新苏教版初三中考相似寻找相似三角形的方法精品练习

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2020—2021年新苏科版九年级数学下册《图形的相似-相似三角形的性质》专题练习及答案.docx

2017-2018学年苏科版（新课标）九年级下册第六章《图形的相似》（相似三角形的性质）一．选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C． D．24．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．5．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：257．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F 在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB 的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S △ABC=4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A．B．C．D．10．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．B．C．D．412．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（）A．只有②B．只有③C．②③D．①②③二．填空题13．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B= °．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．15．如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC= ．16．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．17．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．18．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE ∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= ．19．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= ．20．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF 上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）三．解答题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．24．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC 的长．25．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．26．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．27．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．29．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P 为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．30．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：=；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．参考答案与解析一．选择题1．（2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2016•重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．3．（2016•淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C． D．2【分析】根据题意得出△PAM∽△QBM，进而结合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，进而求出答案．【解答】解：连接AP，QB，由网格可得：∠PAB=∠QBA=90°，又∵∠AMP=∠BMQ，∴△PAM∽△QBM，∴=，∵AP=3，BQ=，AB=2，∴=，解得：AM=，∴tan∠QMB=tan∠PMA===2．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确得出△PAM∽△QBM是解题关键．4．（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．5．（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【分析】由△DAH∽△CAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．【解答】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴=，∴=，∴y=，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选D．【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．6．（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2 ∵BF=2FC，BC=AD=3，∴BF=AH=2，FC=HD=1，∴AF===2，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==，∴AN=AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．8．（2016•丹东）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE=AB，∴FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，∴=，即BC•AD=AB•BE，∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE，∴BC•AD=AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．9．（2016•台湾）如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A．B．C．D．【分析】由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN．【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，∴①，②，由①可得，，解得：AE=，将AE=代入②，得：，解得：BN=，故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．10．（2016•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC 上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ •AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．11．（2016•日照）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．B．C．D．4【分析】先作辅助线DH⊥AB于点D，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH的长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S1+S2+S3的值．【解答】解：作DH⊥AB于点H，如右图所示，∵AD=2，AB=2，∠A=60°，∴DH=AD•sin60°=2×=，∴S ▱ABCD=AB•DH=2=6，∴S2+S3=S△PBC=3，又∵E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，∴，∴S△PEF=×3=，即S1=，∴S1+S2+S3=+3=，故选A．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．12．（2016•江西）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m=n的是（）A．只有②B．只有③C．②③D．①②③【分析】利用相似三角形的判定和性质分别求出各多边形竖直部分线段长度之和与水平部分线段长度之和，再比较即可．【解答】解：假设每个小正方形的边长为1，①：m=1+2+1=4，n=2+4=6，则m≠n；②在△ACN中，BM∥CN，∴=，∴BM=，在△AGF中，DM∥NE∥FG，∴=，=，得DM=，NE=，∴m=2+=2.5，n=+1++=2.5，∴m=n；③由②得：BE=，CF=，∴m=2+2++1+=6，n=4+2=6，∴m=n，则这三个多边形中满足m=n的是②和③；故选C．【点评】本题考查了相似多边形的判定和性质，对于有中点的三角形可以利用三角形中位线定理得出；本题线段比较多要依次相加，做到不重不漏．二．填空题13．（2016•宁德）如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B= 37 °．【分析】根据相似三角形的对应角相等，可得答案．【解答】解：由△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，得∠B=∠ADE=37°，故答案为：37．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．14．（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD 的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= 4 ．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴，=（）2，∵E是边AD的中点，∴DE=AD=BC，∴=，∴△DEF的面积=S△DEC=1，∴=，∴S△BCF=4；故答案为：4．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．15．（2016•遵义）如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S △BDE=，则AC= 2 ．【分析】设BC=4x，根据面积公式计算，得出BC=4BD，过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G；证明CFEG为正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的边长（用x表示），再利用已知的面积建立等式，解出x，最后求出AC=BC=4x即可．【解答】解：过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G，设BC=4x，则AC=4x，∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF=EG，又S△ACE=，S△BDE=，∴BD=AC=x，∴CD=3x，∵四边形EFCG是正方形，∴EF=FC，∵EF∥CD，∴=，即=，解得，EF=x，则×4x×x=，解得，x=，则AC=4x=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．（2016•山西）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB 且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3﹣．【分析】根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGH为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得=，列式即可求得x．【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGH为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：x=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．【点评】本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．17．（2016•舟山）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是7 ．【分析】根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF：AB=9：12=3：4，∴△CEF和△CBA的面积比=9：16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF：EF=7k：9k，∴DF=7．故答案为：7．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是会用割补法计算面积．18．（2016•乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC 上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 2 ．【分析】由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，∴AD：AB=2：3，∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB﹣AD=2，故答案为：2．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．19．（2016•黄冈）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= ．【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果．【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，∴==，=，∴=，∵∠ABI=∠ABC，∴△ABI∽△CBA；∴=，∵AB=AC，∴AI=BI=4；∵∠ACB=∠FGE，∴AC∥FG，∴==，∴QI=AI=．故答案为：．【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．20．（2016•安顺）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH 的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21．（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F 处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG．其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都选上）【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt △ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=，即ED=；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和≠，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F 处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，∴AF==8，∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得x=，∴ED=，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，∴∠2+∠3=∠ABC=45°，所以①正确；HF=BF﹣BH=10﹣6=4，设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，∴AG=GH=3，GF=5，∵∠A=∠D，==，=，∴≠，∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；∵S△ABG=•6•3=9，S△FGH=•GH•HF=×3×4=6，∴S△ABG=S△FGH，所以③正确；∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，∴AG+DF=GF，所以④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．三．解答题22．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2，∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5∵△BOD与△BEC相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∵BC•EF=BE•CE，∴EF=2，CF==1，∴E（2，2），或（3，）．【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．23．（2016•宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．24．（2016•泰州）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC 的长．【分析】（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论；（2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG=∠CAG，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠CAG=∠B+∠ACB，∴∠B=∠CAG，∴∠B=∠DAG，∴AD∥BC；（2）解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC和△AFG中，，∴△AFC≌△AFG（ASA），∴CF=GF，∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC，∴GF：GC=AF：BC=1：2，∴BC=2AF=2×4=8．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△AGF∽△BGC是关键．25．（2016•怀化）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．26．（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．27．（2016•大庆）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE•GF．【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∴∠F=∠FCD，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴，∴AG2=GE•GF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．28．（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）由已知条件得出AB=10，．由题意知：BM=2t，，，由BM=BN得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积。

