例讲三角形中与向量有关的问题
向量三角形求三角比-概述说明以及解释
向量三角形求三角比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式来进行撰写：引言是文章的开端，通过对研究领域进行简要介绍和背景说明，引起读者的兴趣并明确文章的主题和目的。
本文将介绍向量三角形的概念以及如何利用向量三角形求解三角比的方法。
在现实生活中，向量是一种常用的数学工具，广泛应用于各个学科领域，如物理学、计算机图形学等。
向量可以用来表示具有大小和方向的物理量，其在几何上的应用尤为重要。
通过将向量应用于三角形的研究中，我们可以得到有关三角形各边和角度之间关系的重要结论。
而这些结论可以帮助我们在解决实际问题时快速计算三角形的各种属性，包括边长比例、角度大小等。
本文将按照以下结构进行介绍：首先，我们将对向量的基本概念进行讲解，包括向量的表示方法、向量的运算规则等内容。
然后，我们将引入向量三角形的定义，解释三角形的各边在向量形式下的表示方法，并探讨向量三角形的性质和特点。
接着，我们将介绍如何利用向量三角形求解三角比的方法，包括计算三角形的边长比例、角度大小等。
最后，我们将总结所得结论，并提出一些进一步研究的方向。
通过对向量三角形的研究和应用，我们可以更加深入地理解三角形的几何性质，同时也能够更加灵活地运用向量的概念和方法来解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对向量三角形的求解方法有所了解，并能够在实际应用中灵活运用。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织和安排方式，它可以帮助读者更好地理解和消化文章的内容。
在本文中，我们将采用以下结构来组织文章：1. 引言1.1 概述：介绍向量三角形求三角比的背景和重要性，说明本文的研究目的和意义。
1.2 文章结构：概述本文的组织结构，说明各个部分的内容和目的。
1.3 目的：明确本文的研究目的和预期结果。
2. 正文2.1 向量的基本概念：介绍向量的定义、性质和运算法则，为后续的向量三角比的计算打下基础。
2.2 向量三角形的定义：详细阐述向量三角形的概念和性质，包括向量三角比的定义和计算方法，以及向量三角比在几何推理和计算中的应用。
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题
与三角形的外心有关的向量数量积运算问题向量数量积又称为内积，是两个向量相乘之后对应分量相加的结果。
它有很多重要的应用，其中包括与三角形的外心有关的一些运算问题。
在本文中，我们将讨论向量数量积和外心的关系，并通过具体的例子来解释这一关系。
首先，让我们先了解一下外心的概念。
外心是指一个三角形的三条中线的交点，它是三角形外接圆的圆心。
外心具有很多有趣的性质和应用，其中包括与向量数量积的关系。
假设有一个三角形ABC，其外心为O，三角形的顶点分别为A、B、C。
我们将向量表示法引入，假设向量OA为a，向量OB为b，向量OC为c。
那么我们可以用向量a、b、c来表示向量AO、BO、CO，也可以用向量a、b、c来表示向量AB、BC、CA。
接下来，我们将探讨向量数量积和外心的关系。
在三角形ABC中，外心O到顶点A的向量为AO，它的向量表示为a。
同理，我们可以得到外心O到顶点B的向量为BO，它的向量表示为b，外心O到顶点C的向量为CO，它的向量表示为c。
根据向量数量积的定义，我们可以得到以下关系：1.向量a与向量b的数量积为a·b = |a|·|b|·cos∠AOB。
2.向量b与向量c的数量积为b·c = |b|·|c|·cos∠BOC。
3.向量c与向量a的数量积为c·a = |c|·|a|·cos∠COA。
通过上述关系，我们可以看出外心O与顶点A、B、C之间的关系与向量数量积有着密切的联系。
具体来说，外心O可以表示为三个顶点向量的线性组合，即O = k1A + k2B + k3C，其中k1、k2、k3为常数，满足k1 + k2 + k3 = 1。
这个性质可以帮助我们在解决三角形问题时运用向量数量积来简化计算。
下面，我们通过一个具体的例子来说明外心与向量数量积的应用。
假设三角形ABC的外心为O，我们需要求解外心的坐标。
我们已知顶点A、B、C的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
向量与三角形四心的一些结论
【一些结论】：以下皆是向量之邯郸勺丸创作1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就暗示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC 内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延长CO交AB于D,按照向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.