透析动态几何问题思考角度与分析方法
动态几何解题分析示例与思考策略
一、动态几何问题涉及的常见情况 按运动对象分类：
1、点动
（有单动点型、多动点型）
2、线动 （主要有线平移型、旋转型） 线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还 会产生形动，因而线动型几何问题常通过转化成 点动型问题求解 3、形动
问题设计的背景看主要有
位置约束型:它一般以简单图形为背景，探索研究因动点 引起相关数量（或位置）的变化.
“动”中取“静”：让图形和各个几何量都在特殊位置
∵O是△EFG斜边上的中点．∴当P为FG的中点时， OP∥EG ，又EG∥AC ∴OP∥AC．，
（OP∥AC）“静”下来.
∴x＝
1 2
1 FG= 2
×3＝1.5（s）．
X
X
∴当x为1.5s时，OP∥AC ．
读 如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A
F
C2 P
C1
E
A
图1
D
B A
D1 D2
图2
B
A
D2
图3
x
D1
B
又C2F=x，∠C1+ ∠C2 =900 ，所以∠FPC2=900.
在Rt△EFG中， ∠C2=∠B.
4 3 sin B , cos B 5 5
3 4 x, PF x 5 5
1 6 2 PC2 PF x 2 25
所以
把握运动变化的形式及过程
x
思考运动初始状态时几何元素的数量和关系
（1）注意参考数据运用于计算平方、平方根或估算. （2）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
EG FG AC BC
∴
，4 FG
动态问题的解题思考
A动态几何题的解题思维培养温岭市石桥头镇中学 金晨红摘 要：动态几何题已成为中考试题的一大热点题型，对动态问题，学生普遍感到困惑，教学中要注意动态思维的培养，提高解答动态问题的能力．锻炼数学思想，创造性地使用所学知识，有效解决复杂的动态几何问题．关键词：图形运动 动态问题 剖析式教学何谓动态几何问题，即随着图形中的的某一点或线或面的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何问题称为动态几何问题。
它展示了一种数学的创造生成过程，反映了几何教学的实质。
动态几何问题在初中数学中占有重要位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题灵活性强、能力要求高，思维有梯度，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，受到了教育工作者的高度关注；同时，也得到了中考命题组的青睐，因而动态问题，常常出现在各地的学业考试数学试卷中。
面对动态几何问题，学生普遍感到困惑，因此，在平时的教学中尤其是九年级数学总复习时，要注意对动态思维（本文中的动态思维指的是学生面对动态几何问题，具有自主学习和自我反思的一种思维）的培养，提高解答动态几何问题的能力．本文结合人教版教材，谈动态思维能力的培养。
一、注重剖析式讲解剖析式讲解是教师把教学内容中的各种因素进行深入细致的分析的讲解方式。
剖析式讲解在方式上注重因素的分解以及内涵的挖掘。
这种方式可以把各种因素的内涵以及要素之间的关系讲清楚，讲深刻。
当然剖析式讲解需要教师具备深厚扎实的知识功底和较强的分析能力。
如以下的一道选择题：如图，两个等腰Rt △ABC,Rt △DEF 的斜边都为4 cm,D 从分别是AB,AC 边上的中点，又DE 与AC(或BC)交于点P 。
当点P 从M 出发以1cm/s 的速度沿MC 运动至C 后又立即沿CB 运动至结束，若运动的时间为t （单位：s ），Rt △ABC 和Rt △DEF 重叠部分的面积为y （单位：），则y 关于时间t 的图象大致是 ……………………….（ ）t 62O t 4A B C D评析：此题分析△DEF 的运动过程是非常重要的。
透视动态问题,深剖解析方法——以立体几何动态问题为例
2020年9月（下旬）<投稿邮箱:************.com数学教学通讯作者简介:薛安定(1977-),本科学历,中学高级教师,南京市德育学科带头人,从事中学数学教学.透视动态问题，深剖解析方法———以立体几何动态问题为例薛安定江苏省南京市中华中学210019［摘要］立体几何动态问题是高考的热点题型,其中含有大量的数形信息,问题解析需要把握动态成因,关注图形变化过程,合理进行化动为静降维处理.文章对动态问题归类探究,解析问题的突破方法,提出相应的教学建议.［关键词］立体几何;动态;角度;距离;翻折综述立体几何中的动态问题是高考的经典问题之一,由于问题中含有一些“不确定”因素,使得问题具有动态属性,例如联系动点、融合图形翻折、平移等.问题中的“不确定性”往往会对学生解析问题造成一定困难,需要采用对应的策略来处理.一般立体几何动态问题中隐含着一些规律性内容,可将其作为打开解题突破口的关键条件,即采用化“动”为“静”的转化策略.解析时应关注变化过程,总结变化规律,运用数学思想,合理引入参数,适度代数推理,下面结合实例探究.型探究立体几何动态问题的类型较为多样,从问题形式来看主要有角度类、距离类、翻折类等,下面对其进行深入探究.类型一:动态几何中的角度问题立体几何中角度问题是常见问题,涉及异面直线所成角、线面所成角、二面角等,若加入动态属性,其求解难度会变大.求解此类问题往往采用空间向量法,常利用点坐标参数来设定动态因素,以实现静态转化.例1：ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,点E 是侧面ADD 1A 1内的一个动点,已知B 1E ∥平面BDC 1,如图1所示,设直线B 1E 与直线AB 所成角为θ,则sin θ的最小值为_____.A B C D E A 1B 1C 1D 1图1解析:动点是形成动态几何的因素,求异面直线所成角的正弦值的最小值,同样可以采用空间向量法,引入坐标参数来实现动态问题的静态转化.以点D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系,如图2所示.设正方体的棱长为1,点E (a ,0,c )（其中0≤a ≤1，0≤c ≤1）,则B 1(1,1,1),B (1,1,0),D (0,0,0),C 1(0,1,1),则可推知向B E (a -1,-1,c -1),DB (1,1,0),DC =(0,1,1),AB=(0,1,0).A B C D EA 1B 1C 1D 1z x y 图2设平面DBC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),可推知n =(1,-1,1).cos θ=1(a -1)2+1+(c -1)2 √.