化工容器设计第二次作业

4、如图所示的一带后盖的钢制圆筒，承受
p=2.0MPa 的均匀气体压力。

已知
300,10i D mm t mm ==，试计算平盖与筒体连接处的边缘力矩和边缘力及最大最
力。

解:圆筒在内压p 及Q 0、M 0作用下的平行圆径向位移与经线转角分别为
00
002
1110102
1111
1010
3211
11
(2),0
211,211,22p
P M M Q Q pR Et M M D D Q Q D D μθθββθββ∆=--=∆=-=∆=-=
又因为圆筒是刚性的于是有2∆=0 ,2θ=0
则根据变形协调方程 : p 1∆+0
1M ∆+01Q ∆=2∆
p 2θ+02M θ+02Q θ=2θ
带入得: Et pR 22（2-μ）-D 321β M 0-D
3
21β Q 0=0 (a)
D β1 M 0+D
2
21
β Q 0=0 (b)
则: 00
112M Q β=-
带入(b)式得：
()200331111
11
20242pR Q Q Et D D μββ--+=
解得：Q 0=Et D pR 322β（2-μ），M 0=Et
D
pR 22β（2-μ）
又因为：D=)1(122
3
μ-Et ,β=Rt
4
2)1(3μ- 带入：Q 0 ，M 0
)()()()1
1224
2
00
0.379912,0.189912Q M
pRt μ
μμ
μ--=--=--
又因为：p=2.0MPa ，R=150mm ，t=10mm ，则
()()()()113
224
2
00
29.4261012,569.712Q M
μ
μμ
μ--=⨯--=--
因为圆筒中的应力表达式如下 x σ=p x σ+0
M
x σ=
t pR 2+26t
M x
则： θσ=p θσ+0
M θσ=
t pR +t N θ
26t
M x
又因为圆筒中各应力的计算公式：
()()
()()
()()
342222223cos sin 23sin cos 23sin cos x x x x pR e D N x x Et pR e D M x x Et
pR e D M x x Et βθββθβμβββμβββμμββ---=--=-+=-+
x σ=t pR 2+)
1(222
2μβ-pR （2-μ）e x β-（sin x β-cos x β） （1）
θσ=t pR +)
1(6222μβ-pR （2-μ）e x β-[])cos (sin )cos (sin )1(32
x x x x ββμββμ-+-
（2） 取
dx d x σ=0和dx
d θσ
=0 对一求导得： 4x πβ=
2某一半径为R 的钢制不等厚的圆筒体，如图（2）所示。

上筒体和下筒体的厚度分别为t 1和t 2。

试计算： 1、
再均匀内压p 作用下的边缘力矩和边缘力的一般表达式。

设E 1=E 2=E 3,1μ=2μ=3μ,且令f =t 1∕t 2，则D 1∕D 2=f
3
,2β∕1β=1∕
f 。

2、若2R=3500mm ，t 1=40mm ，t 2=50mm ，p=3.0MPa ，两筒体连接处的总应力及总 应力与筒体环向薄膜应力的比值（E=2⨯105MPa ，3.0=μ）。

解：两个圆筒1和2在内压p 及Q 0、M 0作用下的平行圆径向位移与经线转角分别为：
p
1
∆=-1
2
2Et pR （2-μ） ， p 1θ=0 01M ∆=-
1
2
121D β M 0 ， 01M θ=-
1
11
D β M 0
01Q ∆=-1
3121D β Q 0 ， 01Q θ=-
1
2
121
D β Q 0
和
p
2
∆=-2
2
2Et pR （2-μ） ， p 2θ=0 02M ∆=-
2
2
221D β M 0 ， 02M θ=-
2
21
D β M 0
02Q ∆=-2
3221D β Q 0 ， 02Q θ=-
2
2
221
D β Q 0
将上式带入变形协调方程：00001
11222M Q M Q p p
∆+∆+∆=∆+∆+∆ 0
111222M Q M Q p p θθθθθθ++=++
则有：
()()22000023231111122222111122242242pR pR M Q M Q Et D D Et D D μμββββ----=---+
000022
111122221111
22M Q M Q D D D D ββββ-
-=-
解得： M 0=-14βp
（f -1）（2-μ）∕⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+--+
)(2)1(132
2f f f f f Q 0=-
102βQ （2f -1）∕⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
f f 12 又因为：f =t 1∕t 2=1.25，则 M 0=-0.23
2
1
βp
（2-μ）
Q 0=-0.03
1
βp
（2-μ）
因为β=
Rt
4
2)1(3μ-=1.65Rt ，则 M 0=-0.14pRt
Q 0=-0.03p Rt
又因为圆筒中各应力的计算公式：
()
0.15660.525 3.9310cos 0.150.5110sin 0.15x N e x x θ-=-⨯+⨯
()0.15663.9310sin 0.150.5110cos0.150.15x
x e M x x -=-⨯+⨯ ()
0.15662 3.9310sin 0.150.5110cos 0.15x M e x x θ-=-⨯+⨯
因为圆筒中的应力表达式如下 ∑1x σ=p x σ+0
M
x σ=
t pR 2+26t M x
则： ∑1θσ=p θσ+0
M
θσ=
t pR +t N θ+26t
M x
∑1
x
σ
=68.4MPa 或62.8MPa
∑1
θσ= 120.3MPa
118.6MPa
∑2x
σ
= 54.3MPa
51.7MPa
∑2
θσ= 96.9MPa
95.9MPa
因为筒体环向薄膜应力为
t
pR
，则： 1)(x k =（0.5±0.021） 1)(θk =（1-0.089±0.006） 2)(x k =（0.5±0.017） 2)(θk =（1-0.082±0.006）。