高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第二节 参数方程课件 理 选修4-4

2
．
参
数
方
程
x＝12＋t2t2， y＝41－＋2tt22
(t 为 参 数 ) 化 为 普 通 方 程 为
________． 解析：∵x＝12＋t2t2， y＝41－＋2tt22＝41＋1＋t2t－2 6t2＝4－3×12＋t2t2＝4－3x. 又 x＝1＋2t2t2＝211＋＋t2t2－2＝2－1＋2 t2∈[0,2)， ∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为 3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1) 过 点 M(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
(2) 圆 心 在 点 M0(x0 ， y0) ， 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
曲线 C2 是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半轴 长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
其中00≤<xy≤<11， 或－－11<≤yx≤<00.，
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x －2，
∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0. ∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))
3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别
为
x＝ y＝
5cos θ， 5sin θ
θ为参数，0≤θ≤π2
和
wenku.baidu.comx＝1－ 22t， y＝－ 22t
(t 为参
数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
解析：由 C1 得 x2＋y2＝5，且00≤≤yx≤≤
(θ 为参数)．
(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点，求 PQ
中点 M 到直线 C3：xy＝＝－3＋2＋2t，t (t 为参数)的距离的最小值．
[听前试做] (1)曲线 C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线 C2： 6x42＋y92＝1，曲线 C1 是以(－4,3)为圆心，1 为半径的圆；
5， 5，
①
由 C2 得 x＝1＋y， ②
∴由①②联立xx＝2＋1y＋2＝y，5， 解得yx＝＝12， 或xy＝＝－－21， (舍)
答案：(2,1)
4．直线xy＝＝b4t＋at， (t 为参数)与圆xy＝＝2＋3sin3θcos θ， (θ 为 参数)相切，则切线的倾斜角为________．
解析：直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程 为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距 离为 3，从而有 3＝|2b－aa2·＋0－b24b|，即 3a2＋3b2＝4b2，所以 b＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝ba，所以 tan α＝ ± 3，因此切线的倾斜角为π3或23π.
(θ 为参数)．
(3)椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascions
φ， φ
(φ 为参
数)．
[自我查验]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝2t＋－1t， (t≥1)表示的曲线为直线．(
)
(2)参数方程xy＝＝scions
θ＋m， θ－m，
将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特 征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加 减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用 同角三角函数关系式消参，如 sin2θ＋cos2θ＝1 等． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性， 不要增解．
将下列参数方程化为普通方程．
x＝1＋3kk2， (1)y＝1＋6k2k2
(k
为参数)；
x＝1－sin 2θ， (2)y＝sin θ＋cos θ
(θ 为参数)．
解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入 x＝1＋3kk2得
y x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]．
[典题 2] 已知曲线 C1：xy＝＝3－＋4s＋inctos t， (t 为参数)，曲线 C2：
x＝8cos θ， y＝3sin θ
考纲要求： 1.了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点 的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：xy＝＝gftt，， 并且对于 t 的每一个允许 值，由方程组xy＝＝gftt， 所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那 么方程xy＝＝gftt， 就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数， 简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做 普通方程 ．
答案：π3或23π
[典题 1] 将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ
(θ 为参数)．
[听前试做] (1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0. 当 t≥1 时，0<x≤1，当 t≤－1 时，－1≤x<0， ∴所求普通方程为 x2＋y2＝1，
当 m 为参数时表示直线，当 θ
为参数时表示的曲线为圆．( )
(3)
直
线
x＝－2＋tcos 30°， y＝1＋tsin 150°
(t 为 参 数 ) 的 倾 斜 角 α
为
30°.( )
(4)
参
数方程
x＝2cos y＝5sin
θ， θ
θ为参数且θ∈0，π2表示的曲线
为椭圆．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×