又知B 1E ∥平面BDC 1,则BE ·n =0,可解得a+c=1,可推知ac=14,则12-2ac≤81>2020年9月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯2 3,sinθ==3√3,a=c时等号成立,且满足条件,所以sinθ的最小值为3√3.方法点睛:上述采用了空间向量法求异面直线所成角的正弦值的最小值,并利用坐标参数实现了动点的坐标具体化,促进了动态问题的静态转化.因此对于涉及动点的立体几何问题,可以引入坐标参数来简化问题.类型二:动态几何中的距离问题求空间距离是立体几何的常见问题类型,同样也可从动态角度来考查距离求解的方法.往往动点、动直线是造成问题动态的常见因素,具体求解时需首先确定动态元素的运动轨迹,然后进行静态转化.例2：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点H是棱长AA1上的一点,且HA1=1,在侧面BCC1B1内作一边长为1的正方形EFGC1,点P是侧面BCC1B1内的一个动点.已知点P到平面CDD1C1的距离与线段PF的长相等,当点P运动时,HP的最小值为____________.A BCDEA1B1C1D1H FGP图3解析:本题目同样是因动点造成动态变化,解析时需要把握其中的距离关系,可以采用空间向量法,也可以建立平面坐标系来推导点P的运动轨迹,进而确定相应的线段最值.在棱BB1上取一点K,使得B1K=1,可知HK垂直于平面BCC1B1,连接PK,可知HP2=16+PK2.在平面BCC1B1上建立平面坐标系,设定G为原点,GC1所在直线为x轴,GF所在直线为y轴,如图4所示.设点P的坐标为(x,y).由题设条件可知点P的轨迹方程为x2=2y-1（其中x∈［-3，1］，y4）,轨迹为抛物线.又可得点K的坐标为(0,4),则PK2=y2-6y+15,分析可知当y=3时,PK2可取得最小值6,所以HP的最小值为22√.A BCDEA1B1C1D1H FGPK图4方法点睛:求解时采用了平面坐标系法,根据题设条件确定了动点的轨迹方程,然后建立了关于线段长的函数,利用函数的性质确定了最终的答案.因此对于轨迹特征明确的动态几何问题可以从构建轨迹方程入手.类型三:动态几何中的翻折问题翻折、旋转是几何运动的重要方式,利用翻折和旋转同样可以构建动态几何,解析问题时需要关注翻折和旋转的运动过程,充分把握其特性,挖掘其中的隐含规律来构建相应的模型.例3：ABCD为平面内的四边形,已知AD=AB=2√,CD=CB=5√,AD⊥AB.现将△ABD沿着对角线BD进行翻折,得到了△A′BD.分析在△ABD折起至平面△A′BD的过程中,直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为____________.ABCDEAB CDEA′图5解析:连接AC,与BD的交点设为点E,则点A′的轨迹是一段以点E为圆心,以A′E长为半径的圆弧.轨迹确定,故可以在动点轨迹所在平面内进行分析.在四边形ABCD中,可求得BD=2,BE=ED=1,EA=1,EC=2.探究动点A′运动轨迹所在平面,直线A′C与平面BCD所成角的平面角为∠A′CE,显然当A′C与动点的轨迹圆相切时所成角最大,此时在Rt△A′CE中有EA=EA′=1,EC=2,所以∠A′CE=30°,则正切值tan30°=3√3.方法点睛:求解时采用了平面轨迹法,即确定翻折过程关键点的轨迹,然后从平面视角来直接判断其最值情形.问题解析充分把握翻折过程中的特殊位置,故求解翻折类立体几何问题时可采用“轨迹转化,特殊位置分析”的思路.建议上述对立体几何常见的动态问题的特点、解析方法进行了剖析,充分掌握可以显著提升解题能力,下面结合教学实践提出两点建议.1.准确定位动态成因,合理开展转化降维立体几何动态问题的类型较多,上述所呈现的是其中较为常见的三种,形成动态问题的因素涉及动点、动直线、翻折等,解析问题的关键是准确定位动态成因,确定动态因素的轨迹或变化过程,为后续的降维转化提供参考.对于立体几何动态问题一般采用几何降维和化动为静的转化方式,其中降维处理有多种方式,可提取动点轨迹所在平面、关注其中的特殊位置、利用二面角构建方法等,解析时需根据问题特点确定转化降维方法.而在教学中应引导学生深入剖析立体几何动态问题的本质,结合化动为静的策略来确定降维方法,形成该类问题的通性通法.同时注重培养学生的创新思维,提升学生的思维灵活性.2.掌握数形破解策略,发展数学核心素养立体几何动态问题常涉及距离、三角函数值、体积等知识,由于动态因素的存在,在解析时需要根据其动态情形来解析位置,其中必然需要利用方程、函数、不等式等代数知识,因此数形解析方法是该类问题常用的破解策略,需要重点掌握.例如例2求距离问题时先结合动点轨迹建立了相应的函数方程,然后结合运动范围及函数性质确定了最终答案.需要注意的是数形解析策略同样是一种数学思想,在教学中需要引导学生掌握该思想的内涵,掌握数形思想解析问题的方法技巧,教学中可以结合具体教学内容,让学生体验数形结合思想的应用过程,逐步发展学生的数学素养.82。
高考数学十类立体几何“动态”问题策略探究及方法解析
十类立体几何“动态”问题策略探究及方法解析“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。
在解决动态几何问题时。
关键在于要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见静,以静止动。
一、截面问题截面问题是高考立体几何题中比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得平面的结果也具有一定的可变性。
例1、在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ， ①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D 。
以上结论正确的为 。
（写出所有正确结论的编号）解析：如图，四边形1BFD E 分别交两平行平面1111,AA DD BB CC 于1,D E BF ，从而由面面平行的性质定理知1//.D E BF 同理可得1//.D F BE 从而知四边形1BFD E 一定是平行四边形，故①对。
