中位线课件(新)
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三角形的中位线完整版课件
已知：如图，在四边形ABCD中，E，G，分别是AB，CD，的中点.
A
E
P
D
B
G
C
若AD=BC，连结BD，P是 BD的中点，
连结EP，GP，若∠PEG=15°，则
∠PGE=
度.
分析 由已知可得EP与GP分别是△ABP与△BCD的中位线，
∴EP ＝ ∥ 1 AD， PG＝ ∥ 1 AD.
2
2
又∵AD=BC
三角形中线，一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
新知探究
4.5三3.角3垂 3形.4径圆的定心中理角位②②线
通过观察，测量等方法，你发现线段DE有哪些性质？
A
观察发现DE∥BC，度量发现 DE 1 BC . 2
三角形的中位线定理：
D
E
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
B
几何语言：
新知探究
4.5三角形的中位线
• 了解三角形中位线的概念 • 了解三角形中位线的性质 • 探索三角形中位线定理证明的方法 • 能由线段的中点联想到三角形中位线 • 探索三角形中位线性质的一些简单应用
4.5三角形的中位线
• 定义：连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线
• 任意画一个△ABC，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE. A • 你还能画出几条三角形的中位线？
A
D
G
O
EM F
B
C
课堂小结
4.5三角3形.4圆的心中角位②线
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
中位线定理经常用于： ① 证明平行关系； ② 线段大小的计算.
D
E
《中位线》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (4)
P
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝
3，则EF的长是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．顺次连接矩形各边中点，则所得图形是___菱__形_____． 13 ． 如 图 ， G 为 △ ABC 的 重 心 ， GE⊥BC ， AF⊥BC ， 则 GE∶AF ＝ ___1_∶__3___．
17．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点， DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE 的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，
可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝
3，则EF的长是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．顺次连接矩形各边中点，则所得图形是___菱__形_____． 13 ． 如 图 ， G 为 △ ABC 的 重 心 ， GE⊥BC ， AF⊥BC ， 则 GE∶AF ＝ ___1_∶__3___．
17．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点， DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE 的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，
可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为
中位线课件新.ppt
B
2
E
F
C
初
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接 CF．
中 数
ED = EF, ∠AED = ∠CEF AE = CE
üïïï ýïïïïþ
?
△ADE≌△CFE
学
九 上
Þ
ìïïíïïî
∠ADE = ∠F,?
AD AD
= =
CDFB,üïïýïïþ ?
DB
AB∥CF
CF
üïïï ýïïïïþ
Þ
九
∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ，
DM
F NC
∴△DFM≌△CFN（ASA）． ∴又D∵MA=EC=NE，B=M1F=AFBN．=∴12AME=NE．B=MF=FN． ∴四边形AEFM2，EBNF是平行四边形． ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= 12（AD+BC)．
初
归纳与概括
中
年
级
YDBCF Þ DE∥BC DF=BC
数 学
1
DE=EF= DF
2
? DE
1 BC 2
上 册
初
定理
中
三角形的中位线平行于第三边，
数
并且等于第三边的一半．
学
九 上
数学实验室
初
将一个直角三角形剪拼成一个矩形，
中 数
并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
学
九 上
数学实验室
初
将一个直角三角形剪拼成一个矩形，
一问题时，发现如下事实：
①当 ②当
DE AE DE
==
1 时,有 2时,有
a+b EF =
2 a+b EF =
人教版八年级数学下册 ：中位线 课件 (共39张PPT)
18.1.2.3三角形的中位线
知识回顾
知识点 1 三角形中位线的性质
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.
如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点. 求证：DE//BC， DE= 1 BC.
2
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，
• 四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形A2B2C2D2的面积为四边形A1B1C1D1面 积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面 积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形AnBn∁nDn面积为矩形ABCD面积的 ， • 又∵矩形ABCD的面积为1， • ∴四边形AnBn∁nDn的面积＝1× ＝ ， • 故答案为： ．
• 顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四 边形是（ ）
• A．平行四边形 • B．对角线互相垂直的四边形 • C．矩形 • D．菱形
• 解：如图，根据中位线定理可得：GF＝ BD 且GF∥BD，EH＝ BD且EH∥BD，
• ∴EH＝FG，EH∥FG， • ∴四边形EFGH是平行四边形． • 故选：A．
第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两 直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分 关系．
1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB
于点E，则DE的长为( D)
A．6
B．5
C．4
D．3
2 如图，在△ABC中，点D，E分别是边
AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC
知识回顾
知识点 1 三角形中位线的性质
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线.
