A B
A
c
d
B
d
eB
对数学的初步认识(3) 1.1 对数学的初步认识(3) 3 我们曾经学过的数学都是经典的，在一定认识范围内适用的，有
没有适用于整个世界的公理和定理？大家正在探索。
比如非欧几何的许多例子：三角形内角和等于180度； 等等都是有它本身适用范围的，而不是全宇宙都适用的。
东南大学
计算机科学与工程系 张志政
设λ 1 、λ 2 ∈[0,1]， A ∈F（U），若λ 1 < λ 2则
张志政
性质3
A λ 2 ⊆ A λ1
性质4
分解定理——模糊集用普通集合表示 2.5 分解定理
东南大学
2.2 模糊集的运算－最大最小运算下的性质(3) (F(U), ∪ ,∩ ,c)的性质：(p13) 作业(3)：
东南大学
证明所有最大最小运算下的(F(U), ∪ ,∩ ,c)的性质
计算机科学与工程系 张志政
模糊集运算的其他定义－ 2.3 模糊集运算的其他定义－“?”→其他二元运算的情
况
在实际的工程应用中，单单采用min、max 不适用，逐步探索出了其他的运算（p15） 统称为模糊算子,表示为∧*和∨* 和
模糊数学 东南大学
计算机科学与工程系
张 志 政
——基本原理及应用
张志政 东南大学计算机科学与工程系
seu_zzz@
1 序言
介绍本课程是什么、有何用途、 介绍本课程是什么、有何用途、如何学习
1.1 对数学的初步认识：
东南大学
1.2 集合和逻辑在数学中的作用和地位 1.3 现代数学的分类方法 1.4 模糊数学是什么？ 1.5 本门课程的内容 1.6 如何学习本门课程
它的清晰域为： σ(* )={(x,y)|x * y=0或x * y=1}
东南大学
因为：
计算机科学与工程系 (A∩B)(u) =1(0) ⇔ A(u) ∧* B(u) =1(0) ⇔ T(A(u),B(u))=1(0)
(A∪B)(u) =1(0) ⇔ A(u) ∨* B(u) =1(0) ⇔ S(A(u),B(u))=1(0) 所以：模糊算子清晰域的大小决定了确定属于或确定不属于集合的元素的
我认同的别人的观点： 1 要坚信数学是从实际应用而来，并且是能够到实际应用中而去的。 以数学的发展首先是从几何的大发展。有人认为是用来描述现实世 界的语言
东南大学 再复杂的数学都来自于直观的实际问题：比如古代的土地丈量所 计算机科学与工程系 张志政
A A b B b c
2 数学本身也是可能出错的（悖论），正是这些错误和矛盾及不能够 解释的现象推动数学的发展。 例如：阿基里斯和乌龟：
映射：[0,1]2→[0,1] 映射 ∀a,b,c∈[0,1] 交换律：T(a,b)=T(b,a); 结合律：T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));
S范数定义：
东南大学
映射：[0,1]2→[0,1] 映射 ∀a,b,c∈[0,1]
交换律：S(a,b)=S(b,a);
计算机科学与工程系 结合律：S(S(a,b),c)=S(a,S(b,c)); 张志政 单调性：若a ≤a , b ≤b ,
经典集合 定义：设在论域U上给定一个映射 CA : U－>{0,1} 则： 模糊集合 定义：设在论域U上给定一个映射 东南大学 A: U－>[0,1] 则:
集合CA ={u| CA(u)=1,u∈U} 集合A的特征函数为：
u|－>A(u) 计算机科学与工程系
1 u ∈ C A C A (u ) = 0 u ∉ C A
计算机科学与工程系 B’
张志政 问：3属于A? 3属于A’？
190cm属于B? 190cm属于B’?
传统的集合，某元素是否属于该集合是确定的：或 是或否？
东南大学
现在的问题是：有些集合，某元素是否属于它是不 确定的，模模糊糊的，以这种集合为基础，讨论模 糊数学。
计算机科学与工程系 张志政
1.5 本门课基本内容 1 序言：介绍本课程是什么、如何学习 介绍本课程是什么、 2 F集合：属于 数学的基本理论 属于F数学的基本理论
2.2 模糊集的运算—讲述集合之间的运算
两个集合之间的运算是两个 集合的隶属函数之间的运算