复杂网络的度分布研究
复杂网络研究
复杂网络研究复杂网络指的是由大量节点和连接构成的网络，其中节点和连接之间的关系可能非常复杂。
复杂网络研究主要是研究网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
下面将介绍复杂网络研究的基本内容。
一、复杂网络的结构和性质研究复杂网络的结构主要包括节点之间的连接方式和连接的强度。
研究者通过统计网络中节点的度分布、聚集系数、平均路径长度等指标来描述和研究网络的结构。
例如，度分布指的是某个特定度的节点在网络中的数量，通过分析度分布可以揭示网络中节点的联系方式。
此外，复杂网络还有一些特殊的结构特性，如小世界和无标度网络。
小世界网络指的是网络中任意两个节点之间的距离很短，通过少数几步就可以相互连通。
无标度网络指的是网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低。
这些特殊的结构特性对于网络的传播和稳定性有重要影响，因此研究复杂网络结构和性质对于了解网络行为具有重要意义。
二、复杂网络的功能和行为研究复杂网络的功能和行为研究主要是研究网络中节点的相互作用和传播过程。
研究者通过研究网络中的动力学过程，如信息传播、意见形成、疾病传播等，来揭示网络的行为和功能。
网络中节点的相互作用是指节点之间通过连接传递信息和影响行为的过程。
例如，在社交网络中，人们通过连接与朋友、同事等进行信息交流和社交活动。
节点之间的相互作用对于信息传播和影响有重要影响，因此研究网络中节点之间的相互作用对于了解网络行为具有重要意义。
网络中信息的传播过程也是复杂网络研究的一个重要方向。
研究者通过模拟和分析网络中信息的传播过程，例如疾病传播模型、意见传播模型等，来揭示网络中信息传播的规律和机制。
这对于预测和控制网络中信息的传播具有重要意义，例如在疫情预测和社交媒体传播中的应用。
总之，复杂网络研究主要关注网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
通过研究网络的结构和性质，可以了解网络的联系方式和特殊结构；通过研究网络的功能和行为，可以了解网络中节点的相互作用和信息传播过程。
复杂网络的结构分析与模型研究
复杂网络的结构分析与模型研究随着信息技术的飞速发展和互联网的普及，网络已经成为人们不可分割的一部分。
然而，网络并不是简单的连通图，它更多的是一种复杂的拓扑结构。
而复杂网络的结构分析与模型研究正是在探究这种复杂的拓扑结构。
一、复杂网络的概念和分类复杂网络是一种由众多节点和边组成的图形结构，其在现实生活中的各种应用越来越广泛，如社交网络、交通网络、供应链网络等。
根据网络节点之间连接的方式，复杂网络可以分为以下四类：1. 随机网络。
随机网络是节点之间连接完全随机的网络，其中各节点的度数呈现高斯分布。
这种网络的特点是具有较小的聚类系数和较小的平均路径长度。
2. 规则网络。
规则网络是节点之间连接具有规则性的网络，其中各节点的度数相同，且该度数相同。
这种网络的特点是具有较大的聚类系数和较小的平均路径长度。
3. 小世界网络。
小世界网络在随机网络和规则网络之间，其中大部分节点连接在一起，但也有一部分节点连接到远离它们的其他节点。
这种网络的特点是具有较小的平均路径长度和较大的聚类系数。
4. 非线性网络。
非线性网络包括动力学网络和生物网络，在这些网络中，边的权重也具有非线性性质。
这种网络的特点是具有丰富的动力学行为，包括同步、混沌等。
二、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析主要是研究网络连接的拓扑结构，包括网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等特征。
1. 度分布。
度分布是指节点在网络中的度数概率分布，它是复杂网络的基本特性之一。
在一个网络中，节点度数越大，其所占比例越小，表现出幂律分布。
2. 聚类系数。
聚类系数是指节点的邻居之间也彼此相连的概率，它描述了网络的局部结构。
在随机网络中，聚类系数很小，在规则网络中，聚类系数很大，而在小世界网络中，聚类系数介于二者之间。
3. 平均路径长度。
平均路径长度是指节点之间的平均最短路径长度，它是网络中任意两个节点间距离的度量。
在随机网络中，平均路径长度较大，在规则网络中平均路径长度较小，而在小世界网络中，平均路径长度介于二者之间。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
复杂网络的分析及优化
复杂网络的分析及优化随着互联网的迅速发展，越来越多的数据在网络中传输，网络结构也越来越复杂。
如何分析和优化这些复杂的网络成为一个关键问题。
本文将介绍复杂网络的分析及优化方法，包括网络拓扑结构分析、网络连通性研究、网络优化算法等。
一、网络拓扑结构分析网络的拓扑结构是指网络中节点和边的分布规律。
通过对网络拓扑结构的分析可以了解网络的整体特征和局部特征，从而深刻地认识网络内部的相互关系。
1.1 度分布度是指一个节点的直接连接数，度分布是指网络中节点度数的频率分布。
通常情况下，度分布呈现长尾分布，即有少数节点的度数非常大，而大多数节点的度数较小。
度分布的形态对网络的性质和行为有很大影响，因此度分布是复杂网络拓扑结构分析的重要指标。
1.2 聚集系数聚集系数是指网络中三角形的数量与所有可能的三角形数量的比值。
聚集系数可以用来描述网络的密集程度和连通性。
在社交网络和生物网络中，聚集系数通常比较高，而在物理和技术网络中，聚集系数较低。
1.3 特征路径长度特征路径长度是指网络中任意两个节点之间的最短路径的平均数。
网络的特征路径长度反映了网络内部连接的紧密程度，对于描述物理网络和社交网络的距离关系非常有用。
二、网络连通性研究网络连通性是指在网络结构中通过节点和边互相连接所形成的整体连通性。
网络连通性是复杂网络中最重要和最基本的特性之一。
2.1 连通性分析连通性分析是指通过对网络中节点和边的连接性进行分析，确定网络的连通性。
在无向网络中，如果任意两个节点都可以通过路径相互连接，则该网络是连通的。
在有向网络中，如果所有节点都可以到达任意另一个节点，则该网络是强连通的。
2.2 最大连通子图最大连通子图是指网络中最大的连通子集，其中任意两个节点都可以通过路径相互连接。
最大连通子图是分析网络组成和功能的关键。
2.3 非连通子图非连通子图是指网络中不属于任何连通子图的节点或边。