要使四边形1BFD E 为正方形，则有1111,,D E BE D E AB D E BB ⊥⊥⇒⊥1平面 AA 又11111,//,D A BB D E D A ⊥∴11平面 AA 这是不可能的，从而知四边形1BFD E 不可能是正方形，故②错；四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影点分别为A ，B ，C ，D ，显然其射影是正方形，故对③；当E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点时，四边形1BFD E 为菱形，此时有111,EF BD EF BB EF BB D ⊥⊥⇒⊥平面，故④对从而以上结论正确的为①③④。
点评：本题属于结论开放型探索性命题，可直接利用条件证明，也可在先假设结论成立，反溯其具备的条件或推出矛盾从而加以否定。
解析几何动态解析
解析几何动态问题解析由于曲线的轨迹本身是一个运动过程,其又往往处在复杂多变的意境中,用常规方法处理有时显得比较繁杂甚至难以实施.从动静的辨证角度出发,通过对题目信息的有机整合,以静制动, 以静制动,处理曲线中的动态因素, 那么会收到"静观其变,坐享其成"之效.1函数探求,以静避动函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等.值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视.有了函数探求法,运动自然成为静止.例1 已知点P在圆x2+(y-4)2=1上运动,Q点在椭圆2219xy+=上运动,求|PQ|的最大值.解: 先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1(0,4)时,|PQ|最大.设Q(x,y),则|O1Q|2=x2+(y-4)2.因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2),即|O1Q|2=-8(y+12)2+27,而-1y≤≤1,故当y= -12时, |O1Q|取得最大值,此时|PQ|的最大值为评注:涉及两动点的距离,且其中一个动点在圆上,可把圆上的动点化为定点来解决.2动静转换,以静返动从辨证角度看,动与静是相对存在于同一特定的环境中,两者相互依存又相互转化.若将问题的动态因素与其所依衬的静态环境作一角色转换,在新的意境中以静返动,常会产生意想不到的效果.例2 已知平面内一点P∈{(x,y)|(x-2c osα)+(y-2sinα)=16,α∈R},求满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积.解:∵P∈{(x,y)|(x-2c osα)+(y-2sinα)=16,α∈R},∴点P在以C(2c osα,2sinα)为圆心,4为半径的圆C:(x-2c osα)+(y-2sinα)=16上运动,而当α在变化时,圆心C又在以原点为圆心,2为半径的圆O:x+y=4上运动,当点C在圆O上任意运动时,圆C也随之运动,在运动过程中,圆C 扫过的平面区域就是点P在平面内组成的图形(如图),即半径分别为6、2的圆环,其面积为3 2π.评注:此例整个圆的圆心时刻都在运动,难以入手.经动静转换化为熟悉题型处理显得方便.3回归定义,以静传动动态问题中的多动点情景,往往给问题增加了求解的复杂性,透析各动点变化规律,其间相互制约关系常受到圆锥曲线定义的约束,由此可将动点化归到定轨(定义)上来,问题可迎刃而解.例3 已知点P是抛物线y2=4x上的点,设点P到抛物线准线的距离为d1,到圆(x+3)2+(y-3) 2=1上的一动点Q的距离为d2,求d1+ d2的最小值.解:由抛物线的定义,P到准线的距离等于P到焦点F(1,0)的距离,而P到Q的距离就是P到圆心C(-3,3)的距离减去圆的半径1,于是d1+ d2=|PF|+|PC|-1≥|FC|-1=5-1=4,当且仅当直线FC与抛物线交点是P时取”=”.评注:虽然d1,d2都在动点P的背景之下,但利用抛物线和圆的定义却显得豁然开朗.4对称分析,以静制动在解几多动点的背景下,有时中间辅助量的消去比较复杂,造成计算工作量大甚至中途夭折.若注意观察、发掘题中隐含的对称关系,恰当运用平几知识以静制动,则会产生理想的效果.例4 已知直线l:x-y+9=0,椭圆C以椭圆221123x y+＝的焦点为焦点,且过l上的一点M,其长轴最短,求椭圆C的方程.解:显然,椭圆221123x y+＝的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),由椭圆的定义知其长轴2a= |MF1|+|MF2|,要椭圆C的长轴最短,即|MF1|+|MF2|最小.问题转化为在直线l上找一点M,使得|MF1|+|MF2|最小.设F1(-3,0)关于直线l的对称点F1＇(x＇,y＇),利用对称性求得F1＇(-9,6),所以直线F1F1＇的方程为x+2y-3=0,与直线x-y=-9得M(-5,4),故2a=|MF1|+|MF2a又c=3,所以过l上的一点M,其长轴最短的椭圆方程为221 4536x y+＝.评注:如果已知A、B两点在直线l同侧,则在直线l上找一点M,使|MA|+|MB|最小时,可先求出点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′),连接A′B(或AB′),与l的交点M,满足|MA|+|MB|最小.5 依托定式,以静助动一些曲线问题的几个动点常共存于某一特定的关系式中,依托定式内涵寻求解题新途径,以静助动,有利于简化解题过程．例5 P是双曲线221916x y-＝的右支上一点,M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点,求|PM|－|PN|的最大值.解:圆心F1(-5,0),F2(5,0)是双曲线的两个焦点,利用双曲线的定义有:|PM|-|PN|≤|PF1|+2-(|PF2|-1)= |PF1|-|PF2|+3=2a=3=9,故|PM|-|PN|的最大值为9.评注:本题中的定式信息通过双曲线的焦点和圆心来反映,这正是问题的出发点.。
“动态”立体几何题解法剖析
点评
近几年， 高考立体几何题出现一些求不
平 面上 ， 得到 矩形 Ａ Ｃ 如 图 ４所 示 ） Ａ 为底 面 Ｂ Ｄ（ ，Ｄ
规则 几何 体 的体 积 问题 或 利 用体 积转 化 来 求 其他
的几何 量． 处理这 一问题 的 常用 方 法 是 “ 补 法 ” 割 ，
圆周 长 的 ２倍 ， Ａ ４ｒＡ 即 Ｄ＝ ，，Ｃ为所 求 的最 短 长度 ， ｒ
的面积． ３ “ 割”
间 图形 向平 面图形 的迅速 转化 ， 学 生真实 地感 受 让
“ ” 指 当所 呈 现 的几 何 体 较 复 杂 、 关 的 割 是 有 计算 公 式无 法直 接运用 或计算 较繁 时 ， 以适 当地 可 分 割几何 体 ， 化整 为零 ， 而迅 速破解． 从 例 ３ 将 半 径 为 １的 ４个 钢球 完 全 装 人 形 状 为正 四面 体 的容器 中 ， 这个 正 四面体 高的最 小值 是