如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点. 求证：DE//BC， DE= 1 BC.
2
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，
• 四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形A2B2C2D2的面积为四边形A1B1C1D1面 积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面 积的一半，即为矩形ABCD面积的 ，
• 四边形AnBn∁nDn面积为矩形ABCD面积的 ， • 又∵矩形ABCD的面积为1， • ∴四边形AnBn∁nDn的面积＝1× ＝ ， • 故答案为： ．
• 顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四 边形是（ ）
• A．平行四边形 • B．对角线互相垂直的四边形 • C．矩形 • D．菱形
• 解：如图，根据中位线定理可得：GF＝ BD 且GF∥BD，EH＝ BD且EH∥BD，
• ∴EH＝FG，EH∥FG， • ∴四边形EFGH是平行四边形． • 故选：A．
第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两 直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分 关系．
1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB
于点E，则DE的长为( D)
A．6
B．5
C．4
D．3
2 如图，在△ABC中，点D，E分别是边
AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC
中位线课件(新)
AE
想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
初 中 数 学
九 上
学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
F C
G
初 中 数 学
九 上
思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
初 中 数 学
九 上
证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
九 年 级 数 学
上 册
DBCF Þ
DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
初 中 数 学
九 上
定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
初 中 数 学
九 上
数学实验室
将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
初 中 数 学
想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
初 中 数 学
九 上
学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
F C
G
初 中 数 学
九 上
思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
初 中 数 学
九 上
证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
九 年 级 数 学
上 册
DBCF Þ
DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
初 中 数 学
九 上
定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
初 中 数 学
九 上
数学实验室
将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
初 中 数 学
6.3 三角形的中位线 课件(共16张PPT)
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是 AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位线.
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
E
B
C
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC
数量关系： DE= 1 BC. 2
D B
A E C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC 的中点
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
证明:连接DE、EF，因为
A
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平
行于第三边并且等于第三边的一
半）。
D
F 同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
C因边此形A的E对、角D线F互互相相平平分分。）（平行四
例2. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
H
D
E G
B
F
C
例3.已知：在四边形ABCD中，AD＝ BC，P是对角线BD的中点，M是DC 的中点，N是AB的中点．求证∠1＝ ∠2．
《中位线》PPT课件
Biblioteka 长的1 ;3
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
三角形的中位线课件(共19张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣三角形中位线定理的数量关系， 将证明线段的倍数关系转化为证明 OF 是△ ABC 的中位线 .
感悟新知
证明：如图 6-3-2，连接 BE. ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AB ∥ CD， AB=CD，点 O 是 AC 的中点 . ∵ E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边延长线 上的一点，且 CE=DC， ∴ AB ∥ CE， AB=CE. ∴四边形 ABEC 是平行四边形 .
感悟新知
知1－讲
2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等 于第三边的一半 . 几何语言： 如图 6-3-1，∵ AD=BD， AE=EC，
∴
DE
∥
BC，且
Hale Waihona Puke DE=1 2BC.
感悟新知
3. 三角形中位线的应用
知1－讲
(1) 三角形中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的
双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；
感悟新知
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
知1－练
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴DB＝EC.
∵点 F，G，H 分别为 BE，DE，BC 的中点，
∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△ BCE 的中位线．
∴FG＝12BD，FH＝12CE.∴FG＝FH.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
◆一个三角形有三条中位线 .
