定积分计算的方法和技巧_宁荣健
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结引言定积分是微积分中重要的概念之一，它可以用于求取曲线下的面积、求解物理问题中的积分以及解决各种与变化量有关的问题。
本文将总结定积分计算的常用方法，包括基本定积分公式、换元积分法和分部积分法。
基本定积分公式基本定积分公式是计算定积分时最基础也是最常用的方法之一。
以下为常见的基本定积分公式：1.$\\int x^m dx = \\frac{1}{m+1}x^{m+1}$，其中m为常数，m eq−1。
2.$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x|$，其中x为正实数。
3.$\\int e^x dx = e^x$。
4.$\\int \\sin x dx = -\\cos x$。
5.$\\int \\cos x dx = \\sin x$。
6.$\\int \\tan x dx = -\\ln|\\cos x|$。
换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
具体步骤如下：1.选择一个适当的变量代换，通常选择与题目给定的被积函数中具有根号、三角函数等特殊形式相关的变量。
2.根据选择的变量代换，将被积函数中的所有变量都用新的变量表示。
3.计算新的被积函数的导数，并将被积函数转换为对新变量的积分。
4.计算新的积分。
以下是换元积分法的一个例子：求解定积分$\\int 2x(x^2+1)^3 dx$。
解：设u=x2+1，则du=2xdx。
将被积函数中的所有x用u表示，则原积分变为$\\int u^3 du$。
计算新的积分得$\\frac{1}{4}u^4 + C$，其中C为常数。
最后，将u替换回x得到最终结果$\\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$。
分部积分法分部积分法是解决定积分问题中的另一种常用方法，它是利用乘积的导数公式来简化积分计算的步骤。
具体步骤如下：1.选择一个适当的分部积分公式。
分部积分公式为$\\int u dv = uv -\\int v du$。
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分的求解技巧总结
定积分的求解技巧总结定积分是微积分中的重要概念之一，它在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
在求解定积分的过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，以便快速有效地求解定积分问题。
下面是关于定积分求解技巧的总结。
1. 凑微分法：凑微分是一种常见的定积分求解技巧，它通过巧妙地选择变量代换，将被积函数转化为易于求解的形式。
凑微分法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数中有微分的部分能够与代换变量的微分形式完全匹配。
例如，当被积函数为形如$f(x)g'(x)$的形式时，我们可以选择合适的代换变量，使得$g'(x)$变为某个函数$u$的微分形式$du$，然后利用凑微分法将被积函数变为$udu$的形式，进而方便地求解。
2. 分部积分法：分部积分法是定积分求解中最常用的一种技巧之一。
它通过对被积函数中的某一项进行分部积分，并利用积分的性质将被积函数转化为易于求解的形式。
分部积分法的基本公式为$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，其中$u$和$v$是可以求导或可积的函数。
通过不断应用该公式，我们可以将被积函数中的一项转化为另一项的积分形式，从而简化求解过程。
3. 换元法：换元法是求解定积分的另一种常用技巧，它通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为易于求解的形式。
换元法的关键是选择合适的代换变量和对应的微分形式。
通常情况下，我们选择代换变量$y = f(x)$，然后计算其导数$dy$，将原定积分转化为新的定积分。
选择合适的代换变量是换元法的关键，需要根据被积函数的特点进行选择，以便简化求解过程。
4. 奇偶性：奇偶性是定积分求解中常用的一种简化技巧。
通过判断被积函数的奇偶性，可以将定积分的求解范围缩小一半，从而简化求解过程。
如果被积函数$f(x)$具有奇函数的性质，即$f(-x) = - f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为单侧的定积分。
类似地，如果被积函数$f(x)$具有偶函数的性质，即$f(-x) = f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为两侧定积分的加和。
定积分的求解技巧
定积分的求解技巧定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算函数在一定范围内的面积、体积以及平均值等量。
在实际应用中，我们常常需要利用定积分来解决各种问题。
下面，我将向您介绍一些定积分求解的技巧。
求解定积分有多种方法，包括换元法、分部积分法、三角函数恒等式等等。
其中，最常用和最基础的方法是换元法。
换元法的基本思想是通过变量代换的方式，将被积函数中的自变量进行替换，从而将原来的积分转化为更容易计算的形式。
具体步骤如下：1. 选取适当的变量代换。
根据被积函数中的形式，选择合适的变量代换可以简化积分的计算。