第 ９期
郭 建 华 ：动 态” “ 立体 几 何 题 解 法剖 析
“ 动 态 ＂ 立 体 几 何 题 解 法 剖 析
●郭建华 （ 江苏教育学院附属高级中学 江苏南京 ２０３ ） １ ６ ０
立体几 何是 中学数 学传 统 的主体 内容 之一 ， 也 是 当前高考命 题 的一个 热点 内容 ． 它不 仅 能考查 学 生 的空 间想 象力 ， 还能更 好地 体 现学 生思 维 的深刻 性和灵 活魔 随着 新课 改 地不 断深 人 ， 体 几 何 以 立 柱体 和锥体 为载体 来考查 立体 几何 中的重要 内容 ，
例 ５ 有一 根 长 ３ｒ ｍ， ＇ ｃ 底面半 径为 １ｃ 的圆 ｒ ｍ
径 ， 中心到 ２个 正 四面 体 的距 离 差 为 １ 中心 把 而 ，
初中数学动态几何问题探讨
一、课题内容：初中动态几何问题研讨二、问题梳理1、动态几何问题是初中数学中教与学的一个重点和难点，也是中考命题中经常考查的内容。
动态几何一般是指在一个几何图形的背景下，由点、线等简单图形通过在运动过程中构成新的几何图形，由此而产生的问题。
2、动态几何问题一般包括题型：点动、线动、图形动等类型，其核心是函数知识，不仅包括空间观念、应用意识、推理能力等内容，而且体现了运动观点、方程思想、数形结合思想、划归思想和分类思想等数学思想，同时还包含解方程、相似三角形、三角函数和整式运算等知识，故要求具有较强的分析、推理、计算综合解决问题的能力。
3、动态几何问题最突出的特点就是图形是运动的、变化的，解决动态问题时：首先需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变；其次，考虑问题要全面化，经常会遇到分两种或多种情况来解决的问题，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉，例：说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角，说到等腰三角形的边要考虑是底边还是腰；其三，将几何图形简单化，学会利用几何图形来分散难点、降低难度，并从特殊位置点着手确定自变量取值范围；第四，动态试题作为选拔性试题难度较大，但入口容易。
三、实现目标1、让学生具有能分析动态问题的思路，不再对几何动态问题感到陌生，增强学生解题的自信心2、让学生理解并掌握数形结合的解题思想与解题技巧3、培养学生具备全面分析问题的能力，掌握知识的连贯性和多面性四、教学重难点1、重点：用浅显易懂的语言教会学生分析动态几何问题2、难点：培养学生将动态问题转化为静态问题的思维模式五、典型例题透析例1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，PB的长为x 。
（1）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为_____时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由【分析】 （1）注意P 点的位置，如图１，过点A 作ＡＰ1⊥ＢＣ交ＢＣ于点Ｐ1过点Ｄ作ＤＰ2⊥ＢＣ交ＢＣ于点Ｐ2，满足条件的点应有两个（２）注意Ｐ点的位置，如图２，过点Ａ作AP 3∥ＤＥ，交ＢＣ于点Ｐ3，过点Ｄ作ＤＰ∥ＡＥ交ＢＣ于点P 4满足条件的点应有两个（3）由（2）可知，当ＢＰ＝１１时，以点P 、A 、D 、Ｅ为顶点的四边形是平行四边形，通过计算可知，此时ＤＰ＝５＝ＡＤ，所以四边形ＡＥＰＤ是菱形【解】（略）注：【方法与规律】１、在探讨图形的形状时，一定要抓住图形的已有特征，添加不足的部分，如（1）中的四边形APED 已经是梯形，要成为直角梯形，只需添加腰垂直于底边即可，（2）中四边形APED 已有AD ∥PE ，要成为平行四边形，只需添加另一组对边平行或AD=PE 即可； ２、对存在性的探讨，注意其特殊性，同时注意各小题之间是独立的关系，还是从属的关系，如（3）中四边形APED 要成为菱形，它必须是平行四边形，故只需讨论（2）中的两种特殊情况即可；3、应注意点的运动方向和位置，以防漏解。
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究初中数学动态几何问题是初中数学课程中的重要内容之一，它不仅涉及几何图形的性质和变化规律，还能培养学生的逻辑思维能力和动手能力。
动态几何问题的教学存在一定的难点，教师需要采取一些有效的措施来帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
下面将对初中数学动态几何问题的教学难点及措施进行研究。
一、教学难点分析1. 抽象性较强动态几何问题是对几何图形的运动过程进行描述和分析，这就要求学生具备一定的抽象思维能力。
在实际教学中，一些学生可能对抽象思维能力不足，无法准确把握几何图形的运动规律，从而影响他们对动态几何问题的理解和运用。
2. 概念理解不够深刻动态几何问题中涉及到一些几何概念，如平移、旋转、对称等，学生需要对这些概念有一个清晰而深刻的理解。
一些学生可能只是停留在概念的表面理解阶段，无法灵活地运用这些概念解决实际问题。
3. 数学运算能力不足动态几何问题中可能会涉及到一些数学计算，如坐标运算、角度计算等，这就要求学生具备一定的数学运算能力。
一些学生可能在数学计算方面存在困难，导致他们难以顺利解决动态几何问题。
二、教学措施研究1. 强化基础知识对于动态几何问题，学生需要具备一定的几何知识基础。
教师在教学过程中应该注重对几何基本概念的讲解和强化，帮助学生牢固掌握几何知识，为后续学习打下良好的基础。
2. 进行具体案例分析在教学过程中，教师可以通过举一些具体的案例分析，让学生通过实际的几何图形运动过程来理解和掌握动态几何问题的解题方法。
通过具体案例的分析，可以帮助学生更直观地理解动态几何问题的解题过程，加深他们对知识点的理解。
3. 引导学生灵活运用概念在教学中，教师应该引导学生不断地思考、举一反三，灵活运用几何概念来解决动态几何问题。
通过综合运用几何概念，能够帮助学生更好地理解和掌握动态几何问题的解题方法。
4. 培养数学思维能力除了注重知识点的讲解和运用，教师还应该培养学生的数学思维能力，引导学生多进行数学思维训练和思维拓展，帮助他们形成灵活的数学思维模式，提高解决动态几何问题的能力。
浅谈几何图形中动态问题的解析
浅谈几何图形中动态问题的解析摘要：初中数学义务教育课程标准十分关注学生动态几何思维水平的发展状况，动态几何图形问题在检查学生数学质量方面占有重要的地位。
但在教育过程中，笔者发现初中学生学习动态几何问题存在很大困难，学生们在解决动态几何问题上出现了很多失误。