非连通子图可以通过增加新的节点或边，改变网络的拓扑结构，从而使网络成为连通的。
基于复杂网络的社交网络结构分析研究
基于复杂网络的社交网络结构分析研究社交网络已经成为现代人们生活中不可或缺的一部分，随着社交网络用户数量的不断增多，对社交网络的研究也日益重要。
复杂网络理论可以用来研究社交网络的结构和特性，从而更好地理解和优化社交网络服务。
本文将介绍基于复杂网络的社交网络结构分析研究的主要内容和方法。
一、社交网络的基本结构社交网络可以看作是由结点和边组成的图，其中每个结点代表一个用户，每条边代表两个用户之间的关系。
社交网络具有以下几种基本结构：1.星形结构星形结构是指以一个结点为中心，其他结点都与其相连的冗余结构。
这种结构容易形成在 Twitter 和 Instagram 等社交网络中，通常代表着受欢迎的用户。
2.圈子结构圈子结构是指多个用户之间形成一个封闭的小团体，圈子内部关系紧密，圈子之间的联系相对较少。
Facebook 就是一个典型的例子，用户可以加入不同的朋友圈，每个圈子内部关系相对独立。
3.小世界结构小世界结构是指社交网络中大部分用户都与自己认识的人有联系，但也存在少数的“跨世界联系”，从而形成小世界现象。
例如，在 LinkedIn 上，一个人可以通过朋友的联系链找到一个完全陌生的人。
二、社交网络的度分布度分布是指社交网络中每个结点的度数分布特征。
在一个社交网络中，具有较高度数的结点称为“中心节点”，而度数较低的结点则是“边缘节点”。
度分布直观地展示了社交网络中各个节点的连接特性，是社交网络关键结构的刻画。
在大多数社交网络中，度分布都呈现出具有幂律分布的特征，即高度数结点很少，而低度数结点数量则很大。
例如，在 Twitter 上，只有极少数的明星或名人拥有大量的粉丝，而绝大多数普通用户只有少数几个粉丝。
三、社交网络的聚集系数聚集系数用于衡量社交网络中群组之间联系紧密度的度量值。
聚集系数取值范围一般在 0 到 1 之间，表示一个社交网络中的群组联系越紧密，越容易形成一个聚集系数接近 1 的社群。
通过计算每个结点的聚集系数，并求取平均聚集系数，可以得到整个社交网络的聚集系数。
复杂网络的结构与功能的研究
复杂网络的结构与功能的研究复杂网络是由大量节点和连接所组成的网络系统，其结构和功能对许多领域有着深远的影响。
本文将探讨复杂网络的结构和功能，并介绍相关研究。
一、复杂网络的定义和特点复杂网络是一种包含众多节点和连接的网络结构，在实际应用中广泛存在。
其特点在于节点之间的连接模式不规则且复杂多样。
复杂网络可以用图论来描述，其中节点代表系统的元素，连接表示节点之间的关系。
二、复杂网络的结构分析方法为了理解和解释复杂网络的特征和行为，研究者们提出了许多分析方法。
其中，最常用的方法之一是度分布分析。
度分布是指节点的连接数量，通过分析节点的度分布，可以揭示复杂网络的特征和结构。
另一个常用的方法是集聚系数分析。
集聚系数是指节点在其邻居节点之间形成连接的程度。
通过计算集聚系数，可以了解网络中节点聚集形成群集的情况，从而揭示网络的局部结构。
三、复杂网络的功能研究复杂网络的功能包括信息传输、同步、稳定性等方面。
信息传输是复杂网络最基本的功能之一。
研究者们通过模拟和实验发现，复杂网络具有较好的信息传递效率和鲁棒性。
同步是复杂网络的另一个重要功能。
同步是指网络中的节点能够协调行动并实现相同的状态。
许多研究表明，复杂网络具有良好的同步性质，可以在异质节点之间实现同步。
在稳定性方面，复杂网络具有较好的鲁棒性。
鲁棒性是指网络的稳定性和抗干扰能力，即使部分节点发生故障或删除，网络仍能保持正常运行。
四、复杂网络的应用复杂网络的研究在许多领域具有重要的应用价值。
例如，在社交网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以了解信息传播、社交影响力等问题。
在生物网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以解析蛋白质相互作用、基因调控等生物学问题。
此外，复杂网络的结构分析方法和功能研究也在工程领域得到广泛应用。
例如，在电力系统中，人们可以通过复杂网络的结构和功能研究，优化电力输送网的布局和稳定性。
总结：复杂网络的结构与功能是一个复杂而有趣的研究领域。
复杂网络的结构与功能分析研究
复杂网络的结构与功能分析研究随着信息技术的不断发展，互联网的普及和大数据的出现，人们对复杂网络的研究越来越深入。
复杂网络是由大量节点和连接组成的网络，其结构和功能极其复杂，涉及到数学、物理、计算机科学等多个领域。
分析复杂网络的结构和功能，已成为学术界和工业界的研究热点之一。
一、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析是研究整个网络的组成、节点之间的联系以及它们之间的作用，以便更好地了解和把握网络的特征和演化规律。
网络的结构可以用多个指标来衡量和描述，下面介绍几个经典的指标。
1.度分布度分布指的是每个节点在整个网络中所连接的其他节点数。
在复杂网络中，度分布往往呈现幂律分布。
这意味着只有极少数的节点具有非常高的度数，大部分节点都具有很小的度数。
这种分布方式在现实世界中也有很多应用，例如社交网络中的明星、政治家等。
2.聚集系数聚集系数是节点邻居之间实际连接数量与可能的最大连接数量之比。
它可以衡量节点的聚集程度和网络的紧密度。
在某些网络中，聚集系数很高，说明节点之间互相连通密切，形成了紧密的社区结构。
3.连通性连通性是评估整个网络的联通性。
在复杂网络中，很少有全局连通网络，多为分散的子图。
平均路径长度是一个衡量网络连通性的经典指标。
它指的是两个节点之间最短的路径长度的平均值。
较短的平均路径长度意味着网络中信息传播和交流的效率更高。
二、复杂网络的功能分析复杂网络的功能分析指的是网络对于某些特定目标或任务所具有的性能和效率。
如何对复杂网络的功能进行刻画和评估，也是近年来学术界和实践界广泛关注的主题。
1.差异性指标差异性指标被广泛应用于社交网络中。
用于衡量一个人在网络中的地位和影响力。
例如，对于用户而言，粉丝数量、关注数量等指标可以衡量用户的影响力，而对于微博或推特等社交平台而言，主题热度、点击率、转发率等指标可以反映话题的热门程度。
2.复杂性指标复杂性指标可以反映网络的一些高级特性，如拓扑结构、动态变化等。
