高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质

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人教版数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质

第二章点直线平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2、教学重点和难点重点：通过直观感知、操作确认，归纳出判断定理和性质。

难点：性质定理的证明。

3.内容归纳总结 4.（1）四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

,,////a b a ba ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

//,,//a a ba bαβαβ⊂=⇒平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

//,,//a b a bαβαγβγ==⇒（2）定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。

这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”。

5.应用举例现利用举例说明将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”的运用。

（一）“线线平行”与“线面平行”的转化问题例1. 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8, （1）证明PQ ∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP ∥AD,MP=AD 21,NQ ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP ∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B, ∴PQ ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ ∥面AA 1B 1B. (2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+. 方法二：PQ=a AB 22211=. 拓展提升1. 如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM ∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O ，连接OE ，∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是平行四边形， ∴四边形AOEM 是平行四边形. ∴AM ∥OE.∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.2. 已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面α∥AB. （1）求证：CD ∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB 与CD 所成角的大小. （1）证明：如图16，连接AD 交α于G ，连接GF,图16∵AB ∥α，面ADB∩α=GF ⇒AB ∥GF. 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点.又∵AC 、AD 相交，确定的平面ACD∩α=EG,E 为AC 中点，G 为AD 中点,∴EG ∥CD.（2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF 中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB 与CD 所成角的大小为90°. （二） “线面平行”与“面面平行”的转化问题［例2］如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E ＝BF .求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证法一：连AF 延长交BC 于M ，连结B 1M . ∵AD ∥BC∴△AFD ∽△MFB∴BFDFFM AF = 又∵BD ＝B 1A ，B 1E ＝BF ∴DF ＝AE∴EB AEFM AF 1=∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C ∴EF ∥平面BB 1C 1C.证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连结HE ∵AD ∥BC∴FH ∥BC ，BC ⊂BB 1C 1C ∴FH ∥平面BB 1C 1C 由FH ∥AD 可得BABHBD BF = 又BF ＝B 1E ，BD ＝AB 1 ∴BABHAB E B =11 ∴EH ∥B 1B ，B 1B ⊂平面BB 1C 1C ∴EH ∥平面BB 1C 1C ， EH ∩FH ＝H∴平面FHE ∥平面BB 1C 1C EF ⊂平面FHE ∴EF ∥平面BB 1C 1C［例4］如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，并且CM =DN .求证:MN ∥平面AA 1B 1B.分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB 1A 1内找一条直线与MN 平行，除上面的证法外，还可以连CN 并延长交直线BA 于点P ，连B 1P ，就是所找直线，然后再设法证明MN ∥B 1P .分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN 作一个平面，使此平面与平面ABB 1A 1平行，从而证得MN ∥平面ABB 1A 1. 6.布置作业习题A 组3、4、5、6、7、8教学反思：直线和平面平行的判定定理可以简述为“线线平行，则线面平行”.在应用判定定理时一定要把条件交待清楚，做到有理有据，线线平行＝> 线面平行＝> 面面平行，这是证明面面平行的一般思路。

点线面位置关系的判定

点线面位置关系的判定基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线l 与平面α上的一条直线平行，则l∥α（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线l 与平面α上的两条相交直线垂直，则l ⊥α（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线 a ,b 对应的法向量为 a ,b ，平面α,β对应的法向量为 m , n （其中 a ,b 在α,β外）（1） a ∥ b ⇔ ∥a b（2） a ⊥ b ⇔ a ⊥ b（3） a ⊥ α⇔ a ∥ m （4） a ∥α⇔ a ⊥ m （5）α∥β⇔ m ∥n（6）α⊥ β⇔ m ⊥ n3、有关向量关系的结论（1）若 a ∥b ,b ∥c ，则 a ∥c平行+平行→平行（2）若 a ⊥ b ,b ∥c ，则 a ⊥ c 平行+垂直→垂直（3）若 a ⊥ b ,b ⊥ c ，则 a , c 的位置关系不定。