因此，本文就研究解决动态几何问题的阻碍和相应对策提出个人观点。
关键词：初中数学；动态几何问题几何知识是初中数学的重要内容之一，对培养学生的逻辑思维能力和直观的想象力，独特的个性和创新意识起着重要的作用。
因此基础数学教育改革的焦点总在几何内容上。
新的数学课程改革进程中最困难的问题之一是几何课程方面的改进。
几何问题是初中数学知识的重要部分，其中动态几何问题更是学生学习中的一大“拦路虎”。
新课标将“图像转换”作为初中几何教学的重要目标，使学生能够体验到动态的几何课程。
动态几何问题是几何知识的重要部分，具有重要的教学价值，学好这部分内容可以有效提高学生的数学质量。
动态几何问题学习不仅能强化学生们对辩证唯物主义的理解，而且可以培养学生数学抽象能力和空间想象力，提高对数学概念的理解和运用。
一、动态几何问题的概念解析及发展历程相关学者做出如下定义，动态几何问题就是研究，在几何图形的运动过程中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性。
第二中观点是，动态几何问题就是探求动态几何图形中部分对象之间的关系，这些关系通常包括对象之间的数量关系和几何关系。
动态几何问题按运动对象分类有三种情况，点动型、线动型和面动型。
按其运动方式划分通常也有三种，平移型、旋转型和翻折型。
本文研究中的动态几何问题采用后者看法，在几何图形的移动和变更过程中，表示对几何图形的某些个体间关系的探索，这些关系往往包括个体间几何和量化的关系。
世界不停地移动和变化，数学是描述结构和规律的自然科学，学习的问题应该活跃地发展。
研究和解决这些问题，不仅加深了学生们对辩证唯物主义观点认识，同时也增强了他们对事物基本属性的变形和转移的体验，培养他们的数学抽象化能力，提高数字和形状的组合，变形和回归，分类和讨论等数学思维的应用意识。
动态几何问题的解题技巧
动态几何问题的解题技巧解这类问题的基本策略是：1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系．．．．．．．．，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．．．．2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题．．．．．．．．．．．，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系．．．．．．．．．，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变．．．．．．．．．．．．．。
这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想、数形结合思想、转化的思想等。
1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形。
（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长，直接写出结果）；若不能请说明理由。
2、如图，等腰Rt△ABC(∠ACB＝90°)的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为32时，求CD 的长． 3、在平面直角坐标系中，直线1l 过点A(2，0)且与轴y 平行，直线2l 过点B(0，1)且与轴x 平行，直线1l 与2l 相交于点P 。
例析中考中的动态几何问题
例析中考中的动态几何问题一、题型解读动态几何问题通常以几何知识和图形为背景，渗入运动变化的观点。
尽管图形的某一元素运动变化，但问题的结论可能改变，也可能保持不变．这类题寓动于静，解题时要化变量为常量，展示数学的创造过程，重在考查能力.解决动态几何问题时，需要我们树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程．二、基本策略1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． 2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”。
三、典例剖析〖例1〗（内江市中考）如图29–1，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF += ．方法点拨：三角形中的垂线段与高相关，可依托面积关系求解。
解：连结CD ，作CH ⊥AB 于H 。
则 A H ＝12AB ＝4，CH ＝3。
由 S △ACD ＋ S △BCD ＝S △ABC ， 得 12A C ·DE ＋12BC ·DF ＝12AB ·CH ，即 A C ·DE ＋BC ·DF ＝AB ·CH ，5DE ＋5DF ＝8×3，∴ DE ＋DF ＝245。
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究初中数学中的动态几何问题是学生在学习数学过程中经常遇到的难题之一。
动态几何问题要求学生不仅掌握静态图形的特点和性质，还需要懂得如何在动态变化的过程中进行分析和求解。
本文将从初中数学动态几何问题的教学难点、学生存在的问题和解决措施等方面展开探讨。
1.难点一：概念理解不清晰动态几何问题的学习需要学生对几何概念有着清晰的认识和理解。
由于初中生的认知水平和数学基础尚不够扎实，导致在理解动态几何问题的概念时，往往存在模糊不清的情况。
2.难点二：解题思路困难动态几何问题的解题方式与静态几何问题不同，需要学生掌握使用几何变换与性质分析相结合的解题方法。
这种思维方式对学生的抽象思维和逻辑推理能力有着较高的要求，因此在解题过程中常常遇到困难。
3.难点三：工具使用不熟练在解决动态几何问题时，需要使用一些数学工具，如作图仪器、计算器等，但学生对这些工具的使用并不熟练，导致在解题过程中花费较多的时间，影响了解题效率。
二、学生存在的问题1.学生对动态几何问题的概念理解不清晰，容易混淆概念，难以把握问题的本质。
2.学生在解题过程中往往依赖于记忆，缺乏对几何性质的深入分析和理解，导致解题思路受限，难以灵活应用。
3.学生对数学工具的使用不熟练，制约了解题的便捷性和高效性。
三、解决措施1.加强概念讲解在教学中，教师应加强对动态几何问题的概念讲解，引导学生深入理解动态几何问题的特点和意义，帮助学生建立起清晰的认识。
2.引导学生掌握解题思路教师可以通过大量的题目练习，引导学生掌握解题思路。
教师可以选取一些经典的动态几何问题，通过分析解题过程，引导学生掌握解题方法和技巧。
3.开展实践活动在教学中，可以设计一些实践活动来帮助学生掌握数学工具的使用。
