高中数学联赛二试训练

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全国高中数学竞赛二试模拟训练题

加试模拟训练题（17）1、设ABCD是梯形，AB // CD，在其两腰AD , BC上分别存在点P,Q，使得.APB CPD,. AQB二.CQD，证明点P,Q到梯形两对角线的交点的距离相等。

2、已知a,b,c E (0, +型)，且a + b + c =1，求证：a(3a^1^ b(3b21)+ c(3c2°兰0.1+a21+b21+c23、在由18 个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过8 轮，即每个队都与8 个不同的队进行过比赛．证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛．4、证明不存在正整数n ，使2n2+1，3n2+1，6n2+1 都是完全平方数。

加试模拟训练题(17)1、设ABCD 是梯形， AB // CD ，在其两腰 AD ,BC 上分别存在点 P,Q ，使得APB =/CPD, AQB —CQD ，证明点 P,Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

(20届全俄)证明设 APB 与 CPD 的外接圆交于点Q i ，则有.CQf BQf = 180’-/CDP 180’-/BAP =180，所以点 Q 1 在 BC 上。

又因为 ZCQ-i D = - CPD = • APB = - AQ-i B ，所以 Q^ Q 。

设二 APB 与=CPD 的外接圆半径分别为RR ，. APB 八，则AB =2R sin R ，因此人。

与BD 的交点O 是CD 2R> siR 2APB 的外接圆与 CPD 的外接圆的位似中心，设，APB 与 CPD 的外接圆的圆心分别为 O 1Q2，则O 在O 1O 2上，且O 1O 2是PQ 的中垂线，于是有 OP =OQ 。

再分别令x =a, b,c ，代入上式，相加得 a(3a -1) b(3b —1) c(3c —1)3 2 2 2 [3(a b c) 一3] =0.1 a2 1 b 2 1 c 2 10 3、在由18个队参加的足球循环赛中，彼此之间已赛过 8轮，即每个队都与 8个不同的队进行过比赛•证明：一定能找出三个队彼此之间至今还没有进行过一次比赛.【证】从某队A 开始考虑，由已知在前八轮比赛中它与8个队比赛，与9个队未赛过•而在这未赛的9个队中一定有两个队彼此没有赛辻事实上这9个队彼此间共有C 冷36场比赛，而在每轮中他们之间的比赛最多只能安排 4场(一个队轮空)，故在前8轮中，最多只赛32场•所以一定有两队彼此没有赛过，设为 B 、C.那么，A 、B 、C 三队在前8轮中彼此没有赛过一场.4、证明不存在正整数 n ,使2n 2+1, 3n 2+1, 6n 2+1都是完全平方数。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(61)

加试模拟训练题（61）1．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.2. 设n（≥2）是整数，证明：3.在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．对任意一个小方格，AααMB CK NEROQ Fr P将与它有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相应的小方格中，这称为一次变动．是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为1？4. 求出大于1的整数n 的个数，使得对任意的整数a ，都有a an 25|加试模拟训练题（61）1．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.2. 设n （≥2）是整数，证明：【题说】1992年日本数学奥林匹克题3．AααMBCKNE R OQF rP3. 在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．对任意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相应的小方格中，这称为一次变动．是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为1？【题说】 1992年中国数学奥林匹克题3．【解】答案是否定的．如图a(未填数的空格中填1)经一次变换得图b ，再经一次变换又恢复为图a ，反反复复，永远不能使所有的数都变成1．4. 求出大于1的整数n 的个数，使得对任意的整数a ，都有a a n -25|解设满足条件的正整数组成集合S ，若a an -25|，a a m -25|，则a a n m -25|],[，因此S 中全部数的最小公倍数也属于S ，即S 中的最大数是其余每个数的倍数。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(14).doc