人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系知识点

一、直线与平面的位置关系
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．

点线面的位置关系与平行关系-讲义

点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点梳理】 1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a ．符号语言：,P AB A B l P l ∈⇒=∈．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点． ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B 、证明作出的角即为所求角．C 、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补． 3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a ⊂α；a ∩α＝A ；a ∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．4、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l ．5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．图形如右图所示．6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭．图形如右图所示．7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭．图形如右图所示．8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．β aαbPabαβ【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且EF 交GH 于P ．求证：P 在直线BD 上．．变式1：如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则（）（A ）EF 与GH 互相平行（B ）EF 与GH 异面（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上（D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上变式2：如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且λ==AD AH AB AE ，μ==CDCGCB CF ，求证：（1）E ，F ，G ，H 四点共面；（2）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形；（3）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形．题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2： A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．变式3：给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ； ③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n ，其中真命题的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明．题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．．QPNMFEDCBANMGFEDCBA变式5：如下图，设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与α交于点P ，求证：P 是MN 的中点．变式6：如图所示，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ．baPQO N BM A变式7：如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，求证：//MN 面11ADD A ．题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5：如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行．变式8：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．【方法与技巧总结】 1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②利用平行四边形．③利用三角形中位线．（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可．（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化． 2．求角：（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形．A1【巩固练习】1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（） A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 C ．αα∉⇒∈⊄A l A l , D ．α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 2．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m // 3．有以下命题，正确命题的序号是．①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行； ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行； ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．4．在三棱锥P ABC -中，,O D 分别是,AB PB 的中点．求证：//OD 平面PAC ．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,E F 分别是,PB PC 的中点，证明：//EF 平面PAD ．6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C-中，D点为棱AB的中点，求证：1//AC平面1CDB．7．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O为AC中点，M为PD中点．证明：//PB 平面ACM．8．如图，已知DE∥AB，2AB=DE，且F是CD的中点，求证：AF∥平面BCE．9．在棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-中,E是线段11A C的中点，底面ABCD的中心是F，求证：CE∥平面1A BD．CAPMO【课后作业】1．已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是（）A l 2∥αB l 2⊂αC l 2∥α或l 2⊂αD l 2与α相交2．设平面α与平面β交于直线l ，直线α⊂a ，直线β⊂b ，M b a = ，则M_______l ．3．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE 直线FG=M ，则点M 必在直线___________上．4．如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为． 5．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则BM ：MD 1= ． (5题) (6题) 6．直线a 、b 不在平面α，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是． 7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、CC 1、C 1D 1、D 1A 1的中点，则四边形EFGH 的形状是．8．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=213, AC=23, 且BC AD ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为．9．在四棱锥P ABCD -中，1//,2AB CD AB DC =，E 为PD 中点，F 为PC 中点．求证：//AE 平面PBC ．10．如图，矩形ABCD ，AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上，设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ．DMBFC NDAEDEMABCNPBHC D AF EG11．