在解决动态几何问题时，可以让学生使用作图仪器进行实际操作，帮助学生加深对工具的理解和使用熟练度。
4.增加交流和讨论环节在教学中，可以增加学生之间的交流和讨论环节，让学生在解题过程中相互交流、相互学习，帮助学生更好地理解和掌握动态几何问题的解题方法。
透过现象看本质——动态立体几何问题的处理
使问题的求解过程直观简洁.
四、拓展平面结论，发散动态思维
例 4 如 图 5， 在 正 方 体
A1
D1
ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD B1
C1
上的动点，PE⊥A1C于点E，且PA=
AE
PE，则点P的轨迹是（ ）.
P
D
. All AR.线ig段hts Reserved. B
一、寻找特殊位置，以动制静
. All Rights Reserved.
D1
例1 如图1所示， 在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1上 A1
C1 E B1
的一个动点，平面BED1交棱AA1于
D
点F，则下列命题中为假命题的是 F
C
（ ）.
A
A.存在点E，使得A1C1∥平面BED1F
面，所以不存在这样的点E，故B错误.
对于选项C：因为BD1⊥面A1CD，BD1奂BED1F，所以 面A1C1D⊥面BED1F，故C正确.
对于选项D：因为VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，又CC1∥AA1∥ 面BB1D1，所以四棱锥B1-BED1F的体积为定值.答案为D.
评注：动态几何问题的核心是让变量变化起来，在
C 图5
B.圆弧
C.椭圆的一部分
D.抛物线的一部分
解析：在平面内到一个角的两边距离相等的点的轨
迹为此角的平分线，如果将条件改为空间，则点的轨迹
为平面， 在此不妨称之为角的平分面. 而点P又在底面
ABCD上，故点P的轨迹为两面的交线.答案为A.
评注：在类比推理的学习中，如果我们能将平面中
的有关结论推理到空间， 在解题中均有广泛的应用，如
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究
初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究初中数学动态几何问题是数学教学中的一个重要内容，它不仅涉及到几何知识的掌握，更需要学生具备一定的空间想象能力和动态推理能力。
在教学中，往往会遇到不少困难和障碍。
本文将围绕初中数学动态几何问题的教学难点及措施展开探讨，通过分析教学中普遍存在的问题以及提出有效的应对措施，以期提高学生学习动态几何问题的能力。
一、教学难点分析1.1 学生空间想象能力不足动态几何问题要求学生将静态的几何图形转化为动态的过程，并通过空间想象来解决问题，因此需要学生具备一定的空间想象能力。
许多学生存在着空间想象能力不足的情况，导致他们在解动态几何问题时往往无法准确把握图形的变化、位置和属性，难以理解问题所涉及的几何关系。
1.2 缺乏动态推理能力解动态几何问题需要学生具备一定的动态推理能力，即能够在几何图形动态变化的过程中，灵活、准确地分析和推理图形的属性和关系。
许多学生在学习动态几何问题时，缺乏对图形动态变化的系统性、连续性的认识，导致在推理过程中经常受到干扰，难以正确地解决问题。
1.3 缺乏实际运用能力动态几何问题的解决不仅仅是对几何知识的简单应用，更需要学生将几何知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
许多学生在学习动态几何问题时只注重理论知识的掌握，缺乏对实际问题的理解和应用，导致解决问题时常常无法把握问题的本质和实质，难以找到切实可行的解决方法。
二、教学对策2.1 培养空间想象能力为了提高学生的空间想象能力，教师在教学中可以采取以下策略：注重培养学生对几何图形的空间感知能力，可以通过观察真实的几何图形或者模型，让学生深入理解几何图形的结构和性质。
引导学生运用几何工具进行绘图实践，让学生通过绘制几何图形，进一步加深对几何图形的空间认识。
设计一些富有创意的几何问题，鼓励学生进行思维拓展和思维实验，激发学生的兴趣，提高其空间想象能力。
2.3 加强实际应用能力为了提升学生的实际应用能力，教师可以采取以下策略：将动态几何问题与实际问题相结合，引导学生通过动态几何知识分析和解决实际问题，让学生深刻理解数学知识在实际中的应用。
三个视角探寻“几何动态问题”的真相
三个视角探寻“几何动态问题”的真相作者：王晓红王锋来源：《学生之友·中考月刊》2013年第07期所谓“动态几何”问题，就是指在几何图形中，当某一个元素（如点、线或图形等）运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题.它的主要特征是以几何图形为载体，设计一个或几个动点（或线、或面）按某种特定的方式运动变化，在这个运动的过程中伴随着的等量关系、数量关系的变化、特殊位置状态的图形出现.解决此类问题，首先必须弄清运动对象（点、线、面）运动的方式、运动的范围、运动的时间、方向和速度；其次要掌握在运动过程中哪些量是变化的，哪些量是不变的.学会辩证的看待“运动”与“静止”的相互关系，利用运动过程中某一瞬间静止的位置，动中窥静，以静制动，抓住图形的特殊位置，明晰图形之间的内在联系，通过观察、分析、归纳、推理，从中探求问题的本质、规律和方法.当探究有关图形中变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解.一、定量探究单双动点问题这类问题是一个或两个动点按照一定的速度沿着给定的路径运动，形成新的图形.让同学们探究构成的特殊图形的形状、线段垂直关系及图形的面积与时间之间的关系，解答该类问题通常构造方程模型求解.例1如下图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E 以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t（s）（0≤tA. 1或3B. 或C. 或1D. 或或1解析：以点B、E、F为顶点的三角形是直角三角形，观察图形结合已知条件只可能是∠BEF=90°或∠BFE=90°.故应分类求解.由直径所对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=2cm，∠ABC=60°，AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时，连接OF，因为F是弦BC的中点，根据垂径定理则有∠OFB=90°，说明当点E运动到点O时满足要求.