常用的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换等等。
需要注意的是，变量代换应该是一一对应的函数关系，且变换后的积分区域是良好定义的。
2. 对被积函数中的自变量进行变换。
根据选取的变量代换，将被积函数中的自变量进行替换。
需要注意的是，同时要对原函数中的微元进行变换，确保积分区域的变换是正确的。
3. 计算变换后的积分。
将变换后的积分进行计算，得到新的积分表达式。
此时，注意将变量代换前的极限进行替换，确保积分的区域不变。
4. 变量恢复。
将计算得到的结果转换为原自变量的函数形式。
需要注意将原来的积分区域变换回来。
除了换元法，我们还可以利用分部积分法来解决一些定积分。
分部积分法是利用求导和乘法法则的逆过程，将一个积分转化为两个函数的乘积的积分。
具体步骤如下：1. 选择被积函数中的两个函数。
根据积分的形式，选择两个函数f(x)和g(x)，其中一个函数求导后容易计算，另一个函数积分后容易计算。
2. 进行分部积分。
根据分部积分公式∫[f(x)g'(x)]dx = f(x)g(x) - ∫[g(x)f'(x)]dx，将原函数分解为两个部分，一个部分是求导后容易计算的函数，另一个部分是积分后容易计算的函数。
3. 计算新的积分式子。
利用上一步得到的分部积分公式，将原函数进行分解，得到新的积分式子。
4. 递归处理。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分的重要概念之一，它可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的体积、求解平均值等问题。
计算定积分的方法有一些常见的技巧，如换元法、分部积分法、利用对称性和利用定积分的性质等。
下面将逐一介绍这些方法。
第一种方法是换元法。
当被积函数中存在一部分可以通过一次函数替换来简化时，可以使用换元法。
换元法通过变量替换的方式将原函数简化为具有更简单形式的函数，从而更容易求解。
一般来说，有两种常用的换元方法：一种是代数换元法，即通过引入新的代数变量来替换函数中的一部分；另一种是三角换元法，即通过引入三角函数来替换函数中的一部分。
第二种方法是分部积分法。
分部积分法是利用导数的乘积法则将一个积分转化为另一个积分的方法。
具体来说，当被积函数中存在一部分可以看作是一个函数的导数与另一个函数的乘积时，可以使用分部积分法。
分部积分法的公式为：$$\int u \,dv = uv - \int v \, du$$ 通过适当选择$u$和$dv$，可以将原积分化简为更易求解的形式。
第三种方法是利用对称性。
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用这种对称性来简化计算过程。
例如，当被积函数为偶函数时，可以将积分区间从$(-a,a)$缩小为$(0,a)$，然后将被积函数乘以2进行积分。
当被积函数为奇函数时，可以利用奇函数的性质进行化简。
第四种方法是利用定积分的性质。
定积分具有一些特殊的性质，如线性性质、additivity性质和区间可加性质等。
通过利用这些性质，可以将原积分化简为更容易求解的形式。
例如，可以将一个复杂的定积分分解为多个简单的定积分相加，或者利用区间可加性质将一个积分区间分成多个小区间，然后对每个小区间进行积分。
以上所提到的方法只是定积分计算中常用的一些方法，实际上还有其他一些求解定积分的技巧和方法。
在解决具体问题时，需要根据问题的特点和需要选择合适的方法。
另外，在实际计算中，还可以借助计算工具如数值积分、计算机软件等来求解定积分，特别是当被积函数很复杂或求解过程较为繁琐时，这些工具可以提供更便捷和准确的解决方案。
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下方的面积、变量间的平均值、曲线的长度等问题。
在计算定积分时，有几种常见的方法可以使用。
一、基本定积分计算方法1.函数不可导情况下的计算方法：当函数在闭区间上不可导时，可以将该区间划分成多个子区间，然后在各子区间上分别求积，最后求和。
2. 函数可导情况下的计算方法：对于可导函数，可以使用Newton-Leibniz公式求解定积分。
若函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)，则有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
二、几何意义的计算方法1.面积计算：当被积函数为非负函数时，定积分表示积分区间上的曲线与x轴之间的面积。
使用定积分计算面积时，要先找到积分区间，并选择一个适当的被积函数。
2.长度计算：当被积函数为非负函数时，定积分可以表示曲线的弧长。
通过将曲线分成小线段，并用小线段长度之和逼近曲线的弧长，然后取极限即可得到曲线的弧长。
三、换元法换元法是一种常用的定积分计算方法，通过代换变量的方式来简化被积函数。
具体步骤如下：1.将被积分函数中的变量替换为一个新的变量，使得替换后的函数能够更容易积分。
2. 计算新变量的微分形式dx，然后求解出新的积分上下限。
3.将原函数转化为新变量的函数，并根据新的上下限计算定积分。
4.最后要将新变量换回原变量的形式。
四、分部积分法分部积分法是通过Leibniz公式的一个特殊情况来进行定积分计算的方法。
具体步骤如下：1. 选择u和dv，其中u是整个被积函数的一个部分，dv是剩余的部分。
2. 求解du和v分别对x的积分。
3. 将原函数表示为uv积分减去∫vdu，其中v需要对x进行积分。
4.根据上述公式计算定积分。
