平板湍流边界层
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湍流平板边界层
§湍流平板边界层的流速分布与分区结构 §湍流平板边界层的紊动特性 §湍流平板边界层的能量平衡 §湍流平板边界层厚度和阻力 §粗糙平板紊流边界层
湍流平板边界层
平板边界层流动中，势流流速和压强在整个 流场中均为常数。当边界层雷诺数 达到临界值后 ，边界层流动将可能由层流转变为湍流。湍流边 界层中的流速分布、阻力规律、边界层厚度的沿 程发展等均与层流边界层不同。而且在湍流边界 层流动中又因固体壁面的光滑或粗糙而使得流动 情况发生变化。 湍流平板边界层流动是一种基本的流动现象 ，对于航空、造船、化工、水力机械和水工建筑 物的设计都有重要的意义。
2
图 11 4 紊流平板边界层紊流度沿断面分布[3]
湍流平板边界层的湍动特性
图11-4中还示出了紊流切应力 u' v' 在平板紊流边界层内的分布，图 中无量纲量采用 u' v' 表示单位质量切应力的无量纲量。在紧靠壁面处未 能量测到有关数据。
U 2
在边界层的外边界，即紊流边界 层与上部势流的交界面处紊流具 有间歇性质。克莱巴诺夫[3]测得 y 的资料显示，在 0.8 处，平
以上三个区域统称内区。 尾流区（外区）： 0.2 y 1.0
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
平板紊流边界层各个分区中的流速分布为： 粘性底层： 对数区： 尾流区：
u yu 或写为 u
u y （11-7）
（ 11-8 u 5.85 lg y 5.） 56
u
y ln y C W （11-9） 1
y W 称为尾流函数（ law
2 y y （ 11-10 ） W sin 2 2
of the wake）， 为尾流强度。
11-1 紊流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
u 由经验，在湍流中三个方向的湍流强度 u， u， 基本上 具有同一量级，因此引入一个共同的脉动流速的尺度 R v i j 。对于湍流切应力 ， u u 则需引入相关函数
'2 1
' 2 2 '2 3
' i ' j
ij
'2 u1
u'2 2
uຫໍສະໝຸດ Baidu u j
12 13 23
1 2
L
d 2
0
R r dr
（11-13）
表示紊流结构中一个特征长度，称 为紊流长度比尺（length scale of turbulence）。紊流长度比尺 表示在 紊流中旋涡的平均尺度，流体中某 一范围内的流体质点作为一个旋涡 而运动。图11-7所表示的流动可得
假定 R ，R，R大致具有1的量级。在边界层流动中，顺流 u v 方向的长度尺度与垂直方向尺度相比甚大 L ， L 的 x L u u u R v 量级小于 ux的量级，保留 。又在湍流边界层中， x L 粘性切应力与湍流切应力均应保留：
'2 1 1
v2 2 Rij v ,i j
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图 11 3（a）流动显示图 ，
y 8
图 11 3（a）流动显示图 ，
y 82
图 11 3（c）流动显示图 ，
y 407
图 11 3（d）流动显示图 ，
y 531
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
8 图11-3（a）表示 y 处平面上流动显示，此处位于粘 性底层上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有 大小相间的流速带，湍动剧烈，但湍动的三维性不明 显。
湍流平板边界层
§湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流边界层微分方程式可由雷诺方程出发：考虑边界 层近似，而得到二维湍流边界层方程。
定常，二维雷诺方程：
'2 ' ' u1 u1 1 p 2 u1 2 u1 u1 u1 u2 u1 u2 2 x1 x2 x1 x1 x2 2 x1 x2
法向动量湍流边界层方程：
p 0 x2
p 0 x2 1 0
' ' u1 u2 U 2
x
0 1
0
u'2 2 U 2
0 x2
0 1
与层流边界层中结论相同，即在湍流边界层中同样压 强沿y轴是均匀分布的，与边界层外边缘处势流压强 相同。 边界条件：
湍流平板边界层的湍动特性
边界层内紊流与边界层外势流的交界面有时称为边界 层的自由（freeboundary）。图11-6为自由边界的示意 图。自由边界随时间而变动，具有随机的性质。光滑 壁面平板紊流边界层自由边界的平均位置为 0.78 ， 标准差为 0.14 。粗糙壁面时自由边界平均位置在 0.82 而标准差为 0.15 。
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