需要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,∵O是内心∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO 的延长线相交于M,所以四边形OMAN是平行四边形按照平行四边形法例,得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},按照正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB )+|BC|/(|AC|*2sinC )=0,即AP•BC=0,P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/ (|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线按照正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,∴点P 过三角形重心.4.OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+λ(ABcosC/|AB |+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•B C cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0,所以向量AP与向量BC垂直,P 点的轨迹过垂心.5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC标的目的上的单位长度向量,向量AB与AC的单位向量的和向量,因为是单位向量,模长都相等,组成菱形,向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心。
向量三角形不等式
向量三角形不等式嘿，你们知道吗？我觉得向量三角形不等式这个东西可有意思啦！有一天呀，我在数学课上听到老师讲向量三角形不等式。
一开始我还不太懂呢，但是老师给我们举了个很有趣的例子。
就像我们玩拼图游戏一样，假设有三个小拼图块，分别代表三个向量。
我们把它们拼在一起，要拼成一个三角形哦。
老师说呀，这个向量三角形不等式就是告诉我们，三角形的两边之和一定是大于第三边的哦。
比如说，有个向量 A 就像一个小箭头，从这里指向那里，它的长度是 3 厘米。
还有个向量 B 呢，它的长度是 4 厘米。
那么当我们把这两个向量首尾相接的时候，它们组成的这条边和另外一个向量 C 相比，就有个规律啦。
向量 A 和向量 B 组成的这条边的长度肯定要比向量 C 的长度大哦，不然这个三角形就拼不起来啦，就像我们拼图的时候，如果一块太大，另外两块太小，就没法拼成一个完整的三角形啦。
我就想呀，这个向量三角形不等式在生活中也有很多例子呢。
比如说我们走路去学校，从家到商店是一段路，就像一个向量，从商店到学校又是一段路，也是一个向量。
那么我们从家直接到学校的这条路，就相当于三角形的第三条边。
我们都知道，我们走家到商店再到学校的路程肯定是要比直接从家到学校的路程长的呀，这就是向量三角形不等式在生活中的体现呢。
还有哦，我们搭积木的时候也能发现。
假如有三根小木棍，我们把它们当成向量。
当我们把两根小木棍接起来和第三根小木棍比较的时候，也会发现接起来的那两根加起来要比第三根长，不然就搭不成一个三角形的架子啦。
我觉得学习向量三角形不等式虽然一开始有点难理解，但是通过这些有趣的例子，我就慢慢明白啦。
它就像一个小秘密，等着我们去发现它在生活中的各种用处呢。
我以后还要继续学习更多关于向量的知识，看看它还能给我带来哪些惊喜。
你们说，向量是不是很有趣呀？说不定我们以后还能发现更多它的好玩之处呢！怎么样，大家有没有对向量三角形不等式有点了解啦？我们可以一起讨论哦，看看谁还能找到更多关于它的例子呢！嘻嘻。
例谈向量的三角形法则的运用
例谈向量的三角形法则的运用（萧山中学 311201 崔继国）向量是现代数学的基本概念之一，作为新教材的特色内容之一.向量兼具了数和形的两方面特征，它既反映数量关系，又体现位置关系. 向量的三角形法则是向量学习的基础，在向量问题中必须充分重视三角形法则.这里，通过几个例题的求解来作一说明. 一、三角形法则在向量问题中的几何图示功能明了所解问题的几何意义是代数问题几何化的根本，向量问题也不例外，在向量中，各种运算都有着明确的几何意义，三角形法则正是向量加、减的几何表示.例1、已知a 、b-==，求b a +与a 的夹角.法一：-==-=∴，即2222b b a a b+⋅-=,b a =⋅∴,即有222bb a a =+⋅+=+.若设b a +与a 的夹角为θ，则23cos 2===θ，︒=∴30θ法二：如图1，作b AD a AB ==,，则b a DB -=，以AD AB ,为两邻边做平行四边形ABCD ，则b a AC +=，-== ，∴平行四边形ABCD 为菱形，︒=∠∴30BAC ，即b a +与a 的夹角为︒30CA （图1）例2、已知a 、b 为两不共线的向量，+取最小值时，b x a +与b 的夹角为 . 解法一：2222)2()()(a x b a x b b x a +⋅+=+=+2222bb a bb a x ⋅-=⋅-=∴++取最小值此时，0])([)(222=⋅-⋅=⋅-⋅=⋅⋅-+=⋅+b a b a bbb a b a b b bb a a b b x ab x a +∴与b 夹角为︒90解法二：按题设作图2如下：图中，b AB a OA ==,，b x AH =+的几何意义即为点O 与点H 之距，O 为定点，H 为直线AB 上任意一点，显然，垂线段最短，即此时b x a +与b 垂直.O Ba NQ M（图2） C AA b x H bB (图3)点评：法一为向量中的常规方法，体现了向量问题代数方法的基本方向，即运用2a =，进行数量与向量的相互转化.例2中问题最终化为关于x 的二次函数的最值问题.思路清晰，但运算稍嫌繁琐，且要求对向量的数量积的运算性质掌握非常透彻，否则难以回答正确. 而这两例中的法二均运用了向量加法几何意义，解题过程形象、直观，一击中的. 