高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业1
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项一第1课时利用导数证明不等式北师大版含答案
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(2021吉林长春诊断测试)已知函数f (x )=a e x-e x.(1)若对任意的实数x 都有f (x )≥0成立,求实数a 的取值范围; (2)当a ≥1且x ≥0时,证明:f (x )≥(x-1)2.2.(2021浙江宁波高三期末)已知函数f (x )=a e x-4x ,a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间; (2)当a=1时,证明:f (x )+x 2+1>0.3.(2021辽宁朝阳高三一模)已知函数f (x )=e x-a sin x-x ,曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a 的值; (2)证明:∀x ∈R ,f (x )>0.4.(2021河北石家庄高三三模)已知函数f (x )=a ln x-x 2+x+3a.若0<a<14,证明:f (x )<e xx -x 2+x.5.(2021福建泉州高三二模)已知函数f (x )=a -lnx x在x=1处取得极值.(1)求实数a 的值,并求函数f (x )的单调区间; (2)证明:f (x )+x+23>0.6.(2021湖南郴州高三三模)已知函数f (x )=(x+1)ln x. (1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)证明:ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n>32(n ≥2,n ∈N *).高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第1课时 利用导数证明不等式1.(1)解若对任意的实数x 都有f (x )≥0,即a e x-e x ≥0,所以a ≥exex .令g (x )=ex e x ,则g'(x )=1−xe x -1.令g'(x )=0得x=1.当x<1时g'(x )>0;当x>1时g'(x )<0,所以g (x )在x=1处取得极大值亦即最大值g (1)=1,即a ≥1.故实数a 的取值范围是[1,+∞).(2)证明由于当a ≥1且x ≥0时,f (x )=a e x-e x ≥e x-e x ,因此只需证明e x-e x ≥(x-1)2.只需证明(x -1)2+exe x≤1.设h (x )=(x -1)2+exe x-1(x ≥0), 则h'(x )=(x -1)(3-e -x)e x.所以当0≤x<3-e 时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当3-e <x<1时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x>1时,h'(x )<0,h (x )单调递减.又因为h (0)=0,h (1)=0,且x=1是h (x )的极大值,因此当x ≥0时,必有h (x )≤0,故原不等式成立.2.(1)解f'(x )=a e x-4.当a ≤0时,f'(x )<0,f (x )在R 上单调递减; 当a>0时,令f'(x )<0,可得x<ln 4a ,令f'(x )>0,可得x>ln 4a ,所以f (x )在(-∞,ln 4a )上单调递减,在(ln 4a ,+∞)上单调递增.综上所述,当a ≤0时,f (x )的单调递减区间为(-∞,+∞);当a>0时,f (x )的单调递增区间为(ln 4a ,+∞),单调递减区间为(-∞,ln 4a ).(2)证明当a=1时,f (x )=e x-4x ,令g (x )=f (x )+x 2+1=e x -4x+x 2+1.g'(x )=e x -4+2x ,令h (x )=e x -4+2x ,则h'(x )=e x +2>0恒成立,所以g'(x )在R 上单调递增,又因为g'(0)=-3<0,g'(1)=e -2>0,由函数零点存在定理可得存在x 0∈(0,1),使得g'(x 0)=0,即e x 0-4+2x 0=0.当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )min =g (x 0)=e x 0-4x 0+x 02+1=4-2x 0-4x 0+x 02+1=x 02-6x 0+5,由于x 0∈(0,1),所以由二次函数性质可得g (x )min >g (1)=0,所以g (x )>0,故f (x )+x 2+1>0.3.(1)解根据题意,f (x )=e x-a sin x-x ⇒f'(x )=e x-a cos x-1,因为曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为x+y-1=0,所以f'(0)=-1⇔1-a-1=-1⇒a=1.故实数a 的值为1.(2)证明由于f (x )=e x-sin x-x ,要证明∀x ∈R ,f (x )>0,需证明e x-x>sin x.因为sin x ∈[-1,1],故需证明e x-x>1.令g (x )=e x-x ,g'(x )=e x-1, 令g'(x )=0⇒x=0.g'(x )>0⇒x>0,g'(x )<0⇒x<0,所以函数g (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故g (x )min =g (0)=1,即∀x ∈R ,e x-x ≥1,所以e x-x-sin x ≥1-sin x ≥0,所以∀x ∈R ,f (x )>0.4.证明由已知得需证a (ln x+3)<e xx .因为a>0,x>0,所以e xx >0,当ln x+3<0时,不等式显然成立. 当ln x+3>0时,由于0<a<14,所以a (ln x+3)<14(ln x+3),因此只需证14(ln x+3)<e xx ,即证lnx+34x<e xx 2.令g (x )=lnx+34x,所以g'(x )=-lnx -24x 2,令g'(x )=0,得x=e -2,当x ∈(0,e -2)时,g'(x )>0,当x ∈(e -2,+∞)时,g'(x )<0,即g (x )在(0,e -2)上单调递增,在(e -2,+∞)上单调递减.所以g (x )max =g (e -2)=e 24.令h (x )=e x x2,则h'(x )=e x (x -2)x 3,当x ∈(0,2)时,h'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,h'(x )>0,所以h (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h (x )min =h (2)=e 24.所以g (x )≤h (x ),但两边取得最值的条件不相等,即证得a (ln x+3)<e xx ,故f (x )<e xx -x 2+x. 5.(1)解f'(x )=-1-a+lnx x 2,由题意得f'(1)=-1-a=0,即a=-1.于是f'(x )=lnxx 2(x>0), 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,所以实数a 的值为-1,f (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).(2)证明要证f (x )+x+23>0,即证-1-lnx x+x+23>0,因为x>0,即证x 2+23x-ln x-1>0.令g (x )=x-1-ln x ,则g'(x )=1-1x =x -1x,所以当x ∈(0,1)时,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )单调递增,所以g (x )≥g (1)=0,即ln x ≤x-1,则ln2x ≤2x-1,即ln2+ln x ≤2x-1,所以ln x ≤2x-1-ln2,则x 2+23x-ln x-1≥x 2+23x-2x+1+ln2-1=x 2-43x+ln2.令h (x )=x 2-43x+ln2=(x -23)2+ln2-49,又因为ln2>ln √e =12,所以ln2-49>0,则h (x )>0,故x 2+23x-ln x-1>0成立,则f (x )+x+23>0.6.(1)解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x+x+1x,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为k=f'(1)=2,又因为f (1)=0,所以该切线方程为y=2(x-1).(2)证明设F (x )=(x+1)ln x-2x+2(x>1),则F'(x )=ln x+1x -1,令g (x )=F'(x ),则g'(x )=1x −1x 2=x -1x 2,当x>1时,g'(x )>0,所以g (x )=F'(x )在(1,+∞)上单调递增,又因为g (1)=0,所以g (x )=F'(x )>0,即F (x )在(1,+∞)上单调递增,所以F (x )>F (1)=0, 故当x>1时,(x+1)ln x>2(x-1).令x=n 2-2>1(n ≥2,n ∈N *), 则(n 2-1)ln(n 2-2)>2(n 2-3),所以ln(n 2-2)n 2-3>2n 2-1=2(n -1)(n+1)=1n -1−1n+1,因此∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1-13+12−14+13−15+14−16+…+1n -2−1n+1n -1−1n+1,化简可得∑k=2nln(k 2-2)k 2-3>1+12−1n −1n+1>32−2n .所以ln21+ln76+…+ln(n 2-2)n 2-3+2n >32(n ≥2,n ∈N *),故原不等式成立.。
高考数学一轮复习方案 作业手册 作业手册 文(含解析) 北师大版
课时作业(一)A [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·江西八校模拟] 设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的真子集共有( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．[2012·商丘模拟] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图K1－1中的阴影部分表示的集合为( )图K1－1A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}3．设非空集合M ，N 满足：M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，P ＝{x |f (x )g (x )＝0}，则集合P 恒满足的关系为( )A ．P ＝M ∪NB ．P ⊆(M ∪N )C ．P ≠∅D ．P ＝∅4．[2012·上海卷] 若集合A ＝{x |2x －1>0}，B ＝{x ||x |<1}，则A ∩B ＝________．能力提升5．已知集合A ＝{x |x 2－4x －12<0}，B ＝{x |x <2}，则A ∪(∁R B )＝( ) A ．{x |x <6} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x >－2} D ．{x |2≤x <6}6．设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数为( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．87．[2012·高安中学模拟] 已知全集U ＝R ，函数y ＝1x ＋1的定义域为集合A ，函数y ＝log 2(x ＋2)的定义域为集合B ，则集合(∁U A )∩B ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－1，＋∞)8．[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．10．集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的值为________．11．[2011·江苏卷] 设集合A ＝⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎬⎫m 2≤（x －2）2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }, 若A ∩B ≠∅， 则实数m 的取值范围是________．12．(13分)集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，满足A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值．难点突破13．(12分)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·临川一中模拟] 已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2x ≥14，N ＝{x ︱x 2＋y 2＝4，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{－2，1}B ．{(－2，0)，(1，3)}C ．∅D ．N2．[2012·浙江卷] 设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{3，4，5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1，2，3，4，6}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，2，5}D ．{1，2}3．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 4．[2012·淮阴模拟] 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )＝________．能力提升5．[2012·驻马店模拟] 集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0，1}，B ＝{2，3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．187．已知A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A等于( )A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}8．已知集合A，B，A＝{x|－2≤x<2}，A∪B＝A，则集合B不可能．．．为( ) A．∅ B．{x|0≤x≤2}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{(x，y)|x－y＝1}，则M∩N＝________．10．[2012·南昌模拟] 若非空集合X＝{x|a＋1≤x≤3a－5}，Y＝{x|1≤x≤16}，则使得X⊆X∩Y成立的所有的a的集合是________．11．集合A＝{(x，y)|y＝1－x2}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，若A∩B的子集有4个，则b 的取值范围是________．12．(13分)设关于x的不等式x(x－a－1)<0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．难点突破13．(1)(6分)[2012·北京西城区模拟] 已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有( ) A．210个 B．200个C．190个 D．180个(2)(6分)[2012·北京朝阳区模拟] 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________．课时作业(二) [第2讲 命题及其关系、充分条件、必要条件](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·重庆卷] 命题“若p ，则q ”的逆命题是( ) A ．若q ，则p B ．若綈p ，则綈q C ．若綈q ，则綈p D ．若p ，则綈q 2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是：“任x ∈R ，均有x 2＋x －1>0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题4．已知：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12<2x <8，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．[2012·宜春模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法中，正确的是( )A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1”B ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0” D ．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( )①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题；②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题；③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1C．2 D．38．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a，q：x－12x－1>0，使p是q的必要不充分条件的实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，－2]C．[－2，3] D．(－∞，3]9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．难点突破13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．课时作业(三) [第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．已知命题p：任意x∈R，x>sin x，则命题p的否定形式为( )A．存在x∈R，x<sin x B．任意x∈R，x≤sin xC．存在x∈R，x≤sin x D．任意x∈R，x<sin x2．[2012·乌鲁木齐模拟] 已知α，β是两个不重合的平面，l是空间一条直线，命题p：若α∥l，β∥l，则α∥β；命题q：若α⊥l，β⊥l，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A．命题“p且q”为真B．命题“p或q”为假C．命题“p或q”为真D．命题“(綈p)且(綈q)”为真3．[2012·鹰潭一中模拟] 给出如下四个命题，其中不正确．．．的命题的个数是( )①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥1”的否定是“存在x∈R，x2＋1≤1”；④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．A．4 B．3 C．2 D．14．[2012·河南四校联考] 命题“任意x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”的否定是________________________________________________________________________．能力提升5．[2012·黄冈中学月考] 命题“任意x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必．．．．要条件．．．是( )A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤56．[2013·德州重点中学月考] 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“存在x∈R，使得2x2－1<0”的否定是：“任意x∈R，均有2x2－1<0”D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题7．[2012·东北三校联考] 已知命题p：存在x0∈0，π2，sin x0＝12，则綈p为( )A ．任意x ∈0，π2，sin x ≠12B ．任意x ∈0，π2，sin x ＝12C ．存在x ∈0，π2，sin x ≠12D ．存在x ∈0，π2，sin x >128．[2012·南昌二中模拟] 有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 39．在“綈p ”“p 且q ”“p 或q ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真，那么p ，q 的真假为p ________，q ________．10．[2012·宁德质检] 若“任意x ∈R ，(a －2)x ＋1>0”是真命题，则实数a 的取值集合是________．11．下列四个命题：①任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②任意x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数；③存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④存在x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________．12．(13分)[2012·吉林模拟] 已知p ：f (x )＝x 3－ax 在(2，＋∞)上为增函数，q ：g (x )＝x 2－ax ＋3在(1，2)上为减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．难点突破13．(12分)已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．课时作业(四)A [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·石家庄质检] 下列函数中与函数y ＝x 相同的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x 32．[2012·郑州质检] 函数f (x )＝2x －1log 2x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，＋∞)3．下列函数中，值域为[0，3]的函数是( ) A ．y ＝－2x ＋1(－1≤x ≤0) B ．y ＝3sin xC ．y ＝x 2＋2x (0≤x ≤1) D ．y ＝x ＋34．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________．能力提升5．[2013·浙江重点中学联考] 已知f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1（－1<x <0），0（0≤x ≤1），则f (3)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．1或0 6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；(2)y＝2x 2＋1，x ∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，2}．那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{－1，5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．