例讲三角形中与向量有关的问题

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法

2、向量的加法、数量积等性质

3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题

4、数形结合

教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题

教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：

1、课前练习

1.1已知O 是△ABC 内的一点，若222OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()0=-∙+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>∙，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕

A 、①②

B 、①④

C 、②③

D 、②③④

2、知识回顾

2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法

2.2 向量的有关性质

2.3 上述两者间的关联

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题

例1、已知△ABC

中，有0=∙⎫⎛+BC

21=,试判断△ABC 的形状。

练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0<∙，试判断△ABC 的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，满

足+=+=+，则O 是△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满

足

()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足

()+∞∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心

例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满

足

()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心

练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满

足

()+∞∈⎪⎫ ⎛+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且

y x ∙=∙=,，求证：311=+y

x 6、小结

处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。

7、作业

1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则∙等于

〔 〕

A 、21

B 、0

C 、1

D 、2

1- 3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若=∙+∙+∙c b a ，则O 是△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔 〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

5、平面上的三个向量、、满足=++，

1===，求证：△ABC 为正三角形。

6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+⋅的最小值．