高中数学知识清单

一、集合与简易逻辑

1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=的区别

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，如：集合的交、并、补等运算

3.判断命题的真假要以真值表为依据。在四种命题中，原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与否命题是等价命题 ；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题（即逆否命题）的真假

4.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件（B 是A 的必要条件）；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断

5.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集（非空子集）个数为2n

－1；

（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆

（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==

二、函数

1.函数与映射概念的相同点和不同点：函数是针对非空数集，而映射是针对任何集合；相同点是都要求A 中的任一元素在B 中都有唯一元素与之对应；注意理解象、原象、一一映射等定义；判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象

2.函数的奇偶性

（1）函数奇偶性的概念，注意对定义域是否关于原点对称的优先判断，如：判断函数2

|2|12

-+-=x x y 的奇偶性 (2)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，如上例

（3）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ，如：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （13，2

3）

（4）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则0)0(=f （可用于求参数），如：已知函数1()21x f x a =-+为奇函数，求a 的值（2

1=a ） （5）判断函数奇偶性可用定义的等价变形：f(x)±f(-x)=0或

1)()(±=-x f x f （f(x)≠0），如：函数f(x)=lg(x x -+12)是 （奇、偶）函数

（6）奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性；

3.函数图像

(1)函数图像的对称性，尤其要记住几种特殊的对称关系，如：关于x 轴对称、关于y 轴对称、关于原点对称、关于y=x 对称、关于y=-x 对称等

（2）证明图像1C 与2C 的对称性，即证明1C 上的任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上，反之亦然，如：已知函数132)(2++=x x x f ，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于直线x=2对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=451922+-x x ）

（3）曲线1C :f(x,y)=0关于点（a,b ）的对称曲线2C 方程为：f(2a －x,2b －y)= 0 如：已知函数132)(2++=x x x f ，函数g （x ）的图像与f(x)图像关于点（1，2）对称，求函数g （x ）的解析式（g （x ）=111122-+-x x ）

（4）若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a 对称；一般地，有f(a+x)=f(b －x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=2

b a +对称 4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；有f(x +a)=-f(x)或f(x)=)

(1a x f +±，则y=f(x)也是周期为2|a|的周期函数；一般地，f(x +a)=f(x+b)，则y=f(x)是周期为|a-b|的周期函数；如：已知定义在R 上的函数)(x f 的图象关于y 轴对称，且满足)(x f -=-)2(+x f ，则=+++)8()2()1(f f f （0）

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；

（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；

（4）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数

5.方程f(x)=k 有解⇔k ∈D(D 为f(x)的值域)；如：若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是 [-2,2]

6.a ≥f(x) 恒成立⇔a ≥［f(x)］max,; a ≤f(x) 恒成立⇔a ≤［f(x)］min ，如：设321()252

f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 (7,)+∞

7.(1)指数、对数的基本运算公式（见书上）

（2）n a a b b n log log = (a>0,a ≠1,b>0,n ∈R+);

(3)N a log =a

N b b log log ( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1)(换底公式) (4) N a log 的符号由口诀“同正异负”记忆(即a,N 同大于1或同小于1,则对数值为正,而a,N 一个大于1,一个小于1,则对数值为负)

(5) (对数恒等式)N a a log = N ( a>0,a ≠1,N>0 );

8.能熟练地用定义证明函数的单调性，尤其是抽象函数的单调性，如：定义在R 上的函数y=f （x ），对任意实数m 、n ，恒有f （m +n ）=f （m ）·f （n ）且当x ＞0时，0＜f （x ）＜1.（1）求证：f （0）=1，且当x ＜0时，f （x ）＞1；

（2）求证：f （x ）在R 上递减

9．求反函数时，不要忘记写出反函数的定义域（即原函数的值域）

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系；如：已