苏科版九年级下6.4探索三角形相似条件同步练习及答案

第6课时探究三角形相像的条件(3)1．已知AB与DE，AC与DF对应，且AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝8cm，DE＝1c m，1DF＝3cm，则EF＝_______cm时，△ABC∽△DEF．32．若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相像的三角形的最长边为14cm，则最短边为_______cm．3．以下各组三角形中，两个三角形能够相像的是()A．△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105°，△A'B'C'中，A'B'＝16，B'C＝8，∠A'100°B．△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A'B'C'中，A'B'＝36，B'C'＝40，CA'＝70AB BCC．△ABC和△A'B'C'中，有，∠C＝∠C'A'B' B'C'D．△ABC中，∠A＝42°，∠B＝118°，△A'B'C'，中，∠A'＝118°，∠B'＝15°4．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相像的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以此中的一根为一边，从另一根上截下两段（同意有余料）作为此外两边，截法有( )A．0种B．1种C．2种D．3种5．如图，O为A'、B'、C'内任一点，点 A'、B'、C'分别是线段OA、OB、OC的中点，△A'B'C'与△ABC相像吗？为何？6．如图，方格纸中的△ABC与△DEF相像吗？为何？7．△ABC的三边长分别为7、6、2，△A'B'C'的两边长分别为1、3，要使△ABC∽△A'B'C'，则△A'B'C'的第三边长应为_______．8．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6．假如DE＝10，那么当EF＝_______，FD＝_______时，△DEF∽△ABC；假如DE＝10，那么当EF＝_______，FD＝_______时，△FDE∽△ABC．9．以下论断：①按序连结三角形各边的中点，所得的三角形与原三角形相像；②两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相像；③若两个三角形的边长分别是4、6、8和6、8、10，则这两个三角形相像；④一个三角形的三边长分别为6cm、9cm、cm，另一个三角形的三边长分别为8cm、12cm、10cm，则这两个三角形相似，此中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个110．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )．甲B．乙C．丙D．丁11．（2019．宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相像三角形，则知足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2019．武汉）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB减小为本来的后获得线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）A B BC AC13．如图，DE．试说明∠BAD＝∠CAE．AD AE14．如图，由边长为1的25个小正方形构成的正方形网格中有一个△ABC，请在网格中画一个极点在小正方形的格点上，且与△ABC相像的面积最大的△A'B'C'，并求出它的面积S．215．强强为了装修自己的房间，想要制作两个三角形框架，此中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，你以为他能够怎样选料使这两个三角形相像？3参照答案252．83．B4．B5．相像，原因略6．相像，原因略1．1278．(1)25(2)1287．15229．B 10．C 11．C 12．A13．略14．S=515．另两边长分别为、3或8、12或4、55 5 3 34。

2020年苏科版九年级下册6.4探索三角形相似的条件课后练习(有答案)