紊流边界层的流速分布在其不同的分区中具有不同的规律，与 圆管紊流相似。图11-1为紊流边界层中流速分布分区结构的 典型示意图。在紊流边界层中除粘性底层、过渡区及紊流区 （对数区）以外，还存在一个尾流区或称为外区（outer layer）。而粘性底层、过渡区和对数区则统称为内区（inner layer）。在紊流边界层中，对于分区界限各家试验略有出入。 一般用y 表示x2 ，认为： 粘性底层： 0 y 5 10 过渡区：5 10 y 30 70 对数区： 30 70 y , y 0.2
图 11 6 紊流边界层自由边界示意图
湍流平板边界层的湍动特性
为了深入理解边界层中的紊流结构，常对紊流中两 个相邻测点同时进行脉动流速的量测，以分析紊流 的空间特性。 空间相关函数（space correlation function）:
R u1 ' u2 ' u1 ' 2 u2 ' 2
湍流平板边界层的湍动特性
科尔斯（D.Coles）发现对于零压梯度的紊流边界层， U 0.55 Re 5000 当 时 。
2
2
图 11-2 尾流强度
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
下图给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒 （P.W.Runstandler）[2]等人制作的一组表示湍流边界层 各分区中流动特性的照片。这组照片是使用氢气泡技术 以显示不同流区的某一高度上边界层内流动状况，同时 还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。
' ' '2 u2 u2 1 p 2 u2 2 u2 u2 u1 u2 u1 u2 2 2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2
u1 u2 0 x1 x2
x1
表示沿固体壁面的边界层坐标， x2 为壁面外法线方向坐标。
板紊流边界层即具有明显的间歇 y 性质，而当 1.2 时则流速基本 上不再呈现脉动。平板紊流边界 层中间歇系数 的分布规律如图 11-5所示并可用下式表示：
1 y 1 erf 5 0.78 2
（11-11）
图 11 5 紊流平板边界层间歇系数[3]
'2 u3
2
1
2
' ' 1 2 2
2
12
' ' 1 2 2
1
2
' ' u1 u1 1 p 2 u1 u1 u2 u1 u2 x1 x2 x1 x2 2 x2
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
流向动量湍流边界层方程：
' u1 u1 1 p 2 u1 u1' u2 u1 u2 2 x1 x2 x1 x2 x2
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图11-3给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒（P.W.Runstandler） [2]等人制作的一组表示紊流边界层各分区中流动特性的照片。 这组照片是使用氢气泡技术以显示不同流区的某一高度上边界 层内流动状况，同时还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。 8 图11-3（a）表示 y 处平面上流动显示，此处位于粘性底层 上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有大小相间的流速 带，紊动剧烈，但紊动的三维性不明显。 图11-3（b）表示y 82 处的流动。此时位于紊流对数区，紊流 具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过程线看出此处脉动 8 比 y 处要弱。 531 图11-3（c）表示y 407 处的流动，而图11-3（d）表示 y 处 的流动。 这两个位置均已处于尾流区中，紊动明显减弱，当时从瞬时流 速时间过程线还可看出紊动已开始具有间歇性质。
固定壁面上，x2 0;u1 0,u2 0 边界层外边缘，x2 ;u1 U x
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
所有脉动分量在固体壁面处均应消失，而在很靠近壁 面处，脉动分量的数值很小。由此可知在固体壁面处 所有雷诺应力均为零，只有粘性切应力存在。由此可 以想见在紧靠壁面处存在一个极薄的流层，在这层流 动里湍流切应力和流速的脉动均很微弱，由于这里流 速很小，粘性力大于惯性力，这一流层即为粘性底层。 紧靠粘性底层上部，存在一层过渡区。过渡区中湍动 剧烈，湍流切应力显著增加。过渡区以外则湍流切应 力占主导地位，是为湍流层或称对数层。
湍流平板边界层
像圆管湍流一样，湍流平板边界层流动也 是壁面湍流的一种，只不过固体边界的特征不 同。圆管湍流是流动发生在由固体边界所包围 的空间内，因而固体边界限制了湍流的发展。 而平板边界层流动则是流动发生在某一固体壁 面上，在固体壁面上的湍流边界层可以沿程发 展而其上边界不受固体边界的限制。但是湍流 边界层与圆管湍流在流动特点方面也有很多共 同之处。