[2012·唐山模拟] 函数y ＝1－lg （x ＋2）的定义域为( ) A ．(0，8] B ．(－2，8]C ．(2，8]D ．[8，＋∞)8．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( ) A.14 B ．－14 C.32 D ．－329．[2012·江西八所高中模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－8（x <0），x 2＋x －1（x ≥0），若f (a )＞1，则实数a 的取值范围是________．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．11．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 12．(13分)图K4－1是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y ＝f (x )的函数关系式；(2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．难点突破13．(12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )的最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)B [第4讲 函数的概念及其表示](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列是映射的是(图 2A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(5)C ．(1)(3)(5)D ．(1)(2)(3)(5)2．[2012·江西师大附中月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2012·马鞍山二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．函数y ＝x －x 的值域是________．能力提升5．已知f (x )的图像恒过点(1，2)，则f (x ＋3)的图像恒过点( ) A ．(－3，1) B ．(2，－2) C ．(－2，2) D ．(3，5)6．[2012·肇庆一模] 已知函数f (x )＝lg x 的定义域为M ，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >2，－3x ＋1，x <1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0，1)∪(2，＋∞)7．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－528．[2012·石家庄质检] 设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A 且f (f (x 0))∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 9．[2012·四川卷] 函数f (x )＝11－2x的定义域是________．(用区间表示)10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1x，x >0，1x ，x <0，则f (x )＞－1的解集为____________________．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1的值域是________．12．(13分)(1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x2的定义域； (2)已知函数f (x )的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：①f (x 2)，②f (x －1)；(3)已知函数f (lg(x ＋1))的定义域是[0，9]，求函数f (2x)的定义域．难点突破13．(12分)已知f (x )是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身 1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3．[2012·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R 4．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．能力提升5．[2012·宁波模拟] 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．[2012·商丘三模] 设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个实数x ，使f (x )＜0的概率为( )A.1π B.2π C.3π D.32π7．[2012·哈尔滨师范大学附中期中] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x <0），（a －3）x ＋4a （x ≥0）满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，1) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D ．(1，3) 10．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．13．函数y ＝ln 1＋x1－x 的单调递增区间是________．14．(10分)试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．15．(13分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(六)A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·九江模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x（x ≥0），2x －1（x <0），则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2012·哈尔滨师范大学附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2012·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－126．[2012·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图像关于原点对称，则f a2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．[2012·鹰潭模拟] 设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·南昌一中、十中联考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11．[2012·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．课时作业(六)B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2012·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2012·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．能力提升5．[2012·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．[2012·石嘴山二联] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：任意x ∈R ，3x>x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p 或q 真 B ．p 且q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________．10．[2011·广东卷] 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．[2012·临川模拟] 设函数f (x )＝2 011x ＋1＋2 0102 011x＋1＋2 012sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝__________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(七) [第7讲 二次函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－22．函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．(－∞，0]D ．[0，1]3．[2012·长春外国语学校月考] 若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f (x )在区间(－∞，0]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．增函数或常数4．[2011·陕西卷] 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．能力提升5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)>256．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．[2012·鹰潭模拟] 已知函数f (x )＝x 2＋|x |－2，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，238．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．非负数D ．与m 有关9．[2012·牡丹江一中期中] 如图K7－1是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的图像，其函数f (x )的导函数为f ′(x )，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，3)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3（－2≤x <0），x 2－2x －3（0≤x ≤3）的值域是________．11．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是________．12．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 13．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(10分)[2012·正定中学月考] 已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)．(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的范围．15．(13分)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图像是顶点为P (3，4)，且过点A (2，2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．难点突破16．(12分)[2013·衡水中学一调] 已知对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)的图像上A，B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋12a2＋1对称，求b的最小值．课时作业(八)A [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．42．下列等式能够成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 5＝m 15n 5B.12（－2）4＝3－2C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝333．在对数式b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <44．[2012·正定中学月考] 计算lg 14－lg25100－12＝________．能力提升5．若log 2log 3log 4x ＝log 3log 4log 2y ＝log 4log 2log 3z ＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．50 B ．58 C ．89 D ．1116．[2012·武汉调研] 若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54C.34D.437．[2012·重庆卷] 已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c8．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，则x y＝( ) A ．2 B ．3 C.12 D.139．[2012·海南五校联考] x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________．10．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________．11．[2012·上海卷] 方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．12．(13分)设x >1，y >1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．难点突破13．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x.(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )·f (y )＝4，g (x )·g (y )＝8，求g （x ＋y ）g （x －y ）的值．课时作业(八)B [第8讲 指数与对数的运算](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．下列命题中，正确命题的个数为( ) ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③3x 4＋y 6＝x 43＋y 2；④5－3＝10（－3）2.A ．0B ．1C ．2D ．32．化简：（log 23）2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－23．log(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－24．已知a 12＝49，则log 23a ＝________．能力提升5．若10x ＝2，10y＝3，则103x －y 2＝( )A.263B.63 C.233 D.366．函数y ＝x 2＋2x ＋1＋3x 3－3x 2＋3x －1的图像是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．抛物线 D ．半圆7．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b的值等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．2 D ．－28．[2012·唐山模拟] 已知3x ＝4y＝12，则1x ＋1y＝( )A. 2 B ．1 C.12D ．2 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈（－∞，1]，log 81x ，x ∈（1，＋∞），则满足f (x )＝14的x 值为________．10．[2012·福州质检] 化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40＝________．11．方程log 2(x 2＋x )＝log 2(2x ＋2)的解是________．12．(13分)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．难点突破13．(12分)设a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝1；(2)若log 4⎝⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值．课时作业(九) [第9讲 指数函数、对数函数、幂函数](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2012·西安质检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2012·梅州中学月考] 若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 23．[2012·四川卷] 函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )K9－4．[2012·南通模拟] 已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．能力提升5．[2012·汕头测评] 下列各式中错误．．的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4 6．若集合A ＝{y |y ＝x 13，－1≤x ≤1}，B ＝y⎪⎪⎪ )y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．[－1，1]C ．∅D ．{1}7．[2012·南昌调研] 函数f (x )＝log 22x 2＋1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)8．[2012·新余一中模拟] 已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (c x )<f (b x )B ．f (c x )≤f (b x)C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )≥f (b x)9．[2012·全国卷] 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．12．[2013·河北五校联盟调研] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，（x >0），2x ，（x ≤0）且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．13．[2012·长春外国语学校月考] 关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图像关于y 轴对称； ②f (x )的最小值是lg2；③当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ④f (x )在区间(－1，0)，(2，＋∞)上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．14．(10分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)解方程f (x )＝2.15．(13分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，且函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．课时作业(十) [第10讲 函数的图像与性质的综合](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝1x＋2x 的图像关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．为了得到函数y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图像( ) A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度3．下列四个函数中，图像如图 )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x4．[2012·开封质检] 把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数的解析式是________________________________________________________________________．能力提升5．在函数y ＝|x |(x ∈[－1，1])的图像上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图K10－2阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图像可表示为( )6．已知图K10－4①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图K10－4②中的图像对应的函数为( )－A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝|f (x )| C ．y ＝f (－|x |) D ．y ＝－f (|x |)7．[2012·郑州调研] 已知曲线如图K10－5所示：图K10－以下为编号为①②③④的四个方程： ①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0； ③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A ，B ，C ，D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号为( ) A ．④②①③ B ．④①②③ C ．①③④② D ．①②③④8．函数f (x )＝1＋log 2与()＝21－x( )图9．[2012·江西卷] 如图K10－7，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止，设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )10．将函数y ＝2x ＋1的图像按向量a 平移得到函数y ＝2x ＋1的图像，则a ＝________．11．[2012·海淀一模] 函数f (x )＝x ＋1x图像的对称中心为________．12．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图像关于直线x ＝1对称，则a 的值为________． 13．[2012·唐山二模] 奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图K10－9(1)，K10－9(2)所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a ，b ，则a ＋b ＝________．14．(10分)设函数f (x )＝x ＋1x的图像为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．求g (x )的解析式．15．(13分)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．难点突破 16．(12分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．课时作业(十一) [第11讲函数与方程] (时间：45分钟分值：100分)基础热身 1．[2013·安庆四校联考] 图K11－1是函数f (x )的图像，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9，2.3]C ．[4.1，5]D ．[5，6.1]2．[2012·唐山期末] 设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)3．[2012·德兴模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3，x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，x >0，若x 0是y ＝f (x )的零点，且t ＜x 0，则f (t )( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．等于0D ．不大于04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．[2012·临川一中模拟] 已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b＝2，则n 等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．26．[2013·诸城月考] 设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．[2011·陕西卷] 方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根9．[2012·石家庄质检] 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内恰有一解，则a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．12．[2012·盐城二模] 若y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________．13．[2013·扬州中学月考] 已知函数f (x )＝|x 2－1|x －1－kx ＋2恰有两个零点，则k 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a >0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1； (2)如果|x 1|<2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1），－25x ＋125（1<x ≤5）.(1)若函数y ＝f (x )的图像与直线kx －y －k ＋1＝0有两个交点，求实数k 的取值范围； (2)试求函数g (x )＝xf (x )的值域．课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．“红豆生南国，春来发几枝？”，图K12－1给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．y ＝t 2B ．y ＝log 2tC ．y ＝2tD ．y ＝2t 22．等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2 D ．y ＝34x 2 3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年的产量确定4．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．能力提升5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋1006．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元)．下面所给出的四个图像中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )7．[2012·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元 8．[2013·荆州中学一检] 下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( ) (a)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (c)K12A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(4)(1)(3) D ．(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件10．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b ⎝⎛⎭⎪⎫0<b ≤32为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．11．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图K12－5所示)，若每辆客车营运的年平均利润最大，则营运的年数为________年．12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________13．[2013·上海南汇一中月考] 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图K12－6所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过________h 后，学生才能回到教室．14．(10分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]15．(13分)[2013·重庆北江中学月考] 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K12－7所示．已知旧墙的维修费为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x图K12－7。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练1集合北师大版
课时规范练1集合基础巩固组1.(2021湖南长沙雅礼中学高三月考)已知集合A={x∈Z|-2≤x<2},B={0,1},则下列判断正确的是()A.B∈AB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A∈Z,则下列结论不正确的是() 2.(2021山东淄博实验中学高三月考)若集合A=x∈N*63-xA.1∈AB.3∉AC.-3∈AD.8∉A3.(2021江苏,1)已知集合M={1,3},N={1-a,3},若M∪N={1,2,3},则实数a的值是()A.-2B.-1C.0D.14.(2021山东烟台高三模拟)已知集合M,N都是R的子集,且M∩∁R N=⌀,则M∩N=()A.MB.NC.⌀D.R5.(2021湖北荆门高三月考)已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z},则M∪N=()A.{x|x=6k+2,k∈Z}B.{x|x=4k+2,k∈Z}C.{x|x=2k+1,k∈Z}D.⌀x,Q={(x,y)|y=-x2+2},则集合P∩Q的真子集6.(2021宁夏银川高三月考)集合P=(x,y)y=12个数为()A.0B.1C.2D.37.已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列说法错误的是()A.A∩B={0,1,2}B.A∪B={x|x≥0}C.(∁U A)∩B={-1}D.A∩B的真子集个数是78.已知全集U的两个非空真子集A,B满足(∁U A)∪B=B,则下列关系一定正确的是()A.A∩B=⌀B.A∩B=BC.A∪B=RD.(∁U B)∪A=A综合提升组9.(2021江苏高三月考)已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M⊆A且M⊆B,则满足条件的集合M的个数为()A.1B.3C.4D.610.(2021河北沧州高三期末)设全集为R,M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于()A.(∁R M)∩(∁R N)B.(∁R M)∪NC.M∪(∁R N)D.(∁R M)∪(∁R N)11.(2021广东佛山高三月考)设A={x|1≤x≤3},B={x|ln(3-2x)<0},则图中阴影部分表示的集合为()A.-∞,32B.1,32C.(1,3]D.32,312.(2021山东泰安高三月考)已知集合A={x|x2+3<4x},B⊆N*,且A∩B≠⌀,则下列结论一定正确的是()A.1∈AB.B={2}C.2∈BD.(∁R A)∩B=⌀13.(2021湖南长郡中学高三期中)已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1)A∪B={1,2,3,4,5},A∩B=⌀;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为()A.4B.6C.8D.16创新应用组14.(2021江苏南京高三月考)若A={(x,y)|x2+y2≤1},B={(x,y)||x|+|y|≤a},且A⊆B,则实数a的取值范围是()A.1,+∞ B.[1,+∞)2C.[√2,+∞)D.[2,+∞)15.已知集合A={x∈R|x2-3x-18<0},B={x∈R|x2+ax+a2-27<0},则下列说法错误的是()A.若A=B,则a=-3B.若A⊆B,则a=-3C.若B=⌀,则a≤-6或a≥6D.若a=3,则A∩B={x|-3<x<6}课时规范练1集合1.D解析:∵A={x∈Z|-2≤x<2}={-2,-1,0,1},B={0,1},∴B⊆A,A∩B=B={0,1},故选D.∈Z且x∈N*,所以x的可取值有:1,2,4,5,6,9,即A={1,2,4,5,6,9},由此可判断2.C解析:因为63-xC错误,其余均正确.3.B解析:因为M∪N={1,2,3},所以1-a=2,解得a=-1,故选B.4.A解析:由题意M∩∁R N=⌀,可得M⊆N,所以M∩N=M,故选A.5.C解析:因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z},集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z},当x∈N时,x∈M成立,所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z},故选C.6.D解析:画x和y=-x2+2的图象,由图象可知两函数有两个交点,则集合P∩Q中有2个元素,则集出函数y=12合P∩Q的真子集有22-1=3(个),故选D.,x∈Z,B={-1,0,1,2},A∩B={0,1,2},故A正确;A∪7.B解析:A={x|2x+1≥0,x∈Z}=x x≥-12B={x|x≥-1,x∈Z},故B错误;∁U A=x x<-1,x∈Z,所以(∁U A)∩B={-1},故C正确;由A∩2B={0,1,2},知A∩B的真子集个数是23-1=7,故D正确.故选B.8.D解析:令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},满足(∁U A)∪B=B,但A∩B≠⌀,A∩B≠B,故A,B均不正确;由(∁U A)∪B=B,知∁U A⊆B,∴U=A∪(∁U A)⊆(A∪B),∴A∪B=U,由∁U A⊆B,知∁U B⊆A,∴(∁U B)∪A=A,故C不正确,D正确.故选D.9.C解析:∵集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},∴A∩B={1,2}.又M⊆A且M⊆B,∴M⊆(A∩B),即M⊆{1,2},∴M的个数为22=4,故选C.10.D解析:因为{x|f(x)g(x)=0}={x|f(x)=0或g(x)=0},又因为M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},所以{x|f(x)g(x)=0}=(∁R M)∪(∁R N),故选D.11.B 解析:由图可知阴影部分表示的集合为A ∩B.因为A={x|1≤x ≤3},B={x|ln(3-2x )<0}=x 1<x<32,所以A ∩B=1,32,故选B .12.C 解析:因为x 2+3<4x ,所以(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3,所以集合A={x|1<x<3}.因为B ⊆N *,且A ∩B ≠⌀,则2∈B ,故选C .13.C 解析:由题意可知,集合A 不能是空集,也不可能为{1,2,3,4,5}.若集合A 只有一个元素,则集合A 为{4};若集合A 有两个元素,则集合A 为{1,3},{3,4},{3,5};若集合A 有三个元素,则集合A 为{1,2,4},{1,2,5},{2,4,5};若集合A 有四个元素,则集合A 为{1,2,3,5}.综上所述,有序集合对(A ,B )的个数为8,故选C . 14.C 解析:集合A 为圆O :x 2+y 2=1的内部和圆上的点集,B 为由直线x+y=a ,x-y=a ,-x+y=a ,x+y=-a 围成的正方形的内部和边上的点集,画出图象(如图所示),当直线EF 与圆O 相切时,设切点为C ,连接OC ,∵△EOF 为等腰直角三角形,OE=OF ,∠EOF=90°,OC ⊥EF , ∴OC 为Rt △EOF 斜边上的中线, ∴OC=12EF ,即EF=2OC=2,∴OE=OF=√22EF=√2,此时a=√2. ∴a ≥√2,故选C .15.D 解析:由已知得,A={x|-3<x<6},令g (x )=x 2+ax+a 2-27.对于A,若A=B ,即-3,6是方程g (x )=0的两个根,则{a =-3,a 2-27=-18,得a=-3,正确;对于B,若A ⊆B ,则{g(-3)=a 2-3a -18≤0,g(6)=a 2+6a +9≤0,解得a=-3,正确;对于C,当B=⌀时,Δ=a 2-4(a 2-27)≤0,解得a ≤-6或a ≥6,正确;对于D,当a=3时,有B={x ∈R |x 2+3x-18<0}={x|-6<x<3},所以A ∩B={x|-3<x<3},错误.故选D .。
2023届高考数学一轮复习作业利用导数研究函数的极值最值北师大版
利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1．函数y＝在[0，2]上的最大值是( )A． B． C．0 D．A [易知y′＝，x∈[0，2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是y max＝，故选A．]2．(2021·宁波质检)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x3－3x2；④y＝2x．A．①② B．①③ C．③④ D．②③D [对于①，y′＝3x2≥0，故①不是；对于②，y′＝2x，当x＞0时，y′＞0，当x＜0时，y′＜0，当x＝0时，y′＝0，故②是；对于③，y′＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0时，y′＞0，当0＜x＜2时，y′＜0，当x ＝0时，y′＝0，故③是；对于④，由y＝2x的图像知，④不是．故选D．]3．如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像，给出下列命题：①－3是函数y＝f (x)的极小值点；②－1是函数y＝f (x)的极小值点；③y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f (x)在区间(－3，1)上单调递增．则正确命题的序号是( )A．①④ B．①② C．②③ D．③④A [由图可知x＜－3时，f ′(x)＜0，x∈(－3，1)时f ′(x)＞0，∴－3是f (x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f ′(x)≥0，∴f (x)在区间(－3，1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f (x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f (x)在x＝0处的切线的斜率大于0．∴③不正确．故选A．]4．若x＝1是函数f (x)＝ax＋ln x的极值点，则( )A．f (x)有极大值－1B．f (x)有极小值－1C．f (x)有极大值0D．f (x)有极小值0A [∵f (x)＝ax＋ln x，x＞0，∴f ′(x)＝a＋，由f ′(1)＝0得a＝－1，∴f ′(x)＝－1＋＝．由f ′(x)＞0得0＜x＜1，由f ′(x)＜0得x＞1，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f (x)极大值＝f (1)＝－1，无极小值，故选A．]5．已知f (x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对A [∵f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f (x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴x＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m＝3，∴m＝3．∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5．∴最小值是－37．故选A．]6．已知函数f (x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f (x)在区间[k，2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为( )A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]D [由题意知f ′(x)＝3x2＋6x－9，令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f ′(x)，f (x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x)在区间[k，2]上的最大值为28，所以k≤－3．]二、填空题7．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1) [∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a．∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－e x＜－1，∴a＝－e x＜－1．]8．已知函数f (x)＝ln x－ax存在最大值0，则a＝________． [f ′(x)＝－a，x＞0．当a≤0时，f ′(x)＝－a＞0恒成立，函数f (x)单调递增，不存在最大值；当a＞0时，令f ′(x)＝－a＝0，解得x＝．当0＜x＜时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增；当x＞时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减．∴f (x)max＝f ＝ln －1＝0，解得a＝．]9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·．∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，根据单调性得当R＝3时，S最小．]三、解答题10．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝．(1)若a＝0，求y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x)在x＝－1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及最大值和最小值．[解] (1)当a＝0时，f (x)＝，则f ′(x)＝．当x＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得y＝－4x＋5．(2)已知函数f (x)＝，则f ′(x)＝．若函数f (x)在x＝－1处取得极值，令f ′(－1)＝0，则＝0，解得a＝4．经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f (x)的极大值，符合题意．此时f (x)＝，函数定义域为R，f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4．f (x)，f ′(x)随x的变化趋势如下表：x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗故函数单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－．又因为x＜时，f (x)＞0；x＞时，f (x)＜0，所以函数f (x)的最大值为f (－1)＝1，最小值为f (4)＝－．11．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c＞0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．[解] (1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝＋(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，因此总用氧量y ＝＋＋9(v＞0)．(2)y′＝－＝，令y′＝0得v＝10，当0＜v＜10时，y′＜0，函数单调递减；当v＞10时，y′＞0，函数单调递增．若c＜10，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，∴当v＝10时，总用氧量最少．若c≥10，则y在[c，15]上单调递增，∴当v＝c时，这时总用氧量最少．1．函数f (x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f (x1)－f (x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20 B．18 C．3 D．0A [原命题等价于对于区间[－3，2]上的任意x，都有f (x)max－f (x)min≤t，∵f ′(x)＝3x2－3，∴当x∈[－3，－1]时，f ′(x)＞0，当x∈[－1，1]时，f ′(x)＜0，当x∈[1，2]时，f ′(x)＞0．∴f (x)max＝f (2)＝f (－1)＝1，f (x)min＝f (－3)＝－19．∴f (x)max－f (x)min＝20，∴t≥20．即t的最小值为20．故选A．]2．若x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f (x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1A [f ′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1．∵x＝－2是f (x)的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a－4＋a－1)e－3＝0，得a＝－1．∴f (x)＝(x2－x－1)e x－1，f ′(x)＝(x2＋x－2)e x－1．由f ′(x)＞0，得x＜－2或x＞1；由f ′(x)＜0，得－2＜x＜1．∴f (x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x)的极小值点为1，∴f (x)的极小值为f (1)＝－1．]3．已知函数f (x)＝a ln x＋(a＞0)．(1)求函数f (x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f (x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[解] 由题意，知函数的定义域为{x|x＞0}，f ′(x)＝－(a＞0)．(1)由f ′(x)＞0解得x＞，所以函数f (x)的单调递增区间是；由f ′(x)＜0解得x＜，所以函数f (x)的单调递减区间是．所以当x＝时，函数f (x)有极小值f ＝a ln ＋a＝a－a ln a，无极大值．(2)不存在．理由如下：由(1)可知，当x∈时，函数f (x)单调递减；当x∈时，函数f (x)单调递增．①若0＜≤1，即a≥1时，函数f (x)在[1，e]上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②若1＜≤e，即≤a＜1时，函数f (x)在上为减函数，在上为增函数，故函数f (x)的最小值为f (x)的极小值f ＝a ln ＋a＝a－a ln a＝a(1－ln a)＝0，即ln a＝1，解得a＝e，而≤a＜1，故不满足条件．③若＞e，即0＜a＜时，函数f (x)在[1，e]上为减函数，故函数f (x)的最小值为f(e)＝a＋＝0，解得a＝－，而0＜a＜，故不满足条件．综上所述，这样的a不存在．1．若函数f (x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a的取值范围为________．[1，4) [因为f ′(x)＝3(x2－a)，所以当a≤0时，f ′(x)≥0在R上恒成立，所以f (x)在R上单调递增，f (x)没有极值点，不符合题意； 当a＞0时，令f ′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)↗极大值↘极小值↗因为函数f (x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1≤a＜4．]2．已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．－ [∵f (x)的最小正周期T＝2π，∴求f (x)的最小值相当于求f (x)在[0，2π]上的最小值．f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cos x－2＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．令f ′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，x∈[0，2π]．∴由cos x＝－1，得x＝π；由cos x＝，得x＝π或x＝．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f (π)＝2sin π＋sin 2π＝0，f ＝2sin ＋sin ＝，f ＝－，f (0)＝0，f (2π)＝0，∴f (x)的最小值为－．]3．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋b．(1)讨论f (x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f (x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．[解] (1)f ′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝．若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)＜0．故f (x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．若a＝0，f (x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a＜0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)＜0．故f (x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．(2)满足题设条件的a，b存在．①当a≤0时，由(1)知，f (x)在[0，1]单调递增，所以f (x)在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b，最大值为f (1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1．②当a≥3时，由(1)知，f (x)在[0，1]单调递减，所以f (x)在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b，最小值为f (1)＝2－a＋b．此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1．③当0＜a＜3时，由(1)知，f (x)在[0，1]的最小值为f ＝－＋b，最大值为b或2－a＋b．若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f (x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1．。
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式的综合应用(北师大版)
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面
积的最大值为
A.4π
√B.8π
C.12π
D.16π
设底面圆半径为 r，则圆柱的高为 2 4－r2， 圆柱侧面积为 S＝2πr·2 4－r2＝4πr 4－r2≤4π·r2＋24－r2＝8π， 当且仅当 r＝ 4－r2，即 r＝ 2时等号成立.
并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时， 不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋5x有解， 等价于当 x>25 时，a≥15x0＋6x＋15有解， ∵15x0＋6x≥2 15x0·6x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的
所以a2＋b e＝a2＋3aac＝
a＋ 3
23a≥2
a3·
2 ＝2 3a
3 6，当且仅当
a＝ 3
2， 3a
即 a＝ 2时等号成立.
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一、单项选择题 1.已知F1，F2是椭圆C：x92＋y42 ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|
的最大值为
A.13
B.12
√C.9
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
2024届新高考一轮复习北师大版 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 课件(56张)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
__{_x_|_x_<_x_1 _或__x_>_x_2_}__
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
____{x_|_x_1<_x_<_x_2_}_____
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5.分式不等式与整式不等式
f（x） (1)g（x）
>0(<0)⇔______f(_x_)_g_(x_)_>_0_(_<_0_)___________；
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3．一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c≥0 或 ax2 ＋bx＋c≤0(其中，x 为未知数，a，b，c 均为常数，且 a≠0)的不等式叫作 一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫 作这个一元二次不等式的解集．
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(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0
的解集一定不是空集．( )
x－a (4)x－b
≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.(
)
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
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[对点查验]
1．不等式 x2＋2x－3>0 的解集为( )
A．x|－3<x<1
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象
法求解
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[常用结论]
1．不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决
定．
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1讲 函数及其表示.1
§2.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是______________． 答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x －＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图像可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图像，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D. 4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图像是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图像，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D.1243解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝f (x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图像可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________．答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3， 解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3， 解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业11
课时作业(十一) 函数与方程A 级1．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图像是连续不断的，有如下的x ，f (x )的对应表A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．03．(2012·天津模拟)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈[1,2]上近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在的区间为( )A ．[1,1.25]B ．[1.25,1.5]C ．[1.5,2]D ．不能确定5．已知a 是函数f (x )＝ln x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．7．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线y 2＝ax 的焦点的横坐标，则a ＝________. 8．下列是函数f (x )在区间[1,2]上一些点的函数值.有效数字)9．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，－1x(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点为______个． 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.11．若A ＝{a,0，－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ＋b ，1b ＋a ，1，且A ＝B ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)求f (x )零点的个数；(2)当x ∈[－1,2]时，求f (x )的值域；(3)若x ∈[1，m ]时，f (x )∈[1，m ]，求m 的值．B 级1．(2012·山东潍坊高考模拟)若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________． 3．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a(1)判断命题“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的范围． 答案课时作业(十一)A 级1．C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点． 2．D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0，故选D.3．B ∵f (1)＝－1＋log 21＝－1<0，f (2)＝－12＋log 22＝12>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B.4．B 由于f (1)<0，f (1.5)>0，则第一步计算中点值f (1.25)<0， 又f (1.5)>0，则确定区间为[1.25,1.5]，故选B.5．C 易知f (a )＝0，函数f (x )＝ln x －log 12x 在(0，＋∞)上单调递增，因为0<x 0<a ，所以f (x 0)<f (a )＝0.6．解析： ∵f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案： (0,0.5) f (0.25)7．解析： 令f (x )＝log 2(x ＋1)－1＝0，得函数f (x )的零点为x ＝1，于是抛物线y 2＝ax 的焦点的坐标是(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧a >014a ＝1，解得a ＝4.答案： 48．解析： ∵f (1.438)·f (1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5| ＝0.031 5＜0.1，∴f (x )＝0的一个近似解为1.4. 答案： 1.49．解析： 如图所示，因为函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为方程f (x )－g (x )＝0根的个数，即函数f (x )和g (x )图像交点的个数，所以画出图像可知有8个交点．答案： 810．证明： 令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0. 11．解析： (1)∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10＝c ＋b－1＝1b ＋a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，c ＝2∴f (x )＝x 2－2x ＋2.又Δ＝4－4×2＝－4<0，所以f (x )没有零点． (或因为f (x )＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )没有零点．) (2)∵f (x )的对称轴x ＝1，∴当x ∈[－1,2]时，f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－1)＝5， ∴f (x )∈[1,5]．(3)∵f (x )在x ∈[1，m ]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1f (m )＝m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＝1m 2－2m ＋2＝m， ∴m ＝1或m ＝2，m ＝1不成立，则m ＝2.B 级1．C 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0的图像及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像关于原点对称的图像如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图像上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.2．解析： 当a ＝0时，则f (x )＝－x －1，易知函数只有一个零点．当a ≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即Δ＝1＋4a ＝0，∴a ＝－14，综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数只有一个零点．答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＝0或－143．解析： (1)“对于任意的a ∈R (R 为实数集)，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意：f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R (R 为实数集)恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意：要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0f (0)<0f ⎝⎛⎭⎫12>0即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >01－2a <034－a >0，解得12<a <34.。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练50二项式定理北师大版
课时规范练50 二项式定理基础巩固组1.(x +12x )6的展开式中的第3项为( ) A.3x 4B.52C.154x 2D.1516x 22.(1x -1)5的展开式中x -2的系数是( ) A.15 B.-15 C.10D.-103.(2021湖南怀化一模)(x 2+1)(1x -2)5展开式的常数项为( ) A.112 B.48 C.-112D.-484.(2021湖北荆门月考)若(x √x3)8的展开式中x 4的系数为7,则展开式的常数项为( )A.716 B.12 C.-716D.-125.(2021广东湛江三模)(1+3x )2+(1+2x )3+(1+x )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4= ( )A.49B.56C.59D.646.(x +1x -2)6的展开式中含x 5项的系数为( ) A.12 B.-12 C.24D.-247.对于二项式(1x+x 3)n (n ∈N *),以下判断正确的有( )①存在n ∈N *,展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *,展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *,展开式中没有含x 的项 ④存在n ∈N *,展开式中有含x 的项 A.①③B.②④C.②③D.①④8.(2021福建漳州模拟)已知(x+1)6=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 6(x-1)6,则a 4= . 9.(2021湖南长郡中学模拟三)若(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)综合提升组10.(2021河南郑州一模)式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为( ) A.3 B.5 C.15 D.2011.已知(ax 2+√x)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法不正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15的项的系数为45 12.(2021河北石家庄一模)关于(1-2x )2 021=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2 021x 2 021(x ∈R ),则( )A.a 0=0B.a 1+a 2+a 3+…+a 2 021=32 021C.a 3=8C 20213D.a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2 021=1-32 02113.(2021安徽蚌埠高三开学考试(理))若二项式(x +12)n展开式中第4项的系数最大,则n 的所有可能取值的个数为 .14.(2021福建宁德三模)已知(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为64,则实数a= ;展开式中常数项为 .创新应用组15.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(mod m).若a=C200+C201·2+C202·22+…+C2020·220,a≡b(mod 10),则b的值可以是()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 02116.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为.课时规范练50 二项式定理1.C 解析∵(a+b )n的二项式通项为T k+1=C n k ·a n-k·b k,∴(x +12x )6的展开式中的第3项是T 3=T 2+1=C 62·x 6-2·(12x )2=154x 2. 2.D 解析(1x-1)5的二项式通项T k+1=C 5k (1x )5-k ·(-1)k =(-1)k ·C 5k x k-5,当k=3时,T 4=-C 53x -2=-10x -2,即x -2的系数为-10.3.C 解析由题得,(1x -2)5的二项式通项为T r+1=C 5r (-2)r x r-5,令r=3,r=5,得展开式的常数项为C 53×(-2)3+(-2)5=-112.故选C .4.A 解析(x √x 3)8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r (√x3)r=C 8r (-a )r x 8-43r .令8-43r=4,解得r=3,所以展开式中x 4的系数为C 83(-a )3=7,解得a=-12,所以(x √x3)8的二项式通项为T r+1=C 8r (12)rx 8-43r .令8-43r=0,解得r=6,所以展开式的常数项为C 86×(12)6=716.故选A .5.C 解析令x=1,a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C . 6.B 解析由(x +1x -2)6=(x 2-2x+1x)6=(x -1)12x 6,则(x-1)12的二项式通项为T r+1=C 12rx12-r(-1)r=(-1)rC 12rx12-r.当r=1,此时T 2=-1×C 121x 11=-12x 11,可得(x -1)12x 6展开式中x 5项的系数为-12.故选B .7.D 解析设(1x +x 3)n (n ∈N *)的二项式通项为T k+1,则T k+1=C n k (1x )n -k(x 3)k =C n k x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故①正确,②错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x 的项,故③错误,④正确.故选D .8.60 解析∵(x+1)6=[(x-1)+2]6,∴展开式通项T r+1=C 6r(x-1)6-r 2r.由题知,a 4对应6-r=4,则可得r=2.∴T 3=C 62(x-1)4·22=4C 62(x-1)4,即a 4=4C 62=60.9.358 解析(x -12x )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则由二项式系数性质知,展开式共有9项,则n=8.(x -12x )8的二项式通项为T r+1=C 8r x 8-r·(-12x )r =(-12)rC 8rx 8-2r,令8-2r=0,解得r=4.所以展开式中常数项为T 5=(-12)4×C 84=116×70=358.10.B 解析∵(x -y 2x)(x+y )5=x (x+y )5-y 2x (x+y )5, 则x (x+y )5的二项式通项为T k+1=x C 5k x 5-k y k=C 5k x 6-k y k, y 2x(x+y )5的二项式通项为T r+1=y 2xC 5r x 5-r y r=C 5rx 4-r y r+2,由{6-k =3,4-r =3,解得{k =3,r =1. 故式子(x -y 2x)(x+y )5的展开式中,x 3y 3的系数为C 53−C 51=5. 故选B .11.A 解析由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x 2√x)10=(x 2+x -12)10.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为12×1024=512,故A 不正确;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x 2与x -12的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确;若展开式中存在常数项,由二项式通项T k+1=C 10k x 2(10-k )·x -12k 可得2(10-k )-12k=0,解得k=8,故C 正确;由二项式通项T k+1=C 10kx2(10-k )x -12k 可得2(10-k )-12k=15,解得k=2,所以展开式中含x 15的项的系数为C 102=45,故D 正确.故选A .12.D 解析令x=0,则12021=a 0,即a 0=1,故A 错误;令x=1,则(1-2)2021=a 0+a 1+a 2+…+a 2021,即a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-2,故B 错误;根据二项式通项得,a 3=C 20213×12018×(-2)3=-8C 20213,故C 错误;令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2021=-1, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2021=(1+2)2021=32021,两式相加可得a 0+a 2+…+a 2020=32021-12, ① 两式相减可得a 1+a 3+…+a 2021=-1-320212,②②-①可得-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=-1-32021-32021+12=-32021,所以a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 2021=1-32021,故D 正确.故选D .13.4 解析因为(x +12)n的二项式通项为C n r x n-r (12)r=C n r (12)r x n-r.由题意可得{C n 3(12)3≥C n 2(12)2,C n 3(12)3≥C n 4(12)4,即{n -2≥6,8≥n -3,故8≤n ≤11.又因为n 为正整数,所以n=8或9或10或11,故n 的所有可能取值的个数为4.14.1 6 解析令x=1,可得(a +1x)(1+x )5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64,解得a=1.则展开式中常数项为a ×C 50+C 51=1+5=6.15.D 解析a=C 200+C 201·2+C 202·22+…+C 2020·220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a ≡b (mod10),所以b 的值可以是2021.16.56 解析由题意第10行的数就是(a+b )10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C 104C 105=56.。
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业4
课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx3．(2012·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f (x －1)＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． 7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y (xy >0)x ＋by (xy <0)，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2*2 ②－2*2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．答案课时作业(四)A级1．C a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.2．D函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x＞0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.3．D∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a＝1，∴a＝1，当a<0时，f(a)＝－a＝1，∴a＝－1.4．C A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)，满足要求；B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足要求；C，f(2x)＝2x＋1≠2(x＋1)＝2f(x)，不满足要求；D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，满足要求．5．C由已知得f(0)＝f(0－1)＋1＝f(－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f(1)＝f(0)＋1＝0，f(2)＝f(1)＋1＝1，f(3)＝f(2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5} 7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2， ∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入求解 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎨⎧(2x －1)2，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x <1)52 (1≤x <2)2 (x ≥2)，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0) x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。
高考数学一轮复习 126课时作业
高考数学一轮复习 126课时作业一、选择题1．2010年7月6日～8日衡水重点中学在高一进行了期末统一考试，为了了解一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法正确的是( )A ．1000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．1000名学生的成绩是一个个体D ．样本的容量是100 答案 D解析 1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量是100.2．某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每个人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取了一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A ．36人B ．60人C ．24人D ．30人答案 A解析 ∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二级占32＋3＋5＝310.∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x200得x ＝36，故选A. 3．(09·四川)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形，黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 答案 A解析 ∵15[(0.598－0.618)＋(0.625－0.618)＋(0.628－0.618)＋(0.595－0.618)＋(0.639－0.618)]＝－0.001，15[(0.618－0.618)＋(0.613－0.618)＋(0.592－0.618)＋(0.622－0.618)＋(0.620－0.618)]＝－0.005，∴|x 甲－0.618|<|x 乙－0.618|， ∴甲批次的总体平均数更接近标准值．4．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |＝( )A ．hm B.m hC.h mD ．h ＋m答案 B解析 ∵m ＝h |a －b |，∴|a －b |＝m h5．(08·安徽)设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2 答案 A解析 由概率密度曲线的性质可知N (μ1，σ12)、N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1、x ＝μ2对称，因此结合所给图象知μ1<μ2，且N (μ1，σ12)的密度曲线较N (μ2，σ22)的密度曲线“高瘦”，因此σ1<σ2，选A.6．(2010·广东卷，理)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.7．(2010·江苏卷，理)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.答案 30解析 由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm 的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm 的有0.3×100＝30(根)．二、填空题8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．答案 0.8解析 P (0<ξ<1)＝F (1)－F (0) ＝Φ(1－1σ)－Φ(0－1σ)＝12－[1－Φ(1σ)] ＝－12＋Φ(1σ)，P (0<ξ<2)＝F (2)－F (0)＝Φ(2－1σ)－Φ(0－1σ)＝Φ(1σ)－Φ(－1σ)＝2Φ(1σ)－1.又P (0<ξ<1)＝0.4，∴P (0<ξ<2)＝0.8，故填0.8.9．(2010·四川卷)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．答案 8,16,10,6 解析 抽样比为40800＝120，因此，从各层依次抽取的人数为160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6.三、解答题10．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：分组 频数 [1.30,1.34) 4 [1.34,1.38) 25 [1.38,1.42) 30 [1.42,1.46) 29 [1.46,1.50) 10 [1.50,1.54)2 合计100(1)(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30,1.34)的中点值是1.32)作为代表，据此，估度纤度的期望．解 (1)频率分布直方图如图：频率分布表：分组 频数 频率 [1.30,1.34) 4 0.04 [1.34,1.38) 25 0.25 [1.38,1.42) 30 0.30 [1.42,1.46) 29 0.29 [1.46,1.50) 10 0.10 [1.50,1.54)2 0.02100(2)设纤度落在1P 2，于是由频率分布直方图得P 1＝0.3＋0.29＋0.1＝0.69，P 2＝0.04＋0.25＋0.15＝0.44.(3)设纤度为ξ，于是ξ所有可能的取值是1.32,1.36,1.40,1.44,1.48,1.52，于是P (ξ＝1.32)＝0.04，P (ξ＝1.36)＝0.25，P (ξ＝1.40)＝0.3，P (ξ＝1.44)＝0.29，P (ξ＝1.48)＝0.1，P (ξ＝1.52)＝0.02，∴Eξ＝1.32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.3＋1.44×0.29＋1.48×0.1＋1.52×0.02＝1.4.11．(2010·陕西卷)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在165～180 cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm 之间的概率．解析 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5，故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率p ＝0.5.(3)样本中女生身高在165～180 cm 之间的人数为10，身高在170～180 cm 之间的人数为4.设A表示事件“从样本中身高在165～180 cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之间”，则P(A)＝1－C62C102＝23(或P(A)＝C61·C41＋C42C102＝23)．12．(2010·安徽卷)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,9591,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良，在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．解析(1)频率分布表：(2)频率分布直方图：分组频率频率[41,51)22 30[51,61)11 30[61,71)44 30[71,81)66 30[81,91)1010 30[91,101)55 30[101,111)22 30(3)答对下述两条中的一条即可；(ⅰ)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415.说明该市天气质量基本良好．(ⅱ)轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．。
高考数学一轮复习全套课时作业1-1集合
题组层级快练1.1集合一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅6．已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥168．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<7221x x ，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3} C ．{x|1<x<2} D ．∅12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R三、填空题与解答题13．集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.517．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．41.1集合 参考答案1．答案 B2．答案 B 解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．答案 C4．答案 B 解析 由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．答案 C6．答案 C 解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．答案 C 解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．答案 B 解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．答案 A 解析 由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．答案 B11．答案 ACD 解析 依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．答案 ABC 解析 由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.13．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得 ①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．答案 B解析 设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．答案A解析 方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.。
高考数学一轮复习作业等差数列及其前n项和北师大版
等差数列及其前n 项和一、选择题1．若{a n }为等差数列,且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．12D ．2B [由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1,则a 1＝1．又由a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0,解得d ＝－12．故选B ．]2．在等差数列{a n }中,a 3,a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根,则数列{a n }的前11项和等于( )A ．66B ．132C ．－66D ．－132D [因为a 3,a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根,所以a 3＋a 9＝－24． 又a 3＋a 9＝－24＝2a 6,所以a 6＝－12,S 11＝11×a 1＋a 112＝11×2a 62＝－132,故选D ．]3．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2),且a 2＋a 4＋a 6＝12,则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12D [由2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)可知数列{a n }为等差数列,∴a 2＋a 4＋a 6＝a 3＋a 4＋a 5＝12．故选D ．]4．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6＝3a 4,且S 10＝λa 4,则λ的值为( )A ．15B ．21C ．23D ．25D [由题意得a 1＋5d ＝3(a 1＋3d ),∴a 1＝－2d ．∴λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92da 1＋3d ＝10×－2d ＋45d－2d ＋3d＝25,故选D ．]5．等差数列{a n }中,已知|a 6|＝|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 C [∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0, ∴a 6＝－a 11．∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0,且a 8<0,a 9>0, ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…,∴使S n 取最小值的n 的值为8．故选C ．]6．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠．次第每人多十七,要将第八数来言．务要分明依次弟,孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184D [由题意知,8个孩子所得棉花构成公差为17的等差数列,且前8项之和为996． 设首项为a 1,则S 8＝8a 1＋8×72×17＝996,解得a 1＝65,则a 8＝a 1＋7d ＝65＋7×17＝184,故选D ．] 二、填空题7．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1≠0,a 2＝3a 1,则S 10S 5＝________． 4 [设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2＝3a 1,即a 1＋d ＝3a 1,得2a 1＝d ,所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d5a 1＋5×42d＝100a 125a 1＝4．] 8．(2020·新高考全国卷Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为________．3n 2－2n [将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }是以1为首项,以6为公差的等差数列,故它的前n 项和为S n ＝n ×1＋n n －12×6＝3n 2－2n ．]9．已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,满足a 1＋5a 3＝S 8,给出下列结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0．其中一定正确的结论是________．(填序号) ①③ [a 1＋5(a 1＋2d )＝8a 1＋28d , 所以a 1＝－9d ,a 10＝a 1＋9d ＝0,故①正确；由于d 的符号未知,所以S 10不一定最小,故②错误；S 7＝7a 1＋21d ＝－42d ,S 12＝12a 1＋66d ＝－42d ,所以S 7＝S 12,故③正确；S 20＝20a 1＋190d ＝10d ,不一定为0,故④错误．所以正确的是①③．] 三、解答题10．(2021·新高考卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．[解] (1)因为b n ＝a 2n ,且a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2,b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5．因为b n ＝a 2n ,所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3, 所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3,所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列,b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1,n ∈N *． (2)因为a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时,a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1, 即a 2k ＝a 2k －1＋1,①a 2k ＋1＝a 2k ＋2,②a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1,即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1,③所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3,即a 2k ＋1－a 2k －1＝3,所以数列{a n }的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3,即a 2k ＋2－a 2k ＝3,又a 2＝2,所以数列{a n }的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列．所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300． 11．已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110． (1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n ． [解] (1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k ．由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0, 解得k ＝10或k ＝－11(舍去), 故a ＝2,k ＝10． (2)由(1)得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1),则b n ＝S n n＝n ＋1,故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,又b 1＝2, 即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32．1．(2021·大连模拟)若{a n }是等差数列,首项a 1＞0,a 2 019＋a 2 020＞0,a 2 019·a 2 020＜0,则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 019B ．2 020C ．4 039D ．4 038D [{a n }是等差数列,首项a 1＞0,a 2 019＋a 2 020＞0,a 2 019·a 2 020＜0,所以{a n }是递减的等差数列,且a 2 019＞0,a 2 020＜0,因为a 2 019＋a 2 020＝a 1＋a 4 038＞0,a 1＋a 4 039＝2a 2 020＜0,所以S 4 038＝4 038a 1＋a 4 0382＞0,S 4 039＝4 039a 1＋a 4 0392＜0．所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 038．故选D ．]2．已知数列{a n }满足a 1＝－19,a n ＋1＝a n 8a n ＋1(n ∈N *),则a n ＝________,数列{a n }中最大项的值为________．18n －17 17 [由题意知a n ≠0,由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8,整理得1a n ＋1－1a n＝8,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列,故1a n ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17,所以a n ＝18n －17．当n ＝1,2时, a n ＜0；当n ≥3时,a n ＞0,则数列{a n }在n ≥3时是递减数列,故{a n }中最大项的值为a 3＝17．]3．(2021·全国卷乙)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n ＋1b n＝2．(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：因为b n 是数列{S n }的前n 项积, 所以n ≥2时,S n ＝b nb n －1, 代入2S n ＋1b n＝2可得,2b n －1b n＋1b n＝2,整理可得2b n －1＋1＝2b n ,即b n －b n －1＝12(n ≥2)．又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2,所以b 1＝32, 故{b n }是以32为首项,12为公差的等差数列．(2)由(1)可知,b n ＝n ＋22,则2S n ＋2n ＋2＝2,所以S n ＝n ＋2n ＋1, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝32,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n n ＋1． 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1－1n n ＋1，n ≥2．1．(2021·青岛模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,a n ＋a n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *),则a 20＝________,S 21＝________．20 231 [∵a n ＋a n ＋1＝2n ＋1,① ∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3,② ②－①得a n ＋2－a n ＝2．∴数列{a n }的奇数项和偶数项均成公差为2的等差数列． 又a 1＝1,且a 1＋a 2＝3,∴a 2＝2, ∴a 21＝1＋10×2＝21,a 20＝2＋9×2＝20, ∴S 21＝(a 1＋a 3＋…＋a 21)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20) ＝1＋21×112＋2＋20×102＝231．]2．(2021·海淀区二模)已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列,其前n 项和为S n ．又________,且S 5＝40,是否存在大于1的正整数k ,使得S k ＝S 1？若存在,求k 的值；若不存在,说明理由．从①a 1＝4,②d ＝－2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答． [解] 选①a 1＝4．∵{a n }是等差数列,a 1＝4,S 5＝40,∴S 5＝20＋10d ＝40,∴d ＝2． ∵S k ＝k 2＋3k ,S 1＝a 1＝4,且S k ＝S 1, ∴k 2＋3k ＝4,即(k －1)(k ＋4)＝0,解得k＝1或k＝－4(舍去)．∴不存在k＞1的正整数,使得S k＝S1．选②d＝－2．∵{a n}是等差数列,d＝－2,S5＝40,∴a1＝12．∴S k＝－k2＋13k,S1＝a1＝12．∵S k＝S1,∴－k2＋13k＝12,即(k－12)(k－1)＝0,解得k＝1或k＝12, ∵k＝12＞1,∴存在k＞1的正整数,使得S k＝S1．。
2025年高考数学一轮复习课时作业-两角和与差的三角函数积【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-两角和与差的三角函数积【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)tan105°等于()A.2-3B.-2-3C.3-2D.-32.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0B.12C.1D.323.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°1+tan15°的值为()A.1B.3C.33D.224.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于()A.12B.32C.-12D.-325.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4π3)的值为()A.-235B.235C.-45D.456.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD=()A.26-336B.23-66C.23+66D.26+336【【加练备选】(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是()A.cos(β-α)=32B.cos(β-α)=12C.β-α=π6D.β-α=-π37.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.8.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组.9.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时, =;当 =3时,α-β的一个取值为. 10.(10分)已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+α)中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-55.(1)求sin(α-π4);(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【能力提升练】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则α+β=.13.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),则cos(θ-π4)=.14.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13.(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<α-β<π2,求cos2α的值.2025年高考数学一轮复习课时作业-两角和与差的三角函数积【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)tan105°等于()A.2-3B.-2-3C.3-2D.-3【解析】选B.tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45°1-tan60°·tan45°=3+13+1=4+23-2=-2-3.2.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于()A.0B.12C.1D.32【解析】选C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.3.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°1+tan15°的值为()A.1B.3C.33D.22【解析】选C.1-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan30°=33.1+tan15°=tan45°-tan15°4.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于()A.12B.32C.-12D.-32【解析】选A.由三角函数的定义,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=12.5.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4π3)的值为()A.-235B.235C.-45D.45【解析】选C.因为12sinα+32cosα=45,所以sin(α+π3)=45,则sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+π3)=-45.6.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD=()A.26-336B.23-66C.23+66D.26+336【解析】选B.记∠BAC=α,∠CAD=β,由题图知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=63,所以cos∠BAD=cos∠ ૭+∠૭ ૭=cos + =cosαcosβ-sinαsinβ= 22×63-22×33=23-66.【加练备选】(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是()A.cos(β-α)=32B.cos(β-α)=12C.β-α=π6D.β-α=-π3【解析】选BD.由已知可得sin =sin -sin ,cos =cos -cos ,所以1=sin2γ+cos2γ=(sinα-sinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12,因为α,β,γ∈(0,π2),则-π2<β-α<π2,因为sinγ=sinα-sinβ>0,函数y=sin x在(0,π2)上单调递增,则α>β,则-π2<β-α<0,故β-α=-π3.7.(5分)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.【解析】sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=sin(α+β)cos(β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)8.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组.【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,所以tan +tan1-tan tan =1,所以tan(α+β)=1,所以α+β=kπ+π4,k∈Z,所以α可以为0,β可以为π4(答案不唯一).答案:(0,π4)(答案不唯一)9.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时, =;当 =3时,α-β的一个取值为.【解析】根据题意可得当α=π,β=π2时,可得A-1,0,B0,2,所以 =-1-02+0-22=5;当 =3时,即cos -2cos 2+sin -2sin 2=3,整理可得5-4cos cos +sin sin =3,即cos - =12,可得α-β=±π3+2kπ,所以α-β的一个取值为π3.答案:5π3(答案不唯一)10.(10分)已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;【解析】(1)因为α,β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2.又因为tan(α-β)=-13<0,所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-1010.(2)求cosβ的值.【解析】(2)由(1)可得,cos(α-β)=31010,因为α为锐角,且sinα=35,所以cosα=45.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×31010+35×(-1010)=91050.11.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+α)中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决问题.已知0<β<α<π2,,cos(α+β)=-55.(1)求sin(α-π4);【解析】(1)若选①,tan(π+α)=tanα=sin cos =3,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα=1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-1010×22=55.若选②,因为sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α),化简得sinα=3cosα,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα=1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-1010×22=55.若选③,因为3sin(π2+α)=cos(3π2+α),化简得3cosα=sinα,又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα=1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-1010×22=55.(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(2)因为0<β<α<π2,且cos(α+β)=-55,所以π2<α+β<π,所以sin(α+β)=1-cos2( + )=255,所以sinβ=sin[(α+β)-α]=255×1010-(-55)×31010=22,又因为0<β<π2,所以β=π4.【能力提升练】12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则α+β=.【解析】由tanα+tanβ+3tanαtanβ=3得tan(α+β)=tan +tan1-tan tan =3,又α,β∈(-π2,0),则α+β∈(-π,0),所以α+β=-2π3.答案:-2π313.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),则cos(θ-π4)=.【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=-1615cosθ,又sin2θ+cos2θ=1,所以cosθ=-35或cosθ=53(舍去),又θ∈(0,π),所以sinθ=1-cos2 =45,因此cos(θ-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-35×22+45×22=210.答案:21014.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13.(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;【解析】(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ-3cosαsinβ=1,②②-①得sinαcosβ-5cosαsinβ=0,则sinαcosβ=5cosαsinβ.(2)已知0<α+β<π2,0<α-β<π2,求cos2α的值.【解析】(2)因为sin(α+β)=12,sin(α-β)=13, 0<α+β<π2,0<α-β<π2,所以cos(α+β)=32,cos(α-β)=223,则cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) =32×223-12×13=26-16.。
2022北师大版高考数学一轮复习—基本不等式和不等式的性质习题含答案