2020九下6.4探索三角形相似的条件课后练习班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则DE的长为()A. 2.2B. 2.5C. 2D. 1.82.在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE//BC，EF//AB，则下面所列比例式中正确的是()A. ADBD =DEBCB. BFBC=EFACC. AEEC=DECFD. EFAB=DEBC3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，且AC与BD相交于点O，过点O作EF//AD，分别交AB，CD于E，F，则图中相似的三角形共有【】A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对4.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为()A. 4B. 4.5C. 5D. 65.如图，在△ABC中，点F，D，E分别是边AB，BC，AC上的点，且AD，BE，CF相交于点O，若点O是△ABC的重心.则以下结论：①线段AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线；②△ABD的面积是△ABC面积的一半；③图中与△ABD面积相等的三角形有5个；④△BOD的面积是△ABD面积的13；⑤AO=2OD.其中一定正确结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题6.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AFAD =14，则AEAC=_______．7.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，AD与BE相交于点F，若AE：EC=3：4，BD：DC=2：3，则BF：FE的值是____________．8.如图，直线A1A//BB1//CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是_____________.9.在平面直角坐标系中，已知A(−2,0)，B(4,0)，C(0,3)，E是x轴上一点，双曲线y=kx经过CE的中点P，直线PB交AC于点Q.若S△CPB= 7S△CPQ，则k=________．10.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似(不包括全等)三角形有______对．11.如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且ABAD =23，则AEAC=______．三、解答题12.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE=12，BE=9．(1)求证：△COD∽△CBE．(2)求半圆O的半径r的长．13.如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点．(1)利用无刻度的直尺在图1中画△ABC的中线BE和重心G；(2)在图2中标注△ABC的外心O并画出外接圆及切线CP．14.如图，已知△ABC中，AE︰EB=1︰3，BD︰DC=2︰1，AD与CE相交于F，求EFFC +AFFD的值．15.如图，有一个直角三角形ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠BAC，点E在斜边AB上且AE=AC．(1)△BED是何特殊三角形？说明理由；(2)求线段CD的长．答案和解析1.A解：如图1，连接BD、CD，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=√AB2−AD2=√62−52=√11，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=√11，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，{∠BAD=∠EBD∠ADB=∠BDE∴△ABD∽△BED，∴DEDB =DBAD，即√11=√115，解得DE=115．2.C3.B解：∵在梯形ABCD中，AD//BC ∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO ∴△ADO∽△CBO∵EF//AD，AD//BC∴EF//AD//BC∴△AEO∽△ABC，△DFO∽△DCB，△BEO∽△BAD，△CFO∽△CDA∴共有5对相似三角形.4.A解：如图当点N与点B重合时，点F就是BM的中点，过点F作FG//AB交AD于G，当点N与点A重合时，点F就是AM与GF的交点F′，由平行线分线段成比例定理可知随着点N从A到B的运动过程中，点F就在线段F′F上移动，∴线段EF在运动过程中所扫过图形为三角形EF′F，∵F′为AM中点，F为BM中点，AB=4，∴F′F=12过点E作EH⊥GF于H，交DC于I，过点E作EP⊥BC于P，过点D作DK⊥AB于K，AB//CD，∠C=90°，∴BCDK为矩形，∴BK=DC=5，AK=AB−BK=8−5=3，∴DK=√AD2−AK2=√52−32=4，∴BC=DK=4，∴EP//DC，EH=PF，∵E为DM的中点，∴P为CM中点，∴CP=12CM，设BM=x，则BF=x2，MC=4−x，PC=4−x2，∴EH=PF=BC−BF−PC=4−x2−4−x2=2，∴S△EF′F=12EK×F′F=12×2×4=4．5.D解：①∵O是△ABC的重心，∴线段AD，BE，CF是△ABC的三条中线，故①错误；②∴BD=12BC，∴S△ABD=12S△ABC，故②正确；③∵O是△ABC的重心，∴BD=CD，又∵△ABD与△ADC的高相等，∴△ABD与△ACD的面积相等=12S△ABC，同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，故③正确；④∵O是△ABC的重心，∴AO=2OD，故⑤正确；∴DO=13AD，∴△BOD的面积是△ABD面积的13，故④正确．故其中正确的结论有②③④⑤，共4个．6.17解：如图，过点D作DG//BE，交AC于点G；则AFAD =AEAG=14，设AE=λ，则EG=3λ；∵BD=DC，DG//BE，∴EG=CG=λ，∴AEAC =λ4λ+3λ=17．7.149解：过E作EG//AD交BC于G．∵EG//AD，∴AEEC =DGGC=34，∴GC=43DG，∴DC=DG+GC=73DG．∵BDDC =23，∴BD=23DC=149DG，又∵DF//EG，∴BFFE =BDDG=149，8.3解：∵A l A//BB1//CC1，∴B1C1A1B1=BCAB，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3，9.−3或−38解：过P作PM平行AC交x轴于M，过P作PN垂直x轴于N ①当Q在线段BP上时，如下图：∵PM//AC，∴PEPC =MEMA,BQPQ=BAMA，∵S△CPB=7S△CPQ，∴BPPQ=7，∴BQ=6PQ，BA=6AM，∵A(−2,0)，B(4,0)∴AB=6∴AM=1∵P是CE中点，∴PE=PC∴AM=ME=1∴E坐标(−4,0)∴P坐标(−2,32)∴k=(−2)×32=−3；②当Q在线段BP的延长线上时，如下图：∵PM//AC ， ∴PE PC =ME MA ,BQ PQ =BA MA ，∵△CPB 的面积等于△CPQ 的面积的7倍，∴BP =7PQ ，∴BQ PQ =81∴BQ =8PQ ，BA =8AM ，∵A(−2,0)，B(4,0)∴AB =6∴AM =34∵P 是CE 中点，∴PE =PC∴AM =ME =34∴OE =2−32=12∴E 坐标(−12,0)∴P 坐标(−14,32)∴k =(−14)×32=−38．综上所述：k =−3或−38．10. 3解：有3对相似三角形．①∵∠EAD =∠B =45°，∠AED =∠BEA ，∴△ADE∽△BAE ．②∵∠DAE =∠C =45°，∠ADE =∠CDA ，∴△ADE∽△CDA．③∴∠DEA=∠DAC，∴∠BEA=∠DAC．∵∠B=∠C=45°，∴△BAE∽△CDA．11.34解：过B作BF//AC，交DE于点F，∵BF//AC，∴∠FBO=∠C，∠BFO=∠CEO，又O为BC的中点，∴BO=CO，在△OBF和△OCE中，{∠FBO=∠C∠BFO=∠CEO BO=CO，∴△OBF≌△OCE(AAS)，∴BF=CE，∵ABAD =23，∴BDAD=13，又∵BF//AE，∴BDAD =BFAE=13，∴CEAE =13，则AEAC =AECE+AE=34．12.(1)证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．(2)解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC=√CE2+BE2=15，∵△COD∽△CBE．∴ODBE =OCBC，即r9=15−r15，解得：r=458．13.解：(1)如图所示，BE和点G即为所求；(2)如图所示，⊙O和PC即为所求．14.解：过E作EG//BC，交AD于G，如图，则有AEEB =13，即AEAB=14，得：EG=14BD=12CD，∴EFFC =EGCD=12，过点D作DH//AB，交CE于H，则DH=13BE=AE，∴AFDF =AEDH=1，∴EFFC +AFFD=12+1=32．15.解：(1)△BED是直角三角形，理由是：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵AE=AC，AD为公共边，∴△ACD≌△AED，∴∠AED=∠C=90°，∴∠BED=90°，∴△BED是直角三角形；(2)∵△ACD≌△AED，∴DC=DE，∠B+∠BDE=90°，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BDE=∠BAC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BDAB，∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∴CD6=8−CD10，解得CD=3．。