例如，介数中心性可以衡量最短路径经过该节点的频率，可以用来探测网络拓扑结构；社区检测可以发现网络中独立的社区，可以用来研究节点之间的关系和作用。
复杂网络拓扑结构分析及其应用研究
复杂网络拓扑结构分析及其应用研究随着信息技术和计算机技术的发展，各种各样的复杂网络已经成为不可避免的现象，比如社交网络，互联网，生物网络，交通网络等等。
这些复杂网络具有巨大的节点和边的数量，复杂的拓扑结构和动力学特性。
因此，研究复杂网络的拓扑结构分析和应用成为了重要的研究方向。
一、复杂网络的基本概念复杂网络是由大量节点和链接（或边）组成的网络系统，它有许多不同的定义，其中最简单的定义方式是节点之间互联的结构系统。
复杂网络可以根据其特征分为不同的类型，比如随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是一种节点较多的网络，它的节点和边都是完全随机的，没有确定的规律。
因此，随机网络的拓扑结构不太复杂。
小世界网络是一种介于随机网络和无标度网络之间的网络，它的节点之间存在较远的联系，因此被称为“六度分离”现象，也就是说两个人之间最多相隔六个人。
无标度网络是一种具有高度非均匀性的网络，其拓扑结构表现为大量的短链接和少量的长链接。
这种网络有很多节点，但是只有很少的节点有很多链接。
这些节点被称为“关键节点”，因为它们对网络的稳健性和鲁棒性有很大的影响。
二、复杂网络的拓扑结构分析方法复杂网络的拓扑结构可以通过许多不同的方法进行分析，常用的方法包括度分布、聚集系数、平均路径长度、中心性等等。
度分布是指节点的度数在整个网络中的分布情况，通过对比度分布的统计结果可以得到网络的节点数、边数、节点的度数分布等信息。
某些变形的度分布可以得到重要的结构信息，比如刻画无标度网络的度分布可以发现其网络结构的“自相似性”。
聚集系数是指网络中同一节点的邻居之间相互连接的概率，通过计算网络的聚集系数可以判断网络中的节点之间有多少联系。
平均路径长度是指网络中任意两个节点间最短路径的平均长度，这个指标可以用来判断网络的连通性。
中心性是指节点在网络中“重要程度”的统计量度，通过计算中心性可以得到节点的重要程度，判断哪些节点对网络具有决定性意义，方便网络资源的调配和运转。
复杂网络分析及其应用研究
复杂网络分析及其应用研究近年来，伴随着互联网的飞速发展，全球范围内涌现出了大量的复杂网络。
复杂网络是由无数节点和连接构成的网络结构，这些节点和连接之间的关系通常是非线性、动态且具有随机性的。
复杂网络不仅仅是研究网络本身的结构，更关注网络在不同领域中的应用，如社交网络、信息传播网络和生物网络等。
复杂网络分析作为研究网络结构和功能的重要方法，已经成为交叉学科研究的前沿领域。
通过对网络的节点、连边、整体拓扑结构等进行深入研究，我们能够揭示网络中的隐藏规律和重要特征，进而为我们提供更深层次的认识和理解。
而这些认识和理解则为我们在实际应用中提供了许多有益的启示和指导。
在复杂网络分析中，最常用的方法之一是度分布分析。
度分布指的是节点在网络中的连接数分布情况，通过对节点度分布的研究，我们可以发现网络结构中的关键节点。
这些关键节点在网络中起着重要的作用，例如在社交网络中的意见领袖和信息传播的枢纽等。
另外，复杂网络的聚类系数和平均路径长度也是常用的网络特征，它们可以帮助我们刻画网络中节点的连接紧密程度和信息传播的速度。
复杂网络分析不仅仅是理论研究，也广泛应用于各个领域。
一个典型的应用就是社交网络分析。
社交网络是人们相互之间关系的抽象表示，通过研究社交网络的拓扑结构和信息传播规律，我们可以识别社交网络中的核心社区、影响力领袖和传播机制，并进一步预测人们的行为和社群的演化。
例如，Facebook和Twitter等社交媒体平台就利用复杂网络分析的方法来帮助用户推荐好友、探索新的兴趣点和评估社交网络中的事件传播。
此外，复杂网络分析也在生物学领域得到了广泛应用。
生物网络由生物分子（如蛋白质和基因）之间的相互作用构成，这些相互作用的复杂性对于理解生物的一些重要现象比如疾病的发生和发展具有重要意义。
通过对生物网络的深入研究，我们能够揭示生物分子之间的相互作用关系，从而发现新的治疗靶点和药物，为疾病的早期诊断和精准治疗提供重要支持。
复杂网络的拓扑结构研究及其应用
复杂网络的拓扑结构研究及其应用中文快速迭代的背后，是复杂网络的支持和优化。
而学术界研究复杂网络已经有了几十年的历史，复杂网络研究的拓扑结构成为推动信息社会最重要的理论基础之一。
一、复杂网络的拓扑结构研究复杂网络的拓扑结构是复杂网络理论研究的核心，其主要研究内容包括网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等等。
在网络上，节点与节点之间存在不同的连接方式，这些连接就构成了网络的拓扑结构。
1.1 度分布网络中节点度数与其连接数的分布称为度分布。
度分布满足的重要规律是幂律分布。
就是指网络中绝大多数的节点度数很小，而少数节点可拥有极大的度数。
例如：在社交网络里，绝大多数用户的朋友在50人左右，但是一些名人可有数百万位粉丝。
1.2 聚类系数网络上任意两个节点连接方向是没有高低之分的，但不是每个节点的朋友都对其他朋友有影响。
对于一些大网络来说，同城的朋友很可能也是朋友，而这种情况在社交网络中尤其明显。
聚类系数就是为了评估这种情况而提出的概念。
聚类系数量化了节点的相邻节点之间的相互链接程度。
如果一个节点的两个邻居之间也有连接，那么它们之间就形成一个三角形。
聚类系数是指邻居之间三角形的数量与所有可能形成三角形的数量之比。
1.3 平均路径长度平均路径长度是指网络上所有节点对之间的平均距离。
从一点到另一点的距离，可以理解为在两点之间移动的步数。
想象一下人类的社交圈，从恩人到某一位陌生人，需要连接多少个"朋友"，这就是这个社交网络的平均路径长度。
而现实中的大型复杂网络，如社交网络或者互联网，所包含的节点数已经超过了10个亿，标准程序和算法不再适用。
因此，我们需要进行大规模的负载均衡、优化算法，从而爆炸式提高计算速度。
二、复杂网络的应用复杂网络拓扑结构的研究和分析不仅在理论研究方面有着重要的价值，而且其在实际应用中也有着广泛的用途。
比如，复杂网络的应用包括社交网络、物联网、电子商务、系统生物学等等多个领域。
复杂网络拓扑结构度量指标及应用研究
复杂网络拓扑结构度量指标及应用研究复杂网络拓扑结构度量指标及应用研究1. 引言随着互联网的蓬勃发展，复杂网络的研究成为了信息科学、物理学、社会学以及生物学等多个领域的重要研究内容之一。