例3、已知P 为ABC ∆内部一点，且满足条件0432=++PC PB PA ，则PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积比为 .分析：本例中条件如何图形化？很容易想到重心的性质.因此，记PM PA =2，PNPB =3，PQ PC =4，则0=++PQ PN PM ，即P 为MNQ∆的重心.PQM PNQ PMN S S S ∆∆∆==∴，有正弦定理，易得PMN PMN PAB S S S ∆∆∆=⋅=61321，同理PNQ PBC S S ∆∆=121，PQM PCA S S ∆∆=81，即面积比为4:3:2.二、三角形法则在向量运算中的转化功能例4、如图，在三棱锥ABC D -中，3,2,1,60===︒=∠=∠AD AB AC BAC DAC ，求BD AC ⋅.D 分析：常规策略即通过建系设点，运用公式212121z z y y x x b a ++=⋅求解，但设点的坐标比较繁琐.C 但是，注意到所给条件中，与AC 相关的角均已知，与BD相A （图4）B 关的角未知，因此考虑转化. 即：AD BA BD +=，代入，有2160cos 120)(=︒+︒=+⋅=⋅AD BA AC BD AC .点评：AD BA BD +=是关键一步，体现了三角形法则的转化功能.例5、已知ABC ∆中，32,4,23===c b a . PQ 是以A 为圆心，2为半径的圆的直径，求CQ BP ⋅的最大值、最小值.（这里，本例不做详解，不妨自己体会一下） 事实上，只要细心观察就会发现向量的很多问题都是以三角形法则为基础的. 但总的来说，还是要数与形并重，会运算也要会识图、做图、用图 ，真正用好三角形法则.。
三角形向量定理
三角形向量定理三角形向量定理是解决三角形中各种问题的重要工具。
它将三角形的边和角与向量的数量关系结合起来，使得我们可以通过向量的运算来推导和解决与三角形有关的各种问题。
本文将从三角形向量定理的定义、推导和应用几个方面进行介绍。
我们来看一下三角形向量定理的定义。
三角形向量定理是说，对于任意一个三角形ABC，如果我们以一个点O为原点建立一个坐标系，那么三角形的三个顶点A、B、C对应的向量a、b、c满足以下关系：c = a + b。
也就是说，三角形的一条边的向量等于另外两条边的向量之和。
接下来，我们来推导一下三角形向量定理。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
我们以点O为原点建立坐标系，那么向量a、b、c的坐标分别是(a1, a2)、(b1, b2)、(c1, c2)。
根据向量的加法规则，我们可以得到：c1 = a1 + b1，c2 = a2 + b2。
这就是三角形向量定理的推导过程。
三角形向量定理可以应用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，我们可以利用三角形向量定理来求解三角形的面积。
假设三角形ABC的顶点A、B、C对应的向量分别是a、b、c。
根据三角形的面积公式，我们可以得到三角形的面积S等于底边BC的长度与高h的乘积的一半。
而底边BC的长度可以通过向量c的模长来计算，即|c| = √(c1^2 + c2^2)。
而高h可以通过点A到直线BC的距离来计算，即h = |Proj_AB(c)| = |c| * sin(angle(AB, c))，其中Proj_AB(c)表示向量c在向量AB上的投影，angle(AB, c)表示向量AB与向量c之间的夹角。
因此，三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * |c| * |c| * sin(angle(AB, c)) = 0.5 * |c|^2 * sin(angle(AB, c))。
除了求解三角形的面积，三角形向量定理还可以用于判断三角形的形状。
三角形重心外心垂心的向量关系表达式
三角形重心、外心、垂心向量关系表达式1. 介绍三角形是初中和高中数学课程中重要的几何图形之一。
三角形的重心、外心、垂心是三角形内部重要的点，它们的向量关系表达式对于解决三角形相关问题具有重要意义。
2. 重心、外心、垂心的定义（1）重心：三角形的三条中线交于一点G，称为三角形的重心。
（2）外心：三角形每个外角的平分线交于一点O，称为三角形的外心。
（3）垂心：三角形的三条垂直平分线交于一点H，称为三角形的垂心。
3. 重心、外心、垂心的定位3.1 重心的定位设A、B、C为三角形的三个顶点，重心G到顶点A、B、C的向量分别为\(\overrightarrow{GA}\)、\(\overrightarrow{GB}\)、\(\overrightarrow{GC}\)。
重心G到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)3.2 外心的定位假设在三角形ABC的外面，以AB、BC、CA的中线分别为直径画圆，交点为外心O。
外心O到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)3.3 垂心的定位在三角形ABC中，设H为垂心。
垂心H到三角形各顶点的向量关系表达式为：\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)\(\overrightarrow{HB}=2\overrightarrow{DB}\)\(\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{DC}\)4. 重心、外心、垂心向量关系表达式的应用4.1 证明三角形重心、外心、垂心共线通过向量的加法与减法可以得出，重心、外心、垂心在一条直线上。