由于点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，所以E点运动的距离为：2cm或6cm，此时t=1s或3s.由于0≤t②当∠BEF=90°时，过点F作FE⊥AB，垂足为E，则点E满足要求.在Rt△BEF中，BE=BF·cos60°=0.5，AE=AB-BE=3.5，所以点E运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s.综上所述，当t的值为1s、1.75s或2.25s时，△BEF是直角三角形.故选D.反思：本题考查直径所对的圆周角是直角、30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂径定理、直角三角形的性质等知识点.渗透了分类讨论、转化求解的思想方法.本题的思维陷阱有两个方面：一是易忽视∠BEF是直角的情形造成漏解；二是没有注意到点E是往返运动，即使注意到了却忽视了运动时间有限制，造成多解（t=3s没有舍掉）.二、运动的直线问题动线问题是指直线按指定的路径进行平移、旋转，形成新的图形.在解答问题时要注意审题，找出直线运动过程形成不同图形时的临界位置进行分类探究，不要漏解，也不要多解.利用提供的等量关系将变量关系转化为方程求解.例2 如下图，在等腰梯形ABCD中AB∥CD、AB=3、DC=、高CE=2，对角线AC、BD 交于H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G.当直线RQ到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为S1，被直线RQ扫过的面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.（1）填空：∠AHB=____________，AC=_____________；（2）若S2=3S1，求x.解析：（1）如右图所示，过点C作CP//BD交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形PC=BD，BP=DC=.根据等腰梯形的对角线相等，有AC=PC，并且CE⊥AB，所以AE=BP=AP =2，又CE=2，所以AE=EC.所以∠ACE=∠PCE=45°，所以∠AHB=∠ACP=90°.AC=APsin45°=4×=4.⑵观察上图，我们可以发现当直线RQ移动时间最大时到达点C，此时x=秒，说明自变量的取值范围为0≤x≤2，而直线MN最大平移距离是AC=2，即到达线段AC的中点位置.当直线RQ运动到线段BD位置之前，即0≤x≤时，两条直线扫过的图形都是三角形，而当直线RQ运动超过线段BD位置之后，即≤x≤2时，直线MN扫过的图形仍是三角形，直线RQ扫过的图形则是五边形，所以需要分两种情况讨论：①当0∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ，根据相似三角形面积的比等于对应高的平方比，∴=（）2=4. ∴S2≠3S1.②当≤x≤2时，先用含有x的代数式分别表示S1，S2，然后由S2=3S1列出方程，解之可得x的值.如图左所示，因为CG=4-2x，CH=1，BD=AC=4所以S△BCD =×4×1=2，由于△CQR∽CBD，根据相似三角形面积的比等于对应高的平方比得 S△CRQ =2×（） 2=8（2-x）2∴S2=S梯形ABCD-S△CRQ= 8-8（2-X）2 ，同理 =（）2，即 =（） 2∴S1=x2由S2=3S1，得方程8-8（2-x）2=3× x2，解得x1=（舍去），x2=2.∴x=2.注：本题重点考查等腰梯形，相似三角形的性质，二次函数的增减性和配方法求最值；分类讨论，由特殊到一般的数学思想等. （1）问是通过平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，利用“三线合一”性质和勾股定理（或锐角三角函数）获得问题答案的.通过添辅助线将梯形问题化归为特殊的三角形、特殊的平行四边形是解决梯形问题有效方法.三、图形的运动问题用图形的变换设计一个图形变化的数学环境，来探究新图形的性质，或其中某些量之间的函数关系（多数是面积问题）.解决此类问题的关键是掌握变换的本质特征，运用其不变量探究变化的图形中一些量之间的特定关系.例3 如左图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.（1）当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如右图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a ，CQ=a时，P、Q两点间的距离（用含的代数式表示）.分析：（1）依题意△ABC与△DEF是等腰直角三角形，所以∠B=∠DEF=∠C=45°，根据相似模型可知△BPE∽△CEQ，又AP=AQ，所以BP=CQ，所以△BPE≌△CEQ（AAS）.（2）因为△DEF绕点E旋转的过程中，∠B=∠DEF=∠C=45°保持不变，则∠BEP+∠BPE=135°，∠BEP+∠CEQ=135°仍成立，所以∠CEQ=∠BPE仍成立，所以△BPE∽△CEQ.所以=，又BE=CE，即BE2=a2，所以BE=CE=a，所以BC=3a，在等腰直角△ABC中，所以AC=3a，所以AQ=CQ-AC=a，又AP=AB-BP=3a-a=2a，在Rt△PAQ中，由勾股定理得PQ==a.评注：抓住图形旋转过程中，其中的不变量（∠B=∠DEF=∠C=45°）或不变关系（△BPE与△CEQ之间的相似关系）是解决此类问题的关键.（作者单位：江苏省丰县初级中学）。
解决初中动态几何题型的方法和建议
解决初中动态几何题型的方法和建议作者：宋娟来源：《考试周刊》2013年第57期摘要：动态几何题型是初中数学的重点和难点，对学生的知识和能力要求较高。
学生在解决动态问题时，存在许多错误的思维方式和方法，导致该类题目得分率低，是学生最难攻克的题目。
作者着重分析学生在处理动态题目时出现的问题和原因，并结合教学实际谈谈如何提高学生的动态思维能力。
关键词：动态几何题型动态思维解题方法一、学生在解答动态几何题目时的存在的问题（一）思维简单随意，思维方式单一孤立。
动态变化题型的“点动”、“面动”或“图动”都是连续变动的，在某个特殊时刻或者拐点出现转折，带动局部图形的变化，变量之间关系也随之改变，往往会达到“牵一发而动全身”的效果。
学生在分析题目时，思维线条单一，认为“此一时”和“彼一时”相差无几，但现实上差距甚远。