复杂网络作为一种由大量节点和连接构成的网络结构，在不同领域中呈现出丰富的拓扑结构特征。
为了更好地理解和研究复杂网络，度量其拓扑结构的指标成为了研究者们关注的焦点。
本文将介绍复杂网络拓扑结构度量指标及其应用研究的相关内容。
2. 复杂网络的基本概念复杂网络是由大量节点和连接构成的网络结构，其中节点代表网络中的各个元素，连接则代表节点之间的相互关系。
复杂网络可以呈现出不同的拓扑结构，如小世界网络、无标度网络和随机网络等。
这些拓扑结构的特征与网络的传播性能、鲁棒性和社区结构等相关。
3. 复杂网络度量指标复杂网络的度量指标主要用于描述和分析网络的拓扑结构特征。
其中，常用的度量指标包括度分布、平均最短路径、聚类系数和介数中心性等。
3.1 度分布度分布是描述节点的度数在网络中的分布情况。
在一个复杂网络中，节点的度数可以从中得出一系列度值，通过绘制度-频率曲线可以获得度分布。
度分布通常可以分为幂律分布、指数分布和泊松分布等。
度分布的指数值或幂律指数可以反映网络的拓扑结构特征。
3.2 平均最短路径平均最短路径定义为网络中任意两个节点之间的最短路径的平均值。
它可以用于衡量整个网络的全局连接效率和信息传播速度。
一个小世界网络具有很短的平均最短路径，意味着网络中的节点可以通过较少的步骤进行信息传递。
3.3 聚类系数聚类系数用于描述一个节点的邻居之间的连接情况。
一个节点的聚类系数定义为该节点的邻居之间的实际连接数量与可能的最大连接数量之间的比值。
聚类系数可以用于衡量网络中节点之间的群聚效应。
在社交网络中，聚类系数可以反映朋友圈的紧密程度。
3.4 介数中心性介数中心性用于度量节点在网络中的重要性。
一个节点的介数中心性定义为网络中通过该节点的最短路径数目。
复杂网络的结构分析和研究方法
复杂网络的结构分析和研究方法随着互联网和社交媒体的飞速发展，复杂网络已经成为研究的一个热点话题。
复杂网络的结构分析和研究方法也越来越受到重视。
本文将介绍复杂网络的结构特征、常用的分析方法以及其在不同领域的应用。
一、复杂网络的结构特征复杂网络是由大量节点和边组成的网络，节点和边之间的联系不仅仅是简单的二元关系，还可能包含权重、方向和时序等信息。
复杂网络有以下几个典型的结构特征：1.小世界结构：复杂网络中节点之间的距离很短，一般不超过6个节点。
这种结构类似于“六度分隔”理论，可以用于解释信息传播和社交网络中的熟人链。
2.无标度结构：复杂网络中存在少量的高度连接的节点（称为“超级节点”），这些节点的度数呈现幂律分布，呈现出“富者愈富”的特点。
这种结构特征可以用于解释互联网和社交媒体中一些热门话题的爆发。
3.聚类结构：复杂网络中的节点往往聚集在一起，形成一个个社群或组织，这种结构特征可以用于解释互联网上的各种社交群体。
以上三个结构特征是复杂网络中最为常见的，也是最为基本的结构特征。
但是，实际应用中，复杂网络的结构往往更加复杂，需要采用各种分析方法。
二、复杂网络的分析方法1.节点中心性分析：节点中心性反映了一个节点在网络中的重要程度。
常用的节点中心性指标包括度中心性、介数中心性、接近中心性等。
度中心性是指节点的度数，即与一个节点相邻的边数。
介数中心性是指一个节点在所有节点对之间的最短路径中经过的次数。
接近中心性是指一个节点到其他节点的平均距离。
这些指标可以用来寻找网络中的重要节点，进行节点排序和划分社群等。
2.社区检测算法：社区检测算法是一种将节点划分为不同社群的方法。
其中最著名的算法是Louvain算法，该算法通过最大化每个社群的内部连接和最小化不同社群之间的连接来实现社区划分。
3.网络度分布分析：网络度分布是指在一个网络中，单个节点的度数的分布情况。
度分布可以呈现出不同的形态，如泊松分布、幂律分布等，不同类型的度分布对应了不同的网络结构特征。
复杂网络的结构与稳定性分析
复杂网络的结构与稳定性分析近年来，复杂网络的研究成为了一项热门的交叉学科领域。
复杂网络具有许多独特的性质，如度分布幂律、小世界效应和模块化等，这些性质使得复杂网络成为了许多重要实际系统的基础，比如社交网络、生物网络、交通网络等。
因此，对复杂网络的结构和稳定性进行研究已经成为了一项极为重要的任务。
一、复杂网络的结构特征1. 度分布幂律度分布是指一个节点与多少个其他节点相连。
在很多实际系统中，节点的度数相差非常大，并且很少有节点的度数特别高。
在这种情况下，节点的度分布通常遵循幂律分布。
这种度分布的特点是，大部分节点的度数比较小，但是一小部分节点的度数非常高。
这种性质被称为“无尺度性”，它是复杂网络的重要特征之一。
2. 小世界效应小世界效应是指即使在一个非常大的网络中，两个节点之间的距离也非常短。
这种情况是因为复杂网络通常包含很多短路径，而这些短路径可以被当作“快速通道”使用。
换句话说，即使网络中的节点很远，它们之间仍然可以通过一些中介节点很快地到达。
3. 模块化复杂网络通常被分为一些模块或者群组。
在每个模块内，节点之间的联系比较紧密，而在模块之间的联系比较稀疏。
这种分布方式可以使得网络更加紧凑，并且可以促进信息在网络中的传播。
二、复杂网络的稳定性分析复杂网络的稳定性是指网络在面对节点失效、攻击或者其他外部影响时，仍然能够保持其正常运行的能力。
复杂网络的稳定性分析可以分为以下几个方面：1. 次序重构次序重构是一种自适应策略，可以通过重构网络的连接来增强网络的稳定性。
具体地，次序重构可以将一些节点的连接关系转变为不同的特定形式，从而使得网络对于某些特定的攻击或者故障变得更加强壮。
2. 结构重构结构重构是指通过增加或者删除节点，改变网络拓扑结构的方式。
结构重构可以使得网络更加稳定，并且可以提高网络的容错性。
3. 控制重构控制重构是一种通过增加或者删减节点来改变网络控制结构的方式，从而使得网络可以更加有效地抵抗攻击或者故障。
基于复杂网络的产品族零部件关系网络的度分布研究
中 图分 类号 ：Ｆ ７ ． ２ ０７
一
文献 标识 码 ：Ｂ
、
引 言
结构决定功能是系统科学的基本观点 。如果将系统内部 的各个元素作为节点 ，元 素之 间的关系视为连接 ， 那么系统就构成了一个 网络 ，例如神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络、计算 机网络可以看作是计算机通过通信介质如光缆、双绞线等¨ ０连接 的网络。强调 系统 的结构并从结构角度分析 系统的功能正是复杂 网络的研究思路 ， 所不同的是这些抽象出来的真实 网络 的拓扑结构性质不同于以前研究的 网络 ， 且节点众 多， 故称其为复杂 网络 。 １５ ９９年 ，数学家 Ｅｄｓ Ｒ ｎｉ ｒｒ 和 ｒｙ 提出了 Ｅ Ｒ随机网络的概念 ，大大拓展 了网络研 究的范围。随机网络的