五、极坐标下的计算方法当被积函数围成的区域具有对称性或者特殊的形状时，可以使用极坐标进行计算。
1.将被积函数与曲线转化为极坐标形式，即用r和θ表示。
2. 根据极坐标的面积元素dA=rdrdθ，计算出面积元素dA。
高等数学定积分的计算方法
高等数学定积分的计算方法
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是求解某种函数在某一区间上的积分，可以用来计算曲线下某一区域的面积或体积。
计算定积分的方法有很多，其中最常用的是求和法和分段法。
求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后将每个小区间上的函数值加起来，从而求出定积分的近似值。
具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成n个小区间，即
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-a)/n；然后，将每个小区间上的函数值加起来，即
∫_a^bf(x)dx≈h*[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)]，其中h=(b-
a)/n。
分段法是指将定积分的区间分割成若干段，然后分别求出每段上的积分，最后将每段上的积分加起来，从而求出定积分的近似值。
具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成
n段，即a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-
a)/n；然后，分别求出每段上的积分，即
∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h，其中h=(b-a)/n；最后，将每
段上的积分加起来，即∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h。
以上就是计算定积分的两种常用方法，它们都是基于求和原理的，只是求和的方式不同而已。
在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的方法，以达到最优的计算效果。
定积分计算的一项技巧
定积分计算的一项技巧定积分计算是数学中的一个重要分支，它的应用广泛，尤其是在物理、经济、计算机科学等领域中，计算定积分非常重要，但是一般情况下，它并不容易计算。
因此，利用一些技巧可以使定积分计算更加容易，以下为常用技巧介绍：1.积分变换法计算定积分。
积分变换法就是利用变换将求解的初始定积分变换为某种更容易计算的形式，从而使定积分计算更加容易。
2.用三角函数或指数函数变为可积函数。
利用三角函数或指数函数将定积分变为可积函数，从而使定积分计算更加容易。
3.用级数展开式求解定积分。
如果定积分中有级数，则可以利用此类级数展开式求解定积分，使其变得更容易计算。
4.反方法求解定积分。
用反方法求解定积分时，会在原来的定积分中添加一个积分的参数，这样就可以用积分的参数求出原来的定积分的值，使其变得更容易求解。
5.用代数技巧求解定积分。
利用代数技巧如合并一些分母，可以使定积分计算更容易。
6.用Gauss积分公式求解定积分。
Gauss积分公式是把某种函数的定积分变为一些定积分的函数的值的积分，这使得定积分的计算更加容易。
7.用复合积分求解定积分。
复合积分是把原本的定积分拆分成多个更简单的定积分组合而成，这样也可以使定积分计算更加容易。
以上就是一般常用的定积分计算技巧，利用这些技巧，可以在大大减少计算时间的同时，取得精确的结果。
此外，还有一些更高级的计算技巧，如Laplace变换、Mellin变换等，利用这些技巧，还可以在大大提高计算速度的同时，取得更精确的结果。
定积分计算的技巧还会不断更新，但是要记住，使用定积分计算技巧时，一定要有一定的数学基础，这样才能够取得正确的结果。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
a)
b)当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最
大值为M，最小值为m则
M(b-a)<=<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
3)柯西积分不等式
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法。
6.3定积分的计算方法
则 dx = dt ,
x = 1, t = −1, x = 3, t = 1
0 1
∫
3
1
f ( x − 2)dx =
∫
1
−1
f ( t )dt = ∫−1 f ( t )dt + ∫0 f ( t )dt
0
1 3 2 −t = (t + t ) − e − t = (1 + t )dt + e dt 3 0 −1 −1
解： ∫ cos x sin xdx = −
0
∫
π
2
0
cos 5 xd cos x
1
( t = cos x )
x = 0 ⇒ t = 1, π x = ⇒ t = 0,
2
−∫
0
1
1 t6 5 = = . t dt 60 6
例：计算 解:
∫
e2
1
x 1+ ln x e2 e2 d(1 + ln x) dx d ln x =∫ =∫ 1 1 x 1 + ln x 1 + ln x 1 + ln x
xdx . 5 − 4x
∫
例：计算 ∫
a
0
a 2 − x 2 dx .