湍流平板边界层的湍动特性
图11-4分别表示出顺流方向x, 垂 直平板方向y及展向z的紊流 u' w' 度 U ， u' ， 。
2
2
2
U
U
图中还特别表示了在紧靠壁面处 的情况。由图可以看出各个方向 的紊流度均在紧靠固体壁面附近 达到其最大值，而固体壁面处由 于壁面对脉动的限制，紊流度均 为零。顺流方向的紊流度 最大 值约为0.12，表示 约为自由流速 的12%。垂直紊流度则为0.04. 图11-4中的 w' 分布曲线表明在 U 紊流平板边界层中,展向的脉动 值不容忽视。
上式如无量纲化，则除 项外，其余各项量级均为1， u u 因此要保留 项，则必须： x
' 1 ' 2 ' ' u1 u2 x2
' ' u1 u2 U 2 0 x2
2
0 1
所以：
即无量纲雷诺应力的量级为 的量级， 为当地势流 U 流速。
' ' u1 u2 U2
0
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图11-3（b）表示 y 82 处的流动。此时位于湍流对数 区，湍流具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过 y处要弱。 8 程线看出此处脉动比
湍流平板边界层的湍动特性
早期对湍流平板边界层的量测主要是量测其时均流速和 压强的分布。随着科学技术的发展，使得对湍动特性： 例如湍流度，湍流能量及能谱，湍流切应力等的量测变 得既有需要，也有可能。而且只有通过对湍动特性的直 接量测才使人们对湍流的机理获得进一步深入的理解。 1954年克莱巴诺夫[3]对零压梯度湍流平板边界层进行了 量测，得到丰富的成果。试验是在一个4.5英尺的风洞中 进行，光滑平板长12英尺，宽 4.5英尺。风洞的湍流度 在风速30英尺/秒时为0.02%，在风速100英尺/秒时为 0.04%。近壁区的量测使用热线风速计。量测断面距平 板前缘为10.5英尺，为充分发展湍流边界层。试验中自 由流速（边界层外的势流流速)为50英尺/秒。
图11-7为西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圆管中测得的顺流方向脉动流速 u1 ' 和 u2 ' 的典型的相关函数曲线。其中一个热线风速计置于圆管的中心处，另一风速计则 置于与中心相距 r处。当 R 0 1 ，表明两个风速计均在中心处，这时两个脉动 ' ' u 相同，从而其相关函数 流速 u 和 。当 r 逐渐增大，相关函数值迅速减小。图 中横坐标用圆管半径 r0进行无量纲化。 相关函数的积分:
§湍流平板边界层的流速分布与分区结构 §湍流平板边界层的紊动特性 §湍流平板边界层的能量平衡 §湍流平板边界层厚度和阻力 §粗糙平板紊流边界层
湍流平板边界层
平板边界层流动中，势流流速和压强在整个 流场中均为常数。当边界层雷诺数 达到临界值后 ，边界层流动将可能由层流转变为湍流。湍流边 界层中的流速分布、阻力规律、边界层厚度的沿 程发展等均与层流边界层不同。而且在湍流边界 层流动中又因固体壁面的光滑或粗糙而使得流动 情况发生变化。 湍流平板边界层流动是一种基本的流动现象 ，对于航空、造船、化工、水力机械和水工建筑 物的设计都有重要的意义。
2
图 11 4 紊流平板边界层紊流度沿断面分布[3]
湍流平板边界层的湍动特性
图11-4中还示出了紊流切应力 u' v' 在平板紊流边界层内的分布，图 中无量纲量采用 u' v' 表示单位质量切应力的无量纲量。在紧靠壁面处未 能量测到有关数据。
U 2
在边界层的外边界，即紊流边界 层与上部势流的交界面处紊流具 有间歇性质。克莱巴诺夫[3]测得 y 的资料显示，在 0.8 处，平
以上三个区域统称内区。 尾流区（外区）： 0.2 y 1.0
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
平板紊流边界层各个分区中的流速分布为： 粘性底层： 对数区： 尾流区：
u yu 或写为 u
u y （11-7）
（ 11-8 u 5.85 lg y 5.） 56
u
y ln y C W （11-9） 1
y W 称为尾流函数（ law
2 y y （ 11-10 ） W sin 2 2
of the wake）， 为尾流强度。
11-1 紊流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
u 由经验，在湍流中三个方向的湍流强度 u， u， 基本上 具有同一量级，因此引入一个共同的脉动流速的尺度 R v i j 。对于湍流切应力 ， u u 则需引入相关函数
'2 1
' 2 2 '2 3
' i ' j
ij
'2 u1
u'2 2
uຫໍສະໝຸດ Baidu u j
12 13 23
1 2
L
d 2
0
R r dr
（11-13）