假设向量\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC }=0\)，向量\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{O C}\)，以及向量\(\overrightarrow{HA}=2\overrightarrow{DA}\)，在证明过程中展现了向量加法与减法的运用。
三角形“四心”问题与向量的关系
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例
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角 形 外接 圆 的 圆 心 它 到 三 角 形 三个 顶 点 的 距 离 相
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０
是Ａ
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ＢＣ
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证明三角形三条中线交于一点向量法
证明三角形三条中线交于一点向量法示例文章篇一：哎呀呀，这“证明三角形三条中线交于一点向量法”可把我难住啦！不过，我还是要努力搞清楚它！咱们先来说说啥是三角形的中线。
就好像咱们分糖果一样，中线就是把三角形的一边从中间平分的线。
那三条中线会怎么样呢？难道它们会像调皮的小朋友一样到处乱跑，还是会乖乖地聚在一起呢？咱们假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C 。
那中点D 就是AB 的中点，E 是AC 的中点，F 是BC 的中点。
咱们来想想向量，向量就像是有方向的小箭头。
比如说，向量AB 加上向量BC 就等于向量AC ，这就好像是你从A 走到B ，再从B 走到C ，不就走到了C 嘛！那中线AD 可以用向量表示为1/2（向量AB + 向量AC ），中线BE 可以表示为1/2（向量BA + 向量BC ）。
那咱们来试试看，如果两条中线AD 和BE 相交于点G ，这说明啥呢？这是不是就意味着存在某个比例，比如说AG = 2/3 AD ，BG = 2/3 BE ？咱们把这些都带进去算算，哇塞，你说神奇不神奇，通过一系列的计算，居然能发现第三条中线CF 也会经过这个点G ！这就好像是三个小伙伴约好了在一个神秘的地方见面，谁也没有告诉别人具体位置，但是最后都神奇地找到了那个地方！这难道不令人惊讶吗？这不就证明了三角形三条中线交于一点嘛！所以呀，通过向量法咱们就清楚地证明了三角形三条中线交于一点，是不是很厉害呢？示例文章篇二：哎呀呀，这三角形三条中线交于一点用向量法来证明，可真是个有趣又有点难的挑战呢！让我先给你讲讲什么是三角形的中线吧。
比如说一个三角形ABC，那连接顶点A 和对边BC 中点的线段就是中线啦。
咱们假设三角形ABC 的三个顶点坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）。
那BC 中点的坐标咱就可以算出来，对吧？那咱接着说向量，向量就像有方向的箭头一样。
比如说从A 指向B 的向量，咱就叫它向量AB 。
平面向量在解三角形中应用举例
平面向量在解三角形中应用举例卢金宝向量是高中数学课程中很重要的数学概念，贯穿于高中数学课程体系中，同时向量法也是高中数学中比较重要的解题方法。
下面我就举几个例子说明向量在解三角形中的作用。
应用之一：向量法证明正弦定理及余弦定理1.证明正弦定理 过点A 作单位向量j AC ⊥， 由向量的加法可得A B A C C B=+则()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C作⊥ j BC，可得s i n s i n =b c B C从而sin sin abAB=sin cC=2.证明余弦定理在△ABC 中，BC AB AC +=，则有))((BC AB BC AB AC AC ++=⋅∴222)180cos(||||2BCB AC AB AB AC +-︒⋅+=∴B ac a c b cos 2222-+=同理，A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=评述：之所以将向量法推导正弦定理、余弦定理作为向量法在解三角形中作用例题，是因为解三角形最重要的工具就是正弦定理和余弦定理，作为最重要的工具，它们的推导过程是很重要的，而向量法推导正余弦定理是很好的方法，值得我们借鉴与学习。
应用之二：四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥B CD⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB、方向上的单位向量，∴bACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bcAO ++=（bAC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
三角形中的四心与向量
三角形中的四“心”与向量平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心）。
