27.2.2《相似三角形的性质》ppt课件
合集下载
27.2.2《相似三角形的性质》PPT课件
D
E
积分别为4和9，
求△ABC的面积。
B
C
F
13
.
三、研读课文
解:(1)相似。理由是
∵DE∥BC，EF∥AB ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF
∴ △ADE∽△EFC
（2） 而S△ADE=4，S△EFC=9 A
∴
AE
2
4
EC 9
∴ AE 2
EC 3
AE 2 AC 5
D
E
B
C
F
∴ sADEAE2 22 4
A D
11
B
CE .
F
三、研读课文
解：∵AB=2DE，AC=2DF
∴
AB AC2
A
D
DE DF
∵∠A5 =∠D
5
B
CE
F
∴ΔABC∽ΔDEF
设ΔDEF的EF上的高为x，面积为y。
又∵ΔABC的BC上的高是6，面积是12 5
6
∴5
2
x
12 5 2 2 y
∴ x=3 y=3 5
12
∴ΔDEF边EF上的高为3，面积是3 .
形截成的一个小三角形与原三角形的
1
1
周长比等于__2__，面积比等于__4 __。
2、如果两个相似三角形面积的比为
3∶5 ，那么它们的相似比为__3_∶___5_， 周长的比为__3_∶___5__。
16
.
五、强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形 的一条边由原图中的2cm变成了6cm， 这次复印的放缩比例是多少？这个多 边形的面积发生了怎样的变化？
识
点
1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，
27.2.2相似三角形的性质.ppt
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
用心观察 当相似比＝k时，面积比＝k2．
（1）
1
（2）
2
（3）
3
(1)与(2)的相似比=_1_∶___2_, (1)与(2)的面积比=___1_∶__4 (2)与(3)的相似比=___2∶___3, (2)与(3)的面积比=___4_∶__9
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高,
由ABD ∽ABD能否得到 AD 等于什么？
AD
因为ABD∽ ABD,
所以 AD AB (相似三角形的对应边成比例)
AD AB
k
结论：相似三角形对应高
的比等于相似比.
图 18.3.9
图 18.3
自主思考---类似结论
问题2 : 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
已知△ABC∽△ A，B且C 相似比为k，
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、
上的高B，C求 证：
证明：∵△ABC∽△ABC
S ABC k 2
S ABC
A
∴ AD k, BC k
AD BC
B
D
C
∴ SABC
1 AD• BC 2
k2
A'
SABC 1 AD • BC
4.如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为__1__: _2_.
(2)若∆AEF的面积为5cm2，
k AE 1 CD 2
则∆CDF的面积为____2_0_c.m2 D
相似三角形的性质ppt课件-2024鲜版
误用判定方法
不同的判定方法有不同的适用条件，应根 据题目条件选择合适的判定方法。
忽视单位换算
在实际问题中，不同单位之间的换算可能 导致计算错误，应注意单位统一。
25
拓展延伸：相似多边形性质探讨
相似多边形的定义与性质
两个多边形如果它们的对应角相等且对应边成比例，则称这两个多边形相似。相似多边形 的性质与相似三角形类似，包括对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方等 。
20
解决角度问题
2024/3/28
利用相似三角形对应角相等的性质，求解 未知角度。 通过构造相似三角形，利用已知角度求解 其他角度。 应用相似三角形性质于实际问题中，如测 量角度、计算角度等。
21
解决面积问题
利用相似三角形面积比等于相似 比的平方的性质，求解未知面积
。
2024/3/28
通过构造相似三角形，利用已知 面积求解其他面积。
在证明两个三角形相似时 ，有时可以通过证明两个 三角形全等来得出相似的 结论。
2024/3/28
02
相似三角形对应边成比例
7
对应边比例关系
2024/3/28
01
相似三角形对应边之间的比例相
等，即若两个三角形ABC和
A'B'C'相似，则有AB/A'B'
=
BC/B'C' = CA/C'A'。
02
相似比：相似三角形对应边之间 的比例称为相似比。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那 么这两个三角形相似。
不同的判定方法有不同的适用条件，应根 据题目条件选择合适的判定方法。
忽视单位换算
在实际问题中，不同单位之间的换算可能 导致计算错误，应注意单位统一。
25
拓展延伸：相似多边形性质探讨
相似多边形的定义与性质
两个多边形如果它们的对应角相等且对应边成比例，则称这两个多边形相似。相似多边形 的性质与相似三角形类似，包括对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方等 。
20
解决角度问题
2024/3/28
利用相似三角形对应角相等的性质，求解 未知角度。 通过构造相似三角形，利用已知角度求解 其他角度。 应用相似三角形性质于实际问题中，如测 量角度、计算角度等。
21
解决面积问题
利用相似三角形面积比等于相似 比的平方的性质，求解未知面积
。
2024/3/28
通过构造相似三角形，利用已知 面积求解其他面积。
在证明两个三角形相似时 ，有时可以通过证明两个 三角形全等来得出相似的 结论。
2024/3/28
02
相似三角形对应边成比例
7
对应边比例关系
2024/3/28
01
相似三角形对应边之间的比例相
等，即若两个三角形ABC和
A'B'C'相似，则有AB/A'B'
=
BC/B'C' = CA/C'A'。
02
相似比：相似三角形对应边之间 的比例称为相似比。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那 么这两个三角形相似。
数学：27.2.2相似三角形的应用举例课件(人教新课标九年级下)
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的 视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）； MN 20m，MD 8m ，PN 24m （2）已知： ， 求（1）中的C点到胜利 M B 街口的距离CM．
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距 离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰 ：视线在水平 线以 角 上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距 离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰 ：视线在水平 线以 角 上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
相似三角形的性质pptPPT课件-2024鲜版
16
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。
27.2.2 相似三角形的性质课件(共21张PPT)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
《相似三角形的性质》PPT课件
而AD和A’D’是△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线
1
1
2
2
∴ ∠ = ∠ BAC, ∠ ′ ′ = ∠ B’AC’
∴ ∠= ∠ ′ ′