M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，（1）求MN 与AD 所成的角；（2）求MN 与CD 1所成的角．12．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm ，BD=14cm ，M 、N 分别是AB ，CD 的中点，MN=37cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．13．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，求证：（1）BD//平面CMN ；（2）MN//平面ABD ．14．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形，（1）求证：CD//平面EFGH ；（2）求异面直线AB ，CD 所成的角．15．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD ．求证：（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP ；（2）平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．【拓展训练】1．（四川卷）l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒ l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒ l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒ l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒ l 1，l 2，l 3共面 2．（浙江卷）若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（）A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交 3．（四川卷）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5．（四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．6．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下底面于11C E ，已知113FC =，证明：四边形11FBE C 是平行四边形．7．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB DD 上，且1//EC AF ．求证：1//FC AE ．N MB 1A 1C 1D 1BD C A【参考答案】 1、巩固练习答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】①② 4．【答案】因为，,O D 分别为,AB PB 的中点所以，//OD PA又因为，PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC所以，//OD 平面PAC5．【答案】因为，,E F 分别是,PB PC 的中点所有，//EF BC由题可得，//AD BC ，即//AD EF又因为，AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD所以，//EF 平面PAD6．【答案】连接1C B 交1CB 于点E ，连接ED 在平行四边形11BB CC 中，E 为1C B 中点又因为D 为AB 中点所以，1//ED C A又因为，ED ⊂平面1CDB ，1C A ⊄平面1CDB所以，1//C A 平面1CDB7．【答案】证明：连接,BD MO在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以//PB MO 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM 所以//PB 平面ACM ．8．【答案】取CE 中点P ，连结,FP BP ，∵F 为CD 的中点，∴1//,2PF ED PF ED = 又1//,2AB ED AB DE =∴//,AB PF AB PF =∴ABFP 为平行四边形，∴//AF BP ．又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ∴//AF 平面BCE9．【答案】连接1A F因为111111////AA BB CC AA BB CC ==，，所以11ACC A 为平行四边形，因此1111//,AC A C AC A C = 在正方形ABCD 中，F 为中心，即F 为AC 中点由于E 是线段11A C 的中点，所以11//,FC A E FC A E =，所以1A EFC 为平行四边形，即1//FA CE 因为1FA ⊂面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，所以CE ∥平面1A BD2、课后作业答案1．【答案】C 2．∈ 3．BD 4．43a5．2:1 6．平行或异面 7．等腰梯形 8．900 9．【答案】证明：连接EF ，中点为PD E . F 为PC 中点，则1//,2EF CD EF CD =因为1//,2AB CD AB CD =，所以//,EF AB EF AB =，则四边形ABEF 是平行四边形．所以//AE BF因为AE 不在平面PBC ，BF 在平面PBC , 所以//AE 平面PBC ．10．【答案】设DF 的中点为N ，则MN //12CD ，又AO //12CD ，则MN//AO ，四边形MNAO 为平行四边形，∴//OM AN又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， ∴//OM 平面DAF ．11．解：（1）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD//B 1C 1⇒B 1C 1与MN 所成的锐角（或直角）是AB 、CD 所成的角．∠⇒B 1NM=450 ⇒MN 与AD 所成的角为450．（2）连接A 1B ，过M 在面A 1B 中作A 1B 的平行线交A 1B 1于点L ，连接LN ，LM//D 1C ∠⇒LMN （或其补角）即为MN 与CD 1所成的角．∠⇒LMN=600 ⇒ MN 与CD 1所成的角为600．12．解：取BC 的中点P ，连接PM ，PN ，可证∠MPN （或其补角）是异面直线AC 与BD 所成的角，在∆PMN 中，由MP=NP=7，MN=37，可得cos ∠MPN =21-，∠MPN =1200．则异面直线AC 与BD 所成的角为600．13．连接AM ，AN ，并延长分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ，由M ，N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，得E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则EF//BD ，易证得BD//平面CMN ；由，得MN//EF ，可证MN//平面ABD ．14．（1）由四边形EFGH 是矩形可得，EF//GH ，可证得EF//平面BCD ，又因CD 是过EF 的平面ACD 与平面BCD 的交线，则EF//CD ，所以CD//平面EFGH ．（2）由CD//平面EFGH ，可证得CD//GH ；同理可证AB//GF ；∠FGH 就是异面直线AB ，CD 所成的角（或补角），因为EFGH 是矩形，所以∠FGH=900，则异面直线AB ，CD 所成的角为900．15．证明：（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP .（2），即平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．3、拓展训练答案1．B ，【解析】对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，所以选B ．2．B ，【解析】在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．3．C ，【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确． 4．B 5．90º6．【答案】证明：因为圆柱的上下底面平行，且11,FB C E 是截面与圆柱上、下底面的交线，所以11//FB C E依题意得，正六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，所以，正六边形的边长等于圆的半径，即1AB AF == 在ABF ∆中，由正六边形的性质可知，120BAF ∠=，所以，2222cos1203BF AB AF AB AF =+-⋅=，即3BF =同理可得113C E =，所以11FB C E =，故四边形11BFC E 是平行四边形．7．【答案】证明：由题可知，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11//AA BB 平面11CC DD 因为1//AF EC ，所以，1,,,A F E C 共面1AFECAE ⊂平面1AFEC ，且平面1AFEC 平面111CC DD FC =．所以，1//AE FC ．。