在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。
一、重心：例1、已知O 是ABC V 所在平面上的一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,则O 是ABC V的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则=OA OB OC +-u u u r u u u r u u u r ，以,OA OB u u u r u u u r 为邻边作平行四边形'OAC B ，设OC 与AB 交于点D ，则D 为AB 中点，有'=OA OB OC +u u u u r u u u r u u u r ，得'=OC OC -u u u u r u u u r ，即',,,C O D C 四点共线，故CD 为ABC V 的中线，同理,AE BF亦为ABC V 的中线，所以O 是ABC V 的重心。
例2、已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足(),(0,)OP OA AB AC λλ=++∈+∞u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过ABC V 的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0,)λ∈+∞时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线的方向向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC V 的重心。
三角形重心 向量
三角形重心向量《神奇的三角形重心》嘿！同学们，你们知道三角形的重心吗？这可真是个超级有趣的玩意儿！有一天上数学课，老师在黑板上画了一个三角形，然后就开始跟我们讲起了三角形的重心。
我当时就在想，这重心到底是啥呀？老师说：“三角形的重心啊，就是三角形三条中线的交点。
”我一听，脑子有点懵，这中线又是啥？旁边的同桌小李凑过来悄悄跟我说：“中线不就是顶点和对边中点的连线嘛。
”我恍然大悟，哦，原来是这样！老师为了让我们更好地理解，给我们举了个例子。
她说：“这三角形的重心啊，就好比是跷跷板的中间点，要是在这个点上放东西，两边就能平衡啦！”这一下，大家都好像有点明白了。
然后老师又出了一道题，让我们自己去找一个三角形的重心。
我赶紧拿起笔，开始画呀画。
好不容易画好了，可怎么找重心呢？我瞅瞅左边的小王，他正皱着眉头苦思冥想；再看看右边的小张，他已经开始动手测量了。
我心里着急呀，这可咋办？突然我想到老师刚刚说的，先找中线。
于是我静下心来，一步一步地找顶点和对边中点，连线，终于找到了三条中线，它们的交点应该就是重心啦！我高兴地喊了出来：“我找到啦！”同学们都看向我，老师也走过来，看了看我的答案，笑着说：“不错不错，很准确！”我心里那叫一个美呀，就像吃了蜜一样甜。
后来老师又给我们讲了三角形重心的一些特性。
比如说，重心到三角形顶点的距离是到对边中点距离的两倍。
这可真神奇！我就想，这三角形的重心怎么就这么厉害呢？这时候，后面的小赵问老师：“老师，那三角形重心在生活中有啥用啊？”老师笑了笑说：“用处可多啦！比如说建筑工人在建造房子的时候，就得考虑重心的位置，不然房子可能就不稳啦；还有设计师设计玩具的时候，也要考虑重心，这样玩具才能平衡好玩呀。
”哎呀，原来三角形的重心这么重要！经过这堂课，我算是彻底明白了三角形重心的奥秘。
它就像是三角形的一个秘密武器，虽然平时看不见摸不着，但是却有着大大的作用。
我觉得数学真是太有趣啦，一个小小的三角形重心都能让我们研究半天，还能发现这么多好玩的东西。
1解三角形及与向量综合
解三角形【重点知识再现】1、《解三角形》知识网络2、解三角形常见类型及解法在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：3、三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。
（1）利用正弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin b A B a=。
若sin 1B >，无解；若sinB ＝1，一解；若sinB<1，两解。
（2）利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，这可以看作关于c 的一元二次方程。
若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。
4、 三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sin a R A =，2223cos a b c ab C +-=等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。
此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。
如：sinA ＝sinB ⇔A ＝B ; sin （A －B ）＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如222sin ,cos 22a b c a A A R bc+-==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。