有可能上一时刻是三角形，下一时刻是四边形了；学生不善于多角度思考，观察分析缺乏全面统领性，且缺乏灵活性，只通过简单联想、草率比较就妄加猜测得出结论，不能通过由果索因、由因索果或数形结合等方式进行有章有法的分析；更有的学生在毫无依据和知识支撑的情况下妄加结论，暴露出思维的简单随意性，分析问题时不讲逻辑联系、表达东拼西凑、解题线索不清、条理混乱、步骤与过程凌乱；有的学生表达出“我也不知道当时怎么想的，我都忘了”的意思。
（二）缺乏对动态几何题型的全过程分析。
动态几何题型考试中不会针对全部变化过程逐个出题目，而只会针对某个局部过程，或就某个位置、某个时刻考察相关知识点。
因此，学生一般就题解题，往往不能做到先理顺思路，统揽全局，高屋建瓴地审视题目。
动态几何题目所谓的“动静结合、动中有静、静中有动”指的是一道题目往往前后相连、上下相通，许多条件都是不变的，变的是图形、是位置或者是结论，没有宏观的掌控便看不到动态变化的“拐点”、“转折”，也看不到全过程当中的某些变量之间存在一些清晰或者隐含的关系。
学生在思考变化过程时，一般都能够在初始变化阶段理清思路，一旦遇到拐点便失去线索，点的位置、线段的连接、图形的状态都看不清楚，导致思路混乱；思路的混乱导致题目中的条件、题意、运动状态含混不清，根本就不能以良好的状态解答题目。
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透析动态几何问题思考角度与分析方法
【摘要】以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态几何问题，本文主要通过动点问题和动线问题来分析解决动态几何存在的问题。
【关键词】几何问题；几何图形；动态几何；动点问题；动线问题；动图问题
以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态几何
问题,其特点是图形中的某个元素(点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中的“变”与“不变”及由简单到复杂、由特殊到一般的辩证思想，它集代数与几何、概率统计等众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化、数形结合、函数、方程等重要数学思想方法，问题具有开放性、综合性，近几年来，从中考考题上看，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力，更重要的是考查探索创新能力。
解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。
通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。
有关动态问题主要要有三类：动点问题、动线问题、动图问题。
题型一：点动型
点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。
类比发现法大致可遵循如下步骤：①根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况。
②结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。
③类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。
例1：（1）如图①，当点m在点b左侧时，请你判断en与mf有怎样的数量关系？点f是否在直线ne上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点m在bc上时，其它条件不变，（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点m在点c右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立?若成立?请
直接写出结论，不必证明或说明理由。
题型二：线动型
线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解。
解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的。
例2：如图，在矩形abcd中，ab=4，ad=10，直角尺的直角顶点p在ad上滑动时（点p与a，d不重合），一直角边经过点c，另一直角边ab交于点e。
我们知道，结论“rt△aep∽rt△dpc”成立。
（1）当∠cpd=30°时，求ae的长；
（2）是否存在这样的点p，使△dpc的周长等于△aep周长的2倍？若存在，求出dp的长；若不存在，请说明理由。
题型三：图动型
图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换。
主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力。
1.图形平移型
图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以
这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系。
2.图形旋转型
图形的旋转实质就是线的旋转，也可抓住旋转图形和不变图形的交点，转化成动点问题先动后静来求解。
例3：图1，已知p为正方形abcd的对角线ac上一点(不与a、c 重合)，pe⊥bc于点e，pf⊥cd于点f.
（1）求证：bp=dp；
（2）如图2，若四边形pecf绕点c按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有bp=dp？若是，请给予证明。
3.图形翻折型
图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。
常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系。
解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。
例4：如图，先把一矩形abcd纸片对折，设折痕为mn，再把b
点叠在折痕线上，得到△abe，过b点折纸片使d点叠在直线ad上，得折痕pq。
（1）求证：△pbe∽△qab；
（2）你认为△pbe和△bae相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；
（3）如果沿直线eb折叠纸片，点a是否能叠在直线ec上？为什么？
解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。