表示紊流结构中一个特征长度，称 为紊流长度比尺（length scale of turbulence）。紊流长度比尺 表示在 紊流中旋涡的平均尺度，流体中某 一范围内的流体质点作为一个旋涡 而运动。图11-7所表示的流动可得
假定 R ，R，R大致具有1的量级。在边界层流动中，顺流 u v 方向的长度尺度与垂直方向尺度相比甚大 L ， L 的 x L u u u R v 量级小于 ux的量级，保留 。又在湍流边界层中， x L 粘性切应力与湍流切应力均应保留：
'2 1 1
v2 2 Rij v ,i j
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图 11 3（a）流动显示图 ，
y 8
图 11 3（a）流动显示图 ，
y 82
图 11 3（c）流动显示图 ，
y 407
图 11 3（d）流动显示图 ，
y 531
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
8 图11-3（a）表示 y 处平面上流动显示，此处位于粘 性底层上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有 大小相间的流速带，湍动剧烈，但湍动的三维性不明 显。
湍流平板边界层
§湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流边界层微分方程式可由雷诺方程出发：考虑边界 层近似，而得到二维湍流边界层方程。
定常，二维雷诺方程：
'2 ' ' u1 u1 1 p 2 u1 2 u1 u1 u1 u2 u1 u2 2 x1 x2 x1 x1 x2 2 x1 x2
法向动量湍流边界层方程：
p 0 x2
p 0 x2 1 0
' ' u1 u2 U 2
x
0 1
0
u'2 2 U 2
0 x2
0 1
与层流边界层中结论相同，即在湍流边界层中同样压 强沿y轴是均匀分布的，与边界层外边缘处势流压强 相同。 边界条件：
湍流平板边界层的湍动特性
边界层内紊流与边界层外势流的交界面有时称为边界 层的自由（freeboundary）。图11-6为自由边界的示意 图。自由边界随时间而变动，具有随机的性质。光滑 壁面平板紊流边界层自由边界的平均位置为 0.78 ， 标准差为 0.14 。粗糙壁面时自由边界平均位置在 0.82 而标准差为 0.15 。
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
紊流边界层的流速分布在其不同的分区中具有不同的规律，与 圆管紊流相似。图11-1为紊流边界层中流速分布分区结构的 典型示意图。在紊流边界层中除粘性底层、过渡区及紊流区 （对数区）以外，还存在一个尾流区或称为外区（outer layer）。而粘性底层、过渡区和对数区则统称为内区（inner layer）。在紊流边界层中，对于分区界限各家试验略有出入。 一般用y 表示x2 ，认为： 粘性底层： 0 y 5 10 过渡区：5 10 y 30 70 对数区： 30 70 y , y 0.2
图 11 6 紊流边界层自由边界示意图
湍流平板边界层的湍动特性
为了深入理解边界层中的紊流结构，常对紊流中两 个相邻测点同时进行脉动流速的量测，以分析紊流 的空间特性。 空间相关函数（space correlation function）:
R u1 ' u2 ' u1 ' 2 u2 ' 2
湍流平板边界层的湍动特性
科尔斯（D.Coles）发现对于零压梯度的紊流边界层， U 0.55 Re 5000 当 时 。
2
2
图 11-2 尾流强度
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
下图给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒 （P.W.Runstandler）[2]等人制作的一组表示湍流边界层 各分区中流动特性的照片。这组照片是使用氢气泡技术 以显示不同流区的某一高度上边界层内流动状况，同时 还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。
' ' '2 u2 u2 1 p 2 u2 2 u2 u2 u1 u2 u1 u2 2 2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2
u1 u2 0 x1 x2
x1
表示沿固体壁面的边界层坐标， x2 为壁面外法线方向坐标。
板紊流边界层即具有明显的间歇 y 性质，而当 1.2 时则流速基本 上不再呈现脉动。平板紊流边界 层中间歇系数 的分布规律如图 11-5所示并可用下式表示：
1 y 1 erf 5 0.78 2
（11-11）
图 11 5 紊流平板边界层间歇系数[3]
'2 u3
2
1
2
' ' 1 2 2
2
12
' ' 1 2 2
1
2
' ' u1 u1 1 p 2 u1 u1 u2 u1 u2 x1 x2 x1 x2 2 x2