◆三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形， ▲▲ 三个面积相等的平行四边形 . ▲▲
◆三角形的中位线与三角形的中线的区别：
三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，
三角形中位线定理课件
02 三角形中位线定理的推导 与证明
三角形中位线的定义与性质
定义
在三角形中，连接一个顶点和它所对 边的中点的线段叫做三角形的中位线 。
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半。
三角形中位线定理的推导过程
01
02
第一步，根据定义，画 出三角形的一条中位线。
ห้องสมุดไป่ตู้
第二步，通过相似三角形的 性质，证明中位线与第三边 平行且等于第三边的一半。
解析法
通过建立坐标系，利用解析几何的 方法证明三角形中位线定理，通过 点的坐标和直线的方程进行推导。
03 三角形中位线定理的应用 举例
在几何问题中的应用
证明线段相等
利用三角形中位线定理可 以证明两条线段相等，通 过构造中位线并利用其性 质进行推导。
证明线段平行
通过三角形中位线的性质， 可以证明两条线段平行， 这在几何问题中经常用到。
对三角形中位线定理的深入理解与展望
01
深入理解三角形中位线的性质
除了基本的定义和性质外，还可以进一步探讨三角形中位线的其他性质，
如与三角形各边之间的关系、与三角形内角之间的关系等，以加深对三
角形中位线的理解。
02
拓展三角形中位线定理的应用范围
可以进一步拓展三角形中位线定理的应用范围，探索其在更广泛的数学
证明角相等
三角形中位线定理还可以 用来证明两个角相等，通 过构造适当的三角形并应 用定理进行推导。
在三角形面积计算中的应用
计算三角形面积
利用三角形中位线定理，可以将一个 三角形划分为两个小的相似三角形， 从而简化面积计算过程。
求解三角形高
推导三角形面积公式
结合三角形中位线定理和其他几何知 识，可以推导出三角形面积的多种计 算公式。
中位线课件
A
B
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明。
A E H
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D G
B F C
证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 GH// AC 同理得： 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
八年级数学(下)第八章 证明(三)
8.4 中位线定理
动手试一试：
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案。
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案。
设 计 方 案： A
(中点)D E(中点)
DF//BC
1 DE// BC 2
A
D
B
E
F
C
证法2：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F ∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 又DB=AD，∴DB∥FC且DB=FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
课堂小测:
练习册P101练习8.8第1题到第 3题 选做:第4题 课外作业:<伴你学>本课 时 选做:能力挑战
平行四边形
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？ （2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
（3）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边形是什么？
正方形
（4）顺次连结矩形各边 中点所得的四边形是什 么？
三角形中位线课件
三角形中位线的定理
• 定理：三角形的中位线定理是指三角形的中位线长度等于 第三边长度的一半，并且平行于第三边。
三角形中位线的性质定理
01
02
03
性质定理1
三角形的中位线将相对边 分为两段，且这两段长度 相等。
性质定理2
三角形的中位线与第三边 平行，且长度为第三边的 一半。
性质定理3
三角形的中位线将相对顶 点与对边中点连接，且该 连线长度为中位线长度的 一半。
电路设计
在电路设计中，三角形中位线可以用来平衡电流，防止电流过大导致设备损坏或 火灾等安全事故。
05 总结与思考
三角形中位线的重要性和意义
几何构造的基础
在实际生活中的应用
三角形中位线是几何学中的基础概念 ，对于理解几何图形的构造和性质至 关重要。
在建筑、工程和设计等领域，三角形 中位线的应用广泛，例如在测量、绘 图和计算面积等方面。
02 三角形中位线的 性质与判定
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边
01
三角形中位线与第三边平行，这是三角形中位线的基本性质。
三角形中位线长度为第三边的一半
02
三角形中位线的长度是第三边长度的一半，这是三角形中位线
的长度性质。
三角形中位线将相对边等分
03
三角形中位线将相对边等分，这是三角形中位线的等分性质。
在解题中的应用
解题辅助
在解决一些几何问题时，三角形中位线可以作为一个重要的解题工具，帮助我 们找到解题的突破口。
证明定理
通过三角形中位线，我们可以证明一些重要的几何定理，如“三角形中位线定 理”等。
在生活中的实际应用
建筑测量
在建筑行业中，三角形中位线被广泛应用于测量和计算角度、长度等参数，决几何证明问题
三角形的中位线及性质PPT课件
在三角形中，中位线通常用两个大写 字母表示，其中一个是起点，另一个 是终点。
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05
例如，如果中位线连接顶点A和顶点C 的中点，则表示为AC。
三角形中位线的性质
中位线平行于第三边
中位线与第三边平行，这是中位线的基本性质。
中位线长度是第三边的一半
中位线的长度等于第三边长度的一半。
中位线与第三边平行且等长
中位线与第三边平行且长度相等。
线的长度性质。
三角形中位线与第三边之间的角度相等
03
三角形的中位线与第三边之间的角度相等，这是三角形中位线
的角度性质。
三角形中位线的定理
三角形中位线定理
三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，即ME=1/2EB，其中ME是中位 线，EB是第三边。
三角形中位线定理的推论
如果一个线段与三角形的两边平行，则该线段被三角形的另一边平分。
过程。
03
三角形中位线的证明
三角形中位线定理的证明方法
位线与底边平行且等于底 边一半的性质，证明中位 线定理。
平行四边形法
构造一个平行四边形，利 用平行四边形的性质，证 明中位线定理。
相似三角形法
通过构造相似三角形，利 用相似三角形的性质，证 明中位线定理。
三角形中位线定理证明的实例
实例一
利用定义法证明中位线定 理
实例二
利用平行四边形法证明中 位线定理
实例三
利用相似三角形法证明中 位线定理
三角形中位线定理证明的注意事项
注意中位线的定义和性质
注意证明方法的选取
在证明过程中，要明确中位线的定义 和性质，确保正确使用。