加试模拟训练题(14)1、非等腰MBC的内切圆圆心为7 ,其与BC,CA,AB分别相切于点A V B V C{, AA V BB l分别交圆于总，AAMG中的角平分线分别交0Ci，AG于点4，用，证明(1)怂％是Z即的角平分线；(2)如果P,Q是AA t AA3和△鸟为坊的两个外接圆的交点，则点7在直线FQ上。

2、对任意实数x, y, z,…1-J19 , , , 1 + V19 , , ,试证：------ (x~ + y~ +9z") < xy + 2xz + 3yz < ------- (x~ + y' + 9z~).6 63、设〃是正整数，我们说集合｛1, 2, •••, 2〃｝的一个排列(x｝,x2,•■-x2n )具有性质P, 是指在｛1, 2, •••, 2.n—1｝当中至少有一个，，使得I羽一电+] 1= 〃.求证，对于任何〃，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方程\p r~q s\= 1的整数解，其中是质数，r,s是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题（14）1、非等腰\ABC的内切圆圆心为7 ,其与BC,CA,AB分别相切于点ApBpCp AA l,BB i 分别交圆于劣,坊，M鸟G中/。

1耳鸟,/03&的角平分线分别交3£1，片0于点々，马，证明（1）人②劣是的角平分线；（2）如果F,Q是Maa和△鸟马旦的两个外接圆的交点，则点7在直线FQ上。

证明 (1)因为 AAC.A s MAC , AAB,A2 - AA4.B,，所以有C,A, AA, AA, B.A, ,, C,A? C.A C.A, Hl, 4，八八小里二=一=—=工^,从而有= _口 = 工A,即&A是Z5.AC.的角平分线。

C t A t AC X AB X3/] 片总B i A i B I A3(2)设MA?A 的外心为0,连OI,1A2,0A2,OA,,则01± A/2。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(72)

加试模拟训练题（72）1、在△ABC 中，AB=AC ，有一个圆内切于△ABC 的外接圆，且与AB 、AC 分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是△ABC 的内心。

2.设a 1，a 2，a 3，…是一不减的正整数序列，对于m ≥1，定义b m =min ｛n|a n ≥m ｝（即b m 是使a n ≥m 的n 最小值），若a 19=85，试求a 1+a 2+…+a 19+b 1+b 2+…+b 85的最大值．图9-4O O P A Q CD B3.在有n 个座位的旋转木马上，小孩依次玩了n 次．他每骑一次木马后，便沿着顺时针方向转换到另一个座位上．每次换位的过程中不超过一圈(即不能转过原先的座位)．换位时移过座位的个数称为换位长度(例如从第一位换到第四位，换位长度为3)．如果n －1次的换位长度各不相同，问n 为怎样的数时，才能使小孩在n 次游戏中，每个座位恰都坐过一次？4.求满足不等式222332a b c ab b c +++<++的,,a b c Z ∈。

加试模拟训练题（72）1、在△ABC 中，AB=AC ，有一个圆内切于△ABC 的外接圆，且与AB 、AC 分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是△ABC 的内心。

解：设小圆圆心为1O ，⊙1O 与△ABC 的外接圆切于D ，连A 1O ，显然A 1O ⊥PQ ，且△ABC 为等腰三角形，所以A 1O 过△ABC 的外接圆，D 在A 1O 的延长线上，从而O 为△ABC 的顶角∠BAC 的平分线的点，下面只需证OB 平分∠ABC 。

为此，连接OB 、PD 、QD ，由对称性易知，OD 平分∠PDQ ，而∠APQ=∠PDQ ，PQ ∥BC ，故∠APQ=∠ABC ，∠PDQ=∠ABC ，由P 、B 、D 、O 四点共圆得∠PBO=∠PDO=21∠PDQ 。