基本不等式[A 组 基础保分练]1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 解析：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5． 答案：C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（ ）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥2 1－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3． 答案：D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f （ab ），q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12（f（a ）＋f （b ）），则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ．答案：C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（ ）A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立． 答案：B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3． 答案：2＋38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是 万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．解析：（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈[300，600]，所以s ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．[B 组 能力提升练]1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（ ）A ．1B ．2C ． 2D ．22解析：∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22．答案：D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1，1]恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1． 答案：D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．[4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．[1，＋∞） D ．（4，＋∞）解析：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1． 答案：C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．125解析：∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5． 答案：26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．答案：12－27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1． （1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解析：（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2． （2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．[C 组 创新应用练]1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（ ）A ．3＋223B ．3＋22C ．3D ．22解析：由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3． 答案：C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（ ） A ．2 2 B ．2C ．22＋1D ．2＋32解析：直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．答案：D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（ ）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76解析：如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA＝2．因为V A BCD ＝V E BCD ＋V E ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．答案：C不等式的性质、一元二次不等式[A 组 基础保分练]1．已知a ，b ∈R ，若a ＜b ，则一定有（ ） A ．a ＜2b B ．ab ＜b 2C ．a 12＜b 12D ．a 3＜b 3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A 项错误；当b ＝0时，B 项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C 项错误；y ＝x 3是增函数，若a ＜b ，则a 3＜b 3，D 项正确． 答案：D2．设m ＝6－5，n ＝7－6，p ＝8－7，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m ＞p ＞n B ．p ＞n ＞m C ．n ＞m ＞p D ．m ＞n ＞p解析：m －n ＝6－5－7＋6＝26－（5＋7），因为（26）2＝24，（5＋7）2＝12＋235＜12＋2×6＝24，所以m －n ＞0，同理n ＞p ，所以m ，n ，p 的大小关系是m ＞n ＞p ． 答案：D 3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0的解集是（ ） A ．（－∞，1）∪（2，＋∞） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），所以a >0，且－ba＝1，所以关于x的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋ba （x －2）<0，即（x －1）（x －2）<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 答案：C 4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x 2＋mx ＋4＞0有解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞－4 B ．m ＜－4 C ．m ＞－5 D ．m ＜－5解析：记f （x ）＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图像知，f （1）＞0或f （2）＞0时，不等式x 2＋mx ＋4＞0一定有解，即m ＋5＞0或2m ＋8＞0，解得m ＞－5． 答案：C5．若存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，1] B ．（－∞，－8] C ．[1，＋∞） D ．[－8，＋∞）解析：设f （x ）＝2x －x 2，则当x ∈[－2，3]时，f （x ）＝－（x －1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f （x ）max ，所以a ≤1． 答案：A 6．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[－6，－2] C ．（2，6） D ．（－6，－2） 解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4（2m －3）≤0，解得2≤m ≤6． 答案：A7．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．所以a ＜b和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ． 答案：a ＜0＜b8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是（－∞，－1）∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：ax －1x ＋1＜0⇔（ax －1）（x ＋1）＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－12，∴a ＝－2．答案：－29．已知函数f （x ）＝kx 2＋kx ＋2（k ∈R ）． （1）若k ＝－1，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若不等式f （x ）＞0的解集为R ，求实数k 的取值范围． 解析：（1）若k ＝－1，则f （x ）＝－x 2－x ＋2≤0， x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k ＝0时，f （x ）＝2＞0，显然恒成立，解集为R ；当k ≠0时，要使f （x ）＝kx 2＋kx ＋2＞0的解集为R ，则k ＞0且Δ＝k 2－8k ＜0，即0＜k ＜8． 综上所述，k ∈[0，8）．10．设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小．解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）·（x －n ）， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0， 即a （x ＋1）（x －2）＞0．当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为 {x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1），因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0．所以f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m ．[B 组 能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－3，5） B ．（－2，4） C ． [－3，5] D ．[－2，4]解析：因为关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0可化为（x －1）（x －a ）<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]． 答案：D 2．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜－2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－6 D ．a ＜－6解析：令g （x ）＝x 2－4x －2，不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，等价于a ＜g （x ）的最大值，因为g （x ）＝（x －2）2－6，x ∈（1，4），所以g （x ）＜g （4）＝－2，所以a ＜－2． 答案：A 3．已知函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，则不等式（x －2）f （x ）<0的解集为（ ） A ．（－2，2）∪（2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（－2，2）解析：因为函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f （x ）＝－2x 2＋4，所以不等式（x －2）f （x ）<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2． 故原不等式的解集为（－2，2）∪（2，＋∞）． 答案：A4．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y ＜4＋xy ，则x 、y 的取值范围是（ ） A ．x >2且y ＞2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ＞0，由2x ＋2y －4－xy ＝（x －2）·（2－y ）<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 答案：C 5．函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域为________．解析：函数y ＝log 13（4x 2－3x ） 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0或34<x ≤1．答案：⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1 6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为（|k |＋2）（|k |－1）<0，所以|k |<1，所以－1<k <1． 答案：（－1，1）7．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b －8）x －a －ab ，当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0． （1）求f （x ）在[0，1]内的值域；（2）若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解析：（1）因为当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．所以－3，2是方程ax 2＋（b －8）x －a －ab ＝0的两个根．所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5．所以f （x ）＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754．因为函数图像关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f （x ）在[0，1]上为减函数， 所以f （x ）max ＝f （0）＝18，f （x ）min ＝f （1）＝12，故f （x ）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512． [C 组 创新应用练]1．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则（ ） A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析：当x ＝1，y ＝－1时，－6≤a －b ＋c ≤4，所以a －b ＋c 的最小值为－6，最大值为4，故B 、D 两项错误；当x ＝－1，y ＝－1时，－12≤－a －b ＋c ≤－2，则2≤a ＋b －c ≤12，所以a ＋b －c 的最小值为2，最大值为12，故A 项正确，C 项错误． 答案：A2．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）＝x 3，若不等式f （－4t ）＞f （2m ＋mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－2，0） C ．（－∞，0）∪[2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪[2，＋∞）解析：∵f （x ）在R 上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f （x ）在R 上是增函数，结合题意得－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈（－∞，－2）． 答案：A3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）。
2021版北师大版数学(文)大一轮复习文档：第九章 平面解析几何 9.8 课时3 Word版含答案
课时3 定点、定值、探究性问题题型一 定点问题例1 已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x轴正半轴和y 轴分别交于Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再争辩变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：依据动点或动线的特殊状况探究出定点，再证明该定点与变量无关．(2021·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点， 假如存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2， 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件， 则Q 点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |，当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)， 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线， 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |，故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．题型二 定值问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率是12，其左，右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的一个端点，△A 1BA 2的面积为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：x ＝22与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P ，A 2P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：|DE |·|DF |为定值．(1)解 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)． 设P (x 0，y 0)，由题意可得－2<x 0<2，∴直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝22得y ＝(22＋2)y 0x 0＋2，即|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2，同理，直线A 2P的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝22，得y ＝(22－2)y 0x 0－2，即|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2，所以|DE |·|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2＝4y 20|x 20－4|＝4y 204－x 20， 将y 20＝3(4－x 20)4代入上式，得|DE |·|DF |＝3， 故|DE |·|DF |为定值3.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |， 又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，由于点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．题型三 探究性问题例3 (2021·湖北)一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，摸索究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由于|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由于直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0， 即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 思维升华 解决探究性问题的留意事项探究性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类争辩；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，实行另外合适的方法．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP→＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．解 (1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点，即a ＝2.又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OP →＝OA →＋OB →，∴P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 4k 2＋3.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24(4k 2＋3)2＋36m 23(4k 2＋3)2＝1，整理，得4m 2＝4k 2＋3. 设T (t,0)，Q (－4，m －4k )，∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3.即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m (m －4k )4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k (1＋t )m.要使OP →·TQ →为定值，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k (1＋t )m 2＝4k 2(1＋t )2m 2＝(4m 2－3)(1＋t )2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1， ∴在x 轴上存在一点T (－1,0)，使得OP →·TQ →为定值32.19．设而不求，整体代换典例 (12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思维点拨 第(3)问，可设P 点坐标为(x 0，y 0)，写出直线l 的方程；联立方程组消去y 得关于x 的一元二次方程，则Δ＝0；变为1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2，把k 与1k 1＋1k 2均用x 0，y 0表示后可消去． 规范解答 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.[3分](2)设P (x 0，y 0) (y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.[6分] 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.由于－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m <32.[8分](3)设P (x 0，y 0) (y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0).整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.[9分] 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[12分]温馨提示 对题目涉及的变量奇妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，削减计算”的效果，直接得定值．[方法与技巧]1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探究与证明问题(1)探究直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊状况入手，先探求定点，再证明与变量无关． [失误与防范]1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特殊留意直线与抛物线的对称轴平行的特殊状况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要遗忘验证Δ>0或说明中点在曲线内部． 3．解打算值、定点问题，不要遗忘特值法．(时间：70分钟)1．(2021·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)， 且PC →·PD →＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169； 当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0,1)． 下面证明Q (0,1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明． 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0， Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)>0， x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9，QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0，∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0,1)．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论． 解 (1)设P ⎝⎛⎭⎫x 0，22x 0. 由于直线PQ 的斜率为22时，PQ ＝23， 所以x 20＋⎝⎛⎭⎫22x 02＝3，所以x 20＝2. 所以2a 2＋1b 2＝1.