高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质...》730PPT课件

所以 OE∥平面 PAD.同理，OF∥平面 PAD. 又 OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面 OEF，所以平面 OEF∥平面 PAD.
平面图形折叠问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口． (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
(1)求证：平面 OEF∥平面 PAD；
【解】 (1)证明：因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，所以 PO⊥平面 ADC，所以 PO⊥AC. 由题意知 O 是 AC 的中点，又点 E 是 PC 的中点，
所以 OE∥PA，又 OE⊄ 平面 PAD，PA⊂平面 PAD，
针对训练3（拔高）
如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC， AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝ AD＝3，AC∩BD＝O，过O点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H.
(1通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行关系相互转化．
平面图形的折叠问题(综合型)
针对训练 2（能力）如图①，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， ∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC 沿 AC 折起到△PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图②所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD 的中点．
线面平行、面面平行的判定与性质 ——必修二习题 2.2
线面平行的判定定理：线面平行的性质定理：
面面平行的判定定理：面面平行的性质定理：

高中数学必修二点、线、面之间的位置关系

1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。

必修二第2章点线面的位置关系归纳整合

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(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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2．线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
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3．三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
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【例 1】如图所示，空间四边形 ABCD 中 E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.求证：
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
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4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 5．“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行面面平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢，我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平行的判定及其性质

高一数学必修2第二单元知识点：直线、平面平
行的断定及其性质
数学在科学开展和现代生活消费中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修2第二单元知识点，希望你喜欢。

1.直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1)直线在平面内直线上的所有点在平面内，根据公理1，假设直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.
(2)直线和平面相交直线和平面有且只有一个公共点.
记作a=A
(3)直线和平面平行假设一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥.
2.直线和平面平行的断定
断定假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记线线平行，那么线面平行)
证明直线和平面平行的方法有：
①依定义采用反证法
②利用线面平行的断定定理
③面面平行的性质定理也可证明
3.直线和平面平行的性质定理
性质假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为线面平行，线线平行).
这为证线线平行积累了方法：
①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理
高一数学必修2第二单元知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

必修2第2章：点,线,面平行的判定及其性质

空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；. 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

高中数学必修2：点线面的关系

必修Ⅱ点、线、面的位置关系
一、有关平面的公理
1、公理1：（直线在平面内）
2、公理2：（确定一个平面）
推论1：
推论2：
推论3：
3、公理3：（两平面相交）
4、空间中两直线的位置关系：
5、空间中两平面的位置关系：
6、空间中直线与平面的关系：
二、空间中的平行关系
1、平行线公理：（平行线的传递性）
等角定理：
2、线面平行的判定定理：
线面平行的性质定理：
3、面面平行的判定定理：
面面平行的性质定理：
三、空间中的垂直关系
1、两直线垂直的定义：（异面垂直于相交垂直）
直线与平面垂直的定义：
两平面垂直的定义：
2、线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
线面垂直的性质1：（一垂面两垂线）线面垂直的性质1：（一垂线两垂面）3、面面垂直的判定定理：
面面垂直的性质定理：
4、三垂线定理：
三垂线逆定理：
四、空间中的角
1、异面直线所成的角定义（线线角）：
2、斜线与平面所成的角定义（线面角）：
3、二面角的平面角的定义（面面角）：
4、求空间中的角的步骤：
①做：由定义做出相应的角②证：证明做出的角为所求③算：在相应的三角形中运算。

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质 ①公理1：②公理2：不共线的三点确定一个平面③公理3：A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭P l P l P ααββ∈⎫⇒⋂=∈⎬∈⎭则二、点与面、直线位置关系1、点与平面有2种位置关系2、点与直线有2种位置关系三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面3、公理4和定理公理4：12A B αα∈⎧⎨∉⎩、、12A lB l∈⎧⎨∉⎩、、131223l l l l l l ⎫⇒⎬⎭定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是。

