高中数学知识清单

一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=的区别2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算3.判断命题的真假要以真值表为依据。

在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假4.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件（B 是A 的必要条件）；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断5.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n－1；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==二、函数1.函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求A 中的任一元素在B 中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象2.函数的奇偶性（1）函数奇偶性的概念，注意对定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函数2|2|12-+-=x x y 的奇偶性 (2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例（3）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ，如：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （13，23）（4）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则0)0(=f （可用于求参数），如：已知函数1()21x f x a =-+为奇函数，求a 的值（21=a ） （5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)±f(-x)=0或1)()(±=-x f x f （f(x)≠0），如：函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数（6）奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称、关于y=x 对称、关于y=-x 对称等（2）证明图像1C 与2C 的对称性，即证明1C 上的任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上，反之亦然，如：已知函数132)(2++=x x x f ，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于直线x=2对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=451922+-x x ）（3）曲线1C :f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线2C 方程为：f(2a －x,2b －y)= 0 如：已知函数132)(2++=x x x f ，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于点（1，2）对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=111122-+-x x ）（4）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；一般地，有f(a+x)=f(b －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=2b a +对称 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；有f(x +a)=-f(x)或f(x)=)(1a x f +±，则y=f(x)也是周期为2|a|的周期函数；一般地，f(x +a)=f(x+b)，则y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在R 上的函数)(x f 的图象关于y 轴对称，且满足)(x f -=-)2(+x f ，则=+++)8()2()1(f f f （0）（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；（4）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数5.方程f(x)=k 有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；如：若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 [-2,2]6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ，如：设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 (7,)+∞7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上）（2）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R+);(3)N a log =aN b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1)(换底公式) (4) N a log 的符号由口诀“同正异负”记忆(即a,N 同大于1或同小于1,则对数值为正,而a,N 一个大于1,一个小于1,则对数值为负)(5) (对数恒等式)N a a log = N ( a>0,a ≠1,N>0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在R 上的函数y=f （x ），对任意实数m 、n ，恒有f （m +n ）=f （m ）·f （n ）且当x ＞0时，0＜f （x ）＜1.（1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；（2）求证：f （x ）在R 上递减9．求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域）10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2-2bx+4b ，求f(x)的最小值g(b) 12.掌握函数(0);(0)ax b b ac a y a b ac y x a x c x c x +-==+-≠=+>++的图象和性质；13．实系数一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根21,x x 的分布问题： 注意：若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况。

14.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a ，b ］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

如：函数)3(-=x f y 的定义域为[4，7]，则)(2x f y =的定义域为 [－２，－１]∪［１，２］（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定，如：函数)86(221-+-=x x log y 的单调递减区间为 （２，３］，函数()()ax x f a -=2log 在[]10，上是减函数，则a 的取值范围是 （1，2）15.函数y=|)(x f |与函数y=|)(|x f 的图像及其应用三、数列1.由n S 求n a ，n a ={)2()1(11≥-=-n S S n S n n 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中，若不符合要单独列出。

一般已知条件中含n a 与n S 的关系式的数列问题均可考虑用上述公式。

如：若数列}{n a 的前n 项的和323-=n n a S ，那么这个数列的通项公式为 （n n a 32⨯=） 2. 若数列{n a }是一个等差数列，公差为d ，则等差数列111(2(2)n n n n n n a a a d d a a a n ++-⇔-=⇔=+≥为常数｛｝）Bn An s b an a n n +=⇔+=⇔23. 若数列{n a }是一个等比数列，公比为q ，则等比数列2111((2)n n n n n n a a q q a a a n a ++-⇔=⇔=≥为常数｛｝）11n n a a q -⇔=k kq S n n -=⇔4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++11nnnnaaaa或解决，或者转化为找数列正负项问题，所有非负数项最大（所有非正数项最小）5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想，如对q≠1的讨论6. 在等差数列中，()n ma a n m d=+-，n ma adn m-=-；在等比数列中，,n mnn ma a q q-==7. 当m n p q+=+时，对等差数列有qpnmaaaa+=+；对等比数列有qpnmaaaa⋅=⋅；8.若{na}、{nb}是等差数列，则{kna+pnb}(k、p是非零常数)是等差数列；若{na}、{nb}是等比数列，则｛kna｝、{nanb}等也是等比数列；9. 若{na}为等差（比）数列，则232,,,n n n n nS S S S S--也是等差（比）数列；10. 在等差数列{na}中，当项数为偶数2n时，S S nd=偶奇－；项数为奇数21n-时，S S a-=奇偶中（即na）；11.若递推数列na=k1-na+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1(11-+=-+-kbakkbann(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出通项公式12.形如)(1nfaann=--(n≥2)的数列求通项用迭加；形如)(1ngaann=-(n≥2)的数列求通项用迭乘四、三角函数1.各个三角函数的定义，以及三角函数线，各三角函数在各象限的符号的判断2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”口诀3.记住同角三角函数的基本关系，能够“知一求五”4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍角公式，并能熟练用这些公式对三角函数式化简，熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质，并能熟练求出三角函数的周期、对称轴、对称中心、单调区间、最值等5.熟练掌握形如b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换关系6.熟练掌握正余弦定理，并能用其进行边角互化，在处理三角形内的三角函数问题时，勿忘三角形内角和等于180，以及大角对大边等条件，如：锐角ABC ∆，若A B 2=，则a b 的值范围是 )3,2( 7.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点；正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x 轴的交点，但没有对称轴。