由于e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝4，b 2＝2. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，Q (－x ，－y )，又A (－2,0)，则k AP ·k AQ ＝y x ＋2·y x －2＝2⎝⎛⎭⎫1－x24x 2－4＝－12.设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－12k ，则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ，所以M (0,2k )． 同理N ⎝⎛⎭⎫0，－1k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋(y －2k )⎝⎛⎭⎫y ＋1k ＝0，即x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫1k －2k y －2＝0.令y ＝0，解得x ＝±2，所以以MN 为直径的圆过定点(±2，0)． 4．已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． (1)解 设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为22，所以b ＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，又b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2. ∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)整理得y ＝kx ＋y 0－kx 0， 联立直线l 0与椭圆E 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋y 0－kx 0，y 23＋x 22＝1， 消去y ，得2[kx ＋(y 0－kx 0)]2＋3x 2－6＝0，整理得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∵l 0与椭圆E 相切，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2x 0y 0k －(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1k 2＝－y 20－32－x 20. ∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线斜率之积为常数－1.5．(2022·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .摸索究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解 方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率 k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A (12x 0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3 得M (12x 0＋6x 0，3)．又N (0,3)，所以圆心C (14x 0＋3x 0，3)，半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝[12x 0－(14x 0＋3x 0)]2＋32－(14x 0＋3x 0)2＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方， 所以y >－3， 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1，化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一．。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项五第1课时定点与定值问题北师大版
高考解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题第1课时 定点与定值问题1.(2020全国Ⅰ,理20)已知A ,B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1(a>1)的左、右顶点,点G 为椭圆E 的上顶点,⃗AG ·⃗G B =8.点P 为直线x=6上的动点,PA 与椭圆E 的另一交点为C ,PB 与椭圆E 的另一交点为D.(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.2.(2021湖北十一校联考)已知动点P 在x 轴及其上方,且点P 到点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若点Q 是直线y=x-4上任意一点,过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ,QB ,其中A ,B 为切点,试证明直线AB 恒过一定点,并求出该点的坐标.3.(2021湖南长郡中学模拟)设A ,B 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ,N 两点,当直线l 垂直于x 轴时,△AMN 为等腰直角三角形.(1)求双曲线C 的离心率;(2)已知直线AM ,AN 分别交直线x=a 2于P ,Q 两点,当直线l 的倾斜角变化时,以线段PQ 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.4.(2021河南洛阳一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且|PF|=5.(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两个不同的点(均与点P不重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.5.(2021辽宁朝阳一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2√5,且双曲线C 右支上一动点P (x 0,y 0)到两条渐近线l 1,l 2的距离之积为4b 25.(1)求双曲线C 的方程;(2)设直线l 是曲线C 在点P (x 0,y 0)处的切线,且直线l 分别交两条渐近线l 1,l 2于M ,N 两点,点O 为坐标原点,证明:△MON 面积为定值,并求出该定值.6.(2020山东,22)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点A (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)点M ,N 在椭圆C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ|为定值.高考解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题第1课时 定点与定值问题1.(1)解由题可得A (-a ,0),B (a ,0),G (0,1),则⃗AG =(a ,1),⃗G B =(a ,-1).由⃗AG ·⃗G B =8得a 2-1=8,即a=3,所以E 的方程为x 29+y 2=1.(2)证明设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (6,t ).若t ≠0,设直线CD 的方程为x=my+n ,由题可知-3<n<3.因为直线PA 的方程为y=t 9(x+3),所以y 1=t 9(x 1+3).因为直线PB 的方程为y=t 3(x-3),所以y 2=t 3(x 2-3),所以3y 1(x 2-3)=y 2(x 1+3).因为x 229+y 22=1,所以y 22=-(x 2+3)(x 2-3)9,所以27y 1y 2=-(x 1+3)(x 2+3),即(27+m 2)y 1y 2+m (n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=0.①将x=my+n 代入x 29+y 2=1得(m 2+9)y 2+2mny+n 2-9=0.由题可知m 2+9≠0,Δ>0,所以y 1+y 2=-2mn m 2+9,y 1y 2=n 2-9m 2+9,代入①式得(27+m 2)(n 2-9)-2m (n+3)mn+(n+3)2·(m 2+9)=0.解得n=-3(舍去)或n=32,故直线CD的方程为x=my+32,即直线CD过定点(32,0).若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(32,0).综上,直线CD过定点(32,0).2.解(1)设点P(x,y),则|PF|=|y|+1,即√x2+(y-1)2=|y|+1,∴x2=2|y|+2y.∵y≥0,∴x2=4y,∴点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)∵y=14x2,∴y'=12x.设切点(x0,y0),则过该切点的切线的斜率为12x0,∴切线方程为y-y0=12x0(x-x0)=12x0x-12x2=12x0x-2y0,即x0x-2y-2y0=0.设Q(t,t-4).∵切线过点Q,∴tx0-2y0-2(t-4)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程是tx1-2y1-2(t-4)=0与tx2-2y2-2(t-4)=0,∴直线AB的方程是tx-2y-2(t-4)=0,即t(x-2)+8-2y=0,∴对任意实数t,直线AB恒过定点,定点坐标为(2,4).3.解(1)由直线l垂直于x轴时,△AMN为等腰直角三角形,得|AF|=|NF|=|MF|,所以a+c=b2a,即c2-ac-2a2=0,所以e2-e-2=0.又e>1,所以e=2.(2)因为e=c a =2,所以双曲线C :x 2a 2−y 23a2=1.由题可知直线l 的斜率不为0,设直线l :x=my+2a ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).联立{x =my +2a ,x 2a 2-y 23a2=1,得(3m 2-1)y 2+12amy+9a 2=0,因为3m 2-1≠0,Δ=144a 2m 2-36a 2(3m 2-1)=36a 2m 2+36a 2>0,所以y 1+y 2=-12am 3m 2-1,y 1y 2=9a 23m 2-1,①所以x 1+x 2=m (y 1+y 2)+4a=-4a 3m 2-1,②x 1x 2=m 2y 1y 2+2am (y 1+y 2)+4a 2=-3a 2m 2-4a 23m 2-1.③设直线AM :y=y 1x 1+a (x+a ),直线AN :y=y2x 2+a(x+a ).令x=a2,则P(a 2,3a y 12(x 1+a )),Q (a 2,3a y 22(x 2+a )).设点G (x ,y )是以线段PQ 为直径的圆上的任意一点,则⃗P G ·⃗Q G=0,所以圆的方程为(x -a 2)2+y-3a y 12(x 1+a)y-3a y 22(x 2+a)=0.由对称性可知,若存在定点,则一定在x 轴上.令y=0,得(x -a 2)2+3a y 12(x 1+a )·3a y 22(x 2+a )=0,即(x -a2)2+9a 2y 1y 24[x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2]=0.将①②③代入,可得(x -a2)2+9a 2·9a 23m 2-14(-3a 2m 2-4a 23m 2-1+a ·-4a 3m 2-1+a2)=0,即(x -a 2)2=94a 2,解得x=-a 或x=2a ,所以以线段PQ 为直径的圆过定点(-a ,0),(2a ,0).4.(1)解∵点P (4,m )(m>0)是抛物线C 上一点,且|PF|=5,∴p 2+4=5,∴p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)证明∵点P (4,m )(m>0)是抛物线C 上一点,∴m=4,即P (4,4).由题可知直线AB 的斜率不为零,故设直线的方程为x-1=t (y+4),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x -1=t (y +4),y 2=4x ,得y 2-4ty-16t-4=0.∵Δ=16t 2+4(16t+4)>0,∴y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-16t-4,∴k 1k 2=y 1-4x 1-4·y 2-4x 2-4=y 1-4y 124-4·y 2-4y 224-4=16(y 1+4)(y 2+4)=16y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=16-16t -4+4×4t +16=43,∴k 1k 2为定值.5.(1)解由题可知,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0.∵动点P (x 0,y 0)到两条渐近线l 1,l 2√22√22|b 2x 02-a 2y 02|a 2+b 2=a 2b 2a 2+b 2,∴4b 25=a 2b 2a 2+b 2,即a 2=4b 2.又2c=2√5,即c 2=a 2+b 2=5,∴a=2,b=1,∴双曲线的方程为x 24-y 2=1.(2)证明设直线l 的方程为y=kx+m ,与双曲线的方程x 2-4y 2=4联立,得(4k 2-1)x 2+8kmx+4m 2+4=0.∵直线与双曲线的右支相切,∴Δ=(8km )2-4(4k 2-1)(4m 2+4)=0,∴4k 2=m 2+1.设直线l 与x 轴交于点D ,则D (-m k ,0),∴S △MON =S △MOD +S △NOD =12|OD||y M -y N |=12|m k||k||x M -x N |=|m 2||x M -x N |.又双曲线的渐近线方程为y=±12x ,联立{y =12x ,y =kx +m ,得M 2m 1-2k ,m 1-2k.同理可得N (-2m 1+2k ,m 1+2k ),∴S △MON =|m 2|2m 1+2k +2m1-2k =|m 2||4m 1-4k 2|=2m 2m2=2.∴△MON 面积为定值2.6.解(1)由题可得4a 2+1b 2=1,a 2-b 2a 2=12,解得a 2=6,b 2=3,所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y=kx+m ,代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-6=0.由题可知1+2k 2≠0,Δ>0,所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k2.①由AM ⊥AN 知⃗AM ·⃗AN =0,故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,可得(k 2+1)x 1x 2+(km-k-2)(x 1+x 2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为点A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.于是MN的方程为y=k(x-23)−13(k≠1),所以直线MN过点P(23,-13).若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由⃗AM·⃗AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又x126+y123=1,所以3x12-8x1+4=0,解得x1=2(舍去),x1=23,此时直线MN过点P(23,-13).令点Q为AP的中点,即Q(43,13).若点D与点P不重合,则由题可知线段AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=2√23.若点D与点P重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q(43,13),使得|DQ|为定值.。
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课时作业(一)集合的概念与运算
A级
1．(2012·辽宁卷)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()
A．{5,8}B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
2．R表示实数集，集合M＝{x∈R|1<x<3}，N＝{x∈R|(x－1)(x－2)<0}，则()
A．M∩N＝M B．M∪N＝N
C．(∁R N)∩M＝∅D．(∁R M)∩N＝∅
3．(2012·朝阳区统考)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2,3}，则实数p的值为()
A．－4 B．4
C．－6 D．6
4．(2011·辽宁卷)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()
A．M B．N
C．I D．∅
5．集合S⊆{1,2,3,4,5}，且满足“若a∈S，则6－a∈S”，这样的非空集合S共有() A．5个B．7个
C．15个D．31个
6．(2012·济南模拟)已知集合A＝{x|x2－4＝0}，则集合A的所有子集的个数是________．7．已知集合A＝{3，2，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．8．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁R B＝R，则实数a的取值范围是________．
9．对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B＝________.
10．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.
11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．
B级
1．(2012·长春市调研)设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)等于()
A．R
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．∅
2．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．
3．(2012·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁I M)∩N；
(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
答案
课时作业(一)
A级
1．B因为∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，
所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}．
2．D因为M＝{x|1<x<3}，N＝{x|1<x<2}，所以M∩N＝N，M∪N＝M，
(∁R N)∩M＝{x|2≤x<3}，(∁R M)∩N＝∅，所以选D.
3．B由条件可得M＝{1,4}，把1或4代入x2－5x＋p＝0，可得p＝4，再检验可知结论成立．
4．A如图，∵N∩∁I M＝∅，
∴N⊆M，∴M∪N＝M.
5．B若满足条件，则单元素的集合为{3}；两个元素的集合为{1,5}，{2,4}；三个元素的集合为{1,3,5}，{2,3,4}；四个元素的集合为{1,2,4,5}；五个元素的集合为{1,2,3,4,5}，共7个．
6．解析：由已知得A＝{－2,2}，∴集合A的所有子集为∅，{－2}，{2}，{－2,2}，共有4个．
答案： 4
7．解析：因为A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝2或a＝－2；当a＝2时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－ 2.
答案：－ 2
8．解析：∵∁R B＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪∁R B＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
答案：[2，＋∞)
9．解析：由题意得A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y>0}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}＝{y|y≤2}，故A－B＝{y|y>2}，B－A＝{y|y≤0}，所以A⊕B＝{y|y≤0或y>2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)
10．解析：(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，
经检验a＝5或a＝－3符合题意．
∴a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，
由(1)知a ＝5或a ＝－3
当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，
此时A ∩B ＝{9}，
当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，
此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．
综上知a ＝－3.
11．解析： A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1.
∴m >5或m <－3.
B 级
1．B 由|x |≤2得－2≤x ≤2，所以集合A ＝{x |－2≤x ≤2}；由－1≤x ≤2得－4≤－x 2≤0，所以集合B ＝{y |－4≤y ≤0}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤0}，故∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)，选B.
2．解析： A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，
∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.
∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．
①若B ＝{－1}，则m ＝1；
②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；
③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.
经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．
∴m ＝1或2.故填1或2.
答案： 1或2
3．解析： (1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，
∴(∁I M )∩N ＝{2}．
(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，
∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，
当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；
当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3， 综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．。