四、空间中直线与平面之间的位置关系位置关系公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示五、空间中平面与平面之间的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示αβa αβ=(000,90⎤⎦a α直线与平面平行a α直线与平面相交a 直线在平面内a α⊂a αa Aα=图形表示直线、平面平行的判定及其性质一、线面平行1、判定：（线线平行，则线面平行）2、性质：（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判定：（线面平行，则面面平行）b a b b a ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭a a ab b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭a b a b P a b βββααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭2、性质1：（面面平行，则线面平行）性质2：m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭（面面平行，则线面平行）说明（1）判定直线与平面平行的方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点。

高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质...》755PPT课件

b.
b
2.线面平行→线线平行.
作业：P68第6题.
定理：一条直线与一个平面平
行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
a //
即：a
a
//
b.
β
b
α
a b
线面平行→线线平行
比较：
a 判定：b a // .(线线平行线面平行)
a // b
a //
性质：a
a
//
b.(线
面
平
D'
F C'
A'
P
DE
C B'
A
B
(2) EF∥平面AC, BE，CF显然都与面AC相交.
D'
F C'
A'
P
DE
C B'
A
B
练习: 1.直线a ∥平面α，平面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( C ).
A全平行； B全异面； C全平行或全异面； D不全平行或不全异面。 2.直线a ∥平面α，平面α内有n条交于一点的直线，那么这n条直线和直线a平行的( B ). A至少有一条； B至多有一条； C有且只有一条；D不可能有。
线平行于另一个平面; (3)根据例1的结论——让两平面垂直于同一直线.
练习
∩∩ ∩
∩∩
(1)若直线a α,则“平面α∥平面β”是α∥β的( ）．
（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分也非必要条件
(2)设α，β是两个不重合的平面，l，m是不重合的两条直
线，那么α∥β的一个充要条件是（ ).

人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质课件(2)

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知识探究(一):直线与平面平行的背景分析
思考1：根据定义，怎样
l
判定直线与平面平行？图
中直线l 和平面α平行吗？ α
思考2：生活中，我们
注意到门扇的两边是平
行的. 当门扇绕着一边
转动时，观察门扇转动
的一边l 与门框所在平
l
面的位置关系如何？精品PPT
思考3：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面， l 观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
通过直线间的平行，推证直线与平面平行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.
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思考6：设直线a，b为异面直线，经过
直线a可作几个平面与直线b平行？过a，
b外一点P可作几个平面与直线a，b都
平行？
a
b
p
b a a
p
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b
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.
A E B
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F D
C
例2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中. （1）作出过直线AC且与直线BD1平行的
截面，并说明理由.
（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.
D1
C1
M A1
D E
A G 精品PPT
B1 F C
H B
作业
P55练习：1. P62习题2.2A组：3，4.
例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M在CD′上，试判断直线B′M与平面 A′BD的位置关系，并说明理由.
C′
B′

高一数学必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”知识点总结

数学必修2第二章"点、直线、平面之间的位置关系”知识点1、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.2、平面的基本性质：公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈⇒⊂《公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,,C C ααααA B ⇒A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.l l αβαβP∈⇒=P∈且推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.—//,////a b b c a c ⇒3、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒&直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒5、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ⊂⊂=P ⇒（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥⇒（3）：（4）平行于同一个平面的两个平面平行.符号表示：//,////αγβγαβ⇒ 面面平行的性质定理：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ⊂⇒（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒【 6、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.} ,//a b a b αα⊥⊥⇒7、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.,a a βααβ⊥⊂⇒⊥8、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，。