定积分解法
定积分解法定积分这玩意儿，在数学里可算是个“小怪兽”呢。
不过别怕，咱们来把它拿下。
一、定积分是啥定积分简单来说呢，就是求一个函数在某个区间上的“面积”。
这里的“面积”是有正负的哦。
比如说，如果函数在x轴上方，那这个面积就是正的；要是在x轴下方呢，面积就是负的。
它的定义是通过极限来的，把区间分成好多好多小份，然后把这些小份的面积加起来，当小份无限小的时候，就得到定积分啦。
就像把一块不规则的地，分成好多小块来计算面积一样。
二、定积分的基本公式1. 牛顿 - 莱布尼茨公式那可是相当重要的。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分∫(a到b)f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个就像是一把神奇的钥匙，能快速算出定积分的值呢。
2. 还有一些基本函数的定积分公式要记住。
像∫(a到b)x^n dx = [x^(n + 1)/(n+1)] (a到b)（n≠ - 1）。
三、定积分的计算方法1. 直接法当函数比较简单的时候，我们可以直接用基本公式来计算定积分。
比如说求∫(1到2)x dx，这里f(x)=x，它的原函数F(x)=x^2/2，那么根据牛顿 - 莱布尼茨公式，这个定积分的值就是2^2/2 - 1^2/2 = 3/2。
2. 换元法有些函数看起来很复杂，这时候换元法就派上用场了。
比如求∫(0到1)√(1 - x^2)dx，我们可以设x = sin t，dx = cos t dt。
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t = π/2。
那么原积分就变成了∫(0到π/2)√(1 - sin^2t)cos t dt = ∫(0到π/2)cos^2t dt。
然后再利用三角函数的公式cos^2t=(1 + cos2t)/2，进一步计算就可以得到结果啦。
3. 分部积分法对于两个函数相乘的形式，比如∫(a到b)u(x)v'(x)dx，分部积分法的公式是∫(a到b)u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)] (a到b)-∫(a到b)v(x)u'(x)dx。
例谈定积分的求解方法
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每 一 个 细 节 ， 样 才 能 处 处 把 字 识 。日积 月 累 、 长 日 这 天
索 省 时 高 效 的 识 字 教 学 方 略 ，切 实 培 养 学 生 主 动 识
字、 自能 识 字 的 能 力 ， 识 字 教 学 于精 彩 。 孩 子 们 在 还 让
久 ， 字 的数 量 就 会 与 日俱 增 。如 坐 公 交 车 、 街 、 识 逛 到 饭馆 吃饭 、 游 … … 汉 字 无 处 不 在 ， 在 我 们 的 身 边 。 旅 就
３ — ２２０ ６ ０． １１
课堂内外・ 教师版 Ｉ 学教 数 研
Ｊ Ｌ
到 的 ． 图２ 如 所
当 最 大 的 趋 近 于０ ， 近似 体 积 和 等 于 所 求 时 该
示 ．求 球 的 体
积．
球 的 体 积．故 该 问题 的解 决 思 想 同 于定 积 分 的定 义 ．
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在学习定积分的计算方法时，我们需要掌握一些基本的技巧和思路，下面我们就来详细了解一下定积分的计算方法。
首先，我们需要了解定积分的定义。
在数学上，定积分是一个数学上的概念，它表示在一个区间上的函数在该区间上的平均值与区间长度的乘积。
定积分的符号表示为∫，被积函数为f(x)，积分区间为[a, b]，则定积分的表示为∫[a, b]f(x)dx。
接下来，我们来介绍一些常见的定积分计算方法。
首先是定积分的几何意义法，通过几何图形的面积来理解定积分。
其次是定积分的基本性质法，利用定积分的基本性质来简化计算。
再次是定积分的换元积分法，通过变量替换来简化被积函数的形式。
最后是定积分的分部积分法，通过分部积分来简化被积函数的形式。
定积分的几何意义法是我们最常见的计算方法之一。
通过将被积函数的图形与坐标轴围成的图形进行面积计算，可以得到定积分的值。
这种方法直观易懂，适用于简单的函数。
定积分的基本性质法是我们在计算定积分时经常使用的方法。
利用定积分的性质，可以将复杂的被积函数进行分解和简化，从而得到定积分的值。
这种方法在处理复杂函数时非常有效。
定积分的换元积分法是一种常见的计算方法。
通过变量替换，可以将原函数转化为一个更容易积分的形式，从而简化计算过程。
这种方法在处理含有复杂变量的函数时非常有用。
定积分的分部积分法是一种常见的计算方法。
通过分部积分，可以将原函数进行分解，从而得到一个更容易积分的形式。