九年级数学下册第六章图形的相似第64讲相似三角形的面积与周长课后练习新版苏科版

第64讲
题一：9、18．
详解：(1)∵△ABC∽△DEF、、
∴△ABC的周长：△DEF的周长 =3：4、
△ABC的面积：△DEF的面积 =9：16、
又∵△DEF的周长是12、面积是32、
∴△ABC的周长为12× =9、面积为32× =18．
题二：2：3；8、．
详解：(1)由相似变换可得DE：AB=DF：AC=2：3；
∴ 、
∵AH= 6、 BC=12、
∴ 、解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
题四：16．
详解：设AH=x、则AK=AH－K H=AH－EF=x－10、
∵四边形DEFG为矩形、
∴GF∥BC、∴△AGF∽△ABC、
∴ 、解得、
即、解得x=16．故AH=16．
(2)∵AC： DF=3：2 、
∴△ABC的周长：△DEF的周长 =3：2、
△ABC的面积：△DEF的面积 =9：4、
∵△A BC的周长为12、面积为 6、
∴△DEF的周长为8、面积为．
题三：18．
详解：设EF=x、则GF=2x．
∵GF∥BC、AH⊥BC、∴AK⊥GF．
∵GF∥BC、∴△AGF∽△ABC、
(1)DE与AB的长度之比是多少？
(2)已知Rt△ABC的周长是12、面积是6、求Rt△DEF 的周长与面积．
题三：如图、矩形DEFG的一边DE在△ABC的边 BC上、顶点G、F分别在边AB、AC上、AH是边BC上的高、AH与GF相交于点K、已知BC=12、AH=6、、
求矩形DEFG的周长．
题四：如图、在△A BC中、矩形DEFG的一边DE在 BC上、点G、F分别在AB、AC上、AH是BC边上的高、AH与GF相交于K、已知S△AGF﹕S△ABC=9﹕64、EF=10、求AH的长．

2020年苏科版九年级下册6.4探索三角形相似的条件课后练习(有答案)

苏科版九年级数学下册 6.4 探索三角形相似的条件课时作业练习题

6.4探索三角形相似的条件(1)1．如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列三角形相似的是( )A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEFC．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC2．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为( )A．1 B．2 C．3 D．43．下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为( )A．32B．76C．256D．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△_______∽△_______，若AC＝2，AD＝1，则DB＝_______．6．如图，A、B两地被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB，交BC于N，量得MN＝38 m，则AB的长为_______．7．如图，零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB．若OC：OA＝1：2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝_______mm．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点M，则图中与△ABM相似的三角形有____________________．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．试说明△ADE∽△EFC．10．如图，在ABCD中，E为BC边上一点，连接AE、DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B．试说明△ADF∽△DEC．11．如图，D是△ABC中BC边上的一点，E为AD边上的一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE．试说明△ACE∽△BAD．12．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3．求：(1)ADAB的值．(2) BC的长．13．如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为（2，3）．（1）确定k的值；（2）若点D（3，m）在双曲线上，求直线AD的解析式；（3）计算△OAB的面积．参考答案1．B 2．C 3．C 4．.B5．ACD ABC 36．52 m 7．2.5 8．△FAM，△F BA，△EAD 9．略10．略11．略12．(1)13(2)913．（1）将点A（2，3）代入解析式y=，得k=6；（2）将D（3，m）代入反比例解析式y=，得m==2，∴点D坐标为（3，2），设直线AD解析式为y=kx+b，将A（2，3）与D（3，2）代入得：，解得：k=﹣1，b=5，则直线AD解析式为y=﹣x+5；（3）过点C作CN⊥y轴，垂足为N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即=，∴=（）2，∵A，C都在双曲线y=上，∴S△OCN=S△AOM=3，由=，得到S△AOB=9，则△AOB面积为9．6.4 探索三角形相似的条件(2)1．如图，P 是△ABC 中边AC 上的一点，连接BP ，则下列条件中，不能判定△ABP ∽△ACB 的是 ( ) A ．AB ACAP AB = B ．AC BCAB BP=C ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC2．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、BC 的三等分点，已知DE ＝2，则AB 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．63．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB =9，BD =3，则CF 等于（）A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 4．下列判断：①顶角相等的两个等腰三角形相似；②有一个角相等的两个等腰三角形相似；③直角三角形都相似；④若一个三角形的两边长分别为2、6，夹角为32°，另一个三角形的两边长分别为3、9，夹角为32°，则这两个三角形相似．其中判断正确的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图，在△ABC 中，AD·AB ＝AE·AC ，则△ADE ∽_______． 6．在△ABC 中，AB ＝4 cm ，AC ＝2 cm ．(1)在AB 上取一点D ，当AD ＝_______cm 时，△ACD ∽△ABC ； (2)在AC 的延长线上取一点E ，当CE ＝_______cm 时，△AEB ∽△ABC ．7．如图，AB ＝3AC ，BD ＝3AE ，BD ∥AC ，点B 、A 、E 在同一条直线上．试说明△ABD ∽△CAE ．8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．9．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ΔABC（顶点是网格线的交点）。

苏科版九年级数学下册相似三角形题型归纳(含隐圆、动点、最值、拓展、压轴)(无答案)

相似三角形（相似动点）分类涉及隐圆问题、最值问题、分类讨论题型、动点题型、压轴题、拓展题题型分类：一、相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

二、相似三角形解题思路：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形。

(2)“相交线型”相似三角形。

(3)“旋转型”相似三角形。

三、相似模型1．A字、8字模型。

2.共边共角模型（扭屁股模型）。

3.一线三等角模型。

4.倒数模型（较难）5.圆中的相似。

6.平行线分线段成比例。

类型一、线段比例问题1. （构造平行）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，=2时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，=n时，请直接写出的值．2.如图1 ,DE是⊙O的直径，点A、C是直径DE上方半圆上的两点，且AO⊥OC.连接AE，CD相交于点F.点B是直径DE下方半圆上的任意一点，连接AB交CD 于点G，连接CB交AE于点H.(1)求∠ABC的度数;(2)证明: △CFH∽△CBG;(3)若弧DB为半圆的三分之一，把∠AOC绕着点O旋转，使点C、O、B在一直线上时，如图2.①证明FH：BG=1：2;②若⊙O的半径为4，直接写出FH的长.3. 已知抛物线(3)(1)y a x x =+-（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y=-x+b 与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1.如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG ∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD的延长线于G ，求证：OG 2=GE ·GF.2.如图，在平面直角坐标系中，函数（x>0，k 是常数）的图像经过A （2，6），B （m,n ），其中m>2．过点A 作X 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，AC 与BD 交于点E ，连结AD 、DC 、CB 。

苏科版九年级下6.4探索三角形相似的条件专题练习含答案

第六章《图形的相似》（探索三角形相似的条件）一．选择题1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或二．填空题（共6小题）7．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=时，△OMN与△BCO相似．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．三．解答题（共16小题）13．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β=°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．参考答案与解析一．选择题1．（2016•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2．（2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．二．填空题7．（2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB ∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB 上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（0，），（2，0），（，0）．【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP ∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC，∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP ∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有16对．【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN 时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当不唯一，如∠ADE=∠C时，△AED与△ABC相似．【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法．12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4秒．【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．三．解答题13．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA．【解答】解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA．理由如下：∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形，∴∠B=∠GAF=45°，而∠AED=∠BEA，∴△EAD∽△EBA．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE﹣AD即可得解．（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．【解答】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C是公共角，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CE=CA：CB，∴CD：CA=CE：CB，∴△DCE∽△ACB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是关键．21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：=时，△BPQ∽△BAC，即=；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，然后方程解方程即可．【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，∵∠PBQ=∠ABC，∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有3对；（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．故答案是：4．（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，=，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．===，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．【解答】解：（1）相似，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，由（1）得：∴△ABE∽△ECF，∴=2，∴BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，∴DF=3a，∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∵=2，∴，又∵∠AEF=∠B=90°，∴△AEF∽△ABE，∴△ABE∽△ECF∽△AEF．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C 匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？【分析】设x秒后△PCQ与△ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．当，或时，△PCQ与△ACB相似，解方程即可．【解答】解：设x秒后△PCQ与△ACB相似．由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．∵∠C=∠C，当，或，△PCQ与△ACB相似．∴，或，解得：x=，或x=；∴秒或秒后△PCQ与△ACB相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键．26．如图，巳知AB丄BD，CD丄BD．（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当=时，△ABP∽△PDC，即=，当=时，△ABP∽△CDP，即=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得=或=，然后分别解方程求出x 的值即可得到BP的长．【解答】解：（1）存在．设BP=x，则PD=10﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为；（2）存在2个P点．设BP=x，则PD=12﹣x，∵∠B=∠D，∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，整理得x2﹣12x+36=0，解得x1=x2=6；当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，即BP的长为6或．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，。

(精品)最新九年级数学图形的相似第60讲相似三角形的判定课后练习新苏教版

第60讲相似三角形的判定(三)题一：如图，△ABC与下列三角形相似但不全等的是（）A ．B ．C ．D ．题二：判定下列三角形中哪些是相似的？题三：求证：如果一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边的对应比相等，那么这两个三角形相似．题四：求证：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．题五：如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上．图中有与△DBE相似的三角形吗？请说明理由．题六：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°，以每两个三角形为一组写出图中所有的相似三角形，并选择其中的一组加以证明．- 1 -题七：腰与底成比例的两个等腰三角形是否相似？证明你的结论．题八：等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形是否相似？证明你的结论．- 2 -第60讲相似三角形的判定(三)题一：C．详解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选C．题二：①、⑤、⑥相似；②、⑦相似；③、④、⑧相似．详解：根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到①、⑤、⑥相似；根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到②、⑦相似；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到③、④、⑧相似．题三：见详解．详解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC BCA CB C=''''．试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．证明：∵∠C=∠C′=90°，AC BCA CB C=''''，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．题四：见详解．详解：已知：如图，在Rt△ACB∽Rt△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠E=90°，试说明Rt△ACB∽Rt△DEF．证明：∵∠A=∠D，∠C=∠E=90°，∴Rt△ACB∽Rt△DEF．题五：△GAD，△ECH，△GFH．详解：图中有与△DBE相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH．理由：∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，∴∠ADG+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∴∠ADG=∠BED，∴△BDE∽△AGD，同理：△BDE∽△CEH，∵∠GHF=∠CHE，∠C=∠F=60°，∴△CEH∽△FGH，∴△BDE∽△FGH，∴图中有与△DBE相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH．题六：△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．详解：△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．证明：∵△PQR是等边三角形，∴∠PQR=∠QPR=∠PRQ=60°，∴∠A+∠APQ=∠B+∠BPR=60°，∵∠APB=120°，∴∠APQ+∠BPR=60°，∴∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△PBR，3∵∠A是公共角，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△ABP，∴△APQ∽△PBR∽△ABP．题七：相似．详解：腰与底成比例的两个等腰三角形相似．理由如下：∵两个等腰三角形的腰与底成比例，∴两个等腰三角形的三条对应边的比相等，∴这两个三角形相似．题八：不相似．详解：等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形不相似．理由如下：根据只有两边对应成比例，且夹角相等的三角形相似，如图所示，AB=CD，BD=BD，只有当∠ABD=∠BDC时，两三角形相似，而此时四边形ABCD是平行四边形．4。

苏科版九年级下65相似三角形的性质专题练习含答案.docx

第六章《图形的相似》（相似三角形的性质）一. 选择题1. 如果两个相似三角形的面积比是1： 4,那么它们的周长比是（）A. 1： 16B. 1： 4C. 1： 6D. 1： 22. AABC 与Z\DEF 的相似比为1： 4,则AABC 与ZXDEF 的周长比为（）A. 1： 2B. 1： 3C. 1： 4D. 1： 163. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A, B, P, Q 四点均在正方形网格的格点上,线段AB, PQ 相交于点M,则图屮ZQMB 的正切值是（）34. 已知AABC S ADEF,若厶ABC 与ADEF 的相似比为三，则厶ABC 与Z\DEF 对应中线4的比为（）A f ci D- T5. 在四边形 ABCD 屮，ZB=90°, AC=4, AB 〃CD, DH 垂直平分 AC, 若 S^DOE ： S A COA = 1 ： 25,则 S^BDE 与 S^CDE 的比是A. 1： 3B. 1： 4 C- 1： 5 D. 1：256.如图，D 、E 分别是AABC 的边AB 、BC 上的点, 且 DE 〃AC, AE 、CD 相交于点0, 点H 为垂足.设D.AF 分别与DE. DB 相交于点M, N,则MN 的长为（8. 如图，在AABC 屮，AD 和BE 是高，ZABE=45°,点F 是AB 的屮点，AD 与FE. BE分别交于点 G 、H, ZCBE=ZBAD.有下列结论：®FD=FE ；（2）AH=2CD ；③BC ・ADpAE 2；④S A A BC =4S AADF .其屮正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图的△ ABC 中有一正方形DEFG,其中D 在AC 上E 、F 在AB 上，直线AG 分别交 DE 、BC 于 M 、N 两点.若ZB=90°, ABM, BC=3, EF=1,则 BN 的长度为何？（）10. 如图，CB=CA, ZACB=90°,点D 在边BC ± （与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG 丄CA,交CA 的延长线于点G,连接FB,交DE 于点Q,给出以下结论： ®AC=FG ； @S A FAB ： S M 形CBFG =1： 2；③ZABC=ZABF ；（4）AD 2=FQ<AC,其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4AB=2, E 为AB 的屮点，F 在边BC 上，且BF=2FC,A.2V25A.D.12TDC7.如图，矩形ABCD 的边长AD=3,B11.如图，P为平行以边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC （靠近点P）的三等分点，Z\PEF、APDC. APAB 的面积分别为S】、S2> S3,若AD=2, AB二2頁，ZA=60°, 则S1+S2+S3的值为（）A.孕B.善C.孕D. 43 2 312.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等.网格中三个多边形（分别标记为①，②，③）的顶点均在格点上.被一个多边形覆盖的网格线屮，竖直部分线段长度Z和记为水平部分线段长度之和记为m则这三个多边形中满足的是（）A.只有②B.只有③C.②③D.①②③二. 填空题13.如图,已知△ ADE^AABC,若ZADE=37°,则ZB二14.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,贝1」S A BC F= __ •15.如图，AC丄BC, AC=BC, D是BC ±一点，连接AD,与ZACB的平分线交于点E, 连接BE.若S MCE#，S ABDE»^，则AC=—•16.如图，已知点C为线段AB的中点，CD丄AB M CD=AB=4,连接AD, BE丄AB, AE 是ZDAB的平分线，与DC相交于点F, EH丄DC于点G,交AD于点H,则HG的长为・17. 如图，已知AABC 和ADEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE 〃AB 交AC 于点F, AB 二 12, EF=9,则 DF 的长是 ___ .18. 如图，在厶ABC 屮，D 、E 分别是边AB 、AC ±的点，且DE 〃BC,若厶ADE 与厶ABC的周长之比为2： 3, AD 二4,则DB 二 ___ .19. 如图，已知ZXABC 、ADCE. Z\FEG 、Z\HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、 EG 、GI 在同一直线上，且AB=2, BC=1,连接AI,交FG 于点Q,则QI 二20. 如图，矩形EFGH 内接于△ ABC,且边FG 落在BC 上，若AD 丄BC, BC 二3, AD=2,E F M E H,那么EH 的长为21. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6, BC=10,点E 在CD 上，将Z\BCE 沿BE 折叠,点C 恰落在边AD±的点F 处；点G 在AF 上，将AABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：Q①ZEBG 二45°；②△DEFs^ABG ； ®S AA BG=yS AFGH ;④AG+DF 二FG.其中正确的是 .（把所有正确结论的序号都选上）三. 解答题22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= - x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点AD4R（专，才），点D的坐标为（0, 1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点（不与点B重合）,当ABOD 与ABCE相似吋，求点E的坐标.23. 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1) 如图1,在AABC 中，CD 为角平分线，ZA 二40。