5、解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决，其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答。
三角函数与向量的关系
三角函数与向量的关系
《嘿，说说三角函数与向量的关系》
哎呀妈呀，这三角函数和向量，听起来是不是有点让人头大？嘿嘿，别慌，咱今天就用大白话来唠唠它们之间的关系。
我记得有一回上数学课，老师正在讲三角函数和向量。
我一开始那是听得云里雾里的，完全不知道这俩玩意儿有啥关系。
我就看着黑板上那些奇怪的符号和图形，心里直犯嘀咕：“这都是啥呀？咋这么难呢？”
老师看我们都一脸迷茫，就开始举例子。
他说啊，就好比我们在操场上跑步，我们跑步的方向和速度就可以用向量来表示。
而如果我们要计算跑步的路线和角度呢，这时候就用到三角函数了。
我一听，好像有点明白了。
然后老师又在黑板上画了一个三角形，说：“看，这个三角形的三条边可以用向量来表示，而三角形的各个角呢，就可以用三角函数来计算。
” 我看着那个三角形，脑子里开始想象自己在操场上跑步的场景。
我想，如果我知道自己跑步的速度和方向，也就是向量，那我就能用三角函数来计算我跑了多远，跑的角度是多少。
这么一想，我突然觉得三角函数和向量也不是那么难理解了。
我就开始认真听老师讲，还做了一些笔记。
下课后，我又找了几个同学一起讨论，我们互相分享自己的理解，感
觉对这两个概念越来越清楚了。
后来，我在做数学作业的时候，又遇到了关于三角函数和向量的问题。
我就想起了老师举的例子和我们讨论的内容，慢慢地就把问题给解决了。
那一刻，我心里可高兴了，觉得自己终于掌握了这两个看似很难的概念。
总之啊，三角函数和向量虽然有点复杂，但是只要我们用心去理解，多举例子，多思考，就一定能搞清楚它们之间的关系。
三角形“四心”问题与向量的关系
三角形“四心”问题与向量的关系一、三角形的重心与向量重心是三角形三条中线的交点，它到三角形顶点的距离与它到该顶点的对边中点的距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC 的重心时，有+ +=0或=（++）（其中P为平面内的任意一点）；若+ += 0，则点G 是△ABC的重心；设λ∈[0，+∞），则λ（+）是BC边上的中线AD 上的任意向量，其所在直线必过重心.例1 已知O是△ABC所在平面内的一点，若+ += 0，则点O是△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心解若+ +=0，则+ =-.以，为邻边作平行四边形OAC1B.设OC1与AB交于点D ，可知D为线段AB的中点，由+ =，可得=-，即C，O，D，C1四点共线.同理，设AO与BC交于点E，BO与AC交于点F，可知AE，BF也是△ABC的中线.所以，点O 是△ABC的重心.选C.例2 已知O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ?（+），λ∈[0，+∞），动点P的轨迹一定通过△ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解由已知有=λ（+）.由正弦定理可知||sin B=||sin C，则=（+）.设边BC的中点为D，则由平行四边形法则，可知点P在边BC的中线AD所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC的重心.选A.二、三角形的垂心与向量垂心是三角形三条高的交点，它与顶点的连线垂直于该顶点的对边.在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则?=?=?或2+2=2+2=2+2；若?=?=?，则H是△ABC的垂心；设λ∈（0，+∞），则向量λ（+）垂直于边BC，该向量所在的直线通过△ABC的垂心.例3 已知O是△ABC所在平面内的一点，?=?=?，则点O是△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心解由?=?，得?-?=0，即?（-）=0，可得?=0，所以⊥.同理可证⊥，⊥，所以点O是△ABC的垂心.选D.例4 已知O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解由已知得=λ（+），则?=λ（+）=λ?（+）=0，可知⊥，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心.选B.三、三角形的内心与向量内心是三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点O是△ABC的内心，则有||?+||?+||?=0；若||?+||?+||?= 0，则点O是△ABC的内心；设λ∈（0，+∞），则向量λ（+）所在的直线必过三角形的内心.例5 已知O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ?（+），λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心解由已知得= λ（+），是方向上的单位向量，是方向上的单位向量.根据平行四边形法则，可知以和为邻边构成的平行四边形是菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故动点P 的轨迹通过△ABC的内心.选B.四、三角形的外心与向量外心是三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则（+）?