根据具体的情况，选取适当的证明方 法，以达到简洁明了的证明效果。
05
6.3中位线定理课件
创设情景，导入课题
思考：怎样将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并
将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2、思考：四边形BCFD是平行四边形吗？
灵活运用，自我检测
如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形 四条边的中点，所得的四边形有什么特点？ 请证明你的结论，并与同伴交流。
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析： 已知四条线段的中点，可设
法应用三角形中位线定理，找到 四边形EFGH的边之间的关系．而 四边形ABCD的对角线可以把四边 形分成两个三角形，所以添加辅 助线，连结AC或BD，构造“三角 形的中位线”的基本图形．
师生共析，证明定理
已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC,DE=1／2BC
证明:如图6-20(2),延长DE到F,使 DE=EF,连接CF. 在△ADE和△CFE中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE ∴△ADE≌△CFE ∴∠A=∠ECF,AD=CF ∴CF∥AB ∵BD=AD ∴BD=CF ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF∥BC,DF=BC ∴DE∥BC,DE=1／2BC
3、探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形， 那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
教师讲授，传授新知
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线。
A
三角形中位线定理：三角形的 中位线平行于第三边，并且等 D
思考：怎样将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并
将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2、思考：四边形BCFD是平行四边形吗？
灵活运用，自我检测
如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形 四条边的中点，所得的四边形有什么特点？ 请证明你的结论，并与同伴交流。
已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析： 已知四条线段的中点，可设
法应用三角形中位线定理，找到 四边形EFGH的边之间的关系．而 四边形ABCD的对角线可以把四边 形分成两个三角形，所以添加辅 助线，连结AC或BD，构造“三角 形的中位线”的基本图形．
师生共析，证明定理
已知：如图6-20（1），DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC,DE=1／2BC
证明:如图6-20(2),延长DE到F,使 DE=EF,连接CF. 在△ADE和△CFE中 ∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE ∴△ADE≌△CFE ∴∠A=∠ECF,AD=CF ∴CF∥AB ∵BD=AD ∴BD=CF ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF∥BC,DF=BC ∴DE∥BC,DE=1／2BC
3、探索新结论：若四边形BCFD是平行四边形， 那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？
教师讲授，传授新知
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线。
A
三角形中位线定理：三角形的 中位线平行于第三边，并且等 D
九级数学上册 23.4 中位线课件 (新版)华东师大版
D
E
答：三条
精选 最新精品中小学课件
B
F
5
C
三角形的中位线与三角形的中线有什么 区别？ A A
D E
B
C
B
F
C
中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶
点和对边中点的连线。
精选 最新精品中小学课件 6
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且 等于第三边的一半。
A D E
数学语言 ∵DE是△ABC的中位线
精选 最新精品中小学课件 8
当堂训练
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
D
E C
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
B
图1
精选
最新精品中小学课件
9
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D A
4 5
F
3
图2
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
第23章
23.4 中位线
精选 最新精品中小学课件 1
新课导入
A
E
C
D
B
如图，在池塘外选一点C，连结AB、AC、BC连结 AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且 连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB 的距离了。同学们知道AB是多少米吗？为什么？
精选 最新精品中小学课件 2
推进新课
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中 1 点，求证DE∥BC且DE= BC。 2
A
A
E
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
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AE
想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
初 中 数 学
九 上
6/21/2014
学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
谢谢指导
欢迎督查与指导
初 中 数 学
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归纳与概括 你能仿照三角形中位线定理，用文 字语言来概括梯形中位线的性质吗？ A E B D F C
初 中 数 学
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6/21/2014
类比与思考 梯形中位线的性质与三角形中位 线定理有什么联系？它们的证明过程 又有什么联系？
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6/21/2014
2
E
F
C
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6/21/2014
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接 CF．
ü ï ï ï ∠AED = ∠CEF ý △ADE≌△CFE ï ï AE = CE ï ï þ ∠ADE = ∠F , AB∥CF ü ì ï ï ï ï Þ í ï ï ýÞ ü ï î AD = CF , ï ï ï ï ý ? DB CF ï AD = DB ï ï þ ï þ ED = EF ,
A E C
连接AF，你又有什么发现呢？
初 中 数 学
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6/21/2014
拓展提高
如图，A，B两地被建筑物阻隔，为测 量A，B两地间的距离，在地面上选一点C， A 连接CA，CB，分别取 CA，CB的中点D，E． （1）如果DE的长 D B 为36m，求A，B两地 E 间的距离； C （2）如果D，E两点间还有障碍物阻隔， 你想如何解决呢？
初 中 数 学
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6/21/2014
数学实验室 将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积与原三角形 的面积相等．
如果是一个非直角三角形呢?
初 中 数 学
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6/21/2014
通过以上的剪拼活动，你还能找 到证明三角形中位线定理的其他方法 吗？
初 中 数 学
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已知：如图，在△ABC中，点D， E分别是AB，AC的中点． A 求证：DE∥BC， 1 DE= BC． 2 E
D B C
初 中 数 学
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分析：
1．延长DE到F，使EF=DE，连接CF ． 可证△ADE≌△CFE，于是有DF=2DE．
2．由全等可得 A AD平行且等于CF， 于是BD也平行且等 于CF，所以四边形 D BCFD为平行四边形． 所以DF=BC， 1 B 从而DE= BC．
九 年 级 数 学
上 册
6/21/2014
DBCF Þ
DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
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定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
初 中 数 学
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数学实验室
将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
初中数学九年级上册北师大
中位线复习小结
6/21/2014
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连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线．
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
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初 中 数 学
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三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
D
∵AD=GC，
1 E ∴EF= （AD+BC)． 2 B
F C
G
初 中 数 学
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6/21/2014
思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
初 中 数 学
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证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
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课外思考
如图，在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上任意一点， EF∥AB，且EF交BC于点F．某学生在研究这 一问题时，发现如下事实： a +b DE = 1 时,有 EF = Ｃ ①当 ；Ｄ 2 AE Ｆ a +b Ｅ DE = 2时,有 EF = ②当 ； 3 AE Ｂ a +b A DE ③当 ； = 3 时,有 EF = 4 AE DE = k 时，参照上述研究结论，请你猜 当
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证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G． ∵AD∥BC， ∴∠Ｄ＝∠FCG． 在△ADF和△GCF中，
A
E
D
∠D=∠FCG ，
DF=CF ，
F
C G
B
∠AFD=∠GFC ， ∴△ADF≌△GCF（ASA）．
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∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等）． 又∵AE=EB， ∴EF是△ABG的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF = 2 BG = 2 (BC+CG) (三角形中位线定理）． A
类比与思考
（1）都有“平行”和“一半”两大特点； （2）当AD的长度为0时，梯形中位线 就变成了三角形中位线．
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猜想与验证
已知△ABC，分别连接三边中点D， E，F（如图），你能得到哪些结论呢？ 我们可以从线段的数 量关系、三角形是否全等、 D 是否有平行四边形等不同 的角度来寻找． B F 请与同伴交流你所得 到结论．
A D F E
G
H
B
C
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例1
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， E，F分别是AB，DC的中点．
1 求证：EF∥BC，EF= （BC&三角形， 利用三角形中位线 G 定理进行证明．
E B
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想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
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学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
谢谢指导
欢迎督查与指导
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归纳与概括 你能仿照三角形中位线定理，用文 字语言来概括梯形中位线的性质吗？ A E B D F C
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类比与思考 梯形中位线的性质与三角形中位 线定理有什么联系？它们的证明过程 又有什么联系？
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E
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证明：延长DE到F，使EF=DE，连接 CF．
ü ï ï ï ∠AED = ∠CEF ý △ADE≌△CFE ï ï AE = CE ï ï þ ∠ADE = ∠F , AB∥CF ü ì ï ï ï ï Þ í ï ï ýÞ ü ï î AD = CF , ï ï ï ï ý ? DB CF ï AD = DB ï ï þ ï þ ED = EF ,
A E C
连接AF，你又有什么发现呢？
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拓展提高
如图，A，B两地被建筑物阻隔，为测 量A，B两地间的距离，在地面上选一点C， A 连接CA，CB，分别取 CA，CB的中点D，E． （1）如果DE的长 D B 为36m，求A，B两地 E 间的距离； C （2）如果D，E两点间还有障碍物阻隔， 你想如何解决呢？
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数学实验室 将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积与原三角形 的面积相等．
如果是一个非直角三角形呢?
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通过以上的剪拼活动，你还能找 到证明三角形中位线定理的其他方法 吗？
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已知：如图，在△ABC中，点D， E分别是AB，AC的中点． A 求证：DE∥BC， 1 DE= BC． 2 E
D B C
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分析：
1．延长DE到F，使EF=DE，连接CF ． 可证△ADE≌△CFE，于是有DF=2DE．
2．由全等可得 A AD平行且等于CF， 于是BD也平行且等 于CF，所以四边形 D BCFD为平行四边形． 所以DF=BC， 1 B 从而DE= BC．
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DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
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定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
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将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
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连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线．
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
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三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
D
∵AD=GC，
1 E ∴EF= （AD+BC)． 2 B
F C
G
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思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
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证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
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课外思考
如图，在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上任意一点， EF∥AB，且EF交BC于点F．某学生在研究这 一问题时，发现如下事实： a +b DE = 1 时,有 EF = Ｃ ①当 ；Ｄ 2 AE Ｆ a +b Ｅ DE = 2时,有 EF = ②当 ； 3 AE Ｂ a +b A DE ③当 ； = 3 时,有 EF = 4 AE DE = k 时，参照上述研究结论，请你猜 当
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证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G． ∵AD∥BC， ∴∠Ｄ＝∠FCG． 在△ADF和△GCF中，
A
E
D
∠D=∠FCG ，
DF=CF ，
F
C G
B
∠AFD=∠GFC ， ∴△ADF≌△GCF（ASA）．
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∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等）． 又∵AE=EB， ∴EF是△ABG的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF = 2 BG = 2 (BC+CG) (三角形中位线定理）． A
类比与思考
（1）都有“平行”和“一半”两大特点； （2）当AD的长度为0时，梯形中位线 就变成了三角形中位线．
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猜想与验证
已知△ABC，分别连接三边中点D， E，F（如图），你能得到哪些结论呢？ 我们可以从线段的数 量关系、三角形是否全等、 D 是否有平行四边形等不同 的角度来寻找． B F 请与同伴交流你所得 到结论．
A D F E
G
H
B
C
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例1
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， E，F分别是AB，DC的中点．
1 求证：EF∥BC，EF= （BC&三角形， 利用三角形中位线 G 定理进行证明．
E B
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