(精品)最新九年级数学图形的相似第59讲相似三角形的判定课后练习新苏教版

第59讲相似三角形的判定(二)题一：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)∠B=50°，AB= 4，AC=3.2，∠B′=50°，A′B′=2，A′C′=1.6；(2)AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．题二：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)∠C=90°，AC=6，BC= 4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6；(2)AB=1，BC=1.5，AC=2，A′B′=8，B′C′=10，A′C′=16．题三：已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，它的另外两边长应当是多少？题四：如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出．第59讲相似三角形的判定(二) 题一：不一定相似；相似．详解：(1)∵AB= 4，AC=3.2，A′B′=2，A′C′=1.6，∴AB ACA B A C=''''，∵∠B=∠B′=50°，但∠B与∠B′不是已知对应边的夹角，∴△ABC与△A′B′C′不一定相似；(2)∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25，∴AB AC BCA B A C B C==''''''，∴△ABC∽△A′B′C′．题二：相似；不相似．详解：(1)∵∠C=90°，AC=6，BC= 4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6，∴AC BCA CB C=''''，∠C=∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′；(2)∵AB=1，BC=1.5，AC=2，A′B′=8，B′C′=10，A′C′=16，∴12 1.581610=≠，即AB AC BCA B A C B C=≠''''''，∴△ABC与△A′B′C′不相似．题三：3和6或163和8或83和2．详解：设另外两边分别为x、y，题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：①若边长为4的边与边长为8的边相对应，86124x y==，解得x=3，y=6，则另两边为3和6；②若边长为4的边与边长为6的边相对应，68124x y==，解得x=163，y=8，则另两边为163和8；③若边长为4的边与边长为12的边相对应，12864x y==，解得x=83，y=2，则另两边为83和2．故三角形框架的两边长可以是3和6或163和8或83和2．题四：两种；30，25，10或36，30，12．详解：有两种不同的截法：①如图(一)，以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x，短边长为y，则30605020x y==，解得x=25，y=10，所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm、25cm的两段；②如图(二)，以30cm长的钢筋为中边，设长边为x，短边长为y，则30506020x y==，解得x=36，y=12，所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段；③若以30cm长的钢筋为短边，设长边为x，中边长为y，则306020x=，解得x=90(不合题意，舍去)．。

(精品)最新九年级数学图形的相似第61讲相似三角形的判定课后练习新苏教版

第61讲相似三角形的判定(四)题一：在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，DB=13AB，在AC上取一点E得△ADE，若这两个三角形相似，则AE的长为___________．题二：如图，在△ABC中，D是BA的延长线上的一点，AB=6，AC= 4，AD=2，若CA的延长线上存在点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为___________．题三：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．求证：△ABC∽△ADE．题四：如图，AB=AC，∠DAE=∠B．求证：△ABE∽△DCA．题五：如图，AB BC ACAD DE AE==，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．题六：如图，已知EF∥AC，GH∥AB，I∥BC，写出图中所有和△DGF相似的三角形．- 1 -题七：如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．求证：BD2=AD•BC．题八：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．求证：CD2=BC•AD．- 2 -第61讲相似三角形的判定(四) 题一：10或6.4．详解：∵AB=12，AC=15，DB=13AB，∴DB= 4，AD=8，如图①，若△ADE∽△ACB，则AD AEAC AB=，∴AE=6.4；如图②，若△ADE∽△ABC，则AD AEAB AC=，∴AE=10，综上所述，AE的长为10或6.4．题二：43或3．详解：∵AB=6，AC= 4，AD=2，如图①，若△AED∽△ACB，则AE ADAC AB=，∴AE=43；如图②，△AED∽△ABC，则AE ADAB AC=，∴AE=3，综上所述，AE的长为43或3．题三：见详解．详解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．题四：见详解．详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠BAD+∠B，又∵∠DAE=∠B，∴∠BAE=∠CDA，∴△ABE∽△DCA．题五：见详解．详解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△AFE∽△BFC．理由：∵AB BC ACAD DE AE==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB ACAD AE=，∴AB ADAC AE=，3∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．题六：见详解．详解：①∵GH∥AB，∴∠B=∠DGF，∠BEF=∠GDF，∴△GDF∽△BEF；②∵GH∥AB，∴∠B=∠DGF，∠GDF=∠A．∴△GDF∽△BAC；③∵EF∥AC，∴∠EFB=∠C，∠GDF=∠GHC，∴△GDF∽△GHC；同理④△GDF∽△DH；⑤△GDF∽△IED；⑥△GDF∽△IA．题七：见详解．详解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BDC．∴△ABD∽△DCB，∴BD AD BC BD=，∴BD2=AD•BC．题八：见详解．详解：∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠ADC=∠BCD=90°，又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°，∴∠ACD=∠C BD，∴△ACD∽△DBC，∴AD CDCD BC=，即CD2=BC•AD．4。