所以∠PBO=21∠ABC 。

于是O 为△ABC 的内心。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(14).doc

加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点A^B^C,, AA r, BB, 分别交圆于爲,场，AAQG中的角平分线分别交dG，£G于点九，场，证明(1)乌令是G的角平分线；(2)如果P,0是AA］出含和肚屁场的两个外接圆2、对任意实数兀,y,z，试证：-―(%2 + y2 +9z2) < xy + 2xz + 3yz < +(x2 +)；2 +9z2).3、设"是正整数，我们说集合｛1, 2, •••, 2"｝的一个排列（勺內‘…心）具有性质P，是指在｛1, 2, •••, 2"—1｝当中至少有一个几使得I X； - x j+l \= n.求证，对于任何"，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方p r -q s 1= 1的整数解，其中是质数，r,s是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.加试模拟训练题(14)1、非等腰AABC的内切圆圆心为/，其与BC,CA,AB分别相切于点4,冋,G ,妙,BB{ 分别交圆于％，场，AA0C1中ZC1A1B I,ZC I B1A1的角平分线分别交于点九,％，证明(1) %令是的角平分线；(2)如果P,0是AA.A4和的两个外接圆的交点，则点/在直线PQ上。

证明(1 )因为AAQA s , AA5,A s AA4Q ,所以有呈=AA^ =业，从而有尘=£A =,即4 4是的角平分线。

C/1 AC] AB X B}A X BjA,昭B{A3A(2)设AA]令&的外心为O,连01,1\,0^,0\,则0/丄4令。

由于ZA J A3A=ZAC4 + ZC^A3 + ZQ^Aj = ZA]C]4 +|(ZC1A2B I + ZCjA.fi! ) = 90° + ZA1C/2，所以ZA2OI=^=180°- ZA,A3A = 90° - Z^QA2 = 90° - ZA2IO , 于是有ZZ42O=90°,即他与O相切于厶。

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(20).pdf

加试模拟训练题（20） 1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

2、已知，求证： 3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了． 4、求所有的素数，使与也是素数。

加试模拟训练题（20） 1、设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

（6届全苏）证明设的重心分别为，则四边形是平行四边形，并满足分别平行于，，从而有。

设的垂心分别为，则均三点共线，且四边形是平行四边形，并满足分别垂直于。

设，不妨假设，则，所以有，即。

同理，于是有。

因此平行四边形与相似，若把其中的一个平行四边形旋转，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有。

2、已知，求证： 3、一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了．【证】设在某次调整前糖最多的人有2m块，最少的有2n块，m＞n，那末可以看出： (1)调整后每人的糖的块数仍然在2n与2m之间．因为若某孩子原有2k块，在他左边的有2h块，n≤k≤m，n≤h≤m．那么调整后这孩子所得的块数k＋h满足2n≤k＋h≤2m．只有当k＋h是奇数时(这时k＋h＜2m)，可补要一块，仍不超过2m块． (2)原来拿糖超过2n块的，调整后仍超过2n块，因为由k＞n，h＞n，得k＋h＞2n． (3)至少有一个原来糖为2n块的孩子调整后糖至少增加一块．因为至少有一个拿2n块的孩子左邻拿着2k＞2n块，调整后这个孩子至少要拿n＋k＞2n块．由于每调整一次，拿2n块的孩子至少少了一个，所以若干次后，每个孩子的糖的块数都大于2n，又由于每人的糖的块数始终≤2m，所以若干次调整后，糖块最多与最少的差至少减少1．因此，有限次调整后，各人的糖的块数就会变成相同了． 4、求所有的素数，使与也是素数。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(51)