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
01
归纳
相
似
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
∴
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应高的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们中线的比是多少？
解：分别作△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线AD和A’D’
∵ △ ∽△ ′ ′ ′
02
练一练
1∶3
1.相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,对
1Байду номын сангаас3
1∶3
应角平分线的比为______.对应高的比为_________.
1∶3
1∶3
对应中线的比为______.对应周长的比为__________.
1∶9
对应面积的比为_________.
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比。
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
1
1
2
2
∴ ∠ = ∠ BAC, ∠ ′ ′ = ∠ B’AC’
∴ ∠= ∠ ′ ′
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
01
归纳
相
似
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
∴
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应高的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们中线的比是多少？
解：分别作△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线AD和A’D’
∵ △ ∽△ ′ ′ ′
02
练一练
1∶3
1.相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,对
1Байду номын сангаас3
1∶3
应角平分线的比为______.对应高的比为_________.
1∶3
1∶3
对应中线的比为______.对应周长的比为__________.
1∶9
对应面积的比为_________.
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比。
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
《相似三角形的性质》精品ppt课件
1.根据你的猜想和证明，你发现相似三角形的对应 中线、对应角平分线、对应高各有什么性质？请你用文 字、图形和符号语言分别描述出来.
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、'
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
所以 AD = AB . A' D' A' B'
同理
BE AB B' E' = A' B' .
所以
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
AD BE A' D' = B' E' .
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
即证明
AD A' D '
AB A' B '
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、'
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
所以 AD = AB . A' D' A' B'
同理
BE AB B' E' = A' B' .
所以
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
AD BE A' D' = B' E' .
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
即证明
AD A' D '
AB A' B '
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
《相似三角形的性质》PPT课件
《相似三角形的性质》PPT 课件
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
相似三角形的性质PPT通用课件
比例
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
相等
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
相似比
对应角平分线的比都等于________.
相似比
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的
求它们的相似比. 1∶4
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
A
SADE
.
(3)
_______
D
E
S
ABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1
15
B
C
7、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
1:2
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为______.
AE 1
线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方
形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上
（1）△ ASR与△ ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形SPQR的面积。
A
S
B
P
E R
D
Q
C
A
例题解析
(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?
40
(2)求正方形PQRS的面积.
分析:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
100厘米、40厘米
———————。
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这
两个三角形的面积分别是——————
50平方厘米、8平方厘米
——。
(1)与(2)的相似比=______
《相似三角形的性质》ppt课件
2.如图，在△ABC 中，两条中线BE,CD 相 交 于 点 0 , 则△EOD 的周长：△BOC 的周长为(A )
A. 1:2
B.2:3
C. 1:3
D. 1:4
解析：∵BE,CD 是△ABC 的两条中线，∴ DE 是
△ABC的中位线，
∴DE//BC,
E OD △BOC
EOD 的周长：△BOC 的周长=1:2.
解： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴∠DAE = ∠AEB， ∠BAE = ∠F， ∵AB＝BE， ∴∠BAE = ∠AEB， ∴∠F = ∠DAE， ∵∠F＝62° , ∴∠DAE＝62° , ∴∠D＝180° - ∠DAF - ∠F＝56°.(2)∵四边形ABCD是平行四 边形， ∴AD∥BC， AB∥DC， ∴△AFD∽△EFC， △EAB∽△EFC，
面积为
巩固新知
如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连
接 EC 交对角线BD 于点F, 若 S△pFc=3, 则S△C
.
