人教版高中数学必修二精品讲义
(人教版)高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析(全)
必修(bìxiū)二第一章空间(kōngjiān)几何体知识点：1、空间(kōngjiān)几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些(zhèxiē)面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长；正方体的对角线长3、球的体积公式：，球的表面积公式：4、柱体，锥体，锥体截面积比：5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；⑵圆锥(yuánzhuī)侧面积：典型(diǎnxíng)例题：★例1：下列命题(mìng tí)正确的是( )Ａ.棱柱(léngzhù)的底面一定是平行四边形Ｂ.棱锥(léngzhuī)的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A 倍B 倍C 2倍D 倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱正视侧视俯视★★例4：一个(yīɡè)体积为的正方体的顶点(dǐngdiǎn)都在球面上，则球的表面积是A．B. C． D．二、填空题★例1：若圆锥(yuánzhuī)的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个(zhè ge)圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径(bànjìng)扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
高中数学必修2《概率》知识点讲义
第三章 概率一．随机事件的概率1、基本概念：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩不可能事件确定事件事件必然事件随机事件（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。
2、概率与频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二．概率的基本性质1、各种事件的关系：（1）并（和）事件（2）交（积）事件（3）互斥事件（4）对立事件2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）P(E)=1(E 为必然事件）；（3）P(F)=0(F 为必然事件）；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；三．古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
人教版高中数学必修2全套课件
人教版高中数学必修2全套课件人教版高中数学必修2全套课件人教版高中数学必修2是一门重要的数学课程，它是高中数学的基础课程之一。
这门课程的主要内容包括平面几何、立体几何和解析几何等，是学生进一步学习高等数学和其他数学分支的必要基础。
为了帮助广大学生更好地学习和掌握这门课程，我们特别推出了人教版高中数学必修2全套课件。
这套课件是由一批具有丰富教学经验和先进教育理念的教师团队精心制作完成的。
他们在深入研究了教材和教学大纲的基础上，结合多年的教学实践和学生的实际情况，将教材中的知识点和例题以形象、生动、易懂的方式呈现出来，帮助学生更好地理解和掌握课程内容。
全套课件包括以下几部分内容：1、平面几何：本部分主要介绍了点、线、面等基本几何元素的概念和性质，以及三角形、四边形、圆等基本几何图形的性质和应用。
通过对本部分的学习，学生可以掌握基本的几何知识和解题方法，为后续的学习打下坚实的基础。
2、立体几何：本部分主要介绍了空间几何元素的概念和性质，以及简单几何体的面积、体积和表面积等计算方法。
通过对本部分的学习，学生可以建立起三维空间的概念，提高空间想象能力和几何解题能力。
3、解析几何：本部分主要介绍了坐标系和方程的概念，以及直线、圆、圆锥曲线等基本几何曲线的方程和性质。
通过对本部分的学习，学生可以掌握用代数方法解决几何问题的能力，为后续学习高等数学和其他数学分支做好准备。
全套课件具有以下特点：1、内容全面：全套课件覆盖了人教版高中数学必修2的全部知识点和例题，可以满足学生的学习需求。
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【人教A版】高中数学必修第二册：8.1基本立体图形 同步讲义
【人教A 版】8.1 基本立体图形 同步讲义1、空间几何体（1）空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． （2）多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点． 2、棱柱、棱锥、棱台的概念多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些边所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱AC ′或 ABCD A ′B ′C ′D ′底面(底)：两个相互平行的面 侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面．侧面：有公共顶点的各个三角形 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点. 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCDA ′B ′C ′D ′上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点3、棱柱、棱锥、棱台的分类 （1）棱柱的分类①按底面多边形的边数分类．⎩⎪⎨⎪⎧三棱柱底面是三角形四棱柱底面是四边形五棱柱底面是五边形…n 棱柱底面是②按侧棱与底面是否垂直分类．知识梳理n 变形⎩⎨⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱其他直棱柱斜棱柱（2）棱锥的分类(棱台分类)①按底面多边形的边数分类． 三棱锥、四棱锥、五棱锥等． ②按底面多边形是否为正多边形分类． 正棱锥和一般棱锥． 4、旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴． 5、圆柱、圆锥、圆台的概念 旋转体结构特征图示表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。
人教版高中数学必修二全册PPT课件
圆柱、圆锥可以看作是由矩形或三角形绕其一边所在直线旋转而成，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？
探究点3 圆台的结构特征
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．如图：
轴
下底面
上底面
侧面
母线
表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台O′O.
O′
B
【变式练习】
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
轴
底面
底面
侧面
母线
表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O′O.
A
B
探究点2 圆锥的结构特征
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图：
练习
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）
A . 正视图反映物体的长和宽
B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽
D . 正视图反映物体的高和宽
C
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体是 ___________
球体
5、正棱锥的直观图的画法
研一研·问题探究、课堂更高效
画板演示
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
A
练一练·当堂检测、目标达成落实处
人教版高中数学必修二全册课件ppt
探究点1 多面体和旋转体 观察下面的图片,这些图片中的物体具有怎
样的形状？日常生活中，我们把这些物体的形状 叫做什么？我们如何描述它们的形状？
其中（2），（5），（7），（9），（13），（14）， （15），（16）具有相同的特点：组成几何体的每个 面都是平面图形，并且都是平面多边形.
多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成 的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
半径是指什么？如何用字母表示球？
本 答 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋
课 时
转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径
栏 叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字
目
开 母 O 表示，如球 O.
关
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 判断下列各命题是否正确：
柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是
如何定义的？
答 圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转
本 课
形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于
时 轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的
栏
目 曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫
课 时
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 底面 ；平行于
栏 目
轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面 ；无论旋转到
开 关
什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的 母线 ．
2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两
边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 ．
高中数学人教A版必修2第二章线面,面面垂直的性质和判定辅导讲义
ACFE 是矩形，AE=a，点 M 在线段 EF 上．
（1）求证：BC 平面 ACFE；
（2）当 EM 为何值时，AM//平面 BDF？写出结论，并加以证明．
（3）当 EM 为何值时，AM BE？写出结论，并加以证明．
中点，则下列叙述正确的是（ ）
C
E
B
A
C1
B1
A1
A． CC1 与 B1E 是异面直线
B． AC 平面 ABB1A1
C． AE ， B1C1 为异面直线，且 AE B1C1
D． A1C1 // 平面 AB1E
2.1 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中， AB AC ， PA 面ABCD ，点 E 是 PD 的
2.3 如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 AB 中点． （1）求直线 AD 和直线 B1C 所成角的大小；（2）求证：平面 EB1D⊥平面 B1CD．
考点三：综合训练
1.1 如图所示，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 上或其内部运动，且使 MN⊥AC. 对于下列命题：①点 M 可以与点 H 重合；②点 M 可以与点 F 重合；③点 M 可以在线段 FH 上；④点 M 可以与点 E 重合．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．
D.3 个
2.1 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，∠ACB=90°，E，F，G 分别是 AA1 ，AC， BB1 的中点， 且 CG⊥ C1G ．（1）求证：CG∥平面 BEF； （2）求证：平面 BEF⊥平面 A1C1G ．
高中数学讲义(人教A版必修二)：第24讲 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(学生版)
第24课棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课程标准课标解读1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力.2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。
对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解.3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用知识精讲知识点01棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是的面积【即学即练1】已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A．4B C ．D ．知识点02棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S 为棱柱的，h 为棱柱的棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的，h 为棱锥的棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的，h 为棱台的【即学即练2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线的长为体积是（）A ．48B ．24C ．12D ．6能力拓展考法01棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【典例1】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为AB ．2C ．3D ．334【变式训练】若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为336，则此正三棱台的侧面积为（）A ．2a B ．212aC ．292aD ．232a【变式训练】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.反思感悟(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法①多面体的表面积是各个面的面积之和．②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形．考法02棱柱、棱锥、棱台的体积【典例2】棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为AB ．22C ．26D ．334反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．【变式训练】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A ． 483B ． 483C ．24D ．144考法03简单组合体的表面积与体积【典例3】如图，在几何体ABCFED 中，8AB ，10BC ，6AC ，侧棱AE ，CF ，BD 均垂直于底面ABC ，3BD ，4FC ，5AE ，求该几何体的体积.如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．【典例4】等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF 的体积．【典例5】分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．反思感悟(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养．分层提分题组A基础过关练一、单选题1．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为A．4)B．2)C．1)D．8)2．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）B．6C．D．A3．鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（）A ．2(6B ．8 C ．2(6 D ．8 4．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，P 在线段1BD 上，且12BPPD ，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为（）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．27二、多选题6．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为）A ．正三棱锥高为3BC ．正三棱锥的体积为4D ．正三棱锥的侧面积为47．如图，四边形ABCD 为正方形，ED 平面ABCD ，//FB ED ，2AB ED FB ，记三棱锥E ABC ，E ACF ，F ABC 的体积分别为1V ，2V ，3V ，则（）A ．322V VB ．322V VC ．312V V V D ．3123V V 三、填空题8．玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平､周边圆形､中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm ，孔径8cm .外径18cm ，则该玉璧的体积为_____________9．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.10．侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为______．【答案】12 ##1211．已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1则此三棱锥的高为_________．四、解答题12．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.13．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．14．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D 中，111AA A D a ，2AB a ，且E 为AB 中点．求1C 到平面1D DE 的距离．题组B 能力提升练一、单选题1．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（）A ．B ．C ．8D ．122．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2123 B ．12 C ．122 D ．1233．将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（）A ．13B ．23 C ．223D 4．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（）A ．24B ．24C ．12D ．125．正三棱锥P ﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A ．1：3B ．1： 3C ． 13：D ． 13：6．用半径为2，弧长为2 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（）A BC D ．4二、多选题7．正三棱锥S ABC 的外接球半径为2，底面边长为3AB ，则此三棱锥的体积为（）A B ．334C ．2734D ．3328．如图，在多面体EFG ABCD 中，四边形ABCD ，CFGD ，ADGE 均是边长为1的正方形，点H 在棱EF 上，则（）A ．该几何体的体积为23B ．点D 在平面BEF 内的射影为BEF △的垂心C ．GH BHD ．存在点H ，使得DH BF三、填空题9．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______．10．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．11．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为___________.12．正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．四、解答题13．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积．题组C培优拔尖练1．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．2．正四棱台两底面边长分别为3和9.（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45 ，求棱台的侧面积；（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.3．一个圆台，上底面面积为 ，下底面面积为16 ，母线长为6.求圆台的体积.4．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？，结果精确到0.01．0.32。
高中数学必修2《统计》知识点讲义
高中数学必修2《统计》知识点讲义一、引言高中数学必修2中的《统计》部分是我们在日常生活中应用广泛的数学知识。
通过学习统计，我们可以更好地理解世界，做出更明智的决策。
本篇文章将详细讲解统计部分的重要知识点。
二、知识点概述1、描述性统计描述性统计是统计学的基石，它主要研究如何用图表和数值来描述数据的基本特征。
这部分内容将介绍如何制作频数分布表、绘制条形图、饼图和折线图等。
2、概率论基础概率论是统计学的核心，它研究随机事件发生的可能性。
在本部分，我们将学习如何计算事件的概率，了解独立事件与互斥事件的概念。
3、分布论基础分布论是研究随机变量及其分布的数学分支。
本部分将介绍如何计算随机变量的期望和方差，了解正态分布的特点及其在日常生活中的应用。
三、知识点详解1、描述性统计本文1)频数分布表：频数分布表是一种用于表示数据分布情况的表格，其中每一列表示数据的一个取值，每一行表示该取值的频数。
通过频数分布表，我们可以直观地看到数据分布的集中趋势和离散程度。
本文2)图表：图表是描述数据的一种有效方式。
通过绘制条形图、饼图和折线图，我们可以直观地展示数据的数量关系和变化趋势。
2、概率论基础本文1)概率：概率是指事件发生的可能性，通常用P表示。
P(A)表示事件A发生的概率，其值在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
本文2)独立事件与互斥事件：独立事件是指两个事件不相互影响，即一个事件的发生不影响另一个事件的概率；互斥事件是指两个事件不包括共同的事件，即两个事件不可能同时发生。
3、分布论基础本文1)期望：期望是随机变量的平均值，通常用E表示。
E(X)表示随机变量X的期望，它是所有可能取值的概率加权平均值。
期望对于预测随机变量的行为非常有用。
本文2)方差：方差是衡量随机变量取值分散程度的指标，通常用D表示。
D(X)表示随机变量X的方差，它是每个取值与期望之差的平方的平均值。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，取值越集中。
人教版高中数学必修二全册完整教案
人教版高中数学必修二全册完整教案第一章直线与函数1.1 直线的方程1.1.1 直线的斜率- 定义直线的斜率- 计算直线的斜率的公式- 利用斜率求直线上两点的坐标1.1.2 斜率的性质- 平行线的斜率相等- 垂直线的斜率的乘积为-11.2 一次函数1.2.1 一次函数的概念- 定义一次函数- 一次函数的图像特征1.2.2 一次函数的性质- 一次函数的图像是一条直线- 一次函数的零点和函数值1.3 函数的概念与性质1.3.1 函数的定义- 定义函数的概念- 函数的自变量和因变量1.3.2 函数的性质- 函数的奇偶性- 函数的单调性- 函数的周期性第二章二次函数2.1 二次函数的概念2.1.1 二次函数的定义- 定义二次函数- 二次函数的特征2.1.2 二次函数的图像- 二次函数的开口方向- 二次函数的对称轴2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数图像的平移- 二次函数图像的平移规律- 利用平移法画出二次函数的图像2.2.2 二次函数的最值- 二次函数的最值与对称轴的关系- 求解二次函数的最值2.3 一元二次方程2.3.1 一元二次方程的概念- 定义一元二次方程- 一元二次方程的解的概念2.3.2 二次方程的解法- 利用因式分解法求解一元二次方程- 利用配方法求解一元二次方程第三章数据统计与概率3.1 统计的基本概念3.1.1 总体与样本- 定义总体和样本的概念- 总体与样本的区别和联系3.1.2 统计量- 定义统计量- 常用的统计量3.2 统计图3.2.1 条形图与折线图- 绘制条形图和折线图的步骤- 根据统计图分析数据3.2.2 饼图与频数分布直方图- 绘制饼图和频数分布直方图的步骤- 利用饼图和频数分布直方图分析数据3.3 概率与概率统计3.3.1 概率的定义和性质- 定义概率的概念- 概率的性质和运算法则3.3.2 随机变量和概率分布- 定义随机变量- 描述随机变量的概率分布这份文档包含了《人教版高中数学必修二》全册的完整教案。
人教A版高中数学必修二讲义第八章 8.6 8.6.3 第2课时
第2课时平面与平面垂直的性质知识点平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的其他性质与结论( 1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β⇒b⊂α.( 2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β,γ∥β⇒γ⊥α.( 3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β,b⊥β⇒b∥α或b⊂α.( 4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β＝l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ.( 5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β＝l,β⊥γ,β∩γ＝m,γ⊥α,γ∩α＝n⇒l⊥m,m⊥n,l⊥n.1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( )( 2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．( )( 3)平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则平面α⊥平面γ.( )答案( 1)×( 2)√( 3)×2．做一做( 1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB＝BC,AD＝CD,则BD与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直( 2)如图所示,平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈平面α,AB⊥l,垂足为B,C∈平面β,若AB＝3,BC＝4,则AC＝________.答案( 1)C( 2)5题型一面面垂直性质的应用例1如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.( 1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面P AD;( 2)求证:AD⊥PB.[证明]( 1)如图,连接PG,BD,∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°,∴△ABD是正三角形,∵G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD,且平面P AD∩平面ABCD＝AD,BG⊂平面ABCD, ∴BG⊥平面P AD.( 2)由( 1)可知BG⊥AD,由P AD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又PG∩BG＝G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.应用面面垂直证明线面垂直应注意的问题( 1)证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线．( 2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时,在善于运用转化思想的同时,还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．如图,在三棱锥V－ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC＝BC＝2,O,M分别为AB,VA的中点．( 1)求证:VB∥平面MOC;( 2)求证:平面MOC⊥平面VAB;( 3)求三棱锥V－ABC的体积．解( 1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC.( 2)证明:∵AC＝BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC＝AB,OC⊂平面ABC, ∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.( 3)在等腰直角△ACB中,AC＝BC＝2,∴AB＝2,OC＝1,∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB,∴V三棱锥C－VAB＝13OC·S△VAB ＝13×1×3＝33,∴V三棱锥V－ABC＝V三棱锥C－VAB＝33.题型二线面垂直与面面垂直的综合应用例2如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形,侧面P AD为正三角形,且其所在平面垂直于底面ABCD.( 1)求证:AD⊥PB;( 2)若E为BC边的中点,则能否在棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论．[详解]( 1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,如图．∵△P AD为正三角形,∴PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB＝60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G,∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB.( 2)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:在△PBC中,FE∥PB.在菱形ABCD中,GB∥DE.又FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE＝E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB＝B,∴平面DEF∥平面PGB.由( 1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.( 1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的．它们之间的转化关系如下:线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直( 2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰( 边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB＝2,AC＝BC＝2,等边三角形ADB 以AB为轴转动．( 1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;( 2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论．解( 1)如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE ⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC＝AB,所以DE⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可得DE＝3,EC＝1.在Rt△DEC中,CD＝DE2＋EC2＝2.( 2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明:①当D在平面ABC内时,因为AC＝BC,AD＝BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时,由( 1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC,所以AB⊥CE.又因为DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.1．若α⊥β,α∩β＝l,点P∈α,P∉l,则下列命题中正确的为( )①过点P垂直于l的平面垂直于β;②过点P垂直于l的直线垂直于β;③过点P垂直于α的直线平行于β;④过点P垂直于β的直线在α内．A．①③B．②④C．①②④D．①③④答案 D详细解析当过点P垂直于l的直线不在α内时,l与β不垂直,故②不正确;①③④正确．2．已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α答案 B详细解析根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使n⊥β.3．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A－BCD,则在几何体A－BCD中,下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC答案 D详细解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,∴CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC.4．如图,在三棱锥P－ABC内,侧面P AC⊥底面ABC,且∠P AC＝90°,P A＝1,AB ＝2,则PB＝________.答案 5详细解析因为侧面P AC⊥底面ABC,交线为AC,∠P AC＝90°( 即P A⊥AC),所以P A⊥平面ABC,所以P A⊥AB,所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.5．如图所示,在三棱锥P－ABC中,E,F分别为AC,BC边的中点．( 1)求证:EF∥平面P AB;( 2)若平面P AC⊥平面ABC,且P A＝PC,∠ABC＝90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.证明( 1)∵E,F分别为AC,BC边的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB,AB⊂平面P AB,∴EF∥平面P AB.( 2)∵P A＝PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.又平面P AC⊥平面ABC, PE⊂平面P AC,∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.又F为BC的中点,∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°,∴AB⊥BC,∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E,∴BC⊥平面PEF.∵BC⊂平面PBC,∴平面PEF⊥平面PBC.。
人教版高中数学必修二第9章向量的运算精品课程及练习讲解(大全必学!)
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解析 对|a＋b|＝ 2|a－b|两边平方得，2＋2a·b＝2－4a·b＋2，
即 a·b＝13，则 a·a＋b＝1＋13＝43，
设 a 与 a＋b 的夹角为 α，则a·a＋bcos α＝43.
又a＋b＝
2＋2×13＝2
2， 3
故acos
α＝43×2
3＝ 2
36，
因为e是与a＋b方向相同的单位向量， 所以 a 在 a＋b 方向上的投影向量为 36e.
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10.如图，在直角梯形 ABCD 中，∠DAB＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3， BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若A→E＝A→D＋λA→B，求实数 λ 的取值范围.
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8.如图，在△ABC 中，若 AB＝AC＝3，cos∠BAC＝12，D→C＝2B→D，则A→D·B→C ＝__－__32____.
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解析 根据条件，得 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C＝A→B＋13(A→C－A→B)＝23A→B＋13A→C， 所以A→D·B→C＝23A→B＋13A→C·(A→C－A→B) ＝13A→B·A→C－23A→B2＋13A→C2 ＝13×3×3×12－23×9＋13×9＝－32.
高中数学必修二全册课件ppt人教版
解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
①③
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 新知探究 点点落实
如图棱柱可记作：棱柱
相关概念：底面(底)：两个互相 的面侧面： 侧棱：相邻侧面的顶点： 的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类：①依据：底面多边形的 ②类例： (底面是三角形)、 (底面是四边形)……
8.5空间直线、平面的平行-2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【变式2】如图，在五面体EF ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .2．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，12BC AD，E是PD的中点.（1）求证：BC//AD；（2）求证：CE//平面PAB.5.如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【答案】2【解析】①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【答案】 1【解析】若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．∵HG 是△ADC 的中位线，∴HG ∥AC .又EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形． 【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【解析】证明：连结BD 与AC 交于点H ，连结HE . 在1BDD 中，,E H 分别为1DD 、BD 的中点. 得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ，EH ⊂平面AEC ， 所以1//BD 平面AEC【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【解析】如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【答案】详见解析 【解析】如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 因为O ，D 为中点， 所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG //平面BDD 1B 1； （2）平面EFG //平面BDD 1B 1.【解析】证明：（1）如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG //SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG //平面BDD 1B 1.（2）连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点， 所以FG //SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG //平面BDD 1B 1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【解析】证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】证明(1)如图，连接SB.∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵点F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH .【变式2】如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝3，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．证明 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ，所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝39，所以SC ＝17.（2）如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 【变式1】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解析：(1)证明 如图，连接AC ，CD 1.因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点，所以PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解 由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明 方法一 取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，则有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥B 1C 1且BE ＝12B 1C 1， 所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC 111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【解析】（1）∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ，∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，∴1//A E 面BCHG ，2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴//EF平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，45,4ADB AB BD∴∠=︒∴==，∵BC⊥BD，162BCDBCS BD∴=⨯⨯=,∴三棱锥A﹣BCD的体积183BCDV s AB=⋅=．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.【解析】证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ，BC ⊂平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，BC//平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：BC//AD ；（2）求证：CE//平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：()1在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，//BC AD ∴，()2取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =， 又由()1可得//BC AD ，且12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴，EC FB//EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴平面PAB.EC//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：5.如图，梯形ABCD中，//BC EF.//【答案】证明见解析BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，【解析】∵//BC平面PAD，∴//∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，BC EF∴//6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.证明因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.。
2023年人教A版新教材高中数学必修第二册二面角的几何求法 同步讲义
33、二面角的几何求法【考点分析】考点一：面与面的夹角（二面角）①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角l αβ-- 或者是二面角A CD B --）图1 图2二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 [0]π，． 法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ,作AO β⊥于O ，过A 作AB c ⊥于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，ABO ∠为二面角c αβ--的平面角．如图3，具体步骤： Step1：找点做面的垂线；即过点A ,作AO β⊥于O ;Step2：过点（与step1中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB c ⊥于B ，连接BO ; Step3：计算；ABO ∠为二面角c αβ--的平面角，在Rt ABO △中解三角形．图3 图4图5 图6 法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos =A B C ABCS S S S θ=射斜,如图4）求出二面角的大小； 【题型目录】题型一：二面角选填题 题型二：二面角解答题 【典型例题】题型一：二面角选填题【例1】如图，已知PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，若60APB ∠=︒，则二面角l αβ--的大小是______．【答案】120︒##23π 【分析】根据APB ∠与二面角大小互补进行求解. 【详解】设二面角l αβ--的大小为θ， 因为PA α⊥，PB β⊥，垂足为A 、B ，所以180APB θ+∠=︒，又60APB ∠=︒，所以180120APB θ=︒-∠=︒.【例2】如图，大小为120︒的二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段PM 与NQ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l .若2MN =，3PM =，4NQ =，则PQ =_____________.【分析】利用空间向量的线性运算可得PQ PM MN NQ =++，再根据向量所成角，结合数量积公式平方即可得解.【详解】根据题意，PQ PM MN NQ =++，大小为120︒，可得,60PM NQ =， 22()PQ PM MN NQ =++222222PM MN NQ PM MN NQ MN PM NQ=+++⋅+⋅+⋅角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________．【答案】3，POM中，PM CD⊥3【例4】三棱锥则点P在底面ABC上的投影点为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根据顶点在底面上的射影和二面角构成的3个三角形是全等三角形，推出垂足到三边的距离相等，进而得出结果.【详解】如图，设O为P在ABC上的射影，过O 作OE AB OF AC OG BC ⊥⊥⊥，，，垂足分别为E F G 、、， 连接PE PF PG 、、，则OP ⊥平面ABC ，由OE OF OG ⊂、、平面ABC ， 得OP OE ⊥，OP OF ⊥，OP OG ⊥， 即90POE POF POG ︒∠=∠=∠=， 由AB AC BC ⊂、、平面ABC ， 得OP ⊥AB ，OP AC ⊥，OP BC ⊥，又PO OE O PO OF O PO OG O ===，，，所以AB ⊥平面PEO ，AC ⊥平面PFO ，BC ⊥平面PGO ， 则3个二面角所成的平面角分别为PEO PFO PGO ∠∠∠、、， 所以PEO PFO PGO ∠=∠=∠，又OP 为公共边， 所以PEO PFO PGO ≅≅，有OE OF OG ==， 故O 为ABC 的内心.【例5】如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,则平面ABC 与平面11A BC 夹角的余弦值为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.因为正三棱柱ABC A B C -的所有棱长都为2, 【例6】（多选题）已知正方体1111，设E 是棱BC 的中点，则（） A ．1BD 平面1C DEB ．1BC AC ^C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等 【答案】AD【分析】对于A 选项，在平面1C DE 内找到与1BD 平行的直线即可·. 对于B 选项，通过求出1BC ，AC 所成角度即可判断.对于C 选项，可将平面11A BC 与平面ABCD 所成角转化为求平面11A BC 与平面1111D C B A 所成角. 对于D 选项，分别计算三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积即可.【详解】对于A 选项，如图，设1CD 交1C D 于F ，在1CD B △中，因F 为1CD 中点，E 为CB 中点，则FE 为1CD B △中位线，可得1EF BD ∥，又1BD ⊄平面1C DE ，EF ⊂平面1C DE ，则1BD 平面1C DE ，故A 正确.对于B 选项，如图，因//BC AD ，所以异面直线BC 与AC 所成角就是AD 与AC 所成角.，所以1AD C 为等边三角形，有B 错误.对于C 选项，如图，因平面ABCD平面D C B A ，所以平面A BC 与平面ABCD 所成角等ADCS ⋅ABCS DD ⋅ABC =△【题型专练】1.在二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =1，AC =2，BD =3，CD =2√2，则这个二面角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】设这个二面角的度数为α，由题意得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−α)，∴(2√2)2=4+1+9−2×2×3×cosα，解得cosα=12，∴α=60°，∴这个二面角的度数为60°，2．已知P 是二面角l αβ--内的一点，PA 垂直于α于,A PB 垂直于β于,8B AB PA PB ===，则二面角l αβ--的大小为__．。
人教版高中数学必修二全册教学课件ppt
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关
答 旋转轴叫做圆台的轴，垂直于轴的边
旋转而成的圆面叫做圆台的底面，斜边旋
转而成的曲面叫做圆台的侧面，斜边在旋
转中的任何位置叫做圆台侧面的母线．
圆台用表示它的轴的字母表示，如上图的圆台表示为圆台 O′O.
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填一填 研一研 练一练
问题 3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点
答案 图1是由圆柱中挖去圆台形成的， 图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.
答案
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1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( D )
1 23 4
答案
2.下列说法正确的是( D ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系； 圆柱的母线与轴平行； 圆台的母线与轴不平行.
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以 半圆的直径 所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体， 简称球
相关概念： 球心：半圆的 圆心 半径：半圆的 半径 直径：半圆的 直径
图中的球表示为： 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？ 它们是如何构成的？
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
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探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆
高中必修二： 数学归纳法进阶讲义
1数学归纳法第一数学归纳法 设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若: (1)P(n0)(n0∈N)成立 (2)假设P(k)(k⩾n0)成立，可推出P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n⩾n0，n∈N时成立．第二类数学归纳法 设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若: (1)P(n0)(n0∈N)成立 (2)假设P(n)在n0⩽n⩽k时成立，由此可得P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n⩾n0都成立反向归纳法(倒推归纳法) 设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若: (1)P(n)对无限多个自然数n都成立 (2)假设P(k+1)成立，可推出P(k)也成立．跳跃数学归纳法第4讲【例1】证明：14+24+···+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30.【例2】设n为正整数，证明：1−12+13−14+···+12n−1−12n=1n+1+1n+2+···+12n.【例3】证明：在n⩾3时，2n可以表示成7x2+y2，其中x，y均为奇数．【例4】证明：任意等腰三角形可以分成n(n⩾3)个等腰三角形.第4讲【例5】证明：对所有的正整数n有√12+√22+√32+···+√n2<2【例6】数列F n+2=F n+1+F n，F1=1，F2=1，证明：F2n+1+F2n=F2n+1.2数学归纳法与数列【例7】设a0=1，a1=2，且n(n+1)a n+1=n(n−1)a n−(n−2)a n−1，n=1，2，3，···，求a0a1+a1a2+a2a3+···+a50a51．【例8】第4讲【例9】已知数列{a n}中，a1=1，a n+1a n−2n2(a n+1−a n)+1=0，求a n.【例10】a1=a2=1，a n+2=a2n+1+1a n，n=1，2，···，求证：对任意正整数n，a n都是整数．【例11】已知数列{a n}满足a0=1，a1=5及a n+2=2a2n+1−3a n+1−92a n，证明：所有的a n都是整数.【例12】设正数列a1，a2，···，a n，···满足a2n⩽a n−a n+1，n=1，2，3，···，求证：对任意n∈N∗，有a n<1n．第4讲【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件
() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以 组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了 平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等 角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的， 由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所 成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的 定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】
人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】一、直线与方程1. 直线的斜率定义：直线斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
计算公式：k = (y2 y1) / (x2 x1)性质：斜率k与直线倾斜角度的关系为k = tan(θ)，其中θ为直线与x轴正方向的夹角。
2. 直线的截距定义：直线截距是指直线与y轴的交点的纵坐标。
计算公式：b = y kx，其中k为直线斜率，x为直线与x轴的交点的横坐标，y为直线与y轴的交点的纵坐标。
3. 直线方程点斜式：y y1 = k(x x1)，其中k为直线斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
斜截式：y = kx + b，其中k为直线斜率，b为直线截距。
一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B 不同时为0。
4. 两条直线的位置关系平行：两条直线的斜率相等。
垂直：两条直线的斜率互为负倒数。
相交：两条直线的斜率不相等。
二、圆与方程1. 圆的定义定义：圆是平面上所有与一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的标准方程方程：(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r 为半径。
3. 圆的一般方程方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
4. 圆与直线的位置关系相离：直线与圆没有交点。
相切：直线与圆有且仅有一个交点。
相交：直线与圆有两个交点。
三、椭圆与方程1. 椭圆的定义定义：椭圆是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 椭圆的标准方程方程：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。
3. 椭圆的一般方程方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E 为常数，且A、B不同时为0。
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空间几何体的结构_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的________和________，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个________．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：________、________、________是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母________，________，________…来命名，还可以用表示它的平行四边形________顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面． 两侧面的公共边叫做棱柱的________，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的________． (2)棱柱的本质特征：①两个底面是全等的多边形，且互相平行； ②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行． (3)正棱柱底面是________，每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱．4.棱锥 (1)棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。
由棱柱的一个底面 收缩而成的点叫棱锥的________。
原棱柱的底面叫棱锥的________。
原棱柱的侧面收缩后的面叫做棱锥的侧面。
相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱． (2)棱锥的本质特征：①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶点的三角形． (3)正棱锥如果一个棱锥的底面是________，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥． 5.棱台 (1)棱台的定义用平行于棱锥底面的平面去截________，截面和底面之间的部分叫棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱．F 1E 1D 1C 1B 1A 1FEDCBA(2)棱台的本质特征①上、下底面平行，且是相似多边形； ②各侧面是梯形； ③各侧棱延长后交于一点． (3)正棱台用正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 6.多面体(1)多面体的定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． (2)几面体：多面体有几个面就称为几面体． 7.圆柱 (1)圆柱的定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做圆柱． 如右图，旋转轴叫圆柱的________；垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的________． (2)圆柱的简单性质①平行于底面的截面是与底面大小相同的圆； ②过轴的截面（轴截面）是全等的矩形； ③圆柱的侧面展开图是________． 8.圆锥(1)圆锥的定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，直角三角形旋转一周形成的几何体叫圆锥．如右图，轴为SO ，底面为O ，母线为SA 或SB ,S 叫做圆锥的顶点，OA (或OB ) 叫底面O 的半径，线段SO 是圆锥的________． (2)圆锥的简单性质①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面是全等的________； ③圆锥的侧面展开图是扇形． 9.圆台(1)圆台的定义以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台． 如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边 的长度叫圆台的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；不垂 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置，这条边 都叫做圆台的母线． (2)圆台的简单性质①平行于底面的截面都是圆面；②过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形；底面B 'A 'O '底面母线高、轴侧面BOAD 1C 1B 1A 1DCBA③圆台的侧面展开图是________． 10.球(1)球的定义半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球． 如右图，半圆的圆心叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．(2)球的简单性质用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线 垂直于截面，球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 有下面 的关系：________ 11.旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的________叫做旋转面；该定直线叫做旋转体的________；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 12.简单组合体常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图（2）所示的组合体．类型一 平面概念的理解例1：下列说法中正确的是________．(1)平行四边形是一个平面； (2)任何一个平面图形都是一个平面； (3)平静的太平洋面就是一个平面； (4)圆和平行四边形都可以表示平面．练习1：有下列结论：(1)平面是处处平直的；(2)平面是无限延展的；(3)平面的形状是平行四边形；(4)一个平面的厚度可以为0.001mm.其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 练习2：1．构成空间几何体的基本元素为( )A ．点B ．线C ．面D ．点、线、面 类型二 构成几何体的基本元素例2：试指出下列各图中几何体的基本元素．球面直径半径球心CBO A练习1：指出所给两个几何图形的面、顶点、棱，并指出它们分别由几个面围成，各有多少条棱？多少个顶点？练习2：下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4例3：下列说法错误的是________(填序号)．(1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面；(2)直线绕着一个点转动，只能形成曲面；(3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离，其轨迹是长方体．练习1：如图所示，画出①②③中线段L绕着直线l旋转一周形成的曲面．类型三多面体与旋转体的问题例4：下列几何体中是棱柱的个数为()A．1B．2C．3D．4练习1：下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱练习2：棱柱的侧面都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形练习3：给出下列三个命题，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个例5：下列说法不正确的是()A．圆柱的平行于轴的截面是矩形B．圆锥的过轴的截面是等边三角形C．圆台的平行于底面的截面是圆面D．球的任意截面都是圆面练习1：(2014·江西丰城三中高一期末测试)半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的轨迹是()A．球B．球面C．球或球面D．以上均不是练习2：(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)如图(1)所示的几何体是由如图(2)所示的哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的？()例6：请描述如图所示的组合体的结构特征.练习1：（1）说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？(2)如图（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？练习2：（1）如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征．（2）如图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，说出它形成的几何体的结构特征1.下面没有体对角线的一种几何体是A 三棱柱B 四棱柱C 五棱柱D 六棱柱2．下列平面图形旋转后能得到下边几何体的是（1） (2) (3) (4)A （1）B （2）C （3） D（4）3．下列说法中不正确的是A 棱柱的侧面不可以是三角形B 有六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C 正方体的各条棱都相等 D 棱柱的各条侧棱都相等4. 指出下图分别包含的几何体（1）（2）（3）（1）（2）（3）5．用一个平面去截正方体，得到的截面可能是、、、、边形。
6. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )A.棱长都相等的长方体是正方体B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体7. 根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形.(2)由五个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的三角形.8. 下列命题中正确的有（）A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D、棱台各侧棱的延长线交于一点9、如下图，图（1）截得的下半部分是否为棱台？图（2）是否是棱柱？图（3）是否是棱台？（1）（2）（3）10、如下图，分析下面几何体是由何种基本几何体构成的.（1）（2）（3）_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________基础巩固1. 如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α.A．④ B．③⑤ C．②③④ D．③④2. 一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．3. 下列几何体中是棱柱的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．44. 下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；③长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1平行且相等．5. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上命题中，真命题的是________．(填序号)6. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( )能力提升7. 斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8. 下列命题中，错误的是( )A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的C．圆台的轴截面一定是等腰梯形D．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形9. 图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．10．四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有_____个．11．下列命题中为假命题的是（）A、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱B、以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥C、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D、以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥12．(2014·湖南邵阳一中月考)棱台不具备的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点13．（2015贵州六校联考）下列结论正确的是 ( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线14. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )A.棱长都相等的长方体是正方体B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体15. 关于“两底面直径之差等于母线长”的圆台，下列判断中正确的有（）A、是不存在的B、其母线与下底面必成60角C、其高与母线成60角D、其母线与下地面所成的角不确定空间几何体的三视图与直观图_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体．一、投影的相关定义1.投影光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．2.中心投影投射线交于一点的投影称为中心投影．注意：(1)中心投影也称透视投影；(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体；(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时，直观图的大小和形状亦将改变(4)用途：主要用于绘画领域．3.平行投影投射线相互___________的投影称为平行投影．注意：按照投射方向是否正对着投影面，可分为_____投影和_____投影两种．二、三视图1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．（1）光线自物体的前面向后投影所得的投影称为_____视图或正视图；（2）光线自物体的__________投影所得的投影称为俯视图；（3）光线自物体的_____投影所得的投影称为左视图；以上三种视图刻画空间物体的结构，称为三视图． 2.三视图的画法规则（1）“高平齐”：指_____视图和_____视图的高要保持平齐； （2）“宽相等”：指_____视图的宽和_____视图的宽度相等； （3）“长对正”：指_____视图和_____视图的长应对正； （4）看不到的棱应该用_____线． 三、直观图 1.定义按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的_____关系和度量关系，我把这种投影图叫直观图． 2.优点（1）直观性强；（2）各主要部分的位置关系和度量关系明确；（3）画法较容易． 四、斜二测画法1.在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O ，在取z 轴，使90,90xOy yOz ∠=∠=；2.画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交与'O ，并使'''45x O y ∠=（或135），'''90x O y ∠=，'x 轴和'y 轴所确定的平面表示水平平面．3. 已知图中平行于x 轴、y 轴或z 的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴或'z 轴的线段．4. 已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．类型一 投影例1：下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能为矩形； ④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5，则长为20的线段的平行投影为10. 练习1：一条直线在平面上的投影是（ ）A ．直线B ．点C ．线段D ．直线或点 练习2：已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能 练习3：下列命题中正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点类型二三视图例2：(2014·山东文登高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥练习1：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④练习2：在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()练习3：用若干块相同的小正方体搭成一个几何体（中间不能空），该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）.A．8 B．7 C．6 D．5类型三直观图与斜二测画法例3：(2014·山东潍坊高一检测)如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．．练习1：如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是()A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形练习2：水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．2练习3：水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．1. 已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能2．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．4．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下（依次为正视图、侧视图、俯视图），这个几何体应是一个（ ）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．都不对5．如图在平面直角坐标系中有一个边长为a 的正方形，利用斜二测画法得到正方形的直观图，则这个直观图的面积为（ ）A ．22aB ．422aC ．222aD ．22a6. (2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是______8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________x ′ y ′O ′－45基础巩固1.下列图形中采用中心投影画法的是()2.当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比3. 由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A、6块B、7块C、8块D、9块正视图侧视图俯视图4.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结的值为（）果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m n A．3 B．7 C．8 D．115. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台6.如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．7．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．8．画出如图所示几何体的三视图．能力提升9. 正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()10.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()11.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长．宽．高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长．宽．高和四棱锥的高应分别为() A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm12.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是()A．53 B．15C．10 D．8313.桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图．俯视图．左视图)①________．②________．③________.14. 如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的直观图，若A′D′∥O′y′，A′B′∥C′D′，A′B′＝23C′D′＝2，A′D′＝1，则四边形ABCD的面积是____________．15. 如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，且∠D′A′B′＝45°，请画出它的实际图形．空间几何体的表面积和体积_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．二、特殊几何体的定义1.直棱柱：__________的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：__________的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱锥：底面是_________，并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥．正棱锥的性质：（1）正棱锥的侧棱相等；（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．正棱台的性质：（1）正棱棱台的侧棱长相等（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．三、侧面积与表面积公式1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式(1)设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则直棱柱侧面积计算公式：S 直棱柱侧＝ch ，即直棱柱的侧面积等于它的______和___的乘积．(2)设正n 棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧＝=.即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半．(3)设正n 棱台下底面边长为a 、周长为c ，上底面边长为a ′、周长为c ′，斜高为h ′，则正n 棱台的侧面积公式：S 正棱台侧＝=.(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S 表＝_______＋_____.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1)S 圆柱侧＝(r 为底面半径，l 为母线长)． (2)S 圆锥侧＝ (r 为底面圆半径，l 为母线长)．(3)S 圆台侧＝(R 、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长)．(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S 表＝S 底＋S 侧. (5) 若圆锥底面的半径为r ，侧面母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ则，360rlθ=3.由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．四、体积 1.长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为a 、b 、c ，长方体的体积V 长方体＝_____. 2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V 柱体＝____. (2)底面半径是r ，高是h 的圆柱体的体积计算公式是V 圆柱＝.3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高是h ，那么它的体积V 锥体＝h.(2)如果圆锥的底面半径是r ，高是h ，则它的体积是V 圆锥＝.4．棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高是h ，则它的体积是V 台体＝.。