高中数学必修2点线面常用定理汇总

高中数学必修2 点、线、面知识小结第一部分课本相关概念一、关于异面直线：1.定义：不同在任一平面的两条直线；既不平行也不相交的两条直线2.异面直线夹角：对于异面直线l 和m ，在空间任取一点P ，过P 分别作l 和m 的平行线1l 和1m ，我们把1l 和1m 所成的角叫做异面直线l 和m 所成的角α 其中，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线两异面直线的公垂线段有且仅有一条说明：两直线所成角θ的范围：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，二、关于线面角 1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角α ，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为︒90 3.直线与平面所成角：记作“θ”，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，三、关于二面角1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分都叫做一个半平面2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面3.二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角二面角的大小用它的平面角的大小来表示平面角是直角的二面角称为直二面角4.二面角的范围：记作“θ”，[]πθ，0∈四、空间中的距离问题：1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离5.两平行平面间的距离：其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离五、空间中的位置关系： 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上； 2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面内；3.两直线的位置关系：相交，平行，异面；空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直 4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行α//l ；直线与平面相交P l =α ；直线在平面内α⊆l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种；直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平面内5.平面与平面的位置关系：相交l =βα ；平行βα//；重合βα=；第二部分课本公理定理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,且 ⇒ α⊆l用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面②过两条相交直线，有且仅有一个平面 ③过两条平行直线，有且仅有一个平面用途：常用来确定平面公理3 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．βα∈∈P P 且 ⇒ l P l ∈=且,βα用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 l B B A l ∉∈∉⊆,,,ααα⇒AB 和l 是异面直线线面平行判定定理若不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 m l m l //,,αα⊆⊄ ⇒ α//l面面平行判定定理若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行第三部分立体几何中的唯一性定理辨析1、经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行2、经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直3、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直第四部分关于平行的判定方法一、线线平行的判定 1.定义法：在同一平面内,没有公共点的两条直线 ∅≠⊆⊆l m l m ;,αα ⇒ l m //2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //3.线面平行性质定理若一条直线与一个平面平行，过这条直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行l m m =⊆βαβα ,,// ⇒ l m //4.面面平行性质定理若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行一、线线垂直的判定 1.定义法：两直线所成角为o90；两直线所成角，是两直线相交所得较小的角；也可以是异面直线平移后相交所得较小的角2.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线αα⊆⊥n l , ⇒ n l ⊥3.三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直AB l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ PA l ⊥4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一直线，若和这个平交线的直线与另一个平面垂直 n l n l ⊥=⊆⊥,,,βααβα ⇒ β⊥l二、线面垂直的判定1.定义法：若直线和平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直2.线面垂直判定定理若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面n l m l P n m n m ⊥⊥=⊆⊆,;,, αα⇒α⊥l3.线面垂直性质若一条直线垂直于垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面 βαα//,⊥l ⇒ β⊥l 面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直PA l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ AB l ⊥5.线面垂直性质若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 α⊥l n l ,// ⇒ α⊥n6.面面垂直性质若两个平面垂直，则一个平面内垂直于三、面面垂直的判定1.定义法：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.2.面面垂直判定定理若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 βα⊆⊥l l , ⇒ βα⊥。

人教版数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系直线、平面平行的判定及其性质讲学稿

第二章点直线平面之间的位置关系直线、平面平行的判定及其性质讲学稿一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 理解并掌握直线与平面平行的判定定理；● 理解并掌握两平面平行的判定定理；● 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；● 掌握两个平面平行的性质定理及其应用.重点难点：● 重点：直线与平面平行的判定定理及应用；两个平面平行的判定；两个性质定理.● 难点：直线与平面平行的判定定理及应用；平面与平面平行的判定定理、例题的证明；性质定理的证明和运用. 学习策略：● 学会将空间问题转化为平面问题来研究，即证明直线与平面、平面与平面平行(空间问题)转化为证明线线平行(平面问题)．二、学习与应用（一）空间两直线的位置关系 ..........................................................................................................⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩共面直线空间两直线（二）平行与同一条直线的两条直线互相。

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角或。

（三）空间中直线与平面的位置关系直线在平面内----- 公共点；直线与平面相交----- 公共点；直线与平面平行----- 公共点；“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（四）两个平面之间的位置关系两个平面平行----- 公共点；两个平面相交----- 公共直线；知识点一：直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线，则该直线与此平面平行.简记为：线线，则线面 .符号表示： .知识点二：两平面平行的判定两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面，则面面 .符号表示：若.知识点三：直线和平面平行的性质直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的与此平面的与该直线平行.知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。