向 ：经济 控制 论 和 复杂 系统 。
［ ］ Ｗｉｔｒ， ． ７ ｎｅｓ Ｌ Ａ．ａ ｄＷ ．Ｃ ａｇ．“ ｅ ｏ ａ ｌｔ ｒ— ｎ ｈｎ Ｒ 舀 ｎ１ ｎｅ ａ ｇ
ｔ ｎ ａ ｄ Ｉ ｏｔＰ ｃ ｓ ｉ ｎ ｍｐ ｒ ｒ ｅ ：Ａｎ Ｅｍｐｒ ａ ｎ ｅｔ ａｉｎ， ｏ ｉ ｉｃ ｌＩ ｖ ｓｉ ｔ ｉ ｇ ｏ
２ ０ ／ １ 总 第 ３ １期 ０ ９ ０ ８
文章 编 号 ：１０ —１８ （０ ９ １ ０ ５ ０ ０ １ ４ Ｘ ２０ ）０ — ００— ４
商 业 研 究
ＣＯ ＭＭＥ Ｉ Ｌ Ｒ Ｅ ＲＣ ＲＣ Ａ ＥＳ Ａ Ｈ
隋如 彬 ，钟桂 娟
（ 哈尔滨商业大学 物流学院，黑龙江 哈尔滨 １０ ７ ） ５０ ６
摘 要 ：用 复杂 网络 的理论 来研 究产 品族 零部 件 关 系网络 的度 分布 。 采 用 Ｂ Ａ模 型和 Ｇ 增 长模 型 ，并在 这 两个 模 型的 基础 上 ，结合 零部 件 关 系 网络 本 身 的特 点 ，得 出零 部件 关 系网络 模 型 ，进 而得 到 零 部件
复杂网络研究及其意义
复杂网络研究及其意义*吴彤近年来，学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。
特别是, 国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。
一是1998年Watts和Strog atz在N a ture杂志上发表文章，引入了小世界(Small-World)网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。
小世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性,又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。
(Watts＆ Stroga tz,p.440-442)二是1999年Barab asi 和Alber t 在Scien ce 上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。
由于幂律分布没有明显的特征长度,该类网络又被称为无标度(Scale-Free) 网络。
（Baraba si & Albert,p.509-512）而后科学家们又研究了各种复杂网络的各种特性。
(Stroga tz，p.268-276) 国内学界也已经注意到了这种趋势，并且也开始展开研究。
(吴金闪、狄增如,第18-46页）加入复杂网络研究的学者主要来自图论、统计物理学、计算机网络研究、生态学、社会学以及经济学等领域，研究所涉及的网络主要有：生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Intern et/WWW网络、社会网络，包括流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、人类性关系网络、语言学网络，等等；所使用的主要方法是数学上的图论、物理学中的统计物理学方法和社会网络分析方法。
本文首先介绍这一研究的发展，并在此基础上论述这类研究的重要的科学和哲学意义。
一、复杂网络研究：小世界、无标度和幂律现象在当前的复杂网络研究中，研究者提出的最主要概念就是“网络”（networ ks）。
复杂网络的结构特性分析
复杂网络的结构特性分析复杂网络的结构特性是网络科学中的一个基本概念，也是对网络结构进行研究的关键。
复杂网络的结构通常是由大量的节点和连接构成的，并且这些节点和连接之间可以属于不同的类型，例如，生物网络中的节点可以代表基因或蛋白质，连接可以代表基因调控或者蛋白质相互作用等。
复杂网络的结构特性不仅在自然界中广泛存在，例如，神经网络、社交网络、物流网络等，也在人工构建的网络中产生了重要的应用，例如，互联网、电力网、交通网等。
因此，对复杂网络结构的深入理解和研究，不仅可以有效地解决各种实际问题，也可以为复杂系统的设计和优化提供指导。
本文主要介绍复杂网络的结构特性，并分析其在实际应用中的重要性。
1. 节点度分布特性节点度分布是指节点的度数（即与节点相连的边数）与该度数对应的节点数量之间的关系。
复杂网络的节点度分布通常呈现出幂律分布的特性，即大部分节点的度数比较低，而存在一些度数非常高的节点。
这种幂律分布的特性被称为“小世界现象”。
小世界现象的出现是由于复杂网络的高聚集和低直径特性所导致的。
在实际应用中，节点度分布特性可以用于识别网络中的重要节点和薄弱节点，并对网络的鲁棒性进行评估。
例如，在社交网络中，高度集中的节点通常代表着社交网络中的关键人物，当这些节点移除时，整个社交网络可能发生剧烈的变化。
因此，对社交网络进行幂律分布的节点度分析，可以对社交网络中的关键人物进行鉴别。
2. 聚集和直径特性聚集特性是指复杂网络中节点之间的连接程度，即节点之间连接的密度。
直径特性是指复杂网络中最短路径的长度，即网络中两个节点之间的最短路径的长度。
在实际应用中，聚集和直径特性可以用于评估网络的效率和鲁棒性。
例如，在电力系统中，如果电力网络的聚集程度很高，则意味着电力系统容易出现故障，并对整个系统产生严重的影响。
此外，直径特性也可以用于评估网络的可达性和通信效率。
例如，在互联网中，当两个网络之间的直径长度很大时，意味着网络之间的通信需要经过很多中转站才能完成，从而导致通信效率降低。
数学中的复杂网络理论
数学中的复杂网络理论数学中的复杂网络理论是一门研究网络结构和行为的学科，广泛应用于物理学、生物学、信息科学等领域。
本文将介绍复杂网络理论的基本概念、应用以及未来的发展方向。
一、复杂网络理论的基本概念复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
在复杂网络中，节点代表系统中的个体或元素，边表示节点之间的互连关系。
复杂网络的特点包括节点的数量庞大、节点之间的连接关系复杂以及网络的动态演化过程。
1.1 节点和边的度在复杂网络中，每个节点都有一个度的概念，表示该节点和其他节点之间的连接数量。
节点的度数可以分为入度和出度，入度表示连接到该节点的边的数量，出度表示从该节点出发的边的数量。
节点的度分布是研究复杂网络结构的重要内容之一。
1.2 网络直径和平均最短路径网络直径是指网络中任意两个节点之间最短路径的最大值。
平均最短路径是指网络中所有节点之间最短路径长度的平均值。
网络直径和平均最短路径是评价网络传输效率和信息传播速度的指标。
1.3 节点的聚集系数节点的聚集系数是指该节点的邻居节点之间实际存在的边的数量与可能存在的边的数量之比。
聚集系数反映了节点周围邻居节点之间的紧密程度，用于研究网络中的社交群体、信息扩散等问题。
二、复杂网络理论的应用复杂网络理论在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用领域。
2.1 社交网络社交网络是指由人际关系构成的复杂网络。
通过分析社交网络的结构，可以揭示人们之间的关系、信息传播的规律以及社群结构等。
研究社交网络对理解社会行为、社会学原理以及疾病传播等具有重要意义。
2.2 蛋白质相互作用网络蛋白质相互作用网络是一种描述蛋白质之间相互作用关系的复杂网络。
通过分析蛋白质相互作用网络，可以揭示蛋白质功能、信号传递以及疾病发生机理等。
对于研究蛋白质结构与功能的关系具有重要意义。
2.3 互联网互联网是一个典型的复杂网络，由大量计算机节点和连接它们的边组成。
通过分析互联网的拓扑结构，可以揭示网络中的节点重要性、信息传播规律以及网络攻击与网络安全等问题。
复杂网络现象研究及分析方法
复杂网络现象研究及分析方法复杂网络是由大量节点和相互连接的边构成的网络系统，其结构和行为具有复杂性和非线性特征。
在各个领域中，复杂网络都广泛存在，并包含着丰富的信息和规律。
研究复杂网络现象和分析其特征可以帮助我们更好地理解和解释现实世界中的复杂系统，如社交网络、生物网络、物流网络等。
本文将介绍复杂网络现象的研究内容和分析方法。
一、复杂网络现象的研究内容1. 结构特征分析复杂网络的结构特征是指网络中节点之间连接的方式和模式。
研究网络的结构特征可以揭示网络的整体性质和发展规律。
其中最基本的结构特征是度分布，即节点连接的数量分布情况。
例如，某些网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低的现象，被称为幂律分布。
其他常见的结构特征还包括聚类系数、平均路径长度等。
2. 动力学分析复杂网络的动力学特征是指网络系统随时间演化和变化的行为。
动力学分析可以研究网络中节点的演化规律、信息传播模式和系统的稳定性等。
例如，研究在网络中引入节点或删除节点的效果，可以探究网络系统的鲁棒性和脆弱性。
此外，通过分析网络中信息传播的路径和速度，可以预测疾病传播、舆论演化等现象。
3. 同步现象研究复杂网络中的同步现象是指网络节点之间在时间上出现一致演化的现象。
同步现象广泛存在于自然界和社会系统中，如心脏的跳动、脑区的激活等。
研究同步现象可以揭示网络系统中节点之间的相互作用和调控机制。
例如，通过构建耦合节点的模型，可以发现节点之间的同步阈值和同步模式。
二、复杂网络分析方法1. 大数据处理复杂网络研究中常常涉及到大规模数据集的处理和分析。
大数据处理方法可以帮助整理和提取网络中的信息，并准确计算各种指标和特征。
例如，常用的大数据处理技术包括图算法、机器学习、数据挖掘等。
这些方法能够快速处理大量数据，并发现隐藏的规律和模式。
2. 网络建模与仿真复杂网络的建模和仿真是研究网络现象和分析方法的重要手段。
通过构建合适的数学模型和复杂网络的拓扑结构，可以模拟网络中的行为和动态过程。
复杂网络研究_方锦清
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两个重要发现
Ø 小世界现象：The Small World Effect
An interesting experience is that, ofentimes, soon after meeting a stranger, one is surprised to find that they have a common friend in between. So they both cheer: “What a small world!” Indeed, we all are connected through a short chain of acquaintances. The most popular manifestation of such “small world effect” is the so-called “Six degree of separation” concept
生命复杂性的金字塔
Life’s Complexity Pyramid
(Zoltán N. Oltvai and Albert-László Barabási, Science, 298(2002)763)
Ø
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CIAE SJTU BNU
二、复杂网络的分类和 层次问题 世界科学和技术革命 面临的挑战三个层次
基 础 研究
生 命体
地 球 环境
宇 宙空间
三个层次齐头并进，必将人类对客观世界 的认识不断推向深入。
70431002
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复杂网络的分析与建模方法研究
复杂网络的分析与建模方法研究在当今社会，网络已经成为了信息传递、交流和娱乐的主要手段。
而复杂网络则是由大量节点和边（或链接）组成的复杂结构。
复杂网络具有许多重要的应用领域，例如社交网络、物流网络、金融网络和生物网络等。
因此，对于复杂网络的分析和建模非常重要。
本文将介绍复杂网络的分析与建模方法，并讨论它们的应用及局限性。
一、复杂网络的基本概念复杂网络是指由大量节点和边组成的复杂结构。
其中，节点表示网络中的个体或者物品，边则代表它们之间的联系。
在复杂网络中，节点的度数（即边的数量）可能是非常不均匀的，有些节点连接着大量的其他节点，而有些节点则只有很少的链接。
节点的度分布是衡量复杂网络拓扑性质的重要指标之一。
通常，度分布可以分为幂律分布、指数分布和高斯分布等几种形式。
幂律分布的度分布函数表示为P(k) ~ k^(-γ)，其中γ 是幂律指数。
在复杂网络中，常见的拓扑结构有随机网络、小世界网络和无标度网络。
其中，随机网络指的是节点之间的链接是随机构成的，没有明显的规律。