加试模拟训练题（51）2. 设a、b、c、d都是正实数,求证不等式垂直；与点，求证直线的延长线交于、为切点，并且、、、都相切，的三边所在的三条直线与和圆如图，圆BCPAPFHEGHGFEABCOO21.13. 在黑板上相继写下四个数：7956、3923、5857、9725．再接着写出这四个数的和除以10000所得的余数,然后擦去第一个数,对留下的四个数,再按前面的方法处理,如此继续下去,试问黑板上出现的四个数能否是1989、1989、1989、1989？4.试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a加试模拟训练题（51）垂直；与点，求证直线的延长线交于、为切点，并且、、、都相切，的三边所在的三条直线与和圆如图，圆BCPAPFHEGHGFEABCOO21.12. 设a 、b 、c 、d 都是正实数,求证不等式【题说】第三十四届（1993年）IMO 预选题本题由美国提供．【证】由柯西不等式即又（a-b ）2+（a-c ）2+（a-d ）2+（b-c ）2+（b-d ）2+（c-d ）2≥0结合（1）、（2）即得结论．3. 在黑板上相继写下四个数：7956、3923、5857、9725．再接着写出这四个数的和除以10000所得的余数,然后擦去第一个数,对留下的四个数,再按前面的方法处理,如此继续下去,试问黑板上出现的四个数能否是1989、1989、1989、1989？【题说】第十五届(1989年)全俄数学奥林匹克九年级题4．【解】由(1989、1989、1989、1989)出发,按所述方法处理,第5组为(7956、3923、5857、9725)．由于不同的四元数组的组数≤1016,在(1016＋1)组中,必有两组相同．易知,每一组也唯一地确定其前一组,从而必有一组等于第1组,因此,黑板上可出现(1989、1989、1989、1989),而且可出现无限多次．4.试确定使72++b ab 整除b a b a ++2的全部正整数对).,(b a解：.7)7()(222a b b ab a b a b a b -=++-++ )7(722a b b ab -++∴ （i ）若072>-a b 则有：22277.ab b b a b ++≤-<矛盾；（ii ）若072<-a b 则.77722a b a b ab <-≤++ 72<∴b , 1=∴b 或.2=b 当1=b 时,题设成为8+a 整除57)8(717,17-+=--a a a 有得293578⨯=+a ,21a ∴=或49=a当2=b 时,a a 7494-+ 由于)94(2470+<-<a a 知：4794-=+a a 无整数解；（iii ）若072=-a b 则27,7k a k b ==其中+∈Z k 此时b a b a ++2除以72++b ab 商恰为k,题设条件满足。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(64)

加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．B C O I A O G H O G H G O G H 1231122333. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。

加试模拟训练题（64）1．锐角△ABC 中,O ,G ,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外,重心到三边距离和为d 重,垂心到三边距离和为d 垂.求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1,三个内角记为A ,B , C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ,∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C , 同样可得BH 2·CH 3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2, ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2,HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论,观察①、②、③,须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.2. a 1,a 2,…,a n 是正整数1,2,…,n 的任一排列．设f （n ）是下述排列的个数,它们满足条件:（1）a 1=1（2）|a i -a i+1|≤2,i=1,2,…,n-1试问f （1996）能否被3整除．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】我们把满足条件（1）、（2）的排列a 1,a 2,…,a n 称作n 项正则排列．对于n 个数的正则排列,由于a 1=1,故a 2=2或3．（1）若a 2=2,则a 2,a 3,…,a n （的各项减去1后）是n-1项的正则排列,其个数为f （n-1）．（2）若a 2=3,a 3=2,则必有a 4=4,故a 4,a 5,…,a n （的各项减去3后）是n-3项的正则排列,其个数为f （n-3）．（3）若a 2=3,a 4≥4．设a k+1是该排列中第一个出现的偶数,则前k 个数应是1,3,5,…,（2k-1）,a k+1是2k 或（2k-2）．因此,a k 与a k+1是相邻整数．由条件（2）,这排列在a k+1后面的各数,要么都小于它,要么都大于它．因为2在a k+1之后,故a k+2,…,a n 均比a k+1小．这只有一种可能,即先依递增次序排出所有≤n 的正奇数,再接着依递减次序排出≤n 的正偶数．综上所述,有递推关系f （n ）=f （n-1）+f （n-3）+1,n ≥4容易算出:f （1）=1,f （2）=1,f （3）=2,f （4）=4,等等模3的余数依次是B C O IA O G H O G H G O G H 1231122331,1,2,1,0,0,2,0,1,1,2,1,…以8为周期．因为1996≡4（mod 8）所以f （1996）≡f （4）≡1（mod 8）故f （1996）不能被3整除．3. P 在坐标平面的格点上移动,当P 的坐标为(a,b)时,若a ＋b 除以4所得的余数分别为0,1,2,3时,点P 分别向右、上、左、下移动一个单位．从某个格点P 0出发,按上述规则移动10次,P 走到(0,10)点．求P 0的一切可能位置．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】对于P ＝(a,b)．记a ＋b 除以4的余数为m(P),点移动的情况如下表所示设从P 0出发,经n 次移动后移动到P n 处．由上表知,当i ≥1时,m(P i )＝1或2,且P i ＋2＝P i ＋(－1,1)．所以P 10＝P 8＋(－1,1)＝…＝P 2＋4(－1,1)即P 2＝P 10－4(－1,1)＝(4,6)P 1＝(4,5)由上表即知P 0＝(3,5)或(5,5)．4.设a,b 为正整数,对任意的自然数n 有n n a n b n ++,则a=b 。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(27)(1)

加试模拟训练题（27）一、在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高．连接△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线，别离与边 AB 及 AC 交于K 及L 两点．△ABC 与△AKL 的面积别离记为S 与T ．求证：S ≥2T ．2.设ABC ∆三边长为c b a ,,，有不等式∑∑-+≥-,)(31)(22c b a c b c b ------① 试证不等式①中的系数31是最优的. 3、设n x x x ,,,21 为实数，知足,12232221=++++n x x x x 求证：关于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数,,,,21n a a a 使得),,,3,2,1(1||n i k a i =-≤而且4、设101010=a ，计算某礼拜一后的第a 天是6礼拜几？加试模拟训练题（27）一、在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高．连接△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线，别离与边 AB 及 AC 交于K 及L 两点．△ABC 与△AKL 的面积别离记为S 与T ．求证：S ≥2T ．【题说】第二十九届(1988年)国际数学奥林匹克题5．此题由希腊提供．【证】设△ABD 的内心为M ，△ACD 的内心为N ．由于△ADB ∽△CDA ，并注意到DM 与DN 是由D 动身的两条分角线，故有DM DN ＝BDAD 且∠MDN ＝90º从而得 △NMD ∽△ABD因此，△DMN 与△ABD 的对应边的交角相等，即∠LKA ＝∠BDM ＝45º．故△ALK是等腰直角三角形．又由∠AKM ＝45º＝∠MDA ，那么△AMK ≌△AMD得AK ＝AD ＝AL于是T ＝12 AK ·AL ＝12AD 2＝12·AB 2·AC 2AB 2＋AC 2因此S 2T ＝AB 2＋AC 22AB ·AC≥1，即S ≥2T 2.设ABC ∆三边长为c b a ,,，有不等式∑∑-+≥-,)(31)(22c b a c b c b ------① 试证不等式①中的系数31是最优的.分析可将系数31一样化，设系数为k ，再证明k 的取值范围是31≤k . 证明在不等式①中，取b a =，设∑∑-+--=22)()(b a c b a k b a ε 令b a =，因此22)(2)(2c b b c b k c b -+--=ε],)1([)(22c k k b b c b k ---= 又因在ABC ∆中，三边长为c b a ,,，取b a =，显然有不等式,02>-c b 因此，要使0≥ε，注意到k 为正数，那么须21≥-k k ，即31≤k ，但已证不等式①是成立的，故31=k 是不等式①的最优值.3、设n x x x ,,,21 为实数，知足,12232221=++++n x x x x 求证：关于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数,,,,21n a a a 使得),,,3,2,1(1||n i k a i =-≤而且.1)1(||2211--≤+++n n n k n k x a x a x a （1987年第28届IMO 试题3）【证】由柯西不等式得即.||||||21n x x x n ≤+++ 因此，当10-≤≤k a i 时，有把区间[0，n k )1(-]等分成1-n k 个小区间，每一个小区间的长度1)1(2--k n k ，由于每一个i a 能取k 个整数，因此||||||2211n n x a x a x a +++共有n k 个正数，由抽屉原那么知必有二数会落在同一小区间内，设它们别离是∑='n i i i x a 1||与,||1∑=''n i i i x a 因此有.1)1(||)(21--≤''-'∑=k n k x a a n i i i i ① 很明显，咱们有 .,,2,1,1||n i k a a i i =-≤''-' 此刻取⎩⎨⎧<'-''≥''-'=.0,,0,i i i i i i x a a x a a a 如果如果那个地址,,,2,1n i =于是①可表示为.1)1(||1--≤∑=n n i i i k n k x a 那个地址i a 为整数，适合 4、设101010=a ，计算某礼拜一后的第a 天是6礼拜几？解；礼拜几的问题是被7除求余数的问题。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(83).pdf

加试模拟训练题（83） 2.?数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差． 3. 已知平面上n(n＞2)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线． 4 .设，。

（1）若，求证：是完全平方数（2）存在无穷多个，使得加试模拟训练题（83） 2.?数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差．【题说】1990年南昌市赛二试题1．此数列即为斐波拉契数列．【证】数列的前4项为1，1，2，3，因此对一切自然数n≥2， ? 3. 已知平面上n(n＞2)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线．【题说】 1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题2．简单闭折线即不自身相交的闭折线．【证】设已知点为A1，A2，…，An，L为经过这些点的最短的闭折线．若L不是简单闭折线，则L有两段，设为AiAj、AsAt相交于内点P，这时 AiAt＋AsAjAiP＋PAt＋AsP＋PAj ＝AiAj＋AsAt L中的线段AiAj、AsAt改为AiAt、AsAj，则折线的长度减少，与L的最小性矛盾，从而L一定是简单闭折线． 4 .设，。

（1）若，求证：是完全平方数（2）存在无穷多个，使得解析：，，。

可以得到，得证。

可以得到，取即可。

A B C M N L K A B C M N L K。

全国高中数学联赛第二试试题

全国高中数学联赛第二试试题一、选择题1、试找出最大的正整数N ，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N 。

2、设非负整数数列a 1,a 2,…,a 2007满足：a i +a j ≤a i+j ≤a i +a j +1，对一切i,j ≥1,i+j ≤2007成立。

证明：存在实数x ，使对一切1≤n ≤2007，有a n =[nx].3、以ΔABC 的三边向外作正方形ABED ，BCGF 和CAIH ，直线DI ，EF ，GH 交成ΔLMK ，其中K=DI ∩EF ，M=DI ∩GH ，L=EF ∩HG 。

求证：ΔKLM 中KM 上的中线LN ⊥BC 。

以下是答案一、选择题1、解 N=209。

先证明N ≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N ≤209。

再证N 不能小于209。

考察子集M 1={1，2，…，91}和M 2={300，301，…，400}，将凡是填有M 1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M 2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。

那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。

设有i 行和j 列被染为红色，于是，M 1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij ≥91,从而i+j ≥2ij ≥291≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和.201012''2''>≥≥+j i j i2、证明先证对任意m,n ∈N +,1≤m,n ≤2007，有ma n a m n 1+<，即ma n <na m +n. ① （1）当m=n=1时a 1<a 1+1，结论成立；（2）设m,n 都小于k 时，命题成立，ⅰ）当m=k,n<k 时，设m=nq+r ，则a m ≥a nq +a r ≥q an +a r ，所以na m ≥nqa n +na r ，所以na m +n ≥nqa n +na r +n=ma n -ra n +na r +n>ma n ；ⅱ）当n=k, m<k 时，设n=mq+r, 0≤r<m ，则a n ≤a qm +a r +1≤a (q-1)m +a r +a m +2≤…≤q am +a r +q ，由归纳假设ra m +r ≥ma r ,所以ma n ≤mqa m +ma r +mq<mqam+ra m +r+mq=na m +n ，所以当m,n 至少有一个为k 时结论成立，而m=n=k 时，结论也成立，所以由数学归纳法，①得证。

全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。

求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。

证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。

同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。

于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。

因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。

充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。

ABDCEFP1O 2O因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得：（∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ，即∠ABP =∠ACP 。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(26)

加试模拟训练题（26）1、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ,交外接圆于N ,自点L分别向AB 和AC 作垂线LK 和LM ,垂足分别为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．2. 设),0(,,∞+∈z y x ,且1=xyz ,证明 .43)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z z x y z y x3、若四位数n abcd 的各位数码,,,a b c d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数．4、如果一个正整数n 在三进制下表示的各数字之和可以被3整除,那么我们称n 为“好的”,则前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题（26）1、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ,交外接圆于N ,自点L 分别向AB 和AC 作垂线LK 和LM ,垂足分别为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题 2．本题由原苏联提供．【证】作△ABC 的高AH ,则A 、K 、H 、L 、M 五点共圆．连结KH 、HM 、HN 、BN 和NC ,便有 ∠KHB ＝∠BAL ＝∠NAC ＝∠HBN∠MHC ＝∠MAN ＝∠NAB ＝∠NCH故知 KH ∥BN ,HM ∥NC ．从而有S △KBH ＝S △KNH ,S △HMC ＝S △HMN由此即得 S △ABC ＝S △AKNM易知△ABL ∽△ANC ,所以AB AL ＝AN ACAB ·AC ＝AN ·AL S △ABC ＝12AB ×ACsinA ＝12AL ×ANsinA＝2×12(AL ×cos A 2)×AN ×sin A 2＝2×12AK ×ANsin A 2＝2S △AKN ＝S AKNM2. 设),0(,,∞+∈z y x ,且1=xyz ,证明 .43)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z z x y z y x （1998年第39届IMO 预选试题）分析可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明,也可以将所证不等式进行等价转化。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(37).pdf

加试模拟训练题（37） 1、圆O内切于四边形ABCD，与不平行的两边BC、AD分别切于E、F点．设直线AO与线段EF相交于K点，直线DO与线段EF相交于N点，直线BK与直线CN相交于M点．证明：O、K、M和N四点共圆． 2、求证：不存在这样一个函数f：N0→N0，N0＝{01，2，3，…，n，…}，使得对于任何n∈N0，f[f(n)]＝n＋1987 3、将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片？ 4、方程是否有解。

5、设是区间[2，100]中的整数，证明存在正整数n使得是合数. 加试模拟训练题（37） 1、圆O内切于四边形ABCD，与不平行的两边BC、AD分别切于E、F点．设直线AO与线段EF相交于K点，直线DO与线段EF相交于N点，直线BK与直线CN相交于M点．证明：O、K、M和N四点共圆．【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题3．【证】设内切圆O切AB于P点，连结OP及PE，则∠AOP＝∠FEP且都等于的一半，所以O、、、OPB＝∠OEB＝90o，所以O、P、E在以OB为直径的圆周上．从而K点也在这个圆周上．所以∠BKO＝90o．同理可证∠CNO＝90o．于是 ∠ONM＋OKM＝180o 所以O、K、M和N四点共圆． 2、求证：不存在这样一个函数f：N0→N0，N0＝{01，2，3，…，n，…}，使得对于任何n∈N0，f[f(n)]＝n＋1987 【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题4．本题由越南提供．【证】假设存在这样的函数f，则有 f(n＋1987＝f[f[fn)]]＝fn)＋1987 f(n＋1987m＝fn)＋1987mm∈Z)．令i，j∈{0，1，2，…，1986}＝M 若f(i)≡j(mod 1987)．设j＝fi)＋1987k f(j)＝f[fi)＋1987k]f[f(i)]≡i(mod 1987) 因M的元素个数为奇数，故总存在n∈N，使 f(n)≡n(mod 1987) 设f(n)＝n＋1987kk∈Z)，则 f[f(n)]＝fn＋1987k＝fn)＋1987k ＝n＋19872k(k∈Z) 由题设f[f(n)]＝n＋19872k＝18×8方格纸板的一角剪去一个2×2正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片？【题说】第四届(1989年)东北三省数学邀请赛二试题3．【解】如图a，在余下的60个方格中填上1与－12或－2 若能剪成15块，设其中和为2的有x块，和为一2的有y块，则这方程组的唯一解x＝y＝152不是整数，这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片．【别解】若将小方格如图b填上1和－11或－115块数字总和不为0，但整个图b数字之和为0．矛盾． 4、方程是否有解。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(53).doc