解决面积问题的常用方法
① 直接用面积公式； ② 利用相似三角形的性质； ③ 利用等底或等高； ④ 割补法.
归纳新知
对应高的比
对应线段 对应中线的比
等于相似比
对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形的周长比也等于相似比吗?为 什么? 如果△ABCo△A'B'℃', 相似比为 k, 那么
因此AB=kA'B',BC=kB'C',CA=kC'A', 从而
相似三角形周长的性质： 相似三角形周长的比等于相似比
巩固新知
1.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4:3 ，若△ABC 中 BC 边上的中线 AM =8 ，则 △DEF 中 EF 边上的中线 DN 的 长度为( D )
相似三角形的性质课件
详细描述
设两个相似三角形的相似比为k，已知 其中一条对应边的长度为a和b，则其 他对应边的长度为ka和kb。利用相似 三角形的性质，可以求出比例尺。
例题二：求面积比
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长，求出面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长成比例，设相似比为k，则面积比为k^2。已知相似三角形 的一组对应边长，可以求出面积比。
利用相似三角形的性质研究图形形状
总结词
相似三角形的性质可以用于研究图形 形状。
详细描述
相似三角形的性质表明，它们的对应 角相等，因此可以通过比较两个相似 三角形的对应角来确定它们的形状。 此外，相似三角形还可以用于研究其 他几何图形的形状。
04
相似三角形的例题解析
例题一：求比例尺
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长 ，求出其他对应边长的比例尺。
相似三角形的性质课件
目 录
• 相似三角形概述 • 相似三角形的判定 • 相似三角形的性质应用 • 相似三角形的例题解析 • 相似三角形的练习题 • 总结与回顾
01
相似三角形概述
相似三角形的定义
1 2
相似三角形定义
如果两个三角形有相同的角，则它们是相似的。
相似三角形的形状和大小关系
相似三角形具有相同的形状，但不一定相同的大 小。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成相同的 比例。因此，通过测量一个三角形的边长，可以确定另一个三角形的边长，从 而计算出比例尺。
利用相似三角形的性质求面积比
总结词
相似三角形的性质可以用于求面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边长成相同的比例，因此它们的面积 比也成பைடு நூலகம்同的比例。通过测量一个三角形的面积，可以确定另一个三角形的面积 ，从而计算出面积比。
设两个相似三角形的相似比为k，已知 其中一条对应边的长度为a和b，则其 他对应边的长度为ka和kb。利用相似 三角形的性质，可以求出比例尺。
例题二：求面积比
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长，求出面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长成比例，设相似比为k，则面积比为k^2。已知相似三角形 的一组对应边长，可以求出面积比。
利用相似三角形的性质研究图形形状
总结词
相似三角形的性质可以用于研究图形 形状。
详细描述
相似三角形的性质表明，它们的对应 角相等，因此可以通过比较两个相似 三角形的对应角来确定它们的形状。 此外，相似三角形还可以用于研究其 他几何图形的形状。
04
相似三角形的例题解析
例题一：求比例尺
总结词
通过已知相似三角形的一组对应边长 ，求出其他对应边长的比例尺。
相似三角形的性质课件
目 录
• 相似三角形概述 • 相似三角形的判定 • 相似三角形的性质应用 • 相似三角形的例题解析 • 相似三角形的练习题 • 总结与回顾
01
相似三角形概述
相似三角形的定义
1 2
相似三角形定义
如果两个三角形有相同的角，则它们是相似的。
相似三角形的形状和大小关系
相似三角形具有相同的形状，但不一定相同的大 小。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成相同的 比例。因此，通过测量一个三角形的边长，可以确定另一个三角形的边长，从 而计算出比例尺。
利用相似三角形的性质求面积比
总结词
相似三角形的性质可以用于求面积比。
详细描述
根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边长成相同的比例，因此它们的面积 比也成பைடு நூலகம்同的比例。通过测量一个三角形的面积，可以确定另一个三角形的面积 ，从而计算出面积比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
25 ∴S△ABC= 4 25 4
归纳小结
1、相似三角形周长、对应高、对应中线、 相似比 。 对应角平分线的比都等于______
2、相似三角形面积的比等于相似比的平方 __________。
3、学习反思：____________________。
强化训练
1、连结三角形两边中点的线段把三角 形截成的一个小三角形与原三角形的 1 1 周长比等于____ 2 ，面积比等于____ 4 。 2、如果两个相似三角形面积的比为