这种方法在处理乘积形式的函数时非常有效。
总结一下，定积分的计算方法包括几何意义法、基本性质法、换元积分法和分部积分法。
在实际应用中，我们可以根据具体的函数形式和积分区间来选择合适的计算方法，从而更高效地求解定积分的值。
希望本文对大家在学习和应用定积分时有所帮助。
计算定积分的技巧
计算定积分的技巧(共13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--分类号：学校代码：11460学号：南京晓庄学院本科生毕业论文题目：计算定积分的技巧The definite integral computation techniques所在院：教师教育学院姓名：陈淼指导教师：后六生研究起止日期：二○一三年十一月至二○一四年五月学位论文独创性声明本人郑重声明：1.坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。
2.本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。
3.本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。
4.本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。
5.其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。
作者签名：日期：2014年4月20日计算定积分的技巧摘要：牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的基本方法，这种方法的关键是找到被积函数的原函数，当遇到一些被积函数在特殊区间上的定积分运算时，运用牛顿-莱布尼兹公式求解定积分则稍显复杂，此时我们需要运用某些技巧使定积分的计算量减少，从而提高效率以及正确率。
本文通过实例探讨了计算定积分时几个技巧，拓宽解题思路，减少计算量。
关键词：定积分;计算方法;技巧Abstract：Newton Leibniz formula is the basic computational method of definite integral, the key of this method is to find the original function of the integrand, when meets some definite integral integrand in the special on the interval, using the Newton - Leibniz formula for solving definite integral is slightly complicated, this time we need to use some techniques to reduce the amount of calculation of definite integral, so as to improve the efficiency and accuracy . This paper discusses the calculating of the integral several skills, broaden the thinking, reduce the amount of calculation. Keywords: The definite integral ;calculation method;skills.目录摘要 (2)一、利用函数的奇偶性计算定积分 (4)（一）函数奇偶性定理 (4)（二）例题 (5)1. 偶函数例题 (5)2. 奇、偶函数混合例题 (6)二、利用函数的周期性计算定积分 (6)（一）函数周期性定理 (7)（二）例题 (7)三、利用换元法计算定积分 (7)（一）利用换元法的定理 (8)（二）例题 (8)四、利用级数计算定积分 (9)（一）级数定理 (9)（二）例题 (10)五、结论 (11)参考文献 (12)致谢 (12)计算定积分的技巧定积分是为了估计平面上的封闭曲线面积而形成的。
多元函数积分的分部积分法