=（+）?=（+）?=0（或||=||=||）；若||=||= ||，则点O是△ABC的外心.例6 已知O是平面内的一个定点，若A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的A.重心B.垂心C.外心D.内心解设线段BC的中点为D，则=.由已知有=λ（+）.由?=λ（+）=λ?（+）=0，可知DP⊥BC，所以点P在线段BC的垂直平分线上，动点P的轨迹通过△ABC的外心.选C.五、三角形的“四心”与向量的综合例7 设H，G，O分别是△ABC的垂心、重心、外心，求证：H，G，O三点共线.证明如右图，圆O为△ABC的外接圆.作圆O的直径BD，连接DA，DC，有=-，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，则CH∥DA，AH∥DC，可知AHCD是平行四边形.=+=+=+-=++，故=++.由点G是△ABC的重心，可知=（++）.于是可得=，所以H，G，O三点共线.（责任编校？筑冯琪）。
用向量法研究三角形的性质
AO BO CO
向量数乘
运算
0
结论2： OA OB OC 0
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题3：与向量加法有密切联系的是向量的减法运算，引入平面上任意一
点,结合向量减法运算，你能将 OA OB OC 0 作出怎样的转化？
OA PA PO
1
BC
2
1
2
1
AM AD, 而 AO AD MO AO AM AD
2
3
6
1
1
而OD AD MO OD
3
2
1
1
同理：
NO OE , QO OF
2
2
点O是DEF的重心
E , F 分别是AB, AC的中点 EF
BCபைடு நூலகம்且EF
结题
做题
总结归纳：
SITUATIONAL INTRODUCTION
c a a b b c c
cb
2
2 a b
2
2
b
2
2
b
2
2
b c
2
2
2
ac
2
2
2
2
2
即：AB 2 BC 2 CA2 3 OA2 OB 2 OC 2
感谢聆听,批评指导
探究之道
探究课
探究之法（向量
法）
选
题
开
题
做
题
解
题
表
示
运
算
三角形内心向量定理
三角形内心向量定理《三角形内心向量定理：藏在三角形里的奇妙关系》嘿，你知道三角形吗？那可是咱们数学里超级有趣的图形呢。
三角形有各种各样的秘密，今天我想和你说说三角形内心向量定理，这就像是三角形里的一个魔法咒语一样。
我先给你讲讲三角形的内心是啥。
想象一下，在一个三角形里面，有一个点，这个点到三角形三条边的距离都相等，这个点就是三角形的内心啦。
就好像这个点是三角形的一个超级贴心的小管家，它对三条边都一视同仁，给每条边的距离照顾得一模一样。
那这个和向量有啥关系呢？向量就像是有方向的小箭头，在三角形里，向量能告诉我们很多关于边和角的关系。
咱们来想象一下这样的场景。
有三个小伙伴，小明、小红和小刚。
他们在玩一个三角形的游戏。
小明站在三角形的一个顶点，小红站在另一个顶点，小刚呢，就站在内心这个点上。
小明说：“小刚啊，你这个点好奇怪，为啥到我们三边的距离都一样呢？”小刚笑着说：“这就是我的特别之处呀。
我和向量还有很多好玩的关系呢。
”假如咱们有一个三角形ABC，内心是I。
那向量就像一条条小轨道一样。
比如说向量AI，它可不是随随便便的向量哦。
它和三角形的边和角有着千丝万缕的联系。
我来给你举个例子吧。
如果咱们从向量的角度看，内心I把角A分成了两个相等的小角。
这时候，向量AI就像是一个被平分了力量的小箭头。
它好像在说：“我在这个三角形里，我要按照这个角的平分线的方向去行动。
”再看向量BI和CI，它们也都有着类似的特性。
这就好比这三个向量AI、BI、CI就像是三个小伙伴，它们各自按照内心的规则，在三角形里发挥着自己独特的作用。
咱们再深入一点。
如果有一个向量关系，就像向量aIA + 向量bIB + 向量cIC = 0（这里的a、b、c是三角形三条边对应的数值）。
这就像是一个神秘的等式，就好像这三个向量之间达成了一种默契的平衡。
我问你啊，如果一个三角形里的向量没有这样的平衡，那这个三角形是不是就会像一个歪歪扭扭的小房子，随时可能倒塌呢？当然不是啦，因为三角形的内心向量定理保证了这种平衡。
三角形中有关内心 外心 垂心 重心的向量的数值关系
三角形中有关内心外心垂心重心的向量的数值关系1. 引言三角形是数学中一个重要的几何形状，具有许多有趣的性质和特征。
在三角形中，内心、外心、垂心和重心是四个与三角形相关的重要点，它们的位置和性质提供了丰富的几何信息。
本文将围绕三角形的内心、外心、垂心和重心展开讨论，并研究它们之间的向量数值关系。
2. 内心内心是一个三角形的最大内切圆的圆心，它与三角形的三条边相切。
记三角形的内心为I，三个顶点为A、B、C，分别到内心的距离记为r。
根据定义，内心到三角形的三条边的距离相等，即IA = IB = IC = r。
那么，我们可以利用向量的知识来研究内心与三角形顶点之间的数值关系。
假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，内心到三角形顶点的向量分别为向量IA、向量IB和向量IC。
根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量IA = r * 向量AI，即向量IA与向量AI同方向且长度为r倍关系。
2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量IB = 向量AB + 向量AI。