F
练习
1、两个相似三角形对应高的长分别是 6cm和18cm，若较大三角形的周长是 2 42cm，面积是12cm ，则较小三角形
4 2 的周长为____cm ，面积为____cm 。 14 3
2、在△ABC中，DE∥BC， EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9， B 求△ABC的面积。
1、如果把一个三角形各边同时扩大为 原来的5倍，那么它的周长也扩大为原 来的____ 5 倍。
2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，
那么△ADE的周长︰△ABC的周长
＝_______ 1︰3 。
知识点三：相似三角形面积的比
S ABC 若 k ，则 S ABC 的 比值与 k有什么关系？ 等于k 2
27.2.2 质
相似三角形的性
一、新课引入 1、相似三角形有哪些性质？ 2、什么叫做相似比？ 答：1、相似三角形的性质有： ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边的比等于相似比。 2、相似多边形对应边的比平分线的比
已知，如图，△ABC∽△A′B′C′ AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高， （1）相似三角形的对应高 的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。 相等
∴
kAB kBC kCA AB BC CA k AB BC CA AB BC C A
相似比 。 归纳 相似三角形周长的比等于______ 用类似的方法，还可以得出： 相似比 。 相似多边形周长的比等于_______ 练一练
结论: 相似三角形对应高的比，对应边上的 中线，对应角平分线的比等于相似比 ______。
知识点二：相似三角形的周长比 已知，如图，△ABC∽△A′B′C′， A 探究下列问题: A'
B C B' C'
△ABC与△A′B′C′的对应边有什么 关系？ AB BC CA k AB BC C A
AB BC CA = AB BC CA
结论: 相似比的平方。 相似三角形面积的比等于___________
用类似的方法，可以把两个相似多边形 分成若干对相似三角形，因此可以得出： 相似多边形面积的比等于___________ 相似比的平方。 1、略（P38例3） 2、如图，在ΔABC 和 ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是 12，求ΔDEF的周长和面积。
Thank you!
“引导学生读懂数学书”课题 研究成果配套课件
新课引入
展示目标
研读课文
归纳小结
强化训练
第二十七章
相似三角形
第七课时
27.2.2 相似三角形的性质
课件制作 怀集县下帅民族学校初中 谭雄科
二、学习目标
1 相似三角形的一切对应线段 的比都等于相似比；
2
理解并初步掌握相似三角形 周长的比等于相似比，面积 的比等于相似比的平方；
能用三角形的性质解决简单 的问题．
3
A D E
F
C
解：∵DE∥BC，EF∥AB ∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF ∴ △ADE∽△EFC A 而S△ADE=4，S△EFC=9
∴ ∴ ∴
AE 4 EC 9
2
D
E
AE 2 EC 3
AE 2 AC 5
2 2
B
F
C
s ADE AE 2 4 s ABC AC 5 25
A D
B
C E
F
解：∵AB=2DE，AC=2DF
AB AC ∴ DE DF 2
A D
∵∠A=∠D B C E ∴ΔABC∽ΔDEF 设ΔDEF的周长为x，面积为y。 又∵ΔABC的周长是24，面积是12 24 12 2 ∴ 22 x y ∴ x=12 y=3 ∴ΔDEF的周长是12，面积是3。
AB BC CA k 若 AB BC C A
,则
AB BC AC AB BC AC
的比值是否等于k ,为什么？ 证明:∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为
AB BC CA k ∴ AB BC C A
∴ AB kAB，BC kBC ，CA kC A
证明:(1)∵△ABC∽△A′B′C′
∴
AB BC CA k AB BC C A
∠B=∠ B′
又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB ∴ k AD AB
同理可证：相似三角形对应边上的中线， 对应角平分线的比也等于K。
3∶5 ，那么它们的相似比为_______ 3∶ 5 ，
周长的比为________ 3∶ 5 。
强化训练
3、在一张复印出来的纸上,一个多边形 的一条边由原图中的2cm变成了6cm， 这次复印的放缩比例是多少？这个多 边形的面积发生了怎样的变化？ 解：∵比例是6∶2 = 3∶1 ∴这次复印的放缩比例是300% 又∵面积比是9∶1 ∴这个多边形的面积扩大到9倍
强化训练
4、如图，在正方形网格上有△A1B1C1 和△A2B2C2，这两个三角 形相似吗？如果相似， 求出△A1B1C1和△A2B2C2 的面积比。 (第 3 题)
解：相似 （△A1B1C1∽△A2B2C2 ）
A1C1 4 2 A2 C2 2
∵
∴
SA1B1C1 SA2 B2C2
22 4