全等三角形之手拉手模型专题

全等三角形之手拉手模型专题

基本图形1、图（1）中，C点为线段AB上一点，△ ACM △ CBN是等边三角形，AN 与BM相等吗说明理由；

如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在

AB的异侧，此时AN与BM相等吗说明理由；

如图（3）C点为线段AB外一点，△ ACM △ CBN是等边三角形，AN与BM 相等吗

说明理由.

分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等.

解：（1）相等.

证明如下：•••△ ACM △ CBN是等边三角形，

••• AC=CM CN=BC

又/ ACN=/ MCN+60 / MCB M MCN+60 ,

•••/ ACN=/ MCB

•△ ACNm MCB •- AN=BM

（2）相等.

证明如下：•••△ ACM △ CBN是等边三角形，

•AC=CM CN=BC 又/ ACN=/ MCB

•△ ACNm MCB

•AN=BM

（3）相等.

证明如下：•••△ ACM △ CBN是等边三角形，

•AC=CM CN=BC

又/ ACN=/ MCN+60 / MCB M MCN+60 ,

•/ ACN=/ MCB

•△ ACNm MCB

•AN=BM

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键.

图(1) 图(3)

变形

2、( 1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM 和厶CBN连接AN, BM分别取BM AN的中点E，F，连接CE CF，EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由.

(2)若将(1 )中的“以AC, AC BC为

腰在AB的同侧作等腰△ 那么(1)中的

结论还成立吗若成立，由.

得出AN=BM, / ANC=Z MBA ,再证

△ NFC^^ BEC得出CE=CF / BCE=/ NCF利用等边三

角形的角度60 , 得出/ ECF=60 ,证得结论成立；

(2)证明过程如上(1)中的结论只有CE=CF而/ ECF只等于等腰三角形的顶角工60°,得出结论不成立.

解：(1)如图1 , △ CEF是等边三角形，

理由：•••等边△人。皿和厶CBN

••• AC=MC BC=NC / ACN=/ MCB

在厶ACN和厶MCB中

NC= BC

/ ACN=Z MCB

AC= MC

•△ ACNm MCB( SAS ,

•AN=MB / ANC=/ MBA

在厶NFC和厶BEC中，

NC= BC

/ FNC=Z EBC

NF= BE

•△ NFC^A BEC( SAS ,

•EC=CF

•••/ BCE+Z ECN=60 , / BCE2 NCF,

•/ ECF=60 ,

•△ CEF是等边三角形；

(2)如图2,不成立，首先/ ACN^Z MCB

•△ ACN与厶MCB不全等.

如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，

证明方法与上面类似，只能得到CE=CF而Z ECF只等于等腰三角形的顶角工60°

点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性

质，等腰三角形的性质等知识点.

BC为边作等边△ ACM和厶CBN改为“以

ACM和厶CBN”如图2,其他条件不变，加以证

明；若不成立，请说明理

变形3、如图，在△ ABC 中，已知/ DBC=60 , AO BC,，又△ ABC、△ BCA、△ CAB都是△ ABC形外的等边三角形，而点D在AC上, 且BC=DC

(1)证明：△ C BD^A B' DC

(2)证明：△ AC DB' A;

证明：(〔)△ C BD与厶ABC中，

BC=DC AB=BC，/ C BD=60 +/ ABD2 ABC

•••△ C BD^A ABC ••• C D=AC

又在△ BCA与厶DCB中，

BC=DC AC=B C,Z ACB=/ B' CD=60 , • △ BCA^A DCB .•••

DB' =BA

•••△ C' BD^A B' DC

(2 )由(1)的结论知:

C D=B' C=AB ,

B ' D=B

C =AC , 又••• AD=AD

• △ AC DB' A.