同理，向量IC = 向量BC + 向量BI。
通过这些向量关系，我们可以进一步研究内心与三角形顶点之间的数值关系，并深入探讨内心在三角形内部的位置特性。
3. 外心外心是一个三角形外接圆的圆心，它位于三角形的三条边的垂直平分线的交点处。
记三角形的外心为O，外心到三角形三个顶点的距离分别为R1、R2和R3。
根据定义，外心到三角形的三条边的距离相等，即OA = OB = OC = R。
同样地，我们可以利用向量的知识来研究外心与三角形顶点之间的数值关系。
假设三角形的边向量分别为向量AB、向量BC和向量CA，外心到三角形顶点的向量分别为向量OA、向量OB和向量OC。
根据向量的基本性质，我们可以得到以下关系：1) 向量OA = R * 向量AO，即向量OA与向量AO同方向且长度为R 倍关系。
2) 由向量加法的性质，我们可以得到向量OB = 向量AB + 向量AO。
三角形向量加减法则
三角形向量加减法则“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲三角形向量加减法则。
”那什么是三角形向量加减法则呢？简单来说，就是在一个三角形中，对于向量的运算规则。
比如说，有一个三角形 ABC，那么向量 AB 加上向量BC 就等于向量 AC。
这就好像你从 A 点走到 B 点，再从 B 点走到 C 点，那么你总的位移就是从 A 点直接到 C 点。
咱举个实际例子啊，就说在一个操场上，小明从 A 点先往 B 点走了一段距离，这就是向量 AB，然后又从 B 点往 C 点走了一段距离，这就是向量BC，那么他从 A 点到 C 点的这个整体的移动过程，就可以用向量 AC 来表示，这就是向量的加法。
再说说减法，向量 AC 减去向量 AB 就等于向量 BC。
还是刚才那个例子，小明从 A 点到 C 点的位移是向量 AC，如果我们想知道他从 C 点回到B 点的位移，那就用向量 AC 减去向量 AB，就得到了向量 BC。
这在实际生活中也有很多应用呢。
比如说，在航海中，知道了船从 A 地到 B 地的向量，以及从 B 地到 C 地的向量，我们就能算出从 A 地直接到 C 地的向量，这样就能更准确地规划航线。
而且，这个法则在物理学中也很重要。
比如研究物体的运动轨迹，当我们知道了各个阶段的向量，就能通过这些加减运算来更清楚地了解物体的运动情况。
同学们要记住，三角形向量加减法则是向量运算中的基础，只有把这个搞清楚了，才能更好地去理解和掌握更复杂的向量运算。
就像盖房子，这就是地基，地基打牢了，房子才能盖得稳。
大家再好好想想，是不是感觉这个法则其实也不难理解呀。
以后遇到类似的问题，就可以用这个法则去解决啦。
比如给你几个向量，让你通过加减运算得出另一个向量，只要按照这个三角形的规则去做，就肯定能算对。
所以说呀，一定要把这个知识点学好哦，这对你们以后学习更深入的数学和物理知识都有很大的帮助呢！。
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例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：
1、课前练习
1.1已知O 是△ABC 内的一点，若222OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()0=-∙+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>∙，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A 、①②
B 、①④
C 、②③
D 、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC
中，有0=∙⎫⎛+BC
21=,试判断△ABC 的形状。
练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0<∙，试判断△ABC 的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，满
足+=+=+，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足
()+∞∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛++=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心
练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满
足
()+∞∈⎪⎫ ⎛+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且
y x ∙=∙=,，求证：311=+y
x 6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则∙等于
〔 〕
A 、21
B 、0
C 、1
D 、2
1- 3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若=∙+∙+∙c b a ，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、平面上的三个向量、、满足=++，
1===，求证：△ABC 为正三角形。
6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+⋅的最小值．。