第六章习题答案

第6章习题答案

1．列举出从X到Y的关系S的各元素

（1）X={0，1，2}，Y={0，2，4}，S={|x+y∈X⋂Y}

（2）X={1，2，3，4，5}，Y={1，2，3}，S={|x=y2，x∈X，y∈Y}

解：（1）S={<0，0>，<0，2>，<2，0>}

（2）S={<1，1>，<4，2>}

2．设P={<1，2>，<2，4>，<3，3>}

Q={<1，3>，<2，4>，<4，2>}

求dom（P），ran（P），并证明：dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）

解：dom（P）={1，2，3}

ran（P）={2，3，4}

证明：对于任意x

x∈dom（P⋃Q）⇔∃y（∈P⋃Q）

⇔∃y（∈P∨∈Q）

⇔∃y（∈P）∨∃y（∈Q）

⇔ x∈dom（P）∨x∈dom（Q）

⇔ x∈dom（P）⋃dom（Q）

所以，dom（P⋃Q）=dom（P）⋃dom（Q）

3．若关系R和S自反的，对称的和传递的，证明：R⋂S也是自反的，对称的和传递的。

证明：设R和S是集合A上的关系。

因为R和S是自反的，所以，对于A中的任意元素x，有∈R和∈S。因此∈R⋂S，即R⋂S是自反的。

因为R和S是对称的，所以对于任意，

∈R⋂S

⇔∈R∧∈S

⇔∈R∧∈S

⇔∈R⋂S

因此，R⋂S是对称的。

因为R和S是传递的，所以对于任意和

∈R⋂S ∧∈ R⋂S

⇔∈R∧∈S∧∈ R∧∈ S

⇔（∈R∧∈ R）∧（∈S ∧∈ S）

⇔∈R∧∈ S

⇔∈R⋂S

因此，R⋂S是传递的。

4．判断下列关系是否是传递的。

（1）R1={<1，1>}

（2）R2={<1，2>，<2，2>}

（3）R3={<1，2>，<2，3>，<1，3>，<2，1>}

（4）R4={<1，1>，<2，2>，<3，3>}

解：R1、R2、R4是传递的，R3不是传递的。

5．设A={1，2，3}，A上的关系R1，R2，R3，R4，R5分别由图6.17给出，试

问：R1，R2，R3，R4，R5各有哪些性质？

解：R1

：自反、对称、反对称、传递。

R2：对称。

R3：反自反、反对称。

R4：反自反、对称、反对称、传递。

R5：自反、传递。

8．设R1，

R2是集合X={0，1，2，3}上的关系，

R1={|j=i+1或j=i/2}，

R2={|i=j+2}，求复合关系（1）R1∙R2，（2）R2∙R1，并给出各复合关系的关系矩阵。

解：（1）R1∙R2={<0，1>,<1，2>,<2，3>,<0，0>,<2，1>}∙{<2，0>,<3，1>} ={<1，0>,<2，1>}

（2）R2∙R1={<2，0>,<3，1>}∙{<0，1>,<1，2>,<2，3>,<0，0>,<2，1>} ={<2，0>,<2，1>,<3，2>}

M R1∙R2=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

M R2∙R1=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

1

11．设R是X上的反对称关系，证明R⋂R-1⊆I X

证明：假设R∩R－1/⊆I X，则有x,y∈A，使得〈x,y〉∈R∩R－1,但〈x,y〉∉I X，即〈x,y〉∈R且〈x,y〉∈R－1，〈x,y〉∉I X。由此得〈x,y〉∈R且〈y,x〉∈R，x≠y。这与R是反对称的相矛盾。所以R∩R－1⊆I X。

13．求图6.19各关系的自反、对称、传递闭包的关系图。

R1R2R3R4

R5

3

1

2 3

图6.17

图6.19

R1R2

R3

14．令R 1，R 2是集合A 上的二元关系，并设R 1⊆R 2，试证明下列关系式 （1）r(R 1)⊆r(R 2) （2）s(R 1)⊆s(R 2) （3）t(R 1)⊆t(R 2)

证明：首先证明下面两个结论：

（a ） 若A ⊆B 且C ⊆D ， 则A ⋃C ⊆B ⋃D （b ） 若11R S ⊆且22R S ⊆，则1212R R S S ⊆ 证明：（a ）已知A ⊆B 且C ⊆D

则有A ⋃B=B 且 C ⋃D= D （定理5.11） 因此（A ⋃ C ）⋃（B ⋃D ）

=（A ⋃ B ）⋃（ C ⋃D ） （交换律，结合律） = B ⋃ D

所以A ⋃C ⊆B ⋃D （定理5.11） （b ）对于任意,x y

,x y 21R R ∈

),,(21R y z R z x z ∈〉〈∧∈〉〈∃⇔

),,(21S y z S z x z ∈〉〈∧∈〉〈∃⇒ （11R S ⊆，22R S ⊆）

⇔21,S S y x ∈〉〈

所以 1212R R S S ⊆

r (R 1) s(R 1) t(R 1)

r(R 2)

s(R 2)

t(R 2)

r(R 3)

s(R 3) t(R 3)