小世界网络则是指节点之间存在一些局部联系，同时又存在跨越较远节点的长程联系。
最后，无标度网络是指只有少数节点拥有大量链接，而绝大多数节点只有极少的链接。
二、复杂网络的分析方法复杂网络的分析方法可以分为图论方法、统计物理方法和机器学习方法三类。
2.1 图论方法图论方法是指利用网络的基本拓扑结构进行分析。
其中，最基本的方法是度分布分析。
除此之外，还包括小世界性、聚集系数、路径长度等指标。
聚集系数表示网络中节点的密集程度，表示为节点的邻居之间已经连接的边条数除以节点的邻居总数。
在小世界网络中，节点之间存在较多的短路径，即只需要经过几个节点就可以相互联系。
小世界网络具有高聚集性和短路径特性。
2.2 统计物理方法统计物理方法是指利用物理学中的概念和方法对网络进行分析。
其中，最重要的方法是随机矩阵论和Percolation理论。
随机矩阵论是指研究大规模随机矩阵性质的一类数学理论。
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设度的一阶矩和二阶矩分别为 dM 和 dM , 则
2
N - 1
dM = dM 2 =
∑
k= 1
k P d (k ) = CN
2
∑k
k= 1 k= 1
1- Χ
( 5) ( 6)
N - 1
N - 1
∑
k= 1
k P d (k ) = CN
∑k
2- Χ
再设度的均值和方差分别为 d Λ 和 d Ρ , 则
N - 1 N - 1
由于∑k - Χ = O ( lnN ) ,
k= 1
∑k
k= 1
1- Χ
= O (N ) , 有
N lnN
2
dM = O
N lnN
dM 2 = O
N lnN
2
设节点总数为 N , 边总数为 W , 则由于每个节 点的度最少为 1、 最多为 N - 1 , 易知度分布存在下 列关系
( 1)
2 2 d Λ = O (N ) d M 2 = O (N ) W = N d Λ = O (N )
( 8)
可以看出, 当网络的规模趋于无穷时, 一阶矩、 二阶矩均发散, 另外, 可以证明, 方差亦发散。 同时, 网络中的总边数W 与完全网络中的总边数 N (N - 1) 处于同一个数量级。 由于实际的大型 2 复杂网络都是稀疏网络, 因此, 可以断言, 0 Φ Χ< 1 在实际网络中是不存在的。 情形 2 Χ = 1
2 006年8月 第24卷第4 期
西北工业大学学报 Jou rna l of N o rthw estern Po lytechn ica l U n iversity
A ug. 2006 Vol . 24 N o. 4
复杂网络的度分布研究
王 林1, 2 , 戴冠中1
α
( 1. 西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072; 2. 西安理工大学 自动化学院, 陕西 西安 710048)
第4 期
王 林等: 复杂网络的度分布研究
・407・
的增长, 度值很高的节点由于方差的发散而增加, 但 增加的速度会因为均值的有限而极为缓慢。 这一点 从网络运营的效率考虑, 意味着在不明显降低服务 质量的同时, 显著提高规模效益。 因此, 这回答了绝 大多数用于运营的技术类网络应该属于这个范畴的 理论原因。 情形 6 Χ > 3 显然, 当 N 充分大时, 度值的均值 d Λ 和方差 d Ρ 均收敛, 并且随着 Χ 的增加, 方差将越来越小, 均值 向 1 靠近。 此时, 网络中的绝大多数节点的度值很接 近, 网络中即使存在度值很高的节点, 其数量也是极 少, 且不会随着网络规模的增加而增加。 显然, 这样 的网络一方面不能够抵御网络的随机故障 ( 因其类 似于随机网络) ; 另一方面, 其通信效率极低 ( 因为度 值很高的 HU B 节点非常罕见, 即通信枢纽奇缺) 。 可以断言, 这样的网络属于极不稳定且效率极低的 一类。
网络的形成并不受资源的制约, 而是受到社会各种 思潮的影响。BB S 会员网的度分布指数小于 2, 说明 存在相当比例的HU B 会员, 也间接说明热点话题较 多。 情形 2 度分布指数介于 2 ～ 3 之间 这 类网络包括 In ternet A S、In ternet Rou ter、 Phone ca ll、 M ovie A cto rs。
In ternet A S 和 In ternet Rou ter 是技术类网络。
一方面, 为了保证通信效率, 必须存在HU B 节点; 另 一方面, 由于受到成本的制约, HU B 节点又不能太 多, 总的线路 ( 边) 也不能太多, 因而其度分布指数位 于2 ～ 3 之间。
Phone ca ll 是某一天的电话呼叫所形成的网
0 Φ Χ< 1
N - 1
由于∑k - Χ = O (N 有
1- Χ
),
∑k
k= 1
1- Χ
= O (N
2- Χ
) ,
1 度分布指数与网络拓扑结构的理论
分析
可以将复杂网络看成一个图, 图中的节点就是 个体, 节点之间的边表示个体之间的关系。 设 G = (V , E ) 为一个复杂网络所对应的图, V 是所有节点 的集合, E 是所有边的集合, 节点的度是指连接到该 节点的边数。 本 文中将假定复杂网络中不存在孤立节点, 不 存在自环, 节点之间最多只有一条边。 定义度分布 ( ) Pd k 为 度等于 k 的节点数 ( P d (k ) = Π 正整数 k ) 节点总数
Χ
此时, 当 N 充分大时, 由于∑k - Χ 收敛, 有
dM = O (N
Χ
3- Χ
) ( 10)
式中, Χ 称为度分布指数 ( deg ree exponen t ) 。 下面分 析 Χ 的取值范围与网络拓扑结构之间的关系。 根据完备性, 可得幂律中的系数如下
α
收稿日期: 2005212224 作者简介: 王 林 ( 1963- ) , 西北工业大学博士生, 主要从事复杂系统及复杂性科学的研究。
・406・
西 北 工 业 大 学 学 报
第 24 卷
与网络拓扑结构之间的关系以及度分布指数对于网 络动力学行为的影响等几个问题进行深入探讨。
情形 1
N - 1 k= 1
些网络中的边数很多而接近于完全网络, 从而说明 每种动物的捕食范围较为广泛。 IP B ackbone 虽然属于技术类网络, 但为了保 证骨干节点之间通信的顺畅, 骨干节点之间的链路 较多, 从而导致 IP B ackbone 网络的度分布指数小 于 2。
BB S 会员网实际上是一个社会虚拟网络, 这类
度分布指数