c 1加试模拟训练题(53)1. 在△如T 的边BC,京上分别取点只Q, S 证明以4BQP, △双的外心为顶点的三角形与△，幽相似.2. 设 a 、b 、c 、d 是满足 ab+bc+cd+da= 1------------- 4 - ---------- -I ------------- + ------------- >"! 的非负数.试证：b*c*da*-b <-d 3. 在大小为nXn 的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0.对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i 个元素加上或减去行的第i个元素.试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格.+h p4.-----------------------------------------------------------------------------若a + b^ l,(a,b) = l,p为奇素数，证明(a+b,----------------------------------------) = 1,或者p。

a + b加试模拟训练题(53)c 11. 在△如T 的边BC,京上分别取点只Q, S 证明以4BQP, △双的外心为顶点的三角形与△，幽相似.（夕•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析：设 Q, Q,Q 是△43, 4BQP,△ C 网的外心，作出六边形O.POMS 后再由外心性质可知/PaEIA,/Q0R2ZB,/SQg/C.:.ZPO\S+』QQRZSQQ=36亨.从而又知 ZflWZftWZ«5<9i=360°将4QQQ 绕着Q 点旋转到△码Q,易判断△ KSO 捋、0：P0\,同时可得竺％K0、:.zaaa=AKaa=- ZSK 2=-{Aaas+AsaK) 2=-(ZMS+ZPQ®2 =-/ms=—A ； 2同理有罚0炬4.故WQQs4ABC.2. 设 a 、b 、c 、d 是满足 ab+bc+cd+da=l----------- 4 ------------- < -------------- +-------------- > —的非负数.试证：b*c*d a*c*d a*b*d a + b + c 3 【题说】第二十一届（1990年）IM0预选题88.本题山泰国提供.【证】设a sb sc sd 3----------- + ------------- 4- ------------- + -------------- b+c+d a. + c+d a*b *d a*b *c ^-b + c+d则由柯西不等式‘3 * & (b+c+d) ’> +b a +c* 4-d 4)熟知*a 0>+c +d) <(3a‘ +b J +c J 4-d a ) =6#'所以Q 一莎 -------- 江乱>? (ab-l-bc+cd+da) =?3. 在大小为nXn 的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0.对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i个元素加上或减去行的第i个元素.试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格.【题说】第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克九年级题8.【证】以C" k表不将第i行加到第j列上去，并从第k列减去第i行.依次施行下列运算：cL，C2…,2, •••,得出一个表格，对角线上的所有元素（位于第n行、第n列的元素除外）都等于0.考虑运算序列C" C", C J i.j, Ci,不难验证，应用这些运算得到的新表格，位于第i行、第j列的数等于0,而不在最后一行或最后一列的数都不变.对i = l, 2, n—1和i = l, 2, n-1,依次应用上述运算序列，得到一个表格，其中不为0的数只能位于最后一行或最后一列.因为任意一行和任意一列上各数之和都等于0（应用上述运算时，这个性质保持不变），所以最后一行和最后一列上的数也是0.a p + hP4.若a + b^ l,(a,b) = l,p为奇素数，证明(a+b,-------- ) = 1,或者p。