多元函数积分的分部积分法宁荣健;周玲【摘要】给出了曲线积分,曲面积分,二重积分以及三重积分的分部积分法,丰富了分部积分法的理论和方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)003【总页数】9页(P59-67)【关键词】曲线积分;曲面积分;二重积分;三重积分;分部积分法【作者】宁荣健;周玲【作者单位】合肥工业大学数学学院,合肥230009;合肥工业大学数学学院,合肥230009【正文语种】中文【中图分类】O13;O172.21 问题的提出在定积分中，有定理1(定积分分部积分法) 设函数u=u(x)与v=v(x)在[a，b]上均具有连续导数，则u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-u′(x)v(x)dx，或u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x)，简记为udv=uv-vdu.对于多元函数的曲线积分，曲面积分，二重积分以及三重积分，是否也有分部积分法？本文对此作出初步的探讨.2 主要结论定理2(对坐标的平面曲线积分分部积分法) 设L为平面有向光滑曲线，起点为A，终点为B.函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在L上具有一阶连续偏导数，则即(1)特别地，如果L为封闭曲线，则∮Luv′xdx+uv′ydy=-∮Lvu′xdx+vu′ydy，即∮Ludv=-∮Lvdu.(2)证由于d(uv)=vdu+udv=v(u′xdx+u′ydy)+u(v′xdx+v′ydy)，故u(v′xdx+v′ydy)=duv-v(u′xdx+u′ydy)，两边同时在L上积分，得特别地，如果L为封闭曲线，则起点A与终点B重叠，有uv=0，故∮Ludv=-∮Lvdu.同理可得定理3(对坐标的空间曲线积分分部积分法) 设Γ为空间有向光滑曲线，起点为A，终点为B.函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Γ上具有一阶连续偏导数，则即(3)特别地，如果Γ为封闭曲线，则∮Γuv′xdx+uv′ydy+uv′zdz=-∮Γvu′xdx+vu′ydy+vu′zdz，即∮Γudv=-∮Γvdu.(4)例1 计算曲线积分其中L为y=(x-2)2上从点A(2，0)到点B(1，1)的一段有向曲线.解法一解法二取代入⑴式得从而有例1的解法一中运用了定积分的分部积分法，解法二中运用了对坐标的平面曲线积分分部积分法，解题思想相通，后者略显简洁.例2 设Γ为以点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)为顶点的三角形区域的有向边界曲线函数f(t)具有一阶连续导数，证明∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)=0.证记I=∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)，则有I=∮Γxf′(xyz)(yzdx+xzdy+xydz)=∮Γxdf(xyz).由定理3中的⑷式，I=-∮Γf(xyz)dx.再有轮换对称性知I=-∮Γf(xyz)dy=-∮Γf(xyz)dz，所以由于Γ位于平面x+y+z=1上，故I=0，即∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)=0.定理4(对坐标的空间曲面积分第一分部积分法) 设Σ为有向光滑曲面，其边界曲线为Γ，且Σ的侧和Γ的方向符合右手法则，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Σ连同Γ上具有一阶连续偏导数，则即(5)即(6)即(7)特别地，如果Σ为有向光滑封闭曲面，则即(8)(9)即(10)证此处只证明⑸和⑻，同理可证(6)，(7)，(9)和(10).由斯托克斯公式得故利用外微分的性质知dx∧dx=0，dy∧dx=-dx∧dy，故dv∧dx=(v′xdx+v′ydy+v′zdz)∧dx=v′ydy∧dx+v′zdz∧dx=v′zdz∧dx-v′ydx∧dy，即为dvdx=v′zdzdx-v′ydxdy.同理有dudx=u′zdzdx-u′ydxdy，因此(5)也可记为如果Σ为有向光滑封闭曲面，则Γ退化为一点，故∮Γuvdx=0，所以例3 设曲面Σ：z=1-x2-y2(z≥0)，取上侧，f具有一阶连续导数，证明证Σ的边界曲线为从z轴正向向原点看去，Γ取逆时针方向.取u=f(x3)，v=z，并注意到∮Γzf(x3)dy=0，代入(6)式得又由z=1-x2-y2得故所以定理5(对坐标的空间曲面积分第二分部积分法) 设Σ为有向光滑曲面，其边界曲线为Γ，且Σ的侧和Γ的方向符合右手法则，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Σ连同Γ上具有一阶连续偏导数，则即(11)特别地，如果Σ为有向光滑封闭曲面，则(12)证令w=udv，利用外微分运算得dw=du∧dv=(u′yv′z-u′zv′y)dydz+(u′zv′x-u′xv′z)dzdx+(u′xv′y-u′yv′x)dxdy.再由斯托克斯公式∮Γudv=∮Γuv′xdx+uv′ydy+uv′zdz即得如果Σ为有向光滑封闭曲面，则Γ退化为一点，故∮Γudv=0，所以若利用定理3中的结论∮Γudv=-∮Γvdu，(11)式也可表示为例4(1996年全国研究生入学考试试题改编) 计算曲面积分其中Σ：z=x2+y2 (0≤z≤1)，取上侧.解法一补Σ1：z=1，x2+y2≤1，取下侧，记Ω为Σ与Σ1所围空间区域.由高斯公式及三重积分的柱面坐标计算公式得又所以解法二Σ的边界曲线Γ为从z轴正向向原点看去，Γ取逆时针方向，其参数方程为x=cosθ，y=sinθ，z=1，θ:0→2π.取u=y，v=2xz，代入(11)式得所以在定理4和定理5中，令z=0，Σ取上侧，记Σ为D，Γ取逆时针方向，记Γ为L.并将u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)分别替换为u=u(x，y)，v=v(x，y)，则即得下列定理6和定理7.定理6(二重积分第一分部积分法) 设D为平面有界闭区域，其边界为分段光滑曲线L，且L取逆时针方向，函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在D连同L上具有一阶连续偏导数，则(13)(14)定理7(二重积分第二分部积分法) 设D为平面有界闭区域，其边界为分段光滑曲线L，且L取逆时针方向，函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在D连同L上具有一阶连续偏导数，则(15)由于∮Ludv=-∮Lvdu，上式也可以写为例5(2011年全国研究生入学考试试题) 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且其中D={(x,y)|0≤x≤1, 0≤y≤1}，计算二重积分解法一注意到在积分xyf″xy(x,y)dy中要把x看成常数，所以xyf″xy(x，y)dy =xydf′x(x，y)=xyf′x(x，y)-xf′x(x，y)dy=-xf′x(x，y)dy，得同理在积分xf′x(x，y)dx中要把y看成常数，所以故解法二令u=xy，v=f′x(x，y)，记L为D的边界曲线，取逆时针方向，故由(13)式得由于L由L1：y=0，x:0→1; L2：x=1， y：0→1;L3:y=1，x:1→0和L4:x=0，y:1→0组成，且f′x(x，1)=0，可得进而∮Lxyf′x(x，y)dx=0，故再令u=x，v=f(x，y)，由(14)式得注意到f(1，y)=0，同理可得∮Lxf(x，y)dy=0，所以例6 计算二重积分其中D:x2+y2≤1.解法一令则且将D:x2+y2≤1变换为D′:u2+v2≤1.利用二重积分的换元法及二重积分与其积分变量的符合表示无关的性质得所以I=0.解法二D的边界为L:x2+y2=1，取逆时针方向.令由(15)式得由轮换对称性知又∮Lln(x2+y2+1)dey-x=ln2∮Ldey-x=0，所以I=0.定理8(三重积分第一分部积分法) 设Ω为空间有界闭区域，其边界为分片光滑曲面Σ，且Σ取外侧，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)，w=w(x，y，z)在Ω连同Σ上具有一阶连续偏导数，则(16)(17)(18)证由高斯公式知即得(16)，同理可得(17)和(18).例7 计算三重积分其中解Ω的边界Σ由Σ1，Σ2和Σ3三部分组成，其中Σ1:z=0(x2+y2≤1)，取下侧，Σ2:x2+y2=1 (0≤z≤1)，取外侧；取上侧.取则令有v′z=1，将上述表达式代入(18)式得的体积.其中Ω的体积所以定理9(三重积分第二分部积分法) 设Ω为空间有界闭区域，其边界为分片光滑曲面Σ，且Σ取外侧，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)，w=w(x，y，z)在Ω连同Σ上具有一阶连续偏导数，则(19)证利用外微分的运算再利用高斯公式，得所以注由于故(19)式还有其它表示形式.例8 计算其中Ω是由球面x2+y2+z2=1和三个坐标面平面所围成的位于第一卦限中的空间区域.解法一利用球面坐标计算得其中所以解法二在(19)中令u=x，v=y，w=e(x2+y2+z2)z2，得其中Σ为Ω的边界曲面，并取外侧.将Σ分为下列四个部分：Σ1：x=0，y2+z2≤1，y≥0，z≥0，取后侧；Σ2：y=0，x2+z2≤1，x≥0，z≥0，取左侧；Σ3：z=0，x2+y2≤1，x≥0，y≥0，取下侧；Σ4：x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，z≥0，取上侧.故其中所以[参考文献]【相关文献】[1] 宋国柱，任福贤，许绍溥，姜东平.数学分析教程(下册)[M].南京：南京大学出版社，1992:331-345.[2] 朱士信，唐烁，宁荣健，任蓓，殷志强.高等数学(上)[M].北京：高等教育出版社，2015:212-219.[3] 朱士信，唐烁，宁荣健，任蓓，郑靖波.高等数学(下)[M].北京：高等教育出版社，2015:127-252.。