2. 2 1. 867 1. 6 ～ 1. 9 3. 4 2. 48 2. 3 1. 05 1. 13 2. 1
络, 虽然不是技术类网络, 但是由于受到通信成本 ( 话费) 的制约, 其度分布指数的范围与技术类网络 类似。 ～ 3 之间, 这 M ovie A cto rs 的度分布指数位于 2 说明存在一定数量的明星级演员, 但其数量并不是 特别多, 其原因是才能出众的明星级演员本来不可 能很多, 并且明星级演员出演的成本也太高。 这或许 从一个侧面说明为什么在影片中总会出现那么几个 熟悉的面孔 ( 少数 HU B 演员) 。 情形 3 度分布指数大于 3 这类网络是 Sexua l Con tact s 网络, 其度值指数 大于 3, 说明该类网络类似于随机网络, 这与 Sexua l Con tact s 网络的性质比较吻合。
2 度分布指数与网络拓扑结构的实例
验证
本节将利用实际网络来说明或验证上一节中理 论分析的正确性。 本文将出现在多个文献中的若干 实际网络的度分布指数[ 6, 12 ] 列表如下:
表 1 实际网络的度分布指数 网络名称
In ternet A S IP B ackbone BB S 会员网 Sexua l Con tacts In ternet Rou ter M ovie A cto rs Y than estua ry Silw ood Pa rk Phone ca ll
N - 1
W = N dM = O
( 9)
类似于情形1 中的讨论, Χ= 1 在实际网络中也 是不存在的。 情形 3
1 < Χ< 2
N - 1 k= 1
∑P
k= 1
d
( k ) = 1 ( 完备性)
( 2)
对于无标度复杂网络, P d ( k ) 是一个幂函数, 即 存在 Χ > 0 及 C N > 0 , 使得 P d (k ) = CN k
CN =
W = N d Λ = O (N
)
1
N - 1
( 4)
- Χ
∑k
k= 1 N - 1
可以看出, 当网络的规模趋于无穷时, 一阶矩、 二阶矩均发散, 另外, 可以证明, 方差亦发散。 与情形 1 和情形 2 的区别是: 网络中总边数 W 的数量级 3- Χ ) 已显著低于完全网络中的总边数的数量 O (N 级。 这类网络属于稀疏网络, 但是由于均值和方差都 发散, 说明网络中度值很高的节点 ( 称为 HU B 节点) 偏多。 对于技术类网络来说, 这意味着建设成本显著 提高。 因此, 技术类网络 ( 如 In ternet ) 的度分布指数 不应位于这个范围。 情形 4 Χ = 2 该情形的结论与情形 3 类似。 情形 5 2 < Χ Φ 3 利用上述类似的讨论, 可以发现此时当 N 充分 大 时, 度值的均值 d Λ 收敛而方差 d Ρ 发散。 方差发散 说明度值的分布严重不均匀; 均值收敛则说明平均 度值不会因为网络规模的增大而大幅增加。 因此, 这 类网络存在大量度值很小的节点, 也存在数量较少 的度值很高的节点 (HU B 节点) , 并且随着网络规模
摘 要: 复杂网络的度分布与其拓扑结构紧密相关。绝大多数复杂网络具有无标度性 (Sca le free) , 其幂律度分布完全由度分布指数所确定。 文中全面研究了复杂网络的度分布指数与其拓扑结构、 形 成原因以及传播动力学之间的关系, 获得了下列结论: 实际网络的度分布指数不会低于1; 度分布指 数介于 1 ～ 2 之间的复杂网络中存在数量较多的HU B 节点, 其边数与节点数之间的关系是非线性 的, 节点数的增加将导致边数的大幅度增加; 度分布指数介于 2 ～ 3 之间的复杂网络中存在一定数 量的HU B 节点, 其边数与节点数之间的关系是线性的, 大多数受成本制约的网络属于这种类型; 度 分布指数大于3 的复杂网络近似于均质网络; 度分布指数3 构成了复杂网络中病毒防治方式的临界 点。 关 键 词: 复杂网络, 无标度, 度分布, 度分布指数 中图分类号: T 94・T P 1 文献标识码: A 文章编号: 100022758 ( 2006) 042405205 复杂网络是复杂系统的高度抽象, 它充满着自 然界、 工程界和社会界, 如细胞中的新陈代谢网络、 大脑中的神经网络、 组成生态系统的食物链网络、 社 会关系网络、 科研合作网络、 经贸网络、 互联网、 万维 网以及电力网等等[ 1～ 5 ]。 由于各种复杂网络的规模庞大 ( 其节点数从几 千到几亿不等) , 过去研究人员将其抽象成随机网络 进行研究, 并形成了一套完整的随机图理论。 根据随 机图理论, 复杂网络的度分布服从 Po isson 分布, 其 特征是网络中绝大多数节点的度值分布在均值附 近, 在此意义下, 复杂网络是均质网络[ 6 ]。 近年来, 由于网络技术、 计算机技术以及信息处 理技术的迅速发展, 研究人员获得了许多大型实际 网络的数据并对其进行了一系列统计分析。 统计结 果表明, 复杂网络不是均质网络, 而是异质的; 复杂 网络的度分布不是服从Po isson 分布, 而是服从幂律 分布。 研究人员把度分布服从幂律分布的网络称为 无标度网络[ 6 ]。 无标度复杂网络的发现将人们对于复杂网络的 认识推向了新的高度, 来自若干研究领域 ( 包括统计 物理、 数学、 控制、 计算机网络及社会科学等) 的研究 人员从不同视角对复杂网络进行了深入研究。 研究 内容涉及复杂网络的拓扑结构、 复杂网络中无标度 特性的形成机理、 复杂网络的演化模型、 复杂网络上 的动力学行为等。研究方法包括 2 个方面: ①分析现 有实际网络的结构资料, 进一步揭示隐含在网络背 后的组成原则; ②建立各种分析模型, 进行理论研究 以及仿真分析[ 6～ 11 ]。 近5、 6 年来, 由于研究人员的努 力, 复杂网络已经成为一个横跨多门学科的边缘研 究方向。 研究表明, 复杂网络的拓扑结构性质以及复杂 网络上的动力学行为等均紧密依赖于复杂网络的度 分布。 进一步说, 由于复杂网络的无标度特性, 复杂 网络的度分布服从幂律分布, 因而度分布完全由其 幂指数 ( 度分布指数) 所确定。 统计结果表明, 绝大多 数 人造网络的度分布指数均在 2～ 3 之间; 另一方 面, 网络动力学 ( 如传染病传播、 病毒传播等) 的一些 关键性质 ( 如传播阈值) 也直接与度分布指数相关。 但是就作者所知, 专门针对复杂网络的度分布以及 度分布指数的研究尚未见诸于文献, 因而上述统计 结果的理论根由尚未揭示。 本文将对度分布指数的取值范围、 度分布指数