透析动态几何问题思考角度与分析方法

透析动态几何问题思考角度与分析方法

【摘要】以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态几何问题，本文主要通过动点问题和动线问题来分析解决动态几何存在的问题。

【关键词】几何问题；几何图形；动态几何；动点问题；动线问题；动图问题

以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态几何

问题,其特点是图形中的某个元素(点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中的“变”与“不变”及由简单到复杂、由特殊到一般的辩证思想，它集代数与几何、概率统计等众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化、数形结合、函数、方程等重要数学思想方法，问题具有开放性、综合性，近几年来，从中考考题上看，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力，更重要的是考查探索创新能力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

有关动态问题主要要有三类：动点问题、动线问题、动图问题。题型一：点动型

点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：①根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况。②结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。③类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。

例1：（1）如图①，当点m在点b左侧时，请你判断en与mf有怎样的数量关系？点f是否在直线ne上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点m在bc上时，其它条件不变，（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点m在点c右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立?请

直接写出结论，不必证明或说明理由。

题型二：线动型

线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解。解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的。

例2：如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=10，直角尺的直角顶点p在ad上滑动时（点p与a，d不重合），一直角边经过点c，另一直角边ab交于点e。我们知道，结论“rt△aep∽rt△dpc”成立。（1）当∠cpd=30°时，求ae的长；

（2）是否存在这样的点p，使△dpc的周长等于△aep周长的2倍？若存在，求出dp的长；若不存在，请说明理由。

题型三：图动型

图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换。主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力。

1.图形平移型

图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以

这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系。

2.图形旋转型

图形的旋转实质就是线的旋转，也可抓住旋转图形和不变图形的交点，转化成动点问题先动后静来求解。

例3：图1，已知p为正方形abcd的对角线ac上一点(不与a、c 重合)，pe⊥bc于点e，pf⊥cd于点f.

（1）求证：bp=dp；

（2）如图2，若四边形pecf绕点c按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有bp=dp？若是，请给予证明。

3.图形翻折型

图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系。解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。

例4：如图，先把一矩形abcd纸片对折，设折痕为mn，再把b

点叠在折痕线上，得到△abe，过b点折纸片使d点叠在直线ad上，得折痕pq。

（1）求证：△pbe∽△qab；

（2）你认为△pbe和△bae相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；

（3）如果沿直线eb折叠纸片，点a是否能叠在直线ec上？为什么？

解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。