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
流向动量湍流边界层方程：
' u1 u1 1 p 2 u1 u1' u2 u1 u2 2 x1 x2 x1 x2 x2
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图11-3给出由斯坦福大学的伦斯塔德勒（P.W.Runstandler） [2]等人制作的一组表示紊流边界层各分区中流动特性的照片。 这组照片是使用氢气泡技术以显示不同流区的某一高度上边界 层内流动状况，同时还给出在该高度测量的瞬时流速过程线。 8 图11-3（a）表示 y 处平面上流动显示，此处位于粘性底层 上部或过渡区下部。由照片可见此处流速具有大小相间的流速 带，紊动剧烈，但紊动的三维性不明显。 图11-3（b）表示y 82 处的流动。此时位于紊流对数区，紊流 具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过程线看出此处脉动 8 比 y 处要弱。 531 图11-3（c）表示y 407 处的流动，而图11-3（d）表示 y 处 的流动。 这两个位置均已处于尾流区中，紊动明显减弱，当时从瞬时流 速时间过程线还可看出紊动已开始具有间歇性质。
固定壁面上，x2 0;u1 0,u2 0 边界层外边缘，x2 ;u1 U x
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
所有脉动分量在固体壁面处均应消失，而在很靠近壁 面处，脉动分量的数值很小。由此可知在固体壁面处 所有雷诺应力均为零，只有粘性切应力存在。由此可 以想见在紧靠壁面处存在一个极薄的流层，在这层流 动里湍流切应力和流速的脉动均很微弱，由于这里流 速很小，粘性力大于惯性力，这一流层即为粘性底层。 紧靠粘性底层上部，存在一层过渡区。过渡区中湍动 剧烈，湍流切应力显著增加。过渡区以外则湍流切应 力占主导地位，是为湍流层或称对数层。
湍流平板边界层
像圆管湍流一样，湍流平板边界层流动也 是壁面湍流的一种，只不过固体边界的特征不 同。圆管湍流是流动发生在由固体边界所包围 的空间内，因而固体边界限制了湍流的发展。 而平板边界层流动则是流动发生在某一固体壁 面上，在固体壁面上的湍流边界层可以沿程发 展而其上边界不受固体边界的限制。但是湍流 边界层与圆管湍流在流动特点方面也有很多共 同之处。
湍流平板边界层的湍动特性
图11-4分别表示出顺流方向x, 垂 直平板方向y及展向z的紊流 u' w' 度 U ， u' ， 。
2
2
2
U
U
图中还特别表示了在紧靠壁面处 的情况。由图可以看出各个方向 的紊流度均在紧靠固体壁面附近 达到其最大值，而固体壁面处由 于壁面对脉动的限制，紊流度均 为零。顺流方向的紊流度 最大 值约为0.12，表示 约为自由流速 的12%。垂直紊流度则为0.04. 图11-4中的 w' 分布曲线表明在 U 紊流平板边界层中,展向的脉动 值不容忽视。
上式如无量纲化，则除 项外，其余各项量级均为1， u u 因此要保留 项，则必须： x
' 1 ' 2 ' ' u1 u2 x2
' ' u1 u2 U 2 0 x2
2
0 1
所以：
即无量纲雷诺应力的量级为 的量级， 为当地势流 U 流速。
' ' u1 u2 U2
0
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
湍流平板边界层的流速分布与分区结构
图11-3（b）表示 y 82 处的流动。此时位于湍流对数 区，湍流具有明显的三维性，但从瞬时流速的时间过 y处要弱。 8 程线看出此处脉动比
湍流平板边界层的湍动特性
早期对湍流平板边界层的量测主要是量测其时均流速和 压强的分布。随着科学技术的发展，使得对湍动特性： 例如湍流度，湍流能量及能谱，湍流切应力等的量测变 得既有需要，也有可能。而且只有通过对湍动特性的直 接量测才使人们对湍流的机理获得进一步深入的理解。 1954年克莱巴诺夫[3]对零压梯度湍流平板边界层进行了 量测，得到丰富的成果。试验是在一个4.5英尺的风洞中 进行，光滑平板长12英尺，宽 4.5英尺。风洞的湍流度 在风速30英尺/秒时为0.02%，在风速100英尺/秒时为 0.04%。近壁区的量测使用热线风速计。量测断面距平 板前缘为10.5英尺，为充分发展湍流边界层。试验中自 由流速（边界层外的势流流速)为50英尺/秒。
图11-7为西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圆管中测得的顺流方向脉动流速 u1 ' 和 u2 ' 的典型的相关函数曲线。其中一个热线风速计置于圆管的中心处，另一风速计则 置于与中心相距 r处。当 R 0 1 ，表明两个风速计均在中心处，这时两个脉动 ' ' u 相同，从而其相关函数 流速 u 和 。当 r 逐渐增大，相关函数值迅速减小。图 中横坐标用圆管半径 r0进行无量纲化。 相关函数的积分: