高考数学之基本不等式

基本不等式

基础梳理

1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；

(2)b a ＋a b

≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；

(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．

3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为

a ＋

b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)

一个技巧 22

ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

两个变形

(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；

a ＋b

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．

三个注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x

(x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x

≥2， 当且仅当x ＝1时取等号．

答案 C

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1

－1≥2－1＝1. 答案 B

3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．

A.12

B ．1

C ．2

D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，

∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12

. 答案 A 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2

(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4

解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2

＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2

(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C

5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t

的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2

考向一 利用基本不等式求最值

【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y

的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x

x 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y

中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．

解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，

∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y

＝3＋y x ＋2x y

≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y

时，取等号． (2)∵x ＞0，

∴f (x )＝2x x 2＋1＝2

x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x

，即x ＝1时取等号． 答案 (1)3＋22 (2)1

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积

定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1

的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25

，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1

＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15

·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25

，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，

∴y ≤15

，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15

. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，

∴2y ＋8x

＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()

8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2()4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝x y

，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，

∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.

答案 (1)3 (2)15

(3)18 考向二 利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c

≥a ＋b ＋c . [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．

证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，

∴bc a ＋ca b

≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c

≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c

＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c

≥a ＋b ＋c .