(精品)最新九年级数学图形的相似第62讲相似三角形的判定习题课课后练习新苏教版

第62讲相似三角形的判定习题课题一：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，已知AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5，DE= 4，BC=10．求证：△ADE∽△ABC．题二：如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD 与△ECA相似吗？为什么？题三：如图，CD=2BC，ED=2AC，BC∥DE，点A、C、D在同一条直线上．求证：△ABC∽△ECD．题四：已知四边形ABCD中，E、F、G分别在AD、BD、CD上，且EF∥AB，FG∥BC．求证：△DEG∽△DAC．题五：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB·CE．求证：△ADB∽△EAC．题六：如图，点B、C、D在一条直线上，ED⊥CD，AC⊥EC，CB·CE=CA·ED．求证：△ABC∽△CDE．题七：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADO=∠BCO求证：△ABO∽△DCO．题八：如图，△ABC的高BD、CE相交于O，连接ED，△ADE与△ABC相似吗？若相似，给出证明．第62讲相似三角形的判定习题课题一：见详解．详解：∵AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5，∴AB=AD+DB=5，AC=AE+CE=7.5，∵DE= 4，BC=10，∴25 AD AE DEAB AC BC===，∴△ADE∽△ABC．题二：见详解．详解：△ACD与△ECA相似．理由：设正方形的边长为a，则AC，CD=a，AD，EC=2a，CA，EA a，∴AC：EC=CD：CA=AD：EA，∴△ACD∽△ECA．题三：见详解．详解：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠CDE，∵CD=2BC，ED=2AC，∴BCCD=ACED=12，∴△ABC∽△ECD．题四：见详解．详解：∵EF∥AB，∴DEDA=DFDB，∵FG∥BC，∴DGDC=DFDB，∴DEDA=DGDC，∵∠EDG=∠ADC，∴△DEG∽△DAC．题五：见详解．详解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=DB·CE，∴AB DBCE AB=，∴AB DBCE AC=，∴△ADB∽△EAC．题六：见详解．详解：∵ED⊥CD，AC⊥EC，∴∠ACE=∠EDC=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠CED+∠EDC，∴∠ACB=∠CED，又∵CB·CE=CA·ED，∴CA CBCE ED=，∴△ABC∽△CDE．题七：见详解．详解：∵∠ADO=∠BCO，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴OA ODOB OC=，∴OA OBOD OC=，又∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO∽△DCO．题八：见详解．详解：△ADE与△ABC相似．理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AD AB BDAE AC CE==，即AD AEAB AC=，又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC．。

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BD BE AD AF 相似练习2
【相似解题技巧】
预备定理：平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似；（平行线）定理1：两角对应相等的两个三角形相似；（AA ）
定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（SAS ）
定理3：三边对应成比例的两个三角形相似；（SSS ）
直角三角形相似的判定定理：一组直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

（HL ）寻找相似三角形的技巧：
方法1：三点定型法：基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。

（横看竖找）
例：如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F ．求证：
方法2：等线段代换法：有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，此时可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形．
例：如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G ．求证：AG ²=AF*FC ．
方法3：等式代换法：当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形
例：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB:AC=DF:AF
【练习】
1．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB=1，CD=3，那么EF 的长是（）
CE AE BF AF 2．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，连接CE ，DE ．AC 与DE 相交于点F ．
（1）、求证：△ADF ∽△CEF ；
（2）、若AD=4，AB=6，求AC/AF 的值．
3．如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。

求证：
4．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F,求证：FD 2=FB ·FC
5．如图，点D ，E 分别在△ABC 的边BC ，BA 上，四边形CDEF 是等腰梯形，EF ∥CD ，EF 与AC 交于G ，且∠BDE=∠A 。

（1）试问：AB ·FG=CF ·CA 成立吗？说明理由
（2）若BD=FC ，求证△ABC 是等腰三角形。

6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O ．
（1）、求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）、若AC=3，BC=4，求BE 的长．
7.如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）、求证：AE是⊙O的切线；
（2）、已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA．
8.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）、连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）、连结EP，设△EPC的面积为ycm2 ，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；（3）、若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．
9.已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）、求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）、已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）、若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．。

新苏教版初三中考相似寻找相似三角形的方法精品练习

2020—2021年新苏科版九年级数学下册《图形的相似-相似三